158 E. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng cơ bản: . A0 AB AB ≥ ⎧ <⇔ ⎨ < ⎩ . 2 A0 AB B0 AB ⎧ ≥ ⎪ <⇔> ⎨ ⎪ < ⎩ . 2 B0 A0 AB B0 AB ≥ ⎧ ≥ ⎧ ⎪ >⇔ ∨ ⎨⎨ < > ⎪ ⎩ ⎩ . 33 ABAB<⇔< 2. Các dạng khác: Đặt điều kiện, nâng cả 2 vế lên luỹ thừa tương ứng để khử căn. lưu ý điều kiện khi lũy thừa bậc chẵn. . Đặt ẩn phụ. . Cần nhớ: + Nếu a0≥ và b0≥ , ta có: 22 ab a b>⇔ > + Với mọi a,b R∈ , ta có: 33 ab a b>⇔ > II. CÁC VÍ DỤ. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 22 2 x3x2 x4x33x5x4−++ −+≥ −+ (ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997). Giải Điều kiện 2 2 2 x3x20 x1 x2 x 4x30 x1 x3 x4 x4 (1) x1 x4 x5x40 ⎧ −+≥ ≤∨≥ ⎧ ⎪ ⎪⎪ −+≥⇔≤∨≥⇔≤∨≥ ⎨⎨ ⎪⎪ ≤∨≥ −+≥ ⎩ ⎪ ⎩ *x 4 :≥ Ta có: 22 2 x3x2 x4x32x5x4 (2)−++ −+≥ −+ 159 (x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 2 (x 1)(x 4) (*)⇔−−+−−≥ −− x2 x32x4 (3)⇔−+−≥ − (chia 2 vế cho x1 0 − > ) vì x4 x2x40 x2 x4 x2 x32x4 x 3 x 4 0 x 3 x 4 ⎫ ≥⇒−>−≥⇔ −> − ⎪ ⇒−+−> − ⎬ −>−≥⇔ −> − ⎪ ⎭ x4⇒≥ là nghiệm của (3) x 4⇒≥là nghiệm của (2). * x = 1: (2) thỏa. * x < 1: (*) 2x 3x24x⇔−+−≥ − (4) (chia 2 vế (*) cho 1x 0 − > ) Với x 1 < ⇒ 02x4x 2x 4x 2x 3x24x 03x4x 3x 4x ⎫ <−<−⇒ −< − ⎪ ⇒−+−< − ⎬ <−<−⇒ − < − ⎪ ⎭ ⇒ (4) không thỏa ⇒ (2) không thỏa. Tóm lại, nghiệm của bất phương trình cho là: x 4 x 1 ≥∨= Ví dụ 2: Tìm a để bất phương trình : xx1a − −> có nghiệm với a là tham số dương. (ĐH Y DƯC TPHCM năm 1996). Giải xx1a − −> Điều kiện x0 x1 x10 ≥ ⎧ ⇔ ≥ ⎨ −≥ ⎩ Đặt yxx1 = −− 11 y' 0, x 1 2x 2x1 ⇒= − < ∀> − BBT: Vì xx x 1 lim y lim ( x x 1) lim 0 xx1 →+∞ →+∞ →+∞ =−−= = +− 160 Dựa vào BBT để bất phương trình: xx1a−−> có nghiệm 0a1⇔<< Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 22 (x 3) x 4 x 9−+≤− ↑(ĐH DÂN LẬP VĂN LANG năm 1997). Giải Ta có: 22 (x 3) x 4 x 9−+≤− 2 (x 3) x 4 (x 3)(x 3) (1)⇔− +≤− + TH 1: 2 x30 x3:(1) x 4 x3−≥⇔ ≥ ⇔ + ≤+ 22 x4x6x9⇔+≤++ 5 x 6 ⇔≥− (2) Kết hợp với x 3≥ ta được: x 3≥ TH 2: x 3 0 x 3 (3)−≤⇔ ≤ 2 (1) x 4 x 3 (4)⇔+≥+ . Nếu x 3 0 x 3+≤⇔≤− thì (4) thỏa x 3∀≤− (5) . Nếu x30 x 3+≥⇔≥− thì (4) 22 5 x4x6x9x 6 ⇔+≥++⇔≤− (6) 5 3x 6 ⇒− ≤ ≤− (7) (5) và (6) 5 x 6 ⇒≤− Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là: 5 xx3 6 ≤− ∨ ≥ Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x3 x1 x2−− −< − (1) (Trường TH Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997). Giải Điều kiện x30 x10 x3 x20 −≥ ⎧ ⎪ −≥ ⇔ ≥ ⎨ ⎪ −≥ ⎩ (1) x 3 x 1 x 2⇔−<−+− 161 x3x1x22(x1)(x2) x 2 (x 1)(x 2) (2) ⇔ −<−+−+ − − ⇔− < − − (2) thỏa với x3≥ Vậy nghiệm bất phương trình là x 3≥ . Ví dụ 5: Cho bất phương trình: 22 2 (x 1) m x x 2 4 + +≤ ++ 1. Giải bất phương trình trên khi m = 3 2. Xác đònh tham số m để bất phương trình đã cho được thỏa với mọi x trên đoạn [ ] 0,1 . (ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997 đợt 3, Khối A). Giải 1. 