Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 45 Chương II BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 Mở Đầu Kỹ thuật biến đổi là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu và hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI). Chương II sẽ tập trung vào việc giới thiệu phép biến đổi - Z, khai thác các tính chất cũng như tầm quan trọng của phép biến đổi này trong việc phân tích và mô tả đặc điểm của các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Khi phân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian và hệ thống LTI, biến đổi - Z đóng vai trò tương tự như biến đổi Laplace trong việc phân tích các tín hiệu và hệ thống liên tục theo thời gian. Nhờ có phép biến đổi - Z mà quá trình phân tích đáp ứng của hệ thống đối với các tín hiệu vào khác nhau được đơn giản hóa đi rất nhiều. Thêm vào đó, biến đổi - Z còn cung cấp cho ta phương tiện mô tả hệ thống LTI, đáp ứng của hệ thống đối với các tín hiệu vào khác nhau qua các điểm cực_không của hệ thống 2.2 Biến Đổi - Z 2.2.1 Đònh Nghóa Biến Đổi - Z Hai Phía Và Một Phía a. Biến Đổi - Z Hai Phía : Biến đổi - Z của tín hiệu rời rạc theo thời gian được đònh nghóa qua một dãy luỹ thừa ∑ ∞ −∞= − = n n z)n(x)z(X (2.1) trong đó z là 1 biến số phức. Quan hệ trên được gọi là biến đổi - Z trực tiếp bởi vì nó biến đổi tín hiệu trong miền thời gian x(n) thành việc biểu diễn tín hiệu X(z) trong miền Z (tức là trong mặt phẳng phức Z vì z là biến số phức) và X(z) là một hàm phức của biến số z Biến đổi z của x(n) được mô tả bởi : X(z) = Z {} )n(x (2.2) Ở đây quan hệ giữa x(n) và X(z) được mô tả bởi : x(n) →← Z X(z) Ta thấy rằng biến đổi - Z là một chuỗi lũy thừa vô hạn, nó tồn tại chỉ đối với các giá trò z mà tại đó chuỗi này hội tụ. Miền hội tụ ROC (Region of Convergence) của X(z) bao gồm tất cả các giá trò của z mà ở đó X(z) hội tụ. Ví dụ 2.1 : Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 46 Hãy xác đònh biến đổi z của các tín hiệu với độ dài hữu hạn sau : (c) x 3 (n) = )n( δ (d) x 4 (n) = δ (n–n o ) (n o > 0) (e) x 5 (n) = 3δ (n+ 4) + δ (n+1) Giải : Từ đònh nghóa (2.1) ta có : (a) X 1 (z) = 2 + z -1 + 3z -2 + 5z -3 ROC toàn bộ mặt phẳng Z, trừ z=0 (b) X 2 (z) = 5z 2 + 2z 1 + 1 + 4z –1 + 3z -2 ROC toàn bộ mặt phẳng Z, trừ z = 0 và z = ∞ (c) X 3 (z) = ∑ ∞ −∞=n )n( δ z n− = 1z 0 =1 ROC toàn bộ mặt phẳng Z (d) X 4 (z) = ∑ ∞ −∞=n δ (n-n o )z n− = 1z o n− = z o n− (n o > 0) ROC toàn bộ mặt phẳng Z, trừ Z = 0 (e) X 5 (z) = [] n n z)1n()4n(3 − ∞ −∞= ∑ +++ δδ = 3z 4 + z 1 ROC toàn bộ mặt phẳng Z, trừ z= ∞ Nhận xét : • Trong các ví dụ trên ta có thể thấy các hệ số của z -n được đưa ra trong phép biến đổi chính là các giá trò của tín hiệu ở tại thời điểm thứ n. Nói một cách khác, số mũ của z trong phép biến đổi có chứa thông tin về thời gian xác đònh mẫu của tín hiệu. • Trong rất nhiều trường hợp, biểu thức của biến đổi