Đang tải... (xem toàn văn)
Luận án tiến sỹ Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn giải một số bài toán tĩnh và động của vật rắn có biến dạng phức tạp Tài liệu tham khảo Luận án tiến sỹ toán học " Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn giải một số bài...
DA.IHOC Quac GIA TP.HCM TRUONG DA.IHOC KHOA HOC nJ NHIEN NGUYEN PHU VINH , Ap DUNG PHu'(iNG PHAp PHAN TV HUU HAN GIAI MOT A' , - 'A ? A ~ , A" SO BAI TOAN TINH VA DONG CUA V~ T RAN CO BIEN D~NG PHUC T~P Chuyen nganh: ca HOC V~T THE RAN BIEN DA.NG Ma S6:1.02.21 TOMTAT LU~N ANTIEN si ToAN HOC , ' ;~ \:}".~H. nr Nt-HEN THI1\lIEN THANH PHa HO CHi MINH-2005 C6ng trlnh du<;choan thanh t<:tiKhoa Tmln Tin, Truong B<:tiH9C Khoa H9C Tif Nhien, B<:tiH9C Quac Gia Thanh Pha H6 Chi Minh Nguoi huang din khoa h9C: PGS.TS Ng6 Thanh Phong Truong B<:tiH9C Khoa H9C Tif NhienTp.HCM Phan bi~n 1: GS.TSKH. Ng6 Van Lu<;c. Lien hi~p HQiKhoa H9C Ky Thu~t. Ba Ria- Vung Tau. Phan bi~n 2: PGS.TS. Nguy€n Luong Dung. Truong B<:tiH9CBach Khoa. BHQG.Tp.HCM. Phiin bi~n 3: PGS.TS. Nguy€n Dung. Vi~n Co H9C Ung D\lng. Tp.HCM. Lu~n an sf: du<;cbaa v~ truac hQi d6ng chilli lu~n an cip nha nuac h9P t<:ti Truong B<:tiH9C Khoa H9C Tif Nhien Tp.HCM. Vao h6i gio ngay thang nam 2005 C6 th€ tlm hi€u 1u~nan t<:ti: Thu Vi~n Truong B<:tiH9C Khoa H9C Tif Nhien Tp.HCM. Thu Vi~n Khoa H9c T6ng H<;pTp.HCM. 1 , ? ' PHANMODAU 1. Tinh dIp thie't cua d~ tai L9 thuyet bien d'.lng dan h6i da d'.lt duQc noting thanh tt;!'uto lOn, noting v§:n clitia Gap ling du'Qc nhu cftu ngay cang cao v~ v~t li~u mdi coo cong ngh~ mdi hi~n nay. Co noting v~t li~u khong mo ta trong ph'.lm vi 19 thuyet dan h6i du'Qc,vi dlJ linn khang thu~n nghich khi bien d'.lng, cac v~t lit%:uco linn bien d'.lng phuc t'.lp. C~n nghien cuu cac lo'.li v~t lit%:u da d'.lng lam vit%:ctrong moi tru'ang phti'c t'.lP, c1€chili du'QcIt;!'cngoai laC dlJng cling vdi cac ann hu'ang khac cua mai tru'ang nhu' nhi~t dQ cao, ap sua't lOn, st;!'thay d6i thai tiet Bai roan khao sat ling xiI cua v~t lit%:u trong tq.ng thai dan-deo, dan-nhdt-deo v§:ncon mang linh thai st;!',bai Ie linn da d'.lng va v~ m~t 19 thuyet. Cac Wi giai coo cac bai roan nay v§:n con g~p kho khan v~ m~t roan hQc, nha't la ph'.lm vi hai chi~u, ba chi~u, th~m chi cii lai giai g~n dung v§:n con dt h'.ln che. V~y vit%:ckhao sat, coo cac lai giai sa g~n dung v§:n la nhu cftu dp thier, mang linn thai st;!' d~t ra coo noting nha roan hQc ding nhu' cd