Năm 2002 Ngày thi thứ nhất Câu 1: Cho n là một số nguyên dương. Gọi T là tập hợp tất cả các điểm (x, y) trong mặt phẳng, với x, y là các số nguyên không âm, và x+y < n. Mỗi điểm của T được tô màu đỏ hoặc xanh. Nếu một điểm (x,y) là màu đỏ, thì mọi điểm (x', y') của T cũng là màu đỏ, với x' ≤ x và y' ≤ y. Ta định nghĩa một kiểu tập hợp thứ nhất, gồm n điểm màu xanh, có toạ độ x khác nhau, và một kiểu tập hợp thứ hai gồm n điểm màu xanh có toạ độ y khác nhau. Chứng minh rằng số lượng hai kiểu tập hợp trên là bằng nhau. Câu 2: Gọi BC là đường kính của một đường tròn Γ tâm O. Gọi A là một điểm trên Γ sao cho . Gọi D là điểm giữa của cung AB ( cung không chứa C). Đường thẳng qua O, song song với DA, cắt đường thẳng AC tại J. Đường trung trực của OA cắt Γ tại E và F. Chứng minh rằng J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác CEF. (hình dưới đây được tôi vẽ thêm để minh hoạ) Câu 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên m ≥ 3, n ≥ 3 sao cho tồn tại vô số các số nguyên a để là một số nguyên. Ngày thi thứ hai Câu 4: Cho n là một số nguyên lớn hơn 1, d 1 , d 2 , , d n là các ước số của n sao cho Đặt a) Chứng minh rằng D< n 2 . b) Xác định tất cả các số n sao cho D là một ước của n 2 . Câu 5: Tìm tất cả các hàm số f từ tập hợp các số thực R vào chính nó sao cho với mọi x, y, z, t thuộc R. Câu 6: Cho là các đường tròn bán kính bằng 1 trong mặt phẳng, với n ≥ 3, có tâm tương ứng là . Giả sử rằng trong các đường tròn trên, không có đường tròn nào cắt nhiều hơn hai đường tròn khác. Chứng minh rằng (Hết) Năm 2003 Ngày thi thứ nhất ( Tokyo, 13/07/2003) Câu 1: Cho A là một tập hợp con của tập hợp S= {1,2,3, , 1 000 000} gồm 101 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại 100 phần tử t i (i=1,2, 100) của S sao cho các tập hợp A i = {t i + x | x thuộc A}, i=1,2, 100, là đôi một rời nhau. Câu 2: Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho là một số nguyên dương. Câu 3: Cho một hình lục giác lồi có tính chất sau: Với bất kỳ cặp cạnh đối diện nào, khoảng cách giữa hai trung điểm của chúng đều bằng tổng độ dài hai cạnh đó. Chứng minh rằng tất cả các góc của lục giác đó bằng nhau. Thời gian làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm. Ngày thi thứ hai (Tokyo, 14/07/2003) Câu 4: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q , R lần lượt là chân của các đường vuông góc hạ từ đỉnh D xuống các đường thẳng BC, CA và AB. Chứng minh rằng PQ=QR khi và chỉ khi các đường phân giác của hai góc ABC và ADC gặp nhau trên cạnh AC Câu 5: Cho n là một số nguyên dương và là các số thực thoả mãn a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi là một cấp số cộng Câu 6: Cho p là một số nguyên tố, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố q, sao cho với mọi số nguyên n, không chia hết cho q. Thời gian làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm. Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc năm 1994 Dịch sang tiếng Anh A1. Find all real solutions to: x 3 + 3x - 3 + ln(x 2 - x + 1) = y y 3 + 3y - 3 + ln(y 2 - y + 1) = z z 3 + 3z - 3 + ln(z 2 - z + 1) = x. A2. ABC is a triangle. Reflect each vertex in the opposite side to get the triangle A'B'C'. Find a necessary and sufficient condition on ABC for A'B'C' to be equilateral. A3. Define the sequence x 0 , x 1 , x 2 , by x 0 = a, where 0 < a < 1, x n+1 = 4/π 2 (cos -1 x n + π/2) sin -1 x n . Show that the sequence converges and find its limit. B1. There are n+1 containers arranged in a circle. One container has n stones, the others are empty. A move is to choose two containers A and B, take a stone from A and put it in one of the containers adjacent to B, and to take a stone from B and put it in one of the containers adjacent to A. We can take A = B. For which n is it possible by series of moves to end up with one stone in each container except that which originally held n stones. B2. S is a sphere center O. G and G' are two perpendicular great circles on S. Take A, B, C on G and D on G' such that the altitudes of the tetrahedron ABCD intersect at a point. Find the locus of the intersection. B3. Do there exist polynomials p(x), q(x), r(x) whose coefficients are positive integers such that p(x) = (x 2 - 3x + 3) q(x) and q(x) = (x 2 /20 - x/15 + 1/12) r(x)? Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc năm 1993 Dịch sang tiếng Anh A1. ABCD is a tetrahedron. The three face angles at A sum to 180 o , and the three face angles at B sum to 180 o . Two of the face angles at C, ∠ACD and ∠BCD, sum to 180 o . Find the sum of the areas of the four faces in terms of AC + CB = k and ∠ACB = x. A2. For any positive integer n, let f(n) be the number of positive divisors of n which equal ±1 mod 10, and let g(n) be the number of positive divisors of n which equal ±3 mod 10. Show that f(n) ≥ g(n). A3. Given a > 0, b > 0, c > 0, define the sequences a, b n , c n by a 0 = a, b 0 = b, c 0 = c, a n+1 = a n + 2/(b n + c n ), b n+1 = 2/(c n + a n ), c n+1 = c n + 2/(a n + b n ). Show that a n tends to infinity. B1. Label the squares of a 1991 x 1992 rectangle (m, n) with 1 ≤ m ≤ 1991 and 1 ≤ n ≤ 1992. We wish to color all the squares red. The first move is to color red the squares (m, n), (m+1, n+1), (m+2, n+1) for some m < 1990, n < 1992. Subsequent moves are to color any three (uncolored) squares in the same row, or to color any three (uncolored) squares in the same column. Can we color all the squares in this way? B2. ABCD is a rectangle with center O and angle AOB ≤ 45 o . Rotate the rectangle about O through an angle 0 < x < 360 o . Find x such that the intersection of the old and new rectangles has the smallest possible area. B3. Let p(x) be a polynomial with constant term 1 and every coefficient 0 or 1. Show that p(x) does not have any real roots > (1 - √5)/2. . làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm. Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc năm 1994 Dịch sang tiếng Anh A1. Find all real solutions. 3x + 3) q(x) and q(x) = (x 2 /20 - x/15 + 1/12) r(x)? Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc năm 1993 Dịch sang tiếng Anh A1. ABCD is a tetrahedron.