Đăng Khoa *LS] Luyện Thi Đại Học 0987.018.492 Toán Học & Tuổi Teen https://www.facebook.com/toanhoctuoiteen BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU TRONG KHÔNG GIAN. Với Kỹ thuật này hy vọng các bạn có thể tìm ra hướng và trình bày lời giải cho các bài toán tương tự không quá 10’. Khi đó, việc tính toán trong hình phẳng có lẽ mới là khó khăn của các bạn. Bài viết này chỉ tập trung vào phần “không gian” do đó sẽ ko đi sâu vào tính toán chi tiết. Bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau thường gây khó khăn cho học sinh bởi nó khá khó tưởng tượng, việc mường tượng đường vuông góc chung trong không gian khi chỉ nhìn vào một mặt giấy phẳng chẳng dễ chịu chút nào, ngay cả với hs học tốt hình. Tuy nhiên, rất may mắn là có tới 90% các bài toán đều có 1 đặc điểm chung: Chúng có “tính vuông”, và với tính chất này, ta có thể đưa bài toán về tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện vuông (hoặc gần vuông) đến mặt đối diện. Khi đó ta không nhất thiết phải dựng và tính toán trực tiếp được đường vuông góc chung nữa, thay vào đó ta chỉ phải đi tính các đoạn dễ tính hơn rất nhiều: Các đoạn vuông của tứ diện vuông. Ý tưởng đã có! Vấn đề là làm thế nào để dựng được tứ diện vuông đó? Các thuật ngữ, các khái niệm đưa ra mang tính khái quát chứ không gắn vào 1 ví dụ cụ thế để các bạn cần phải hình dung một cách chung chung, khi đã hình dung được rồi thì vận dụng vào bài tập cụ thể sẽ linh hoạt hơn. I) “Tính vuông” của hai đoạn thẳng: Khái niệm: Hai đoạn thẳng được coi là có tính vuông khi thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Chúng nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. 2. Mỗi đoạn có 1 đầu mút nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng vuông góc đó. Đầu mút này gọi là mút cố định, đầu mút không thuộc giao tuyến gọi là mút tự do. 3. Một trong hai đầu mút cố định là hình chiếu vuông góc của đầu mút tự do. (Ở đây ta chỉ xét 2 đường chéo nhau chứ không vuông góc, Vuông góc chỉ là trường hợp riêng của bài toán này). Ví dụ: Cho hai đoạn thẳng &SA BC như hình vẽ: Có: 1.     1 2 SA BC          và     12   2. Có       12 ,A B d     nên ,AB gọi là mút cố định. ,SC gọi là mút tự do. 3. Mút cố định B là hình chiếu vuông góc của mút tự do S . Khi đó ta nói 2 đoạn &SA BC có “tính vuông”. Tính vuông được thể hiện qua tính chất sau:   SB BCA . Để thành lập tứ diện vuông, ta viết 2 đoạn theo sơ đồ vuông như sau: S, B thẳng cột, SA viết trên, BC viết dưới. Vẽ hình vuông bao quanh A, B, C. Để dựng được tứ diện vuông ta làm tiếp 2 bước sau: a 2 a 1 S B C A Q Q H Q 2 d 1 d 2 3 1 d x x S A BC S A BQ Đăng Khoa *LS] Luyện Thi Đại Học 0987.018.492 Toán Học & Tuổi Teen https://www.facebook.com/toanhoctuoiteen Bước 1: Kẻ Ax BC (kẻ về 2 phía của A, bước bắt buộc!) Bước 2: Để lập tứ diện ta chọn Q Ax theo một trong 3 cách sau:       1 2 3 BQ AC Q BQ Ax Q CQ AB Q       Ta nên chọn Q sao cho i BAQ là tam giác vuông ở B hoặc ở i Q . Khi đó việc tính toán 2 BQ sẽ trở nên đơn giản hơn. Hạ 2 BH SQ ta có ngay BH chính là khoảng cách cần tính. Tứ diện cần tìm là . i