z dưới dạng tổng của các chuỗi vô hạn hoặc hữu hạn có thể được biểu diễn bằng một biểu thức ở dạng ngắn gọn. Hãy xét ví dụ dưới đây : Ví dụ 2.2 : Hãy tìm biến đổi Z của tín hiệu (a) x 1 (n) = { 2, 1, 3, 5} (b) x 2 (n) = {5, 2, 1, 4, 3} Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 47 x(n) = n 2 1       u(n) Giải : Ta xác đònh tín hiệu x(n). x(n) =                             2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 ,1 n32 , L X(z) = 1+       2 1 z -1 + 2 2 1       z -2 + n 2 1       z -n … = ∑ ∞ =       0n n 2 1 z -n = ∑ ∞ = −       0n n 1 z 2 1 Với các giá trò của z để cho 1 z 2 1 − < 1 hay z > 2 1 thì X(z) sẽ hội tụ đến hình 2.1 X(z)= 1 z 2 1 1 1 − − ROC z > 2 1 b. Biến đổi - Z một phía : Biến đổi - Z một phía của dãy x(n) được đònh nghóa như sau : X(z) = ∑ ∞ =0n x(n)z -n (2.3) Sự khác nhau giữa biến đổi Z một phía và hai phía : • Tổng theo n chỉ chạy từ 0 đến ∞ • Không biễu diễn được tín hiệu x(n) đối với miềnbiến số độc lập âm (n< 0) Ví dụ 2.3: Tìm biến đổi Z một phía của tín hiệu sau : x(n) = 2 δ (n+2)+δ (n)+ 3 δ (n-1) X(z) = ∑ ∞ =0n x(n) z -n = 1+ 3z -1 ROC : z ≠ 0 2.2.2 Sự Tồn Tại Của Biến Đổi Z Theo đònh nghóa ROC ở trên, tập hợp tất cả các giá trò của z mà tại đó chuỗi : X(z) = ∑ ∞ −∞=n x(n)z -n hội tụ được gọi là miền hội tụ ROC của biến đổi Z. Để tìm miền hội tụ, ta thường sử dụng tiêu chuẩn Cauchy. 0 ROC 1/2 Mặt phẳng Z Hình 2.1 I m (z) R e (z) Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 48 a. Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy : Tiêu chuẩn Cauchy khẳng đònh rằng một chuỗi có dạng : ∑ ∞ =0n x n = x 0 + x 1 + x 2 + . . . (2.4) hội tụ nếu điều kiện sau đây được thoả mãn : lim n ∞→ n 1 n x < 1 (2.5) Ví dụ 2.4 : Xét sự hội tụ của chuỗi sau đây : ∑ ∞ =       0n n 3 1 = 1 + 9 1 3 1 + + . . . Giải : Ứng dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có : n 1 n n 3 1 lim       ∞→ = 3 1 < 1 vậy chuỗi hội tụ b. Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để tìm miền hội tụ : Để áp dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có thể chia chuỗi X(z) thành hai chuỗi như sau: X(z) = ∑ ∞ −∞= − n n z)n(x = ∑∑ ∞ = − − −∞= − + 0n n 1 n n z)n(xz)n(x = X 1 (z) + X 2 (z) Với X 1 (z)= ,z)n(x 1 n n ∑ − −∞= − X 2 (z)= ∑ ∞ = − 0n n z)n(x Xét chuỗi X 2 (z) chuỗi này hội tụ khi n 1 n n z)n(x lim − ∞→ < 1 dẫn đến n 1 n )n(x lim ∞→ . 1 z − < 1 Đặt − x R = n 1 n )n(x lim ∞→ (2.6) Ta có − x R 1 z − < 1 ⇒ z > − x R Khi đó chuỗi X 2 (z) sẽ hội tụ với z > − x R tức là bên ngoài vòng tròn, tâm là gốc tọa độ có bán kính là − x R trong mặt phẳng phức Z như hình 2.2 Xét chuỗi : X 1 (z) = n 1 n z)n(x − − −∞= ∑ Đặt m = – n 0 ROC 1 Mặt phẳng Z R x - Hình 2.2 I m (z) R e (z) Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 49 X 1 (z) = m 1m z)m(x ∑ ∞ = − = – x(0) + ∑ ∞ = − 0m )m(x Điều kiện hội tụ của chuỗi X 1 (z) là : m 1 m m z)m(x lim − ∞→ < 1 m 1 