Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê Phần I: Xác Suất Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất. A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. 0≤P(A)≤1 – Với P(A) là xác suất xảy ra của 1 biến cố ngẫu nhiên A. 2. Định nghĩa cổ điển: P(A) = M A /n – Với M A là kết cục thuận lợi cho biến cố A và n là số kết cục đồng khả năng của phép thử xuất hiện biến cố đó. 3. Định nghĩa thống kê: P(A) = f(A) 4. Biến cố xung khắc: là những biến cố không thể cùng xảy ra khi thực hiện phép thử. VD: A = A 1 + A 2 + . . . + A n , A xảy ra khi 1 trong n biến cố A i xảy ra. 5. Biến cố độc lập: là những biến cố mà khi xảy ra nó không tác động đến xác suất của biến cố khác trong phép thử. VD: A = A 1. A 2 … A n , A xảy ra khi cả n biến cố A i xảy ra. 6. Mở rộng: + A.A -1 = V ( biến cố chắc chắn) + A.A = A + A.B = A ( A là trường hợp riêng của B) 7. Định Lý (+) và (x) xác suất + P (∑Ai) = ∑P(Ai) (i= 1,n) – với A i là các biến cố xung khắc + P (πA i ) = πP(A i ) (i = 1,n) – với A i là các biến cố độc lập + P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – với A, B là các biến cố phụ thuộc nhau. + P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – với A, B là các biến cố không xung khắc. • Mở rộng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C) + P(A/B) = 1 – P(A -1 /B) 8. Công Thức Xác Suất Đầy Đủ: Nếu BC A phụ thuộc vào 1 nhóm đầy đủ các biến cố H = ( H 1 ,H 2 ,…,H n ) thì P(A) = ∑P(H i) .P(A/H i ) – (i= 1,n) • Mở rộng: Công thức Bayes: P(H k /A) = P(H k .A)/P(A)=P(H k ).P(A/H k )/ ∑P(H i) .P(A/H i ) B. Bài Toán Cơ Bản I. Định nghĩa Cổ Điển 1. Bài Toán Cái Thùng : Lưu ý từ “và” = “x” và từ “hoặc” = “+”. + Công thức cơ bản: từ thùng T gồm T (m trắng, n đỏ) lấy ra X quả  n = C x m+n = (n+m)!/x!.(n+m-x)! & MA tương tự, chú ý đến biến cố cần tìm để tính chính xác n và MA. + Dạng ít nhất 1: áp dụng công thức P(A) = 1 – P(A -1 ) với A -1 là biến cố đối lập biến cố A ( ko thể xảy ra cùng trong 1 phép thử) 2. Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b quầy. + n =( C 1 b ) a = b a + Tính M A tương tự và phụ thuộc vào đề bài. 3. Bài Toán Xếp Chữ hay Xếp Chỗ: + n= số chữ hay số người = n! + Tính M A tương tự như n. Lưu Ý: Trong các bài toán của định nghĩa cổ điển, đặc biệt lưu ý khi xét biến cố chính xong cần xem xét các khả năng xảy ra đồng thời của các phần tử cấu thành biến cố đó. II. Bài Toán với định lý (+) và (x) cùng với XS có điều kiện: chú ý sử dụng linh hoạt các công thức, đặc biệt các công thức có điều kiện và biến cố đối lập. 1. Bài Toán Van Nồi, Công ty KD cùng ngành và Thả Bom: (+) và (x) 2. Bài Toán Bia Đạn, Bộ phận trong cùng máy, thi Đại Học, xạ thủ: XS có điều kiện và BC đối lập. III. Bài toán với công thức XS Đầy