S BAQ . Ta có:             12 , , , ,d d d d SA BC d BC SAQ d B SAQ BH    với 2 SBQ vuông tại B có BH là đường cao dó đó 2 2 2 2 1 1 1 BH SB BQ  . *) Mở rộng đoạn thẳng: Nếu 2 đoạn thẳng đã cho chưa có các “mút cố định” tức là nó còn đang lơ lửng, chưa có 1 đầu bám vào giao tuyến, thì ta phải kéo dài các đoạn đó cho nó cắt với giao tuyến, điểm cắt này chính là các “mút cố định”. +) Nếu 1 trong hai “mút cố định” chưa có tính chất 3. thì từ 1 trong 2 “mút cố định”, ta kẻ đường vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng của “mút cố định” đó. Đường này cắt đoạn kia tại đâu thì đó chính là điểm mở rộng của đoạn kia (nó là mút tự do mới của đoạn kia) . (đường vuông góc kẻ từ mút cố định “thường” là đường thẳng đứng, nó vuông góc với mặt nằm ngang.Xem Ví dụ 1) +) Trong trường hợp 1 đoạn không có “mút cố định” tức là nó song song với giao tuyến, thì k/c cần tính chính là k/c giữa đoạn song song đó tới giao tuyến. Để rõ hơn, ta xét các ví dụ: Ví dụ 1 (đề Khối A-2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0 . Tính theo a khoảng cách giữa SA và BC. Giải: Phân tích: ta nhận thấy SA thuộc (SAB) vuông với (ABC) chứa BC. Một trong hai mút cố định ,AB không phải là hình chiếu của 1 trong 2 “mút tự do” ,SC . Do đó ta cần mở rộng 1 trong 2 “mút tự do”. Do 1 trong 2 mút cố định phải là hình chiếu vuông góc của mút tự do nên từ 1 trong hai mút cố định này, ta sẽ kẻ đường vuông góc với mặt phẳng chứa đoạn thẳng của mút cố định đó. Do đó từ B kẻ BO vuông với (BAC) cắt SA tại O, khi đó O chính là “mút tự do” mới của SA. Xét &OA BC có:   OB BAC . ta viết lại 2 đoạn theo sơ đồ vuông: Bước 1. Kẻ Ax // BC Bước 2. Xác định Q thuộc Ax sao cho BQ vuông với Ax. Khi đó ta có:         d SA,BC d OA,BC d BC,OAQ d B,OAQ BI    . Với   BI OAQ .Các cm cụ thể các bạn tự cminh. Tam giác vuông OBQ có BI là đường cao nên: 2 2 2 1 1 1 BI BO BQ  . Từ đây dễ suy ra kết quả với 0 60SCH  .BQ bằng đường cao tam giác đều, BO = OA BC OA BQ x Ax S O B H C A Q I Q' I' x x K Đăng Khoa *LS] Luyện Thi Đại Học 0987.018.492 Toán Học & Tuổi Teen https://www.facebook.com/toanhoctuoiteen 3.SH/2 Cách 2: Ngoài ra do giữa 2 đường chéo nhau này có B, H, A thẳng hàng, nên có thể tính k/c như sau:       3 , , ' . ' 2 BA d BC SA d H SAQ HI HA  . Như hình vẽ trên. (SA và HK có tính vuông:   SH HAK . Theo quy tắc dựng hình ta suy ra cách dựng Q’. các đoạn HS, HA, HQ’ cũng dễ tính. Ví dụ 2 ( Khối A 2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; Mặt phẳng qua M song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a. Giải: Phân tích: Do SN và AB đều nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc, ta đã có tính vuông:   SA ABC . Do đó ta cần đi xác định tứ diện vuông. Viết 2 đoạn trên với sơ đồ sau: Bước 1.Kẻ Nx // AB. Bước 2. Q thuộc Nx và được xác định theo: AQ Nx . Tứ diện mới: SAQN có AQ = MN và SA=AB. tan60 0 . Ta có:       , , ,d AB SN d AB SNQ d A SNQ AH   và 2 2 2 1 1 1 AH SA AQ  0 60SBA  Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BN. Giải: Do đây là tứ diện đều nên dễ suy ra:     AD NBC AN NMB   do đó AM và