Đang tải... (xem toàn văn)
Luận án phó tiến sỹ Chỉnh hóa một số bài toán ngược trong khoa học ứng dụng Tài liệu tham khảo Luận án phó tiến sỹ toán học" Chỉnh hóa một số bài toán ngược trong khoa học...
BO GIAO ])t)C vA 1);\0 T~O [11)1H()C Qu6c cIArl jANH PH6 H6 CHIMINH TRUc)NCD~I HQC KHOAHQC H,! NHlt N a ~~I:&'~~ a N C Tr Y '~ N . ,. ( 'r' )l \T(i T A " M ",1\ 1:', ,,'_.Tn , D CHiNH. UO,\ l\iQT 86 BAI ToAN NGtf<1C TRONe KHOA HOC rfNG Dt)NG Chuyennganh: loAN GJArItCH \13 s6 01.01.01 II TOM T£(TLu.~N AN Fh6 Tie'nSIKhoahQcToan Ly Thanh ph6116 ChI Minh II - 1996- ~} ) I.';- "J,' ~ Lu~n ~n n1iydu'Qchean thanh t~i Khoa Toh - Tin h9c II Tru'CJngBl}i hQc &boa hQc TV lJl'Mn Thanh pho' hI6 Chi Minh IIiIo Irii Netti1i hu'OIH~ d1in : 'II " iii GS TS J:)~NG DINH ANG II rI/lI II1II l1li 'II II II Ng1f(Y]nhan xet 1 : II III a II a III !II ~i1j hh1tnxet 2 : CI II Cd Quan nJU)Hxet : II' Ie 'III III Ii! = II Lu~n ~n se du'<;fcbaa v~ tq,iH9i D6ng Chill Lu4n an Nh;) Nll'OChqp tq,iTru'CJngDq.ihQcKhoa h9CTv Nhien Thanh pho' H6 Chi Minh VaG hk~ giCJ ~ ngay thclng ~ Ham 1~96. ' III III IJI C6th! tlm hilu Lutjn dn tQi cdc tllltvifl1 : !:I -' Tnto/'lg Dqi h9C Khan h9C T~(Nhien Thc'rl1hpluJ'H6 Chi Minh - Khaa H9c nfng fir]) Thanh ph/f H6 C?llMinh aID nO GIAo D~JC vA.BAo L'}O D/\I HQC Quc5c CIA THANH PH6 HO CHi MINH TRU<JNCDAI HOC KHOA HQC TV NHlt N ~"'r"r"'r"'r'" / NGUYEN C(1NG TAM cHiNn HOAj\U)Tso nAI ToAN NGU<;jC TRONG KI-IO;\H()C (fNG D\JNG Chuycn nganh: ToAN GIAr TfCH Mil s6 : 01.01.01 , ,I ., TONI TAT LUr'~N AN ~h6 Tien sl Khoa hqc Toan Ly Thanh ph6 H6 Chi Minh - 1996- f' Lu4n an n~y du<;1choan thanh t~i Khoa Toan - Tin 119C Tnfong D<~ihQc Khw bQc Tlj N11ienThanh ph6H6 Chi Minh Ng!-!QjJilltjn~ dKI! : GS TS DANG DINH ANG ~-IDi(jUthill!-,TIiLLl ~gtiotllh;!11_'!fcL~_l Cd (Juan Itlliin xet : LUi)n illl se dlNc bao vi!:tqi HC)iDdng Cbi(m Luqn an Nhii Nltdc bqp v,"iTntongD~i hqc Khoil hQc 1'11Nhien Thanh pIle)Ho Chi Minh yito hie __gio_ngay___thilng_nam 1996, Co thE lim hilu Lu4n c!ll'~Iiede Ilzz(vifill : - Tn((/ng Dgi Iz~)c FI.hoa h'lc IV Nhien Thell/h 1711()'JJ(3 Chi Minh - Klzoa H,?e Tllng Hq'p Thanh pMJ'H(5Chi Minh MO 8AU Trong Khoa hl)c ling d\Ing, nolI du khao sat hili loan nglic;1cdii xullt hi~n tit' lau, Coo de'n nhung nam 60, d6ng thdi VOlvi~c phat tri6n cac c6ng C\l loan hQC,cac hiii loan ngu'<1ckh6ng chino dii du'<1ccac nha loan hl)C tren the' giOi khao sat m(Jt cach sau r(Jng ma lieu bi6u lil t:ac c6ng trinh clia Tikhonov, Lavrentiev, Lions, Tit'thdi gian do de'n nay, cac bai loan ngu'<1ckh6ng chino ngay cang du'<1cchu 9 khao sat m(Jt cach r(Jng riii do nhung nhu du xullt pilat tit'th,,'c te' cua khoa hl)c ling d1!ng, d~c bic$ttrong Ky nghc$,Y hl)c, V~t Iy Oia du, Trong Lu~n an, chling Wi khao sat m(Jt s6 hili loan nglt<,1cco a~ng trong do r lit au ki~n nh~n du'<,1c(qua quaIl sat, do d~c), h9 th6ng A la mOtphuUng trinh d;;toham rieng VOlcac di~u kic$nbien tuong ling va v ill du kic$ndn tlm. Trong lu~n an, chung t6i khao sat mQt s6 bili loan Cauchy coo phu'ong trinh Poisson va Laplace trong doc mi~n khac nhau ct'Ia R2 va RJ. Nhil'ng bili loan nay co 9nghia qua" tn,mg trong ling d\Ing, chAng h;;tnnhu' trong V~t 19Dja du, VI nghi9m ctta cac hili loan nay se du'<,1cxac dinh khi ta hic't di~u kic$nDirichlet (hay Neumann) tren loan bien mi~n khao sat nen vic$cgiai hili loan Cauchy coo phuong trInh Poisson hay Laplace du'<,1ccoi nhu bili loan tlm du kic$nd~u vao v la di6u ki9n hien Dirichlet (hay Neumann) khi bic't du kic$nd~u ra F la di0u ki~n bien CalJ<.:h'y(trcn mQt ph~n bien) va hc$thi')ng A chino la phut1ng trInh Poisson hay Laplace tuUng (tng, hong D,a V~( Iy, hili loan nilYc6 9 nghia th\l'cto vlugu'\fi ta thuong khang (ht; do d;;tc gia tri tntong trl)ng lifc, tr9ng 1\l'caj thll'ong hay gradient dw n6 tren loan bien m't chi c6 th6 do tren mOtph~n bien ma thai, - I - !-)u vilO I H th6ng !-)u ra v F A Phdn I chung t&i xet 3 ba.i toin Cauchy cho phtiong trmb Poisson trong dl3 troll don vi Dc R2.trong nU'am~t phAng tren p+ c R2. va. trong mta kh8ng ih glaD tIeD R\ ; v(Ji dfl ki~n Cauchy (u. c7v- d~o ham theo htidng phap tuye'n ngoai tren bien cua mien) du'<;1ccho tren mQt ph~D bien cua mien. CI}th~. chung t3i Ian lu'<;1tchuy~n dc ba.i toan kh3.o sit ve vi~c giai mQt phtiong trmh rich phh Fredholm lo~i mQt : Av=F (1) trong d6 A la. mQt loan tU'A:H ~ Hi. v(JiH. Hila bai kh8ng gian Hilbert. Trong tung bai toan . H. Hi HI.cac Hong gian Hilbert khac nhau. Cdc dOnggdp mdi cua Lu4n dn Ii : 1) Chung minh dti<;1cding Ala. toaDto' tuye'n tinh lien tvc tu H vao HI . trong d6 H va. HIla. hai khong glaD Hilbert (thay d6i rhea tung bai loan ). 