Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 ……………………………………………………………………………………………………… Bài : Chuyên Đề Tiếp Tuyến Dạng : Viết Phương Trình Tiếp tuyến điểm M( x0 , y0 )  (C ) : y  f ( x) Cách giải : * tính y '  f ' ( x ) ; tính k  f ' ( x0 ) ( hệ số góc tiếp tuyến ) * tiếp tuyến M có dạng : y  k ( x  x0 )  y0 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  x  x  (C ) viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = Bài giải : Với x =  y  -  M (1, 5)  (C ) y '  3x  x   y ' (1)  1 ; tiếp tuyến M có dạng : y  1( x  1)   y   x  Ví dụ : (Dự bị D2006) x3 cho hàm số y  (C ) cho m M ( x0 , y0 )  (C ) tiếp tuyến M cắt tiện cận đồ thị hàm số x 1 (C) hai điểm A, B chứng minh M trung điểm AB giải: x 3 4 4 M ( x0 , y0 )  (C )  yo  , y'   k , tiếp tuyến M có dạng (d) : x0  ( x  1) ( x0  1)2 x0  x0  x0  4 4 4 y ( x  x0 )  y0  y  ( x  x0 )  y x ( x0  1)2 ( x0  1) x0  ( x0  1) ( x0  1) Gọi A giao điểm tiếp tuyến (d) tiệm cận đứng x = suy tọa độ điểm A nghiệm hệ :  x  x0  4 x  y x x 7   2 ) ( x0  1) ( x0  1)   x   A (1,  y x0  x   x0    Gọi B giao điểm tiếp tuyến tiệm cận ngang y = , suy tọa độ B nghiệm hệ :  x0  x0  4 x  x  x0  y   B (2 x0  1,1) ( x0  1)2 ( x0  1)2    y 1 y 1   x A  xB  x0   x0  xM    x 7 Nhận xét :   M trung diem AB (đpcm) 1  y A  yB x0  x0     yM  x0   Ví dụ : (D2005) m Cho hàm số y  x  x  (Cm ) cho M  (Cm ) , biết xM  1 , tìm m để tiếp tuyến M 3 song song với đường thẳng 5x - y = Bài giải : y '  x  mx  hệ số góc tiếp tuyến M k  y ' (1)   m , để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x – y =  k  1 m   m  http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… c o m Ví dụ : (ĐH Thương Mại 2000) Cho hàm số y  x  3x  (C ) , điểm A( x0 , y0 )  (C) , tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo x0 Bài giải : Vi điểm A( x0 , y0 )  (C)  y0  x0  3x0  , y '  3x   y ' ( x0 )  x0  Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng : 3 y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3x0  3)( x  x0 )  x0  x0   y  (3x0  3)( x  x0 )  x0  (d ) phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) : 3 x  3x   (3x0  3)( x  x0 )  x0   x  x0 x  x0   ( x  x0 )2 ( x  x0 )  h s  ( x  x0 )2   x  x0   ( x  0) x  2 x0 x  x0    t Vậy điểm B có hồnh độ xB  2 x0 w v ie t m a Dạng : Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y  f ( x ) (C) biết trước hệ số góc Nếu hệ số góc tiếp tuyến k ta lập tiếp tuyến cách sau Cách : Tiếp tuyến (d) có dạng y  kx  m ( k biết )  f ( x )  kx  m (1) (d) tiếp xúc (C )   ' có nghiệm  f ( x )  k (2) Từ phương trình ta giải x  x0 ( hoành độ tiếp điểm ) vào (1) ta tìm k  tiếp tuyến Cách : Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm , giải phương trình f ' ( x0 )  k  x  x0 , y0  f ( x0 ) Đến trở dạng ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thi : y  k ( x  x0 )  y0 w Khi sử lý tốn dạng thơng thường hệ số góc k cho dạng gián tiếp thơng thường tốn cho tiếp tuyến song với đường thẳng : y  k1 x  m  hệ số góc tiếp tuyến k  k1 Nếu toán cho tiếp 1 tuyến vng góc với đường thẳng : y  k2 x  m  hệ số góc tiếp tuyến k  (do k k2  1) k2 Nếu toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : y  k ' x  m góc  , em dùng cơng k  k' ( nhiên em phải chứng minh sử dụng , xem cuốn: giúp trí  kk ' nhớ Toán học , Nguyễn Dương 2008) Một số ví Dụ Điển Hình Ví Dụ : (ĐH Ngoại Ngữ 2001) cho hàm số y  x  x  , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3 y   x  (d ) 3 http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 w thức sau để tìm k : tan   Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài giải : Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d)  tiếp tuyến có dạng : y  3x  m 1  x  x   3x  m (1) Điều kiện tiếp xúc :  có nghiệm  x   (2)  1 14 1  3 x  4x   m  x  4x   m   x  2, m    3    