NB đã có ngay tính vuông. (nó tương ứng thuộc 2 mặt vuông với nhau là (AMD) và (BNC) ). Do đó ta có sơ đồ và dựng hình như sau: Kẻ Mx // NB, xác định Q theo cách sau: NQ // BM (đồng thời vuông góc) . Ta có:       , , ,d AM BN d BN AMQ d N AMQ . Mà tứ diện ANMQ vuông tại N (NA, NM, NQ đôi một vuông góc, các đoạn này tính toán khá đơn giản) do đó khoảng cách cần tính NH là: 2 2 2 2 1 1 1 1 NH NA NM NQ    . Ngoài ra bài này có tính đối xứng nên sẽ có 1 cách dựng hình như trên nữa. Và với 1 công cụ # nữa, thì bài này có nhiều cách giải. nhưng cách trên có thể là cách đơn giản nhất. Ví dụ 4 (D-2008): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a. Cạnh bên AA' 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. Giải: Do AM và B’C, nó nằm trong 2 mặt vuông góc nhau là (ABC) và BCB’C’) có giao tuyến là BC, M và C là 2 mút cố định, chưa có t/c3. do đó ta cần mở rộng 1 trong 2 mút tự do A và B’. từ M ta kẻ MN A S C B N Q H M x x S N AB S N AQ N B M C D Q A AM NB AM N Q Đăng Khoa *LS] Luyện Thi Đại Học 0987.018.492 Toán Học & Tuổi Teen https://www.facebook.com/toanhoctuoiteen vuông với (ABC) cắt B’C tại N, N sẽ là điểm mở rộng của B’C. Khi đó giữa AM và NC đã có tính vuông. Ta viết lại như sau: Bước 1. Kẻ Cx // MA, Bước 2. Q thuộc Cx và AQ // MC. ( Xác đinh Q thế này vì tứ diện mới N.MCQ vuông tại M. (trong quá trình vẽ hình ở nháp, ta xác định Q theo cả 3 cách, so sánh 3Q ta sẽ chọn được Q tốt nhất. Khi đó:             , ' , , ,d AM B C d AM NC d AM NCQ d M NCQ MH    Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 MH MC MN MQ    Với ' ,, 22 BC BB MC MQ AB MN   Cách 2:       , ' , ' ,d AM B C d AME B CF d B AME (xem dịch khoảng cách giữa 2 mặt // ). Ta đưa về tính k/c từ B (ko thuộc 2 đường ban đầu) tới (AME). Tứ diện B.AME bằng tứ diện M.QCN Chú ý: Các mặt quan trọng ta nên vẽ trên hình phẳng, nhìn chính diện, vì như thế ta sẽ nhìn ra được nhiều điều đặc biệt hơn. Ta thấy Q 3 sẽ cho tam giác đáy MCQ có tính chất đặc biệt hơn là vuông tại M, do đó việc tính MQ 2 dễ dàng hơn vì nó là đường cao tam giác vuông. Bài tập vận dụng: Hầu hết các bài tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau mà các bạn gặp. Nhược điểm của phương pháp là: không vận dụng được tính chất đặc biệt của từng bài toán, nên đôi khi nó dẫn tới lời giải dài, đi theo lối mòn  hạn chế tư duy tuy nhiên nó lại khá hiệu quả và đảm bảo ta luôn có 1 con đường để đi tới lời giải - Đặc biệt là với các bạn học kém hình không gian. Hy vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho các bạn. Và tất nhiên, với 1 kỹ thuật là không đủ. Với các kỹ thuật cũng rất dễ vận dụng và hiệu quả sau, các bạn sẽ tự tin hơn với các dạng toán khác của HKG (còn nữa ) M A N C M Q N C A Q C M B N B' C' A' x x E F A B M C x Q 2 Q 2 Q 3 x . Đại Học 0987.018.4 92 Toán Học & Tuổi Teen https://www.facebook.com/toanhoctuoiteen 3.SH /2 Cách 2: Ngoài ra do giữa 2 đường chéo nhau này có B, H,. việc tính MQ 2 dễ dàng hơn vì nó là đường cao tam giác vuông. Bài tập vận dụng: Hầu hết các bài tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau mà các