22 2 (x 1) m x x 2 4 + +≤ ++ (*) Với m = 3: 22 2 (*) (x 1) 3 x x 2 4⇔++≤ ++ 42 2 x2xxx2 ⇔ +≤ + (**) . x < 0: (**) không thỏa ⇒ bất phương trình VN. . x = 0: (**) thỏa. . x > 0: (**) 22 x(x 2) x 2⇔+≤+ 22 2 2 22 x(x 2) x 2 x(x 2) 1 ⇔ +≤+⇔ +≤ 42 2 x2x100x 21 ⇔ +−≤⇔≤≤− 0x 21 ⇔ ≤≤ − Vậy nghiệm : 0x 21 ≤ ≤− 2. Xác đònh m để bất phương trình cho thỏa [ ] x0,1∀∈ 22 2 (*) m (x 1) x x 2 4 ⇔ ≤− + + + + 42 2 22 2 mx2xxx23 mx(x2)xx23 (**) ⇔≤−− + ++ ⇔≤− ++ ++ Đặt 2 txx 2 = + với 0x1 0t 3≤≤⇒≤≤ 2 (**) m t t 3 ⇔ ≤− + + (***) Đặt 2 f(t) t t 3,=− + + t0,3 ⎡ ⎤ ∈ ⎣ ⎦ ; f '(t) 2t 1,⇒=−+ 1 f'(t) 0 t 2 = ⇔= 162 BBT: (*) đúng [ ] x0,1∀∈ thì (****) đúng t0,3 ⎡⎤ ∀∈ ⎣⎦ m3⇔≤ . III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 4.1. Cho bất phương trình: mx x 3 m 1−−≤+ 1. Giải bất phương trình với m = 1 2. Với giá trò nào của m thì bất phương trình có nghiệm. (ĐH HÙNG VƯƠNG KHỐI A năm 1999). 4.2. Giải bất phương trình: 22 x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−< (ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1999 Đợt 1 Khối D). 4.3. Đònh m để bất phương trình: 2 2x 1 m x+< −có nghiệm (1) 4.4. Đònh m để bất phương trình: 2 4(4 x)(2 x) x 2x m 18−−+≤−+− nghiệm đúng với mọi [ ] x2,4∈− . 4.5. Giải bất phương trình: x2 3x 52x+− −< − (ĐH THỦY LI năm 2001). 4.6. Giải bất phương trình: 22 112 xx x xx ++−≥ (ĐH AN GIANG - KHỐI A năm 2001). 4.7. Giải bất phương trình: x3 2x8 7x+≥ −+ − (ĐH Ngoại Thương Khối A năm 2001) 163 HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 4.1. 1. mx x 3 m 1 (1)−−≤+ Với m = 1: (1) x x 3 2⇔− −≤ 2 x2 x3 x5x70 VN x3 x3 ⎧ ⎧ −≤ − −+≤ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ≥ ≥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2. (1) mx m 1 x 3 ⇔ −−≤ − Đặt yf(x)mxm1 = =−− là đường thẳng ( ) ∆ quay quanh điểm I (1, -1). Vẽ đồ thò hàm yx3 = − x3 y0 = ⇒= x4 y1 = ⇒= x7 y2 = ⇒= ⇒ đồ thò (C) của yx3 = − như hình vẽ. Khi đường thẳng () ∆ : y = mx - m - 1 tiếp xúc với đồ thò (C) phương trình hoành độ giao điểm của ( ) ∆ và (C). 