m )m(x lim − ∞→ z < 1 Đặt + x R = m 1 m )m(xlim 1 − ∞→ Điều kiện trên trở thành z < + x R . Vậy miền hội tụ là bên trong vòng tròn, tâm là gốc tọa độ, có bán kính + x R trong mặt phẳng phức Z. Miền hội tụ ROC của biến đổi Z là giao của 2 miền hội tụ ROC 1 và ROC 2 . Vậy nếu − x R < + x R miền hội tụ ROC thỏa : − x R < z < + x R . Đây là một hình vành khăn có bán kính trong − x R và bán kính ngoài + x R , tâm là gốc tọa độ trong mặt phẳng phức Z. Nhận xét : • Đối với tín hiệu nhân quả có chiều dài vô hạn n∈ [0, +∞], miền hội tụ của biến đổi Z : − x R < z nằm ngoài vòng tròn bán kính − x R . • Đối với tín hiệu không nhân quả có chiều dài vô hạn n∈ [–∞, 0], miền hội tụ của biến đổi Z : z < + x R nằm trong vòng tròn bán kính + x R . • Nếu − x R ≥ + x R thì miền hội tụ sẽ rỗng, tức là X(z) không hội tụ. • Hai tín hiệu x(n) khác nhau có thể có cùng biến đổi Z. Tuy nhiên trong trường hợp này miền hội tụ ROC của chúng phải khác nhau. Thật vậy hãy xét các ví dụ sau đây : Ví dụ 2.5 : Tìm biến đổi Z của tín hiệu x(n). x(n) = a n u(n) X(z) = () n 0n0n 1nn azz.a ∑∑ ∞ = ∞ = −− = 0 ROC 2 R x + R e (z) I m (z) Hình 2.3a 0 0 I m (z) R e (z) R x + R x - Hình 2.3b Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 50 Dùng công thức : α αα α − − = + = ∑ 1 1NN N Nk k 21 2 1 Vì N 2 là ∞ nên muốn chuỗi hội tụ ta phải có điều kiện α < 1 nghóa là : 1 az − < 1 hay a < z . Lúc này X(z) = 1 az1 1 − − . Vậy X(z) = 1 az1 1 − − với ROC a < z . Ví dụ 2.6 : Tìm biến đổi Z của tín hiệu x(n) x(n) = – a n u[–n–1] X(z) = ∑ − −∞= − − 1 n nn Z.a = – () n 1 n 1 z.a ∑ − −∞= − Ta thấy ngay muốn chuỗi số hội tụ thì ta phải có điều kiện 1 z.a − > 1 hay là a > z lúc này X(z) = 1 az1 1 − − . Từ 2 ví dụ trên, ta có kết quả sau : x(n) = a n u(n) → X(z) = 1 az1 1 − − ROC z > a x(n) = –a n u(–n–1) → X(z) = 1 az1 1 − − ROC z < a 2.2.3 Cực Và Không Trong thực tế, ta thường gặp các biến đổi Z là một hàm hữu tỷ của z : X(z) = )z(D )z(N (2.7) a. Đònh nghóa không (zeros) Tại các điểm z = z or ta có z(z or ) = 0 thì các điểm đó gọi là các không của X(z). Vậy nghiệm của tử số N(z) chính là không của X(z). Nếu N(z) là đa thức bậc M thì X(z) có M không. b. Đònh nghóa cực (poles) Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 51 Tại các điểm z = z pk ta có X(z pk ) = ∞ thì các điểm đó gọi là cực của X(z).Vậy nghiệm của mẫu số D(z) chính là cực của X(z). Nếu D(z) là đa thức bậc N thì X(z) có N cực. Ví dụ 2.7 : Cho tín hiệu x(n) = δ (n) + 3 δ (n-1) +2 δ (n-2). Hãy tìm X(z), miền hội tụ, các cực và các không của X(z). Giải : X(z) = ∑ ∞ −∞=n x(n)z -n = 1 + 3z -1 + 2z -2 ROC: z ≠ 0 Tìm cực và không : X(z) = 2 2 z 2z3z ++ = ( ) ( ) 2 z 2z1z + + Vậy X(z) có 2 không tại: z 01 = -1 ; z 02 = -2 Và có 1 cực kép tại: z = 0 ; z p1 = z p2 = 0 Vò trí của các cực và không cho bởi hình 2.4 : Nhận xét : • Miền hội tụ của X(z) không chứa cực của X(z) vì tại các cực X(z) không xác đònh. • Trong mặt phẳng phức Z các cực sẽ được ký hiệu bằng dấu gạch chéo (X), còn các không được ký hiệu bằng các khuyên nhỏ (o). ° X(z) có thể được biểu diễn chính xác bởi các cực và không. 