2) Chung minh du'<;1cding ve' pHi F cua phu'ong trmh (1) tbuQc Hi ; (} day F du'<;1cxac dinh tif cae dfi' ki~n eho tru'ck, 3) 86i vai hai bai toan san cua phan I chung toi da:du'a ra du'qcdanh gia d6i voi chuan ~IIH >HI Trong phan II chung toi xet bai toan Cauchy cho phu'ong trmh Laplace trong t~ng g6 gh8 cua R3nhu'san D = {(x,y,z):-<X) < x,y,< <X),0 < z < ~(x,y)} vdi <\IthuQc Wp CI(R2), Bli loin la llnl ham di~u hoa u trong D. li8n tl}clrong b. vdi u. u. . uy. u, cho tru'oc tren ph~n bien cua D dti<;kbien dieD b(}im~t Z =$(x.y) .m.i to<ln -2 - nay la m5 hlnh R3cua bai toan da:du'qc khao s.h (xem D.D.Ang. D.N.Thanh & V.V.Thanh: H Regularized Solutions of a Cauchy problemfor the LAplaceequation in an irregularstrip", :Tournalof integral equations and Applications, Vo1.5, N2.4, (1993), p,p. 429_441), B~ng phu'dng phap Green va ly thuye't the' vi, chung t51 da: du'a du'<1cbal toaD Cauchy d teen v~ phu'dng trlnh tich phftn d~ng tich chip san dfty d6i v<'l an ham v(x,y) =u(x,y.O) (la di8u ki~n Dirichlet teen bien z=O). 1 (~v)(x.y) = F(x,y) ; V(x,y) E R2 (2) k trong d6 G(x,y) = (Xl + yl ~k2) " Ie 13.h~ng s6 du'dng du l<'n. tho a Ie> 4>(x,y) , V(x.y) E R2 Sd dl}ng phu'dng phap chlnh h6a Tikhonov (xem A.N.Tikhonov and V.Y.Arsenin : Solutions of ill-posed problems. Winston. Willey, New York, (1977», chung toi xiy dlfng mQt phu'dng trlnh bie'n pMn (phu'dng trlnh chInh h6a) (00) : ~ Ve =Fe (3) Trong d6 bai toaD too nghi~m v=v" da phu'dng trlnh (3) la bai "toaD chlnh, nghia la i) T8n t~i duy nha't v"thoa (3) ii) v" phI}thuQc lien tl}c vao Fe E>6ngg6p quan tn;mg khac trong Lu~n an Ia chUng t5i dii dauh gia du'<1c 5ai 56 giU'anghi~m chlnh h6a v" neu teen so voi nghi~m chinh xac v cua phu'dng trlnh (1) -3 - Cl}the la ne'u sai s6 giiia dii ki~n dod."eF£va dU'ki~n ehinh xac F la & ,nghlala ~F,-FII< Ii (4) thl eh11ngt8i eh1fng t6 du'<;1ela sai s6 giiia nghi~m ehlnh h6a v£va nghi~m chinh xacv (Vdi~iathie'ttrdnthichh<;JP)C6b~C,fS hay [l{~)r;(0<&<1) nghlala IIv£-vll < c,fS (5) II v vll < c[tr{~)r hay (6) trong d6 h!ing s6 du'dng C kh6ng phl} thuQc S Ta chuiln 11.lIl1y trong cae kh6ng gian tu'dng 1fng . Hdn the' niia, ehl1ng t8i thi~t l~p dU<;1f;thu~t roan Giai tlch s8. Cl} the; nhu' sau: a) £>6ivdi cac bar roan khao sat trong phh I, chung toichd'ng Minh du<;1erhg v.chinh la diem b1t dQngduy nh:ltcua mQtroan ttl'co thieh h<;Jp.Do d6 de dang dy dvng mQtthu~t roan l?p M tinh xa'p xl v£. O9i v£(rn)la budc l~p thd' m .Chung toi da dua ra dU<;1cdaRb gia sai s6 Iv,(">-vl< C,k'" +C~ (7) C£ 