x  2 x    x  2, m    x  2   14 14 Với m   tiếp tuyến có dạng y  x  3 Với m = tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6 Ví dụ : (ĐH cảnh sát 1998) x2  3x  Cho hàm số y  ; viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : x2 y = -3x +2 Bài giải : Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x +  tiếp tuyến có dạng y = -3x + m  x  3x  3   x   3 x  m (1) x    Điều kiện tiếp xúc  có nghiệm x  2 (2)  x  16 x  15    x    x  x   3 (2)   ( x  2)   Với x    m  3 tiếp tuyến có dạng : y  3 x  Với x    m  11 tiếp tuyến có dạng : y  3x  11 Ví dụ : Cho hàm số y  x3  viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : y  x   góc 300 Hướng dẫn giải: 1 x  có hệ số góc k1  (d)  y  ; tiếp tuyến có hệ số góc k2 3 k1  k2 dễ dàng tính k2  k1k Sau áp dụng dạng lập tiếp tuyến biết trước hệ số góc ta tìm tiếp tuyến thỏa mãn u cầu tốn : 11  11  (d1 ) : y  ; (d ) : y  3x  ; (d ) : y  x  3 Ví dụ : (ĐH Ngoại Thương 1998) Cho hàm số y  x  3x  x  (C ) tất tiếp tuyến (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Áp dụng công thức (*) : tan 300  http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài giải : TXĐ: D  R Ta có : y ,  x  x  ; gọi M ( x0 , y0 )  (C )  hệ số góc tiếp tuyến (C ) M : k  f ( x0 )  3x0  x0  m f ' ( x0 )  x0  ; f ' ( x0 )   x0  1  f (1)  -12 Bảng biến thiên :  - f’(x )  -1 c o x0 + +  f(x) s -12 m a t h Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x0 )  12  x0  1 , y0  16 Vậy điểm có M (1,16) tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( điểm uốn đồ thị ) Cach khác : Ta có : k  f ( x0 )  3x0  x0   3( x0  1)  12  12  k  12, đạt x0  1  y0  12 Vậy điểm có M (1,16) tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( điểm uốn đồ thị) Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết qua điểm cho trước ie t Bài toán : cho hàm số : y  f ( x ) điểm A( x0 , y0 ) viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A Cách giải : bước : tiếp tuyến qua A( x0 , y0 ) có dạng : y  k ( x  x0 )  y0 w v  f ( x )  k ( x  x0 )  y0 (1) bước 2: điều kiện tiếp xúc  ' có nghiệm f ( x)  k (2)  bước 3: giải hệ ta tìm k  phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Một số ví Dụ Điển Hình w w Ví dụ : (ĐH Ngoại Thương 1999) x2 Cho hàm số y  ; viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A(6,5) x2 Bài giải : Tiếp tuyến qua A(6,5) có dạng : y  k ( x  6)  x  x   k ( x  6)  (1)  Điều kiện tiếp xúc :  có nghiệm x   4  k (2)  ( x  2)2  x  x2  ( x  6)   x  x    x2 ( x  2) x  Với x =  k  1 tiếp tuyến có dạng : y   x  http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 Thế (2) vào (1) ta : Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… 1 tiếp tuyến có dạng : y   x  4 Như ta kẻ hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán Với x =  k   Ví dụ : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998) 4 Cho hàm số : y  x3  x  3x viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A( , ) Bài giải : 4 Tiếp tuyến qua A có dạng : y  k ( x  )  3 4   x  x  x  k ( x  )  (1) Điều kiện tiếp xúc :  có nghiệm  x  x   k (2)  Thay (2) vào (1) ta : x   4 2 x  x  x  ( x  x  3)( x  )   x  11x  x    x  3  x   Với x =  k  tiếp tuyến có dạng : y  x 5 128 Với x =  k   tiếp tuyến : y   x  9 81 Với x =  k  tiếp tuyến có dạng : y = Vậy từ A vẽ ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Ví dụ : (dự bị B 2005) x2  x  Cho hàm số : y  (C ) , chứng minh khơng có tiếp tuyến (C ) qua giao điêm I x 1 hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (C ) Bài giải: x2  x  y  x 1 tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 gọi I giao điểm hai x 1 x 1 đường tiệm cận  I (1, 0) Đường thẳng (d) qua I có dạng : y  k ( x  1)  x2  x   x   k ( x  1)  (d) tiếp tuyến (C )    x  x  k (2)  ( x  1)  (1) có nghiệm x  1 x2  x  x  x Thay (2) vào (1) ta :  ( x  1)   (vô nghiệm ) từ I không kẻ tiếp x 1 ( x  1)2 tuyến tới đồ thị hàm số (đpcm) http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Dạng : Học Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại m Một số ví dụ điển hình : Ví dụ : (D2007) 2x (C ) tìm điểm M  (C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai trục tọa độ x 1 A, B cho tam giác OAB có diện tích Bài giải : x0 M ( x0 , y0 )  (C )  y0  , y' ( x  1)2 x0  Tiếp tuyến M có dạng : 2 x0 x0 2 y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  ( x  x0 )  y x (d ) ( x0  1) x0  ( x0  1) ( x0  1) Gọi A  (d )  ox  tọa độ điểm A nghiệm hệ : t h s c o Cho hàm số y  2  x  x0 x0   B (0, ) ( x0  1)2  y  ( x0  1) ie t  x0 y x  ( x0  1)2 ( x0  1)  x   m a  x0 2 y x  x   x0  2   A( x0 , 0) ( x0  1) ( x0  1)  y  y   Gọi B  (d )  oy  tọa độ điểm B nghiệm hệ : w v 2 Tam giác OAB vuông O ; OA =  x0  x0 ; OB = Diện tích tam giác OAB : S = 2 x0 x0  ( x0  1)2 ( x0  1) OA.OB w  2  x0  x0   x0  x0   x0  x0    y0  2 =   x0  ( x0  1)      ( x0  1)2  x0   x0   x0  1x0  (vn)    x0   y0  1 Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M ( ; 2) M (1,1) w Vi Dụ : (A2009) ; x2 (1) 2x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ Cho hàm số y  http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ : (dự bị D 2007) x Cho hàm số y  (C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) (C ) ; cho (d) cắt hai đường tiệm cận x 1 (C) tạo thành tam giác cân Ví dụ 4: (dự bị B2007) m (Cm ) tìm m để hàm số có cực đại A tiếp tuyến (Cm ) A cắt 2 x trục oy B mà tam giác OAB vuông cân Cho hàm số y   x   Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998) Cho hàm số y  x  12 x  12 (C ) tìm đường thẳng y = - điểm mà từ vẽ tiếp tuyến phân biệt tới đò thị ( C) Bài giải : Điểm M nằm đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4) Tiếp tuyến qua M có dạng : y  k ( x  m)   x  12 x  12  k ( x  m)  (1)  Điều kiện tiếp xúc :  có nghiệm 3 x  12  k (2)  Thế (2) vào (1) ta : x  12 x  12  (3 x  12)( x  m)   x  12 x  16  (3x  12)( x  m)  ( x  2)( x  x  8)  3( x  2)( x  2)( x  m)  ( x  2)  x  (4  3m) x   6m     x    g ( x )  x  (4  3m) x   6m  Để từ M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) g(x) = phải có hai nghiệm phân biệt    m  4  2  (4  3m)  8(8  6m)  3m  8m  16      m   g (2)  24  12m  24  12m   m   Vậy M (m , -4) với m  (, 4)  ( ,  ) & m  2 điểm cần tìm Ví dụ : ( học viện BCVT 199) Cho hàm số y   x3  3x  (C ) Tìm cá điểm thuộc đồ thị (C) mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C ) Bài giải : M ( x0 , y0 )  (C )  y0   x0  3x0  ; y '  3 x  x Tiếp tuyến qua M : y  k ( x  x0 )  y0  k ( x  x0 )  x0  x0  Điều kiện tiếp xúc :  x  3x   k ( x  x0 )  x0  x0  (1)   3x  x  k (2)  Thế (2) vào (1) ta : ( có nghiệm ) Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… 3  x  3x   (3 x  x )( x  x0 )  x0  x0   x  3( x0  1) x  xx0  x0  x0  (1)  x  x0  ( x  x )(2 x  x0  3)    x   x0  Để từ M vẽ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số phương trình (2) phải có nghiệm  x0  x0   x0   y0  điểm M cần tìm có tọa độ : M ( 1, 0) Lời bàn : ( tiếp tuyến có tọa độ tiếp điểm M nên (1) ln có nghiệm kép x  x0 , dùng sơ đồ horney chia ta phương trình (2) thơi ) (2) s c o m a t h Ví dụ : Cho hàm số : y  x  3x (C ) tìm đường thẳng : x = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm (C ) Bài giải : Điểm M  đường thẳng x =  M (2, a) Tiếp tuyến qua M có dạng : y  k ( x  2)  a w w v ie t m x  x  k ( x  2)  a (1)  Điều kiện tiếp xúc :  có nghiệm 3 x   k (2)  Thay (2) vào (1) ta phương trình : x3  3x  (3 x  3)( x  2)  a  x  x  x   a   a  2 x  x  (*) Xét hàm số : f ( x )  2 x  x  , TXĐ : D = R ; f '( x)  6 x  12 x x  f '( x)    x  12    x  Bảng biến thiên: x   y’ +  y -6  Để từ M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt dựa vào bảng biến thiên ta thấy (*) có nghiệm phân biệt  6  a  w Kết luận : điểm M (2, a ) với a  (6, 2) điểm nằm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm (C ) Ví dụ : (ĐH Y dược TP HCM 1998 ) Cho hàm số y   x  x  (C ) tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) Ví dụ : (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001 ) x2 Cho hàm số y  (C ) , cho điểm A ( , a ) tìm a để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến x2 (C) đồng thời tiếp điểm nằm trục ox Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài giải : Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng : y = kx + a x  x   kx  a (1)  Điều kiện tiếp xúc :  có nghiệm x   3  k (2)   ( x  1) x2 3 x   a  g ( x)  (a  1) x  2(a  2) x  a  ( x  1) (*) Thay (2) vào (1) ta : x  ( x  1)2 Để từ A kẻ tiếp tuyến tới (C ) (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác :   (a  2)  (a  1)(a  2)  3a   a     a 1   (**) a  2  g (1)  3   Giả sử hai tiếp điểm : A( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) tọa độ hai tiếp điểm x1 , x2 nghiệm (*) 2(a  2)   x1  x2  a  x 2 x 2  Và y1  ; y2  ; áp dụng định lý Vi-et ta :  x1  x2  x x  a   a 1  ( x1  2) ( x2  2) x x  2( x1  x2 )  Để A, B nằm phía trục ox y y1 y2   0 0 ( x1  1) ( x2  1) x1 x2  ( x1  x2 )  a2 2(a  2)  4 a 1  a 1   3a    a   a2 2(a  2)  1 a 1 a 1 Dối chiếu với điêu kiện (**) ta tìm : a   ; a  Lời bàn : Nếu tốn u cầu tìm a để từ a kẻ tiếp tuyến tới đồ thị , cho tiếp điểm nằm phía trục oy cần phương trình (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 cho x1   x2 Ví dụ : Cho hàm số : y  x3  3x  (C ) tìm đường thẳng : y = -2 điểm mà từ kẻ đến đồ thị hàm số (C ) hai tiếp tuyến vng góc với ? Hướng dẫn giải : Diểm M  đường thẳng : y = -2  M (m, 2) Sau em lập phương trình tiếp tuyến qua M , sử dụng điều kiện tiếp xúc ta đưa phương trình sau : x  ( x  2)  x  (3m  1) x         g ( x )  x  (3m  1) x   Với x = tiếp tuyến : y = ; khơng tìm tiếp tuyến (C ) vng góc với đường thẳng Vậy để từ M kẻ tiếp tuyến vng góc với g(x) = phải có hai nghiệm phân biệt 55 55 x1 , x2  k1k2  1 làm tương tự ví dụ ta tìm m   M ( , 2) 27 27 Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Dạng : Ý Nghĩa Hình Học Tiếp Tuyến m ( tham khảo thêm) c o Ta biết tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm khoảng lồi ln nằm phía đồ thị tiếp tuyến điểm khoảng lõm ln nằm phía đồ thị, cịn điểm uốn đồ thị tiếp tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau tiếp tuyến đồ thị hàm số Nhận xét: Nếu điểm ( A điểm uốn) , tồn khoảng I chứa điểm Đẳng thức xảy s cho Cmr : a t Bài toán 1: Cho h Bây ta vận dụng nhận xét để chứng minh số bất đẳng thức Trong với Ta có: là: đpcm điểm ta ln phân tích Cmr : w Bài tốn :Cho điểm có hồnh độ tiếp tuyến đồ thị hàm số w Chú ý: Nếu Bđt cần chứng minh có dạng : Nên ta đánh giá f(x) tiếp tuyến điểm có hồnh độ w v Tiếp tuyến đồ thị hàm số ie t *Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy m Lời giải: Lời giải : Ta thấy đẳng thức xảy Bđt cho có dạng với Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Tiếp theo ta đánh giá là: Thật điều với x đẳng thức xảy Vậy ta có: Mặt khác : đpcm nên suy Ta thấy yếu tố quan trọng để sử dụng phương pháp ta chuyển Bđt dạng thỏa mãn điều kiện Bài tốn 3: Cho Cmr : Cmr: a b c    2 (b  c) (a  c ) (a  b) 4(a  b  c ) Lời giải: Vì Bđt với số thị với số Khi Bđt cho trở thành nên ta giả sử với Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Ta có: đpcm Suy : Bài tốn 4:Cho a (b  c ) b( a  c ) c (b  a )    2 a  (b  c) b  (a  c) c  (b  a ) Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… m (Trích đề thi Olympic 30-4 Lớp 11 năm 2006) Lời giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử c o Khi bđt cho trở thành: s Hay với 0