Giải bài kỳ trớc Bài 1. Chứng minh rằng nếu 5a+4b+6c=0 thì phơng trình f(x)=ax 2 +bx+c=0 có nghiệm. Ta có: 11 (0) ( ) (2) 5 4 6 0 42 fffabc++=++= 0 Do đó phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc [0;2]. Bài 2. Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau thì phơng trình f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 luôn có nghiệm Giả sử a . bc Xét ().()().().().()fb fc b a b c c a c b= Do đó phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc [; ]bc Bài 3. Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thoả mãn:2c+3b+6a=0 thì phơng trình f(x)=ax 2 +bx+c=0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Giải Rõ ràng x=0 không là nghiệm. Chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 , rồi đặt 1 t x = , ta đợc phơng trình: 2 () 0g t ct bt a=++= Ta có (xem ví dụ 7) 11 (0) (1) ( ) 2 3 6 0 42 gg g cba++ =++= Do đó phơng trình g(t) =0 có ít nhất một nghiệm t (0;1) tức là phơng trình f(x)=0 có ít một nghiệm x >1. Bài 4. Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và khác 0 thì phơng trình f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)=0 luôn có nghiệm. Giải tơng tự bài 2. Bài 5. Tìm m để hệ bất phơng trình sau vô nghiệm: 2 22 560(1) 32 2 7120(2 xx xmxmm + + ) Giải (1) 2 3x Đặt 22 () 3 2 2 7 12fx x mx m m= + Hệ bất phơng trình vô nghiệm khi và chỉ chi 2 2 () 0 vô n g hiệm khi 2 x 3 f(x)<0 x [2;3] f(2)=-2m 3 0 (3) 2 15 0 5 2 3 fx m fmm m m +< = + + < < > Bài 6. Tìm m để: 2 () ( 2) 2( 3) 3 0; ( ;1)fx m x m x m x=+ + +> Giải tơng tự ví dụ 5. Đáp số: 1 2 2 m Bài 7.Tìm m để 2 () 2 3 0; [1;1]fx x mx x=++ Giải Ta có: 2 20 24 a m => = Trờng hợp 1. 0 2 6 hoặc m>2 6m < 026 26 () 0 () 0 [1;1] 26 26 thoả mãn. m fx x R fx x m Trờng hợp 2. - x 1 x 2 + + 0 0 + Khi đó f(x) =0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 (x 1 <x 2 ) 12 12 11 () 0 [1;1] 11 0 .(1) 2(5 ) 0 (1) 1 0 26 5 24 52 0 .(1) 2(5 ) 0 (1) 1 0 24 xx fx x xx af m Sm m m af m Sm << < > = = +< < < > =+ = > 6 Kết hợp cả hai trờng hợp ta có đáp số là: 55m Bài 8. Tìm m để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt 43 2 2(61)(156)(61)2xmx mxmx++ ++=0 Đây là phơng trình hồi quy bậc bốn. x=0 không là