Thông tin tài liệu
CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
Copyright 2006 ©
www.diendantoanhoc.net
MỤC LỤC
Năm học 1993 – 1994 3
Năm học 1994 – 1995 6
Năm học 1995 – 1996 8
Năm học 1996 – 1997 11
Năm học 1997 – 1998 13
Năm học 1998 – 1999 16
Năm học 1999 – 2000 19
Năm học 2000 – 2001 22
Năm học 2001 – 2002 25
Năm học 2002 – 2003 28
Năm học 2003 – 2004 31
Năm học 2004 – 2005 34
Năm học 2005 – 2006 37
Năm học 2006 – 2007 40
Năm học 1993 – 1994
Ngày thứ nhất
Bài 1
Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai
số tự nhiên nào đó.
a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2
n
P cũng là các số
“Pitago”.
b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không
phải là các số “Pitago”.
Bài 2
a) Giải phương trình căn thức :
3
4
34943123
x
xx−= − −
b) Chứng minh đẳng thức
44
49 20 6 49 20 6
3
2
++−
=
Bài 3
Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.
Bài 4
Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.
5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
3
Bài 5
Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều
O
A
BC
. Các đường
thẳng
,,
A
OBOCO
cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A
1
,B
1
,C
1
tương ứng. Biết rằng :
11 1 11 1
A
BOCAOBCO CBOBAOAC
SSS SSS++=++
+++ +++O
Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC.
Ngày thứ hai
Bài 1
Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau
A và B, mỗi tập có n phần tử.
Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng :
12 1
}{
nn
A
aa a a
−
<<< <=
và
12
}{
nn
Bbb bb
− 1
<
<< <
=
Hãy chứng minh đẳng thức :
|a
1
-b
1
|+|a
2
-b
2
|+…+|a
n
-b
n
|=n
2
Bài 2
Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì
của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho
các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này.
Bài 3
Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn,
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD
ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM.
Bài 4
Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ,
13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên
bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi
cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
4
Bài 5
Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các
xâu A,B,C ,… như sau :
A=(a
1
,a
2
,…,a
32
)
B=(b
1
,b
2
,…,b
32
)
C=(c
1
,c
2
,…,c
32
)
với a
i
,b
i
,c
i
,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32.
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :
_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui
tắc :
(a
1
,a
2
,…,a
32
)
⇒
(a
k
,a
k+1
,…,a
31
,a
32
,a
1
,a
2
,…,a
k-1
).
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc
A&B
⇒
C, với
1 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= b
1
= 1)
c
1
=
0 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= 0,b
1
= 1)
Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng,
bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
5
Năm học 1994 – 1995
Ngày thứ nhất
Bài 1
Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết :
a) A và C b) B và E c) B và F
d) A và F e) A và D
Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn
toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết.
Bài 2
a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?
Bài 3
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1
chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.
Bài 4
a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
abcd<<<
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d|
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n
số thực.
Bài 5
Cho tam giác ABC
có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I.
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc
.
0
60BAC∠=
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
6
Ngày thứ hai
Bài 1
Giải hệ phương trình
22
22
23
42
xxyy
xxyy
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
13
6
−
+=
+
−=−
Bài 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.
Bài 3
Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m
ta có :
123
,,, 0:aaa≥ .
a
mn
= a
n
+ a
m
.
Bài 4
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn
các tính chất sau :
i) x và y đều có hai chữ số
ii) x = 2y
iii) Một chữ số của
y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x.
Bài 5
Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con.
Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 120
0
.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
7
Năm học 1995 – 1996
Ngày thứ nhất
Bài 1
Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời
“có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông
tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau.
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau.
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”.
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi.
Bài 2
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho
AE CF
B
EDF
=
. Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Bài 3
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số
A
abcd
=
thỏa điều kiện :
i)
2
(2abd b d a=+−)
ii) A
+ 72 là một số chính phương
Bài 4
a) Chứng minh với mọi giá trị thực của
x ta luôn có :
242
36125109xx x x 5
+
++ − +≥
b) Giải phương trình :
242
36125109342
2
x
xxx x+++ − +=−−x
Bài 5
Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa
đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
8
giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh
AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố
định.
Ngày thứ hai
Bài 1
Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng :
1>
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n}
thành một dãy sao cho với mọi
kn
≤
, tổng của k số đầu tiên trong
dãy không chia hết cho n.
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành
một dãy sao cho với mọi
kn
≤
, tổng của k số đầu tiên trong dãy
không chia hết cho n.
Bài 2
Giải và biện luận hệ phương trình sau :
1
2
xyz
m
xy
xyz
yz
xyz
zx
⎧
=
⎪
+
⎪
⎪
=
⎨
+
⎪
⎪
=
⎪
+
⎩
trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực.
Bài 3
Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong
các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức :
1 2 1995
, , ,aa a
2
1 2 1995 1 1995
1
( 2 1995 ) ( )
2
Aa a a a a+++ > ++
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
9
Bài 4
Cho tứ giác lồi ABCD.
a)
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài nhau thì ta luôn có
AB + CD ≤ AD + BC
b)
Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng
tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi.
Bài 5
a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn
có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho :
135 180
A
OB≤∠ ≤
oo
b)
Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh .
Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao
cho:
(5n ≥ )
1
1 180 180AOB
n
⎛⎞
−≤∠≤
⎜⎟
⎝⎠
oo
.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
10
[...]... dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hóa của trường Phổ thông Năng khiếu Trong đó: Không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hóa gấp 5 lần số. .. 5 a) Cho một bảng vuông 4 x 4 Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số) Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0 Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0 b) Ở... tồn tại số tự nhiên n sao cho n − 1 + n + 1 là số hữu tỉ Bài 5 a) Chứng minh với N ≥ 3 , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nm ≥ 3 bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính... tròn một lượt Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó 22 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được những điểm số nào b) Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải Tìm số điểm tối đa, số điểm tối thi u... được Ngày thứ hai Bài 1 a) Cho số nguyên không âm A Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai : P : “A + 51 là số chíng phương” Q : “Chữ số tận cùng của A là 1” R : “A – 38 là số chính phương” b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá trị −3, −4,... và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp 14 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người đã đi Pháp a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp Bài 4 a) b) Chứng minh rằng trong hình thang... dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau 15 Trường Phổ thông Năng khiếu. .. và 2000a là số chính phương b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1) không là bội của 9, b là bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương Bài 2 Cho x, y là các số thực sao cho x + a) Chứng minh x 2 y 2 + 1 1 và y + đều là các số nguyên y x 1 là số nguyên x y2 2 b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho x n y n + 1 là số xn yn nguyên Bài 3 a) Cho a, b là các số dương thỏa... 1, hãy tính BI, CI b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I Bài 5 Một giải bóng đá có n đội tham dự Các đội thi đấu vòng tròn một lượt Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó 16 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm,... giác OMN Bài 5 28 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho |2x + a| = |bx + 5| với mọi số thực x b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện : |ax + b| + |cx + d| = |ex + f| với mọi số thực x Biết a, c và e khác 0, chứng minh rằng ad = bc Ngày thứ hai Bài 1 Cho phương trình x − x + 1 = m (1) trong đó m là tham số a) Giải phương trình . sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của
mỗi cột là một số chính phương.
3nm ≥
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
12
Năm. Cho phép xóa hai số bất kỳ
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên
Ngày đăng: 26/01/2014, 17:20
Xem thêm: Tài liệu Một số đề thi vào Phổ Thông Năng Khiếu tham khảo doc, Tài liệu Một số đề thi vào Phổ Thông Năng Khiếu tham khảo doc