hQc. 2. M1}cdich nghien CUll MlJc lieu cua lu~n an la ket hQp ba lInh vt;!'cCd hQc-Toan hQc-Tin hQc d~ giai quyet mQt sa ma hinh cac bai roan cd hQc moi tru'ang rcln bien d'.lng phuc t'.lp. Nghien cuu cac giiii thu~t qui h6i coo cac bai roan 1 chi~u va 2 chi~u. SiI dlJng chu d'.lo PPPTHH ket hQp vdi sai phan htiu h'.ln, giai rich ham, cac ph~n m~m h6 trQnhu'Matlab, Maple. 3. D6i ttiqng va ph~m vi nghien CUll Dai tu'Qngnghien cau cua lu~n an la: PPPTHH coo noting bai roan bien, co ling xiI cua v~t lit%:uphi tuyen va co linn bien d'.lng phuc t'.lp. Nen ht%: phu'dng trlnh thiet l~p la phu'dng trlnh vi roan ba't kha rich. Khi v~t Mu a tr'.lng thai dan-deo till t6n t'.li song song mi~n dan h6i du'Qc ma ta bai phu'dng trlnh elliptic va mi~n deo thoa phu'dng trlnh hyperbolic. Bien roan c.ach gitia mi~n dan h6i va mi~n deo clitia bier tru'dc va du'QCxac Ginn trong qua trlnh giai sa bai roan dan-deo, tren bien roan cach cua 2 mi~n, cac thanh ph~n tenxd ling sua't, bien d'.lng, chuy~n vi phai thoa man di~u kit%:nlien tlJc, do la nQi dung cat 16i cua thu~t giiii ann X'.lqui h6i. TIm nghit%:mgiai rich cac phu'dng trlnh nay, con g~p noting kho khan khong th~ khclc phlJc du'Qcv~ m~t roan hQc. Dai vdi v~t lit%:uma tr'.lng thai ling sua't phlJ thuQc cii bien d'.lng va tac dQbien d'.lng, ta co ma hlnh moi tru'ang dan-nodi va ht%:phu'dng trlnh se la phu'dng trlnh rich roan 2 Voltera. VI the' cac bai roan bien phi tuye'n a trong lu~n an cling chua giiii ho~c chi giiii duQc mQt phgn tuong ling vdi s6 h,~tngphi tuye'n Clfth~. 4. T6ng quaD v~ dng d1.J.ngPPPTHH trong v~t dn hie'n d~ng Bai roan dan-deo, dan-nhOt-deo dii khai thac tri~t d~ v~ m~t ly thuye't tren the' gidi nhu: Bedukh6p.N.I, Khachan6p.L.M va A.Ilyushin, Timasenka, Zeinkiewicz, George E.Mase, Hill.R, Bao Huy Bich, B~c bi~t cac cang trlnh cua Sima.J.C, Hughes va Owen.J, Hinton.E dii duc ke't thu~t giiii cho cac bai roan nay c6 ten la cac thu~t giai return- mapping ma lu~n an t~m dich la "anh x~ qui h8i". Nhung cae vi dlf s6 Clf th~ hgu nhu hie'm c6, va l<,tithu~t giiii nay tuong d6i phlic t<,tpd ph<,tmvi mQt ehi~u va hai chi~u. Lu~n an sU'dlfng PPPTHH cho thu~t giai anh x<,t qui h8i a chuang 2 va chuang 3. Xet cae bai roan Clfth~, c6 loi giai s6 d~ so sanh vdi nghi~m chinh xae, vi dlf a chuang 3, trong truong hQp deo ly tuang a Khachan6p.L.M dii c6 Wi giai giai rich. Cling trong ph~m vi PPPTHH eho cae bai roan c6 bie'n d~ng phUc t~p, lu~n an