2.3 Các Tính Chất Của Biến Đổi Z Biến đổi Z là một công cụ được sử dụng rất hiệu quả khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian. Tầm quan trọng của phép biến đổi Z xuất phát từ một số tính chất rất quan trọng của nó. Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của biến đổi này. 2.3.1 Tính Tuyến Tính nếu x 1 (n) →← z X 1 (z) x 2 (n) →← z X 2 (z) thì x(n) = a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) →← z X(z) = a 1 X 1 (z) + a 2 X 2 (z) (2.8) với a 1 , a 2 là 2 hằng số bất kỳ ROC của X(z) là phần giao của ROC của X 1 (z) và X 2 (z). X – 2 – 1 Z 01 Z 02 z p1 = z p2 I m (z) R e (z) Hình 2.4 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 52 Ví dụ 2.8 : Xác đònh biến đổi z và ROC của tín hiệu x(n) = [ 3(2 n ) – 4(3 n ) ]u(n) Nếu ta đònh nghóa các tín hiệu : x 1 (n) = 2 n u(n) và x 2 (n) = 3 n u(n) Thì x(n) có thể biểu diễn dưới dạng x(n) = 3x 1 (n) - 4x 2 (n) Theo tính chất tuyến tính biến đổi Z của x(n) sẽ là: X(z) = 3X 1 (z) - 4X 2 (z) * Xác đònh X 1 (z) : x 1 (n) = 2 n u(n) → X 1 (z) = 1 z21 1 − − với ROC 1 : z > 2 * Xác đònh X 2 (z) : x 2 (n) = 3 n u(n) → X 2 (z) = 1 z31 1 − − với ROC 2 : z > 3 Giao của hai miền hội tụ của X 1 (z) và X 2 (z) là z > 3, như vậy : X(z) = 1 z21 3 − − - 1 z31 4 − − với ROC: z > 3 Chú ý rằng nếu có các điểm “không” xuất hiệntrong quá trình tổ hợp tuyến tính, mà các điểm không này lại bù vào một số điểm cực của X 1 (z) hay X 2 (z), lúc đó miền hội tụ của X(z) có thể sẽ lớn hơn, như ví dụ sau: Ví dụ 2.9 : Xác đònh biến đổi Z và ROC của tín hiệu sau x(n) = a n u(n) – a n u(n – 1) ; a > 0 Đặt x 1 (n) = a n u(n) → X 1 (z) = 1 az1 1 − − ;ROC 1 : z > a x 2 (n) = a n u(n – 1) → X 2 (z) = ∑ ∞ =1n a n z -n = ∑ ∞ =0n a n z -n – 1 = 1 az1 1 − − - 1 = 1 1 az1 az − − − ;ROC 2 : z > a Áp dụng tính chất tuyến tính ta có : X(z) = X 1 (z) - X 2 (z) = 1 az1 1 − − - 1 1 az1 az − − − = 1 ;ROC toàn bộ mặt phẳng Z Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 53 2.3.2 Tính Dòch Chuyển Theo Thời Gian Nếu x(n) →← z X(z) Thì x(n – k) →← z z -k X(z) (2.9) Miền hội tụ của z -k X(z) cũng giống như miền hội tụ của X(z) ngoại trừ z = 0 nếu k > 0 và z = ∞ nếu k < 0 Chứng minh : x(n – k) →← z Y(z) = ∑ ∞ −∞=n x(n – k)z -n = z -k ∑ ∞ −∞=n x(n – k) z -(n – k) = z -k X(z) Tính chất tuyến tính và tính chất dòch chuyển theo thời gian được xem như chìa khóa cơ bản để thực hiện biến đổi Z khi phân tích các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Ví dụ 2.10 : Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau : x(n) = a n u(n – 1) Ta biết rằng x 1 (n) = a n u(n) → X 1 (z) = 1 az1 1 − − với ROC 1 : z > a Như vậy x(n) = a n u(n – 1) = a a n-1 u(n – 1) x(n) = a x 1 (n – 1) Theo tính dòch chuyển theo thời gian, ta có X(z) = a z -1 X 1 (z) = 1 1 az1 az − − − với ROC: z > a 2.3.3 Nhân Với Hàm Mũ a n Nếu x(n) →← z X(z) với ROC : 1 r < z < 2 r Thì a n x(n) →← z X(a -1 z) với ROC : 1 ar < z < 2 ar (2.10) Chứng minh : a n x(n) →← z Y(z) = ∑ ∞ −∞=n a n x(n) z -n = ∑ ∞ −∞=n x(n) (a -1 z) -n = X(a -1 z) Nếu ROC của X(z) là : 1 r < z < 2 r Ta suy ra ROC của X(a -1 z) là : 1 r < za 1− < 2 r hay 1 ar < z < 2 ar Ví dụ2.11 : Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 54 Tìm biến đổi Z của tín hiệu x(n) = a n (cosω o n) u(n) Trước hết ta tìm biến đổi Z của tín hiệu x 1 (n) = (cosω o n) u(n) Theo công thức Euler, ta có: x 1 (n) = (cosω o n) u(n) = 2 1 e n o j ω u(n) + 2 1 e n o j ω − u(n) Vậy X 1 (z) = 2 1 .       − −1 j ze1 1 o ω + 2 1 .       − − − 1 j ze1 1 o ω ;ROC z > 1 X 1 (z) = 2 o 1 o 1 zcosz21 cosz1 −− − +− − ω ω ;ROC z > 1 Từ đó ta suy ra X(z) = X 1 (a -1 z) X(z) = 22 o 1 o 1 zacosaz21 cosaz1 −− − +− − ω ω ;ROC z > a 2.3.4 Đạo Hàm Của Biến Đổi Z Nếu x(n) →← z X(z) ;ROC : 21 rzr < < Thì n x(n) →← z -z dz )z(dX ;ROC : 21 rzr < < (2.11) Chứng minh : X(z) = ∑ ∞ −∞=n x(n) z -n dz )z(dX = ∑ ∞ −∞=n x(n)(-n) z -n-1 = -z -1 ∑ ∞ −∞=n n x(n) z -n Vậy -z dz )z(dX = ∑ ∞ −∞=n n x(n) z -n Ví dụ 2.12 : Hãy xacù đònh biến đổi Z của tín hiệu x(n) = n a n u(n) Giải : Ta đã biết rằng : x 1 (n) = a n u(n) ↔ X 1 (z) = 21 )az1( 1 − − với ROC: z > a [...]... d n ' −1 1 (n ' 1)! dz n '−1 z − a d n ' −1  1  n’-1 ( n ' 1)!  = ( -1) n ' −1  dz (z − a ) n '  z−a  mà Vậy giá trò thặng dư tại z = 0 là : lim z →0 → 1 (n ' 1)! ( 1) n ' −1 (-1)n’-1 = =(n ' 1)! (z − a ) n ' ( −a ) n '  1  n’ n   = -a a  Vậy x(n) = (giá trò thặng dư tại z = a + giá trò thặng dư tại z = 0) = an- an=0 Tóm lại : Xử Lý Tín Hiệu Số 62 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống... tính chất này không sử dụng ngay nhưng sau này chúng ta sẽ dùng tới nó khi xử lý việc thiết kế các mạch lọc cơ bản bằng kỹ thuật cửa sổ 2.3.9 Đònh Lý Giá Trò Đầu Nếu x(n) là dãy nhân quả nghóa là x(n) = 0 với n< 0) thì x(0)= lim X(z) z→∞ Chứng minh : Xử Lý Tín Hiệu Số vì x(n) là dãy nhân quả nên ta có 57 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z ∞ X(z) = ∑ x(n) z-n = x(0) + x (1). .. Cho Trong Bảng 2.1 Bảng 2.2 : Một vài cặp biến đổi Z thông dụng Tín hiệu x(n) Xử Lý Tín Hiệu Số Biến đổi Z, X(z) 58 ROC Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z δ(n) 1 Toàn bộ mặt phẳng Z u(n) 1 1 − z −1 z >1 anu(n) 1 1 − az −1 z > a az −1 na u(n) (1 − az ) z> a – anu(–n 1) 1 1 − az −1 z < a n −1 2 az −1 n – na u(–n 1) (1 − az ) −1 2 z < a (cosωon)u(n) 1 − z −1 cos ω o 1 − 2z −1... của biến đổi Z bởi vì nó cho phép chuyển tích chập của 2 tín hiệu trong miền thời gian thành tích của các biến đổi Z của chúng Phương pháp này trong rất nhiều trường hợp sẽ cho phép xác đònh tích chập của 2 tín hiệu một