Đủ và Bayes: 1. Bài Toán Cái Thùng: ưu tiên đặt giả thiết là quả lấy ra của thùng nào. 2. Bài toán % sản phẩm: vì số lượng nhiều nên xác suất các lần lấy là như nhau, cũng ưu tiên giả thiết SP của máy nào. Chương II: Biến Ngẫu Nhiên và các Quy Luật Phân Bố XS. A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. Biến ngẫu nhiên là biến có quy luật phân bố, ứng với mỗi giá trị ngẫu nhiên, có một xác suất tương ứng. 2. Hàm Phân Bố XS: F(X) = P(X<x) – x ϵ (-∞, +∞) & 0≤F(X)≤1 + P (x 1 <X<x 2 ) = F(x 2 ) – F(x 1 ) + F(+∞)=1; F(-∞)=0 3. Hàm mật độ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 & + P (x 1 <X<x 2 ) = F(x 2 ) – F(x 1 ) = 4. Kỳ Vọng Toán( giá trị Tb lý thuyết) và Phương Sai (độ biến động – với cổ phiếu là độ rủi ro còn với còn lại là độ ổn định,đồng đều . . .): + EX = ∑ x i P i – X rời rạc với các giá trị x i tương ứng có XS P i , i=1,n . + EX = . – X liên tục. + V(X) = ∑(x i – EX) 2 .Pi – X rời rạc với các giá trị x i tương ứng có XS P i , i=1,n . + V(X) = - X liên tục. 5. Các tính chất của EX và V(X). + EC=C & V(C) = 0. + E(CX)=CEX & V(CX) = C 2 V(X). +E(X±Y)= EX ± EY. + Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y). + V(X) = E(X 2 ) – (EX) 2 .  - X rời rạc: V(X) = ∑ (x i ) 2 Pi – (EX) 2 - X liên tục: V(X) = - (EX) 2 6. Quy luật nhị thức : Bi(n,p) - A có P(A) = p không đổi - Thực hiện n phép thử độc lập đối với A => X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) = np(1-p) - X =( Số lần xẩy ra A trong n phép thử nói trên ) + Công thức tính xác suất : P( k 1 < X < k 2 ) = ∑ = − − 2 1 1 k ki inii n )p(pC i = 1,2, , n. + Xác định số có khả năng xẩy ra lớn nhất :np + p -1 ≤ k ≤ np + p 7. Quy luật phân bố chuẩn : N(µ , σ 2 ) - P( a < X < b ) = )()( 00 σ µ σ µ − Φ− − Φ ab - P( | X - EX | < ε ) =       Φ σ ε 0 2 - P( | X - µ | < 3 σ ) = 2 Φ o (3) = 0,9974 ; P( | X - µ | < 2 σ ) = 2 Φ o (2) = 0,9544 • Mở rộng: Φ o (+∞) = 0.5; Φ o (-u) = - Φ o (u)  Φ o (-∞) = -0.5;u 1-a = -u a . B. Bài Toán Cơ Bản I. Phần Biến Ngẫu Nhiên. 1. Bài áp dụng CT: chú ý các khoảng giá trị và tính toán. 2. Bài toán lợi nhuận: viết quy luật phân bố rồi tính toán. II. Các Quy Luật Phân Bố XS: 1. Bài toán quy luật nhị thức B(n,p): n luôn lớn, áp dụng công thức để tính. 2. Bài toán quy luật chuẩn: nhớ kỹ công thức vạn năng. • Chú ý: ở quy luật chuẩn hàm Laplace chính là Φ 0 (u x ) = P(0<u<u x ) và là hàm phân bố XS nên ta có: P(u 1 <u<u 2 ) = Φ 0 (u 2 ) - Φ 0 (u 1 ) • Ứng dụng tìm các chỉ số liên quan: - Quy Luật Chuẩn X ~ N(µ , σ 2 ): vì u x là điểm mà tại đó P(u>u x ) = x nên nếu cho P(u<u x )=a  P(u>u x ) = 1 – a  Φ 0 (u x ) = 0.5 – (1-a) & u 1-a =u x . - Quy Luật 2(n) : vì là điểm mà tại đó P( 2 > 2(n) ) = nên nếu cho P( 2 < b) = a  P( 2 > b) = 1-a  1-a 2(n) = b - Quy luật T – Student: vì là điểm mà tại đó P(T> t (n) ) = nên nếu cho P(T< b) = a  P(T> b) = 1- a  t 1-a (n) =b ( chú ý nếu n>30 ta chấp nhận t a (n) =U a – Pbố chuẩn & t a (n) = -t 1-a (n) .) - Quy luật Fisher: vì là điểm mà tại đó P(F> f (n1,n2) ) = nên nếu cho P(F< b) = a  P(F>b) = 1-a  f 1-a (n1,n2) = b. (chú ý: f 1-a (n1,n2) = 1/f a (n1,n2) ). Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. NÕu X ~ N (µ , σ 2 )  X ~         n N 2 , σ µ → + P( a < X < b ) =       − Φ−       − Φ n a n b σ µ σ µ 00 + P( | X - µ | < ε) = 2       Φ n σ ε 0 2 . MÉu lÊy ra tõ ph©n bè kh«ng-mét - X ~ A(p) vµ víi n ®ñ lín (n ≥ 100) + n m f = ~       − n pp pN )1( , ⇒ P( a < f < b ) =         − − Φ−         − − Φ n pp pa n pp pb )1()1( 00 + ( ) ε <− pfP = 2         − Φ n pp )1( 0 ε B. Bài Toán Cơ Bản I. Phần Quy Luật Chuẩn. 1. Bài áp dụng CT: chú ý biến đổi từ chuẩn sang 2(n) 2. Áp dụng triệt để các công thức về XS biến đối lập và tính chất của quy luật chuẩn, đặc biệt lưu ý công thức vạn năng. II. Phần quy luật A(p) – tỷ lệ : chú ý đặc biệt bài toán bắt cá khi áp dụng trong cả các bài tổng hợp bao giờ cũng cho XS tính trước để làm bài. Chương IV: Ước Lượng A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. X ~ N(µ,σ 2 ) : + Ước lượng tham số µ : Trường hợp σ 2 đã biết Trường hợp σ 2 chưa biết         +<<− ) 2/2/ n uX n uX σ µ σ αα Khoảng tin cậy tối đa : n uX σ µ α +≤ Khoảng tin cậy tối thiểu : n uX σ µ α −≥ ( ) ( )         +<<− −− n S tX n S tX nn 1 2/ 1 2/ αα µ Khoảng tin cậy tối đa : ( ) n S tX n 1− +≤ α µ Khoảng tin cậy tối thiểu : ( ) n S tX n 1− −≥ α µ Xác định kích thước mẫu n để cho I N ≤ I o : 2 0 22 2/ 4 I u N σ α ≥ Xác định kích thước mẫu lấy thêm m để cho I n+m ≤ I o : 2 0 22)1( 2/ )(4 I st mn n− ≥+ α +ước lượng tham số σ 2 : Trường hợp µ chưa biết         − − << − − − )1( )1( )1( )1( 2 2/1 2 2 2 2/ 2 n Sn n Sn αα χ σ χ Khoảng tin cậy tối đa : )1( )1( 2 1 2 2 − − ≤ − n Sn α χ σ Khoảng tin cậy tối thiểu : )1( )1( 2 2 2 − − ≥ n Sn α χ σ 2. X ~ A(p) : Đặt p = P(A)         − +<< − − n ff ufp n ff uf )1()1( 22 αα Khoảng tin cậy tối đa : n ff ufp )1( − +≤ α Khoảng tin cậy tối thiểu : n ff ufp )1( − −≥ α Xác định cỡ mẫu N : IN ≤ I0 → N ≥ 2 0 2 2/ /)1(4 Iffu − α B. Bài Toán Cơ Bản: cũng có bài toán bắt cá trong 1 mẫu xác định nào đó  tìm khoảng tin cậy tối thiểu hoặc tối đa rồi làm. Chương IV: Kiểm định A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: H 0 : luôn là dấu “=” H 1 : luôn là dấu bất đẳng thức hoặc khác, phải dựa vào câu hỏi của bài làm để đặt dấu. I. Kiểm định tham số: II. Kiểm định giả thiết về tham số µ : X ~ N(µ , σ 2 ) Giả thiết Miền bác bỏ khi σ 2 đã biết Giả thiết Miền bác bỏ khi σ 2 chưa biết H 0 : ( µ=µ o ) H 1 : (µ<µ o )           −< − == αα σ µ uun x uW ; 0 H 0 : (µ =µ o ) H 1 : (µ <µ o )       < − == − )1( 0 - t; n tn s x tW αα µ H 1 : (µ>µ o ) W α = { u = . . . ; u > u α } H 1 : (µ >µ o ) W α = { t = . . . ; t > )1( −n t α } H 1 : (µ ≠µ o ) W α = { u = . . . ; |u| > u α /2 } H 1 : (µ ≠µ o ) W α = { t =. . . ; |t| > )1( 2/ −n t α } III. So sánh hai tham số µ1 , µ2 : X1 ~ N(µ1 , σ12) – X2 ~ N(µ2 , σ22) Giả thiết Miền bác bỏ khi σ2 đã biết Giả thiết Miền bác bỏ khi σ2 chưa biết H0 :( µ1=µ2 ) H1 : (µ1<µ2 ) u - u ; // 2 2 21 2 1 21           < + − == αα σσ nn xx uW H0 : ( µ1=µ2 ) H1 : (µ1<µ2 ) u - u ; // u 2 2 21 2 1 21           < + − == αα nsns xx W H1 :(µ1>µ2) Wα = { u = . . . ; u > uα } H1 : (µ1>µ2 ) Wα = { u = . . . ; u > uα } H1: (µ1≠µ2 ) Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 } H1: (µ1 ≠µ2 ) Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 } IV. Kiểm định giả thiết và so sánh về tham số σ 2 : Giả thiết Miền bác bỏ khi µ chưa biết Giả thiết Miền bác bỏ khi µ 1 , µ 2 chưa biết H 0 : (σ 2 =σ o 2 ) H 1 : (σ 2 <σ o 2 ) 1)-(n ; )1( 2 1 2 2 0 2 2       < − == − αα χχ σ χ sn W H 0 : (σ 1 2 =σ 2 2 ) H 1 : (σ 1 2 <σ 2 2 ) 1)-n1,-(nf F ; F 21-1 2 2 2 1       <== αα s s W H 1 : (σ 2 >σ o 2 ) W α = { χ 2 = . . . ; χ 2 > χ 2 α (n- 1) } H 1 : (σ 1 2 >σ 2 2 ) W α = { F = . . . ; F > f α (n 1 -1,n 2 -1) } H 1 :(σ 2 ≠σ o 2 )       > < − == − 1)-(n 1)-(n ; )1( 2 2/ 2 2 2/1 2 2 0 2 2 α α α χχ χχ σ χ sn W H 1 : (σ 1 2 ≠σ 2 2 ) 1)-n1,-(nf F 1)-n1,-(nf F ; F 212/ 21 2 1 2 2 2 1           > < == − α α α s s W V. Kiểm định giả thiết và so sánh tham số p trong phân bố A(p) Giả thiết Miền bác bỏ Giả thiết Miền bác bỏ H 0 :(p=p o ) H 1 :(p<p o )           −< − − == αα uun pp pf uW ; )1( 00 0 H 0 : (p 1 =p 2 ) H 1 : (p 1 <p 2 ) u - u ; )/1/1)(1( u 21 21           < +− − == αα nnff ff W H 1 : (p>p p ) W α = { u = . . . ; u > u α } H 1 : (p 1 >p 2 ) W α = { u = . . . ; u > u α } H 1 :(p≠p o ) W α = { u = . . . ; |u| > u α /2 } H 1 : (p 1 ≠p 2 ) W α = { u = . . . ; |u| >u α /2 } VI. Kiểm Định Phi Tham Số: H 0 : ( Hai chỉ tiêu A và B độc lập với nhau ) H 1 : ( Hai chỉ tiêu A và B phụ thuộc nhau )           −−>         −== ∑ )]1)(1[( ; 1)( 22 2 2 lk nn n nW ji Þ αα χχχ B. Bài Toán Cơ Bản: 1. Chú ý trường hợp trong cùng 1 mẫu hoặc 1 thuộc tính nhưng do 2 nguồn cung cấp thì luôn luôn kiểm định coi 1 tỷ lệ là mặc định đã cho. 2. Chú ý trường hợp chỉ có 2 thuộc tính (giới tính) khi kiểm định thì tỷ lệ luôn = 0.5. . Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê Phần I: Xác Suất Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất. A. Các Định Nghĩa và Công Thức. ( biến cố chắc chắn) + A.A = A + A.B = A ( A là trường hợp riêng của B) 7. Định Lý (+) và (x) xác suất + P (∑Ai) = ∑P(Ai) (i= 1,n) – với A i là các biến