dii xet them hai bai roan ti:nhva dQng a chuang 4 va chuang 5. Lien quail tdi llnh v\fe nay nhu: Lions.J.L, Johnson.Claes, NT.Long. Cac tac gia nay khao sat s\f t8n t~i va duy nha't nghi~m mQt caeh tri~t d~. d day lu~n an ma phOng hai bai roan Clfth~, dung PPPTHH, ke't hQp vdi phuong phap giai rich ham, sai phan hil'u h<,tn.xa'p xi nghi~m trong khang gian hil'u h~n ehi~u, chung minh s\f t8n t<,tiva duy nha't nghi~m cua bai rain xa'p xi v~ nghi~m cua bai roan xua't phat. So sanh nghi~m xa'p xi vdi nghi~m chinh xae. Chung minh 6n dinh cua luQe d6 sai rhino PPPTHH xuyen su6t d lu~n an, nh~m M giiii s6 ggn dung la phuong phap v<,tnnang, hi~u qua nha't, cho phep ta chuang trlnh h6a, t\f dQng h6a, d~ thay d6i dil' li~u ban dgu cua bai roan. 5. B6 C1.J.c va nQidung ciia lu~n an Lu~n an c6 163 trang g8m ph~n ma d~u, nam chuang, ke't lu~n va cae ke't qua eua lu~n an dii duQe eang b6, tai li~u, phgn phlfllfe. Chu'dng 1: CO Sa ToAN HQC 1.1. Quy lu~t dng xU'phi tuye'n trong v~t riin hie'n d~ng C6 3 lo<,tiphuong trlnh: phuong trlnh can b~ng Kd=f, phuong trlnh ling xU'(dinh lu~t Hooke) (J=DE, phuong trlnh hinh hQc E=Bd, trong d6 K: la matr~n dQ cling, D: ma tr~n v~t li~u, B ma tr~n hinh hQc (d<,toham ham d~ng), f: l\fc ngoai, d: ehuy~n vi, (J :ung sua't, E: bie'n d~ng. Cae phuong 3 phap giai t6ng quat nhu la: phuong phap d(j cling, phuong phap ling sua't ban diiu, phuong phap bie'n d,.lllgban diiu. 1.2 Tien d~ cd ban ly thuye't d~lllh6i phi tuye'n: 0 tr~ng thai ling sua't-bie'n d~ng phuc t~p, duong cong ling xU'v<i.tli~u cling c6 d~ng gi6ng nhu keo lien don gian, hie d6 quail M giQ'aling sua't va bie'n d~ng c6 d~ng a =E (I-CD)E, trong d6 E mOduli dan h6i cua v<i.t li~u, con CDla ham giai rich cua d(j dan dai tuong d6i tuc la CD=CD(E). Tien d~ duong cong duy nha't phat bi~u: au = E(I-CD)Eu,au cuong d(j ling sua't tie'p, Eucuong d(j bie'n d~ng truQt. Ne'u bi~u deSkeo lien cua v<i.tli~u c6 th~ thay the' giin dung b~ng hai do~n thing nghieng thl £e Ell £e Ell () u = E [1- (1- -)(1- -)] Eu' (0 =(1- -)(1 - -) , £u E £u E e Ell Ne'u vie't l~i: (0 = A (1- ~) thl A =1 - - £u E 1.3. M(it vai khai ni~m va ky hi~u cong thU'c hie'n phan daD cleo. D~ c<i.pde'n cac cong CtJ, ky hi~u cua giai rich ham, cong thuc bie'n phan, d~o ham suy r(jng, d~o ham Frechet, Gateaux. D~ ti~n vi~c trlnh bay, ta dung ky hi~u tenxo h~ t<?ad(j thing tn;1'cgiao va qui uac Einstein. .Phuong trlnh bie'n phan Euler-Lagrange: Tli vi~c