2 x3 mx m 1 x 3 (mx m 1) x 3 ≥ ⎧ ⎪ −−= −⇔ ⎨ − −=− ⎪ ⎩ 22 2 2 x3 m x (2m 2m 1)x m 2m 4 0 ≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −+++++= ⎪ ⎩ 2222 2 (2m2m1)4m(m2m4) 8m 4m 1 ∆ =++− ++ =−− Khi( ) ∆ tiếp xúc với (C) 13 0m (m0) 4 + ⇔ ∆= ⇔ = > ⇒ hệ số góc của 1 () ∆ tiếp xúc với (C) là 13 m 4 + = . 164 ⇒ Bất phương trình có nghiệm khi 13 m 4 + < . 4.2. 22 x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−< (1) Điều kiện 2 x4x00x4−+ ≥⇔≤≤ Đặt 2 tx4x=− + (t 0)≥ . (1) 32 32 tt42tt20⇔− − + < ⇔ + − > 2 x4x1023x2 3⇔−+<⇔− <<+ 4.3. 2 2x 1 m x (1)+< − Đặt 2 f(x) 2x 1 x,=++ xR,∈ 2 22 2x 2x 2x 1 f'(x) 1 2x 1 2x 1 + + =+= ++ 2 f(x) 0 2x 1 2x=⇔ +=− 22 x0 2x 0 2 2x 1 4x x 2 ≤ ⎧ −≥ ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ += =− ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 22 f 22 ⎛⎞ ⇒− = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 xx x lim f(x) lim ( 2x 1 x) lim ( 2 x x) →∞ →∞ →∞ =++=+ xx lim f(x) lim ( 2 1)x →+∞ →+∞ =+=+∞ xx lim f(x) lim (1 2)x →−∞ →−∞ =−=+∞ BBT: 165 ⇒ Phương trình có nghiệm 2 m 2 ⇔> . 4.4. Đặt 2 t(4x)(2x) x2x8=− +=−++ ' x 2 x1 t x2x8 −+ = − ++ , ' x t0x1 = ⇔= BBT: Phương trình cho 2 f(t) t 4t 10 m ⇔ =−+≤ f'(t) 2t 4, = − f'(t) 0 t 2 = ⇔= (với [ ] t0,3∈ BBT: mmaxf(t)10 ⇒≥ = 4.5. x2 3x 52x+− −< − (1) Điều kiện 5 2x 2 −≤ ≤ (1) x2 52x 3x x252x3x2(52x)(3x) ⇔ +< − + −⇔+<− +−+ − − 2 2x 3 2x 11x 15 ⇔ −< − + (*) Ta nhận thấy bất đẳng thức đúng với 3 x2, 2 ⎡ ⎤ ∀∈− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ với 35 x: 22 ≤≤ Hai vế của (*) đều không âm, nên bình phương 2 vế: 166 22 4x 12x 9 2x 11x 15−+<−+ 2 3 2x x 6 0 x 2 2 ⇔−−<⇔−<< Vậy bất đẳng thức cho 3 2x 2 35 2x2 x 22 3 x2 2 ⎡ −≤ < ⎢ ⎢ ⎧ ⎢ ⇔⇔−≤≤ ≤≤ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ ⎪ −<< ⎢ ⎪ ⎩ ⎣ 4.6. Điều kiện 3 22 1x1 x0 0x1 xx − −≥⇔ ≥⇔≥ Bất đẳng thức 33 x1 x12⇔++−≥ 33 6 6 3 x1x12x14 x12x⇔++−+ −≥⇔ −≥− (*) Bất đẳng thức (*) đúng 3 x2∀≥ (1) với 3 1x 2≤< thì (*) 636 x144xx⇔−≥− + 3 33 55 xx2 44 ⇔≥ ⇒ ≤< (2) (1) và (2) 3 5 x 4 ⇒≥ 4.7. x3 2x8 7x+≥ −+ − (1) Điều kiện 4x7≤≤ (*) 2 (1) x 3 ( 2x 8 7 x )⇔+≥ −+ − 2 x3x12(2x8)(7x) 2(2x8)(7x) 4(2x8)(7x) x11x300 x5x6 (**) ⇔+≥−+ − − ⇔≥ − − ⇔≥ − − ⇔− +≥⇔≤∨≥ (*) và (**) 4 x 5 6 x 7⇒≤≤∨≤≤ . với x3≥ Vậy nghiệm bất phương trình là x 3≥ . Ví dụ 5: Cho bất phương trình: 22 2 (x 1) m x x 2 4 + +≤ ++ 1. Giải bất phương trình trên khi m = 3. ĐỀ NGHỊ. 4.1. Cho bất phương trình: mx x 3 m 1−−≤+ 1. Giải bất phương trình với m = 1 2. Với giá trò nào của m thì bất phương trình có nghiệm. (ĐH