cách dể dàng hơn so với việc sử dụng công thức của tích chập trong miền thời gian Xử Lý Tín Hiệu Số 56 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z 2.3.8 Tích Của Hai... bảng ta có (b) 2 1 − z −1 z → 1 1 − 0,5z −1 z → −1 x1(n) = –2u(–n 1) −1 x2(n) = -(0,5)n u(-n -1) x(n) = x1(n) – x2(n) = [–2 + 0,5n]u[–n–1] Vậy ROC 0,5< z < 1 (c) 2 1 − z −1 z → 1 1 − 0,5z −1 Vậy x1(n) = 2u(n) z → −1 x1(n) = – 2u(–n 1) −1 x2(n) = 0,5n u(n) x(n) = – 2u(–n 1) – 0,5n u(n) Xử Lý Tín Hiệu Số 65 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Ví dụ 2.16 : Hãy xác đònh dãy... công việc này Đònh lý Cauchy, một đònh lý quan trọng trong lý thuyết biến số phức sẽ cho ta có cơ sở để xây dựng công thức của biến đổi Z ngược 2.4.1 Đònh Lý Cauchy Đònh lý này được phát biểu qua công thức : 1 1 n −1 ∫Cz dz =0 2πj  với n = 0 với n ≠ 0 (2.15) Ở đây C là đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng phức Z theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) Xử Lý Tín Hiệu Số 59 Chương... Trong thực tế có 3 phương pháp thường được sử dụng để tính biến đổi Z ngược 2.4.2 Phương Pháp Thặng Dư : Phương pháp tính trực tiếp tích phân bằng cách sử dụng lý thuyết thặng dư Đònh lý thặng dư : Xử Lý Tín Hiệu Số 60 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Giả sử rằng f(z) là hàm của biến số phức z và C là đường cong khép kín trong mặt df (z) phẳng Z Nếu tồn tại ở trên và bên... phương trình cho (z - pk), với k = 1, 2, … , N, suy ra Xử Lý Tín Hiệu Số 63 (2.23) Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z (z − p k )A N (z − p k )X(z) (z − p k )A 1 = + A k + + z z − p1 z − pN (2.24) khi z = pk , hệ số thứ k là Ak = xn(n) (z − p k )X(z) k = 1, 2, , N z = pk z ROC của x(n) sẽ được xác đònh từ ROC chung của các tín hiệu x1(n), x2(n) → Trường hợp X(z) có các cực bội... thức (2.14), ta có : A1 A2 X( z) (z + 1) = + = z (z − p1 )(z − p 2 ) z − p1 z − p 2 ta tính giá trò A1 và A2 A1 = A0 = (z − p1 )X(z) z = p1 z 1 1 + j +1 1 3 z +1 2 2 = = = −j 1 2 1 1 2 z - p 2 z = p1 1 −j − −j 2 2 2 2 ( z − p 2 )X (z) z = p2 z 1 1 − j +1 1 3 z +1 2 2 = = = +j 1 2 1 1 2 z - p1 z = p1 1 −j − −j 2 2 2 2 Xử Lý Tín Hiệu Số 64 Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z... 1 f (z) ∫C g(z) dz = 2πj ∫C 2πj A (z) ∑ (z −i z ) k dz = i =1 i n 1 d k −1A i (z) ∑ (k − 1)! dz k−1 i =1 z = zi n Vậy giá trò thặng dư tại cực zi trong trường hợp này là : 1 d k −1A i (z) z→zi ( k − 1)! dz k −1 lim Với Ai = (z – zi)k Ví dụ 2.14 : Xử Lý Tín Hiệu Số 61 f (z) g (z) (2.18) Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Tìm biến đổi ngược của hàm số sau : X(z) = x(n) = Ta . Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 45 Chương II BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC. tụ. Ví dụ 2.1 : Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Xử Lý Tín Hiệu Số 46 Hãy xác đònh biến đổi z của các tín hiệu với độ dài