c\;1'cti~u phie'm ham nang luQng rc(ui ) = fH {W(Eij)- hi ui }dx, Uj=O V xi E 3B , ta thu B dt(Qcphuong trlnh can b~ng trong v<i.tth~ ran bie'ndang () U,j + hi =O. 1.4. Xay dt!ng d~.lllghie'n phan hai tmin daD h6i t6ng quat trong R3 Chuy~n vi u=(Uj), trong mi~n Q, truong ling sua't d6i xung a=(aij), aij=aji tenxo bie'n d<:tng E=(Ejj)i,j=I,2,3. Tli phuong trlnh can b~ng: ()(j,j + ii =0 trong Q, vai di~u ki~n bien Uj=0 tren f2 va (Jij nj = gi tren fl, i=1,2,3. Ta c6 th~ phat bi~u d<:tngbie'n phan nhu sau: TIm UiE V sao cho : a(uj,vi)=L(v;) '\I Vi E V, trong d6 a(u, v) = Hf(Adiv(u)div(v) + IlEij (U)EU(v),ktx Q L(Vi) = ffffiVidx + ffgiVids, V={V=(Vi) E [HI(Q)]3: Vi=0 tren f2}. Q rl Ta c6 th~ ki~m chung r~ng V la khong gian Hilbert vai rich vo huang 4 (e, e) tuong ling vai chuifn II-IIv , va aCe, e)y 1a d?ng song tuye'n tinh tren VxV, thoa di~u ki~n V-elliptic a(vi, Vi) ~ a Ihll~ \iVi EV, trong do Ilvill~ =11vII~'(Q)=lhll~'(Q)' Ihll~'(Q) = gs(vl +(~::)2)dX. Chu'dng 2: MO HINH PHI TUYEN M(n cHrEu 2.1. Dflll deo m(}t chi~u e Cac phuong trlnh ling xU',dinh 1li(~tchay deo cua mo hlnh deo 1:9tuCing duQc mo ta nhu bang 2.1, mo hlnh cho v~t 1i~u tai b~n d~ng huang nhu bang 2.2. Bang2.] il Quan M ling suilt -bie'n d?ng dan h6i: a = E ( £- £P) iil Dinh 1u~tchay: iP =y sign(a) iiil Di~u ki~n chay: f(a)= Icrl- cry = 0 ivl Di~u ki~n Kuhn-Tucker: y ~ 0, f(a) S;0, Yf(a) =o v/Di~u ki~n trung boa: rj(a-) = 0 ne'uf(a)=o Bang2.2 il Quan M ling suilt -bie'n d?ng dan h6i: a = E ( £- £P) iil Dinh Lu~t chay: iP =y sign(a), eX = r iiil Di~u ki~n chay: f(a,a) = Icrl-(cry + Ka) =0 ivl Di~u ki~n Kuhn-Tucker: y ~ 0, f(a,a) s;0, y f(a,a) =o vi Di~u ki~n trung boa: rj(a-,a) = 0 ne'uf(a,a) = o e Bai roan bien tq ban dftu (bai roan BTBD): D?ng vi phan cua bai roan BTBD mQtchi~u: pv; - cr~- Pb = 0 trong Bx]0,T[, di~u ki~n bien: u = Ii tren auB x ]0,T[, a =cr tren acrBx ]0,T[, v = itt b :B x[0,T]~ IR, b = hex,t) 1tfckhoi. V~t th~ dan h6i tuye'ntinh thl a(x,t) = EE(X,t). Ne'u coi a-(x,t) 1a khong tuye'n tinh, mo hlnh dan d ' . E(K+H). d O" k o~ h ' d ' f o j . o B [0 T] eo: a = E H) E, leu len c ay eo: =, = trong x , . +(K+ . cr = EE cac traCinghQp con l?i. 5 .D,~tngy€u (bi€n phan) eua bai loan BTBD mQt ehi~u Dinh nghla tru'ong ehuy€n vi dQng hQe kha dI: St ={u(8,t):B~IR, u(8,t)lauB =~(8,t)}, co St CHI(B) vai m6i t e6dinh,vai H I(B) 1akhong gian Sobo1evcap 1tren B. ta dinh nghla: V ={17Eel (B) : 17(0)= a} la khong gian cae