13.h!ing s8. phl} thuqc s. kh8ng phl} thuQc m . k E (0.1) 13.h~ s8 co. Hdn niia ne'u chQn budc l~p t6i thieu m=m. tIll chung t8i thu du'<;JcdaRb gia sai so' ~v}",) - vii < (1 + C)J;: (8) b) £>6ivdi bai roan trong phh II, chung toi du'a ra du'<;1ccong th1fctu'Clnp, minh tinh v. theo dU'ki~n do d~c F£ thong qua bie'n d6i Fourier (hai chi~u) thu~II va ngu<;1C.Vdi gia thi6t v du trdn (v E Hl(R2» chung t8i thu du'<;JcdaRb gia sai s6 -4- 1\v vll < C[~;)r I"~ trong d6 h~ng s6 C chi ph'} thuQc vao Ilv~lh'11) Lie ke"lqua cbillh CIIaLlI~ll all (hi<,lccong b6 trong [1] .[2] va se c!til/ccong b6"lrong [:\J.[4J.[SJ" tJ -5 - PJIANM6r cAc sAI loAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH POISSON I. BM roAN CAUCHY CHO PHtJdNG TRINH POISSON TRONG HINH TRON BdN VI : 1.Bdi loan G~i D =I(X,Y):X2+l < I} 15 = I(x,y): X2 + y2 ~ I} Tlm ham u = u(x,y) th<Saphu'dng tr1nh Poisson' !!.U= f trong D (9) u E C2(D)nC1(15) va di\!u kic$nCauchy du'<1ccho tren mQt phh bien ct1a D nhu' sau : U(CO50,5inO) = uo(O) ~:(COSO,5inO)=Ul(0) O«}<a (10) vdi f cho tru'dctrong D; Uo . III cho tru'dc tren r = {e'o:0 < 0 < a} .a t3u cho tru'dc Q< a < 21f kj hic$u - la d~o ham theo hu'dng pMp tuyen . t3n n =(c~O ,sinO) tren t3D hu'dngra ngoai d5i vdi D 2. Thitt l/jp phr/dnll lrinb deb phlin iJu. . t3u Ch9n v(O) =- (cosO ,5mO) ,Q ~ 0 ~ 21f 13.an ham, () d~y - la t3n t3n d~o ham theo hu'dng pMp tuyen ngoai tren vong troD ddn vi 13D. - 6 - [...]... TR1NH POISSON TRONG NUA KHONGGIAN TR.t:N: Llld{.O!I.T1':' f)~t R;::: {(x,y,z): -00< x,y< J{3::: {(x,y,z): -00< x,y.u::: f OO,Z > a} trong Uz E C(R/) R; thoa (49) vdi dil ki~n Cauchy du 0 xet phu'dngtrlnh bi~n philn (41) liV +A'Av =A'F tu'dng du'dng £v +A'Av -A'F hay Ia vC1i v, =v, - P(EV, +A'Av =0 -A'F) /3 > 0 se chng gian tr~n z> O E>~t A(x,y) = H(x,y,;(~ ,1]» oH p(x,y) =-(x,y, on ,p(l;, 1]» - 21 - (80) (81) i' thl A(x,y) va p(x,y) xac dinh tren R2 va phil thuQclien ~c vao t/>(!;, 1]) Bt/> ' Bt/> -(x,y) ox CUI -(x,y) oy au, ul(x,y) (x,y).-(x,y).ft'x,y) dx By , g(x,y),h(x,y) trong chuaR L2 (R2) DUng phu'c1ngphap Green ta nh~n du' . te' cua khoa hl)c ling d1!ng, d~c bic$ttrong Ky nghc$,Y hl)c, V~t Iy Oia du, Trong Lu~n an, chling Wi khao sat m(Jt s6 hili loan nglt<,1cco a~ng trong. ba.i toin Cauchy cho phtiong trmb Poisson trong dl3 troll don vi Dc R2 .trong nU'am~t phAng tren p+ c R2. va. trong mta kh8ng ih glaD tIeD R ; v(Ji dfl