TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1. Vector {} zyxzyx akajaia,a,aa r rr r ++== {} zyxzyx bkbjbib,b,bb r rrr ++== {} zyxzyx ckcjcic,c,cc r rr r ++== • zzyyxx bababab.a ++= r r • () () () xyyxzxxzyzzy zyx zyx babakbabajbabai bbb aaa kji ba −+−+−==× rrr rrr r r • () b,acosbab.a r r r r r r = • cba r r r =× Phương: ( ) b,ac r r r ⊥ Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn: () b,asinbac r r r r r = • ( ) () ( ) b.a.cc.a.bcba r r r r r r r r r −=×× 2. Toán tử nabla ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =∇ z , y , x 3. Gradient z U k y U j x U iU.gradU ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= r rr 4. Divergence z a y a x a a.adiv z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= rr 5. Rotary ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =×∇= y a x a k x a z a j z a y a i aaa zyx kji aarot x y zx y z zyx rrr rrr rr Số phức Hàm mũ () ysiniycoseee xiyxz +== + Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có 1k2sinik2cose ik2 =π+π= π Suy ra zik2zik2z ee.ee == ππ+ Công thức Euler e iy = cosy +isiny Khi đó số phức z = r e iϕ = r(cosϕ +isinϕ) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21 = + ′ + ′′ (1) Trong đó: a 1 , a 2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a 1 , a 2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0yayay 21 = + ′ + ′′ (2) a 1 , a 2 là các hàm của biến x Định lí 1. Nếu y 1 = y 1 (x) và y 2 = y 2 (x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (trong đó C 1 , C 2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi ( ) () const xy xy 2 1 ≠ , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính Định lí 2. Nếu y 1 (x) và y 2 (x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (trong đó C 1 , C 2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y 1 (x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y 2 (x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y 1 (x) bằng cách đặt y 2 (x) = y 1 (x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21 = + ′ + ′′ (3) Trong đó: a 1 và a 2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất )x(f)x(fyayay 2121 + = + ′ + ′′ (4) Nếu y 1 (x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 121 = + ′ + ′′ (5) và y 2 (x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 221 = + ′ + ′′ (6) thì y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0qyypy = + ′ + ′′ (7) p, q là các hằng số Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng kx ey = (8) Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định Suy ra kx key = ′ , kx2 eky = ′′ (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có () 0qpkke 2kx =++ (10) Vì e kx ≠ 0 nên 0qpkk 2 =++ (11) Nếu k thoả mãn (11) thì y = e kx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k 1 và k 2 như sau - k 1 và k 2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là xk 1 1 ey = , xk 2 2 ey = (12) Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì () conste y y xkk 2 1 21 ≠= − (13) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là xk 2 xk 121 21 eCeCyyy +=+= (14) - k 1 và k 2 là 2 số thực trùng nhau: k 1 = k 2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: xk 1 1 ey = , xk 2 1 xey = Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là ( ) xk 21 xk 2 xk 1 111 exCCxeCeCy +=+= (15) - k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 = α + iβ và k 2 = α - iβ Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là () () xixxi 2 xixxi 1 eeey eeey β−αβ−α • βαβ+α • == == (16) Theo công thức Euler ta có xsinixcose xsinixcose xi xi β−β= β+β= β− β (17) Suy ra () () xsinixcoseeey xsinixcoseeey xxix 2 xxix 1 β−β== β+β== αβ−α • αβα • (18) Nếu • 1 y và • 2 y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm xsine i2 yy y xcose 2 yy y x 21 2 x 21 1 β= + = β= + = α •• α •• (19) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì constxtg y y 2 1 ≠β= (20) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là ( ) xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21 xx 2 x 1 β+β=β+β= ααα (21) . vi phân (7) là ( ) xk 21 xk 2 xk 1 111 exCCxeCeCy +=+= (15 ) - k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 = α + iβ và k 2 = α - iβ Hai nghiệm riêng của. nghiệm riêng (12 ) là độc lập từ trường vì () conste y y xkk 2 1 21 ≠= − (13 ) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là xk 2 xk 12 1 21 eCeCyyy