ham co d'.loham tren B va tri~t lieu khi x =O.Do 1akhonggiancae hamthii', hay bi€n phan dQng hQe khii dI. Khi do 11= M E HI (B) :11(0)=a} Vai cae dinh nghla tren, phat bi€u d'.lng y€u eiia bai tOaDBTBD nhu' sau: TIm ham U(8,t) E St sao eho: fpv17dx+G(o-,17) =0, V17EV, VtE[O,T], B f / f - / a17 trangdo G(o-,17)= 0-17dx- pb17dx-o-17la B va 17 = B B ()" ax Chu yding u(x,t) la ham a"n trang &= Ux va v=Utt. Chung minh du'Qeslf tu'ong du'ong eua hai d'.lng vi phan va bi€n phan. Slf duy nhat eua nghi~m eua bai loan BTBD. .Thu~t loan Anh X'.lqui h6i eho bai loan tai b~n d~ng hu'ang: MQt so d6 xuyen su6t eho thu~t loan anh X'.lqui h6i la bi€n d'.lng deo pht,l thuQe vao loan bQ lieh sii' d~t tai eua v~t li~u. Trong 1y thuy€t deo ngu'oi ta phat bi€u cae M thue giila ung soar va bi€n d'.lng thong qua dQ gia tang bi€n d'.lng llEn(x)qu,a hlnh sau DQ gia tang bi€n d'.lng llEn(x) ~n (X),E~ (x),exn (x) }=>IAnhx~~uih6i I=>~n+l (X),E~+l (x),exn+l (x)} Tu qui t:le sai phan trung tam ta du'a ra each giai ggn dung tung bu'ae b~ng bang 2.3: Bang 2.3 1.1Dilki~n (E~' exn ' En' llE J 2./ &n+1= &n + ll&n 3./ Tinh ung soar thii' daD h6i va ki€m tra di~u ki~n deo trial - E( P ) {'trial _ I trial ! [ K ] o-n+1 - &n+I-&n ' In+1 - o-n+1 o-y + an 6 IF f~~fl ::;0 then (tinh cae bu'de d~lnh6i) ( ) ( ) trial, . set. n+1=set. n+! va exIt ELSE (tinh deo) I"trial f:,.y= ~ > 0 E+K [ 1 f:,.y.E 1 trial ern+l = -Ier~-~~ll ern+l p - P A . ( trial ) Gn+l - Gn + uy sign (J n+l an+! =an +f:,.y END a a an ay trial CJ"n :-1 an+! En~l ~n I 1 ~En <:0 1 I : : 1 En+1 : ~ 1 1 trial - - - - - - - - - - - - - ! CJ"n+1 r " , , , , ,- an+l ~ ay an , ,0; , ,I , " - - - -I - - - - -"' " 1 'I ' 1 , ' 1 , " 1 , " I ,':,' I " ,1 : , ,': : 1 i Ei, Ent1 E'I : :: ~L'1En>O p 1 1 .l1li 1 G 1 1 1 n .: 1 p 1 Gn+1 : I I En+! . l1li f trial < 0 Hlnh2.1a. n+! - .Bid toaD qui hOl)ch H~irOi rl)c Ta xet phiern ham hai bien X(a-, a) : 1 . I 1 . I 1 X (er a)=- ( ertna -er ) E- (ertna -er)+-(a -a)K ( a -a ) . , 2 n+l n+l 2 n n Hlnh 2.1 b f trial > 0 . n+l - 7 phie'm ham x(o-,a) la nang lu<;ingbu b6 sung khi co dQ tang giua 2 tr~ng thai ungsuilt (0-,a). Ta se ct!c ti6u hoa phie'm hamx(o-,a) tren mi~n dan h6i EO" EO"={(o-,a)EIRxIR+ :f(o-,a)::;O}. Ta gia thie't mi~n EO" la mi~n 16i nghla la ham f: IR x IR ~ IR la ham 16i.Bay gio ta phat bi6u bai loan qI'c tq: TIm (o-n+l,an+l) E EO"sao cho X(o-n+l,an+l) = Min x(o-,a), (O",a)EEa- trang do E > 0 va K > O. Bai loan