Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ. PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ðỘ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðiểm uốn của ñồ thị : Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một liên tục trên khoảng ( ) ; a b chứa ñiểm 0 x và có ñạo hàm cấp hai trên khoảng ( ) 0 ; a x vì ( ) 0 ; x b .Nếu '' f ñổi dấu khi x qua ñiểm 0 x thì ( ) ( ) 0 0 ; I x f x là một ñiểm uốn của ñồ thị của hàm số ( ) y f x = Nếu hàm số f có ñạo hàm cấp hai tại ñiểm 0 x thì ( ) ( ) 0 0 ; I x f x là một ñiểm uốn của ñồ thị hàm số thì ( ) 0 '' 0 f x = 2. Phép tịnh tiến hệ tọa ñộ : Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tình tiến theo vectơ OI  là 0 o x X x y Y y  = +   = +   , ( ) ( ) 0 0 ; I x f x . Ví dụ 1 : Cho hàm số ( ) 3 2 1 1 4 6 3 2 f x x x x = − − + ) a Giải phương trình ( ) ' sin 0 f x = ) b Giải phương trình ( ) '' cos 0 f x = ) c Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ñã cho tại ñiểm có hoành ñộ là nghiệm của phương trình ( ) '' 0 f x = . Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ) a ( ) ( ) 2 1 17 ' 4 ' 0 2 f x x x f x x ± = − − ⇒ = ⇔ = . Cả hai nghiệm x ñều nằm ngoài ñoạn 1;1   −   . Do ñó phương trình ( ) ' sin 0 f x = vô nghiệm. ) b ( ) ( ) 1 '' 2 1 '' 0 2 f x x f x x = − ⇒ = ⇔ = . Do ñó phương trình ( ) 1 '' cos 0 cos 2 , 2 3 f x x x k k π π = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ℤ . ) c ( ) ( ) 1 1 47 1 17 '' 2 1 '' 0 , , ' 2 2 12 2 4 f x x f x x f f     = − ⇒ = ⇔ = = = −         Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : 17 1 47 17 145 4 2 12 4 24 y x hay y x   = − − + = − +     Ví dụ 2 : Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 f x x x = − + có ñồ thị là ( ) C 1. Xác ñịnh ñiểm I thuộc ñồ thị ( ) C của hàm số ñã cho , biết rằng hoành ñộ của ñiểm I nghiệm ñúng phương trình ( ) '' 0 f x = . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 2. Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI  và viết phương trình ñường cong ( ) C ñối với hệ IXY . Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñồi xứng của ñường cong ( ) C . 3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong ( ) C tại ñiểm I ñối với hệ tọa ñộ Oxy .Chứng minh rằng trên khoảng ( ) ;1 −∞ ñường cong ( ) C nằm phía dưới tiếp tuyến tại ñiểm I của ( ) C và trên khoảng ( ) 1; +∞ ñường cong ( ) C nằm phía trên tiếp tuyến ñó. Giải : 1. Ta có ( ) ( ) ( ) 2 ' 3 6 , '' 6 6 '' 0 1 f x x x f x x f x x = − = − = ⇔ = . Hoành ñộ ñiểm I thuộc ( ) C là ( ) 1, 1 1. x f = = − Vậy ( ) ( ) 1; 1 I C − ∈ . 2. Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI  là 1 1 x X y Y  = +   = −   Phương trình của ( ) C ñối với hệ tọa ñộ IXY là : ( ) ( ) 3 2 3 1 1 3 1 1 3 . Y X X Y X X − = + − + + ⇔ = − Vì ñây là một hàm số lẻ nên ñồ thị ( ) C của nó nhận gốc toạ ñộ I làm tâm ñối xứng . 3. ( ) ( ) 2 ' 3 6 ' 1 3 f x x x f = − ⇒ = − . Phương trình tiếp tuyến của ñường cong ( ) C tại ñiểm I ñối với hệ tọa ñộ Oxy : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 1 3 1 1 3 2 y f x f x y g x x = − + = − − − ⇔ = = − + . Xét hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 1 3 2 1 h x f x g x x x x x= − = − + − − + = − trên ℝ Dễ thấy ( ) ( ) 0, 1 0, 1 h x x h x x  < <   > >   . ðiều này chứng tỏ trên khoảng ( ) ;1 −∞ ñường cong ( ) C nằm phía dưới tiếp tuyến tại ñiểm I của ( ) C và trên khoảng ( ) 1; +∞ ñường cong ( ) C nằm phía trên tiếp tuyến ñó. 1. Gọi I là ñỉnh của parabol ( ) P . Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI  và viết phương trình của parabol ( ) P ñối với hệ tọa ñộ IXY . ( ) 2 ) 4 3 a f x x x = − + ( ) 2 7 ) 2 3 8 b f x x x = + − ( ) 2 ) 2 3 1 c f x x x = − + ( ) 1 ) 2 3 x d f x x + = − ( ) 2 1 ) 3 2 e f x x x = − − ( ) 2 ) 2 5 f f x x = − 2. Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( ) C . Chứng minh rằng I là tâm ñối xứng của ( ) C . ( ) 3 2 ) 3 2 a f x x x x = − + + ( ) 3 2 ) 6 12 b f x x x x = + + − ( ) 4 2 ) 12 3 c f x x x = − + ( ) 4 2 ) 24 20 d f x x x = − + − ( ) 3 2 ) 3 4 e f x x x = + − ( ) 3 2 ) 3 1 f f x x x = − + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 3. Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ñường cong ( ) ( ) 5 2 3 x f x G x − = + . Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI  và viết phương trình của ( ) G ñối với hệ tọa ñộ IXY . Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của ( ) G . Cùng câu hỏi ñối với ñồ thị của các hàm số sau : ( ) 2 2 3 3 ) 2 x x a f x x − − = − ( ) 2 ) 3 4 1 b f x x x = + + + ( ) 5 ) 2 1 x c f x x + = + ( ) 3 2 ) 1 x d f x x − = + ( ) 1 ) 2 2 e f x x = − + ( ) 2 ) 1 1 f f x x = − + ( ) 2 2 3 ) 3 x x g f x x − + = − ( ) 2 4 ) 2 x x h f x x + − = + ( ) 2 8 19 ) 5 x x i f x x − + = − 4. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2 1 f x x x x = − + − có ñồ thị là ( ) C . ) a Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( ) C .Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI  và viết phương trình của ( ) C ñối với hệ tọa ñộ IXY . Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của ( ) C . ) b Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( ) C tại ñiểm uốn . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất . 5.Cho hàm số ( ) 3 2 3 4 f x x x = − + có ñồ thị là ( ) C . ) a Viết phương trình tiếp tuyến ( ) t tại ñiểm uốn I của ñường cong ( ) C . ) b Xét vị trí tương ñối cuả ñường cong ( ) C và tiếp tuyến ( ) t (tức là xác ñịnh khoảng trên ñó ( ) C nằm phía trên hoặc phía tiếp tuyến ( ) t ). 6. ) a Vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số ( ) 2 1 1 1 1 2 2 x khi x x f x x x khi x  + < −   − =   + ≥ −   . ) b Tìm ñạo hàm cuả hàm số ( ) f x tại ñiểm 1 x = − . ) c Chứng minh rằng ( ) 1;0 I − là ñiểm uốn của ñường cong ( ) y f x = . ) d Từ ñồ thị ( ) C suy ra cách vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 1 1 1 1 2 2 x khi x x y f x x x khi x  + − < −   − = − =   − − ≥ −   Hướng dẫn : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 lim 1 1 2 1 lim 1 1 2 1 lim 1 2 x x x f x f f x f x f x f x x − + → − →− → −  − −  = − − − +  ⇒ = −  − − +  = −  +  . Hàm số ( ) f x tại ñiểm 1 x = − và ( ) 1 1 2 f − = − . ) c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 4 1 1 ' 1 '' 1 2 1 1 1 1 2 khi x x khi x f x khi x f x x khi x x khi x  − < −  −    < −    = − = − ⇒ = −     > −    + > −    Dễ thấy ( ) ' f x liên tục trên ℝ và ( ) ( ) ( ) '' 0 1 1;0 '' 0 1 f x khi x I f x khi x  < < −  ⇒ −  > > −   là ñiểm uốn của ñồ thị của ( ) C . 7. ) a Vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số ( ) 2 1 1 1 1 khi x f x x x x khi x  ≤ −  =   + − > −  . ) b Chứng minh rằng ( ) 1; 1 I − − là ñiểm uốn của ñường cong ( ) C . Viết phương trình của ñường cong ( ) C tại ñiểm I . Từ ñồ thị ( ) C suy ra cách vẽ ñồ thị của hà số . ( ) y f x = . thì ( ) 0 '' 0 f x = 2. Phép tịnh tiến hệ tọa ñộ : Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tình tiến theo vectơ OI  là 0 o x X x y Y y  =. là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( ) C .Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI  và viết phương trình của ( ) C ñối với hệ tọa ñộ