la tlm ct!c ti6u vai (0-, a) thoa man rang buQc f(o-,a)::; 0, ta co th6 dung phuong phap nhan tU'Lagrange, va hon the' nua trang ly thuye't qui ho~ch t6i u'u, Bertseka da chung minh du<;ictint duy nhilt nghi~m. Ham Lagrange: L(a,a,t'J.y) = x(a,a) + t'J.yf(a,a) va bai loan tim ct!c tri co di~u ki~n trd v~ bai loan ct!c tri dia phuong cua ham Lagrange, Sau khi ct!c ti6u hoa ta thu du<;iccac phuong trlnh ling xU' trang ant x~ qui h6i d bang 2.3. d day co th6 md rQng cho ma hint tal b~n ding huang dQng hQc. 2 2 Giiii thu~t s6 imh x~ qui h6i cho mo hlnh daD cleo hii b~n d£ng hu'ong: Ap dlfng ly thuye't thu~t giai anh x~ qui h6i cho vi~c tinh roan thie't ke' vai ma hlnh dan-deo tal b~n ding huang mQtchi~u. Ma hlnh va giai thu~t du<;icap dlfng M giai bai roan dan ba thanh d6ng qui chili It!c keo, nen. Ma hint nay cling du<;icmd rQng cho bai roan tal b~n ding huang dQng hQc. Trang ma hlnh dan-deo tal b~n ding huang, mi~n dan h6i trong khang gian ling suilt se du<;icmd rQng rhea ca hai phia keo, nen mQt khi ling xU'cua v~t Mu niim trang giai do~n tal b~n ding huang ma trang [61] da ma ta. Cac ke't qua so' cho thily ma hint phu h<;ipvai tht!c nghi~m. Ta co th6 ling dlfng trang cang ngh~ san xuilt v~t Mu d6 tang module dan h6i biing cach lam cho v~t li~u chay deo truac de'n mQt ling suilt mong mu6n. Khi cho cac tham so' tal b~n tri~t tieu ta thu du<;icke't qua bai roan ba thanh deo ly tudng nhu LM. Khachanc/p [19]. Ma hlnh mQt chi~u la mQt co sd t6t d6 phat tri6n cac ma hlnh 2 chi~u, 3 chi~u. So d6 kh6i: I B5't I 8 Nh~p dli li~u xae dinh cae kieh thu'de hlnh hQe, tal trQng tae d\lllg, cae di6u ki~n bien,d~e tinh v~t Mu, T'.lOcae array ban diiu zero ~ . I _.A " , pint Dti'hyubandaut'.llv~tnxEB: n' an,dn,Fn ,Cn+l Tinh roan ma tr~n de)eti'ng, veeW tal phiin tti' Yang l~p gia tang tai Up rap ma tr~n phiin eti'ng phgn tU'va veetd tal phgn tU' d~ tinh ma tr~n de)eti'ng t6ng th~ va veeW t6ng th~. Tinh roan veetd ehuy~n vi tri nut gia tang l'.dn+! ti'ng vdi gia tal (F;:tl - FneXI) Yang l~p nghi~m ehu'a hQi t\l Tinh ehuy~n vi tri nut t6ng: dn+l= dn+ l'.dn+l Tinh roan tru'Cing bie'n d'.lng t6ng t'.li di~m XEB: En+l=Bedn+l Trong do Be: Veetd ehua cae; d'.lo ham eua ham d'.lng. Tinh ti'ng suat thU'dan h6i va ki~m tra di6u ki~n ehay deo: atrial = E ( £ - £p ) f trial = l atriall- [ a + Ka ] n+l n+l n' n+l n+ll Y n 2 I'lrwl < 0 J n+l - Dung Giai do'.ln dan h6i trial a n+l = a n+l p p £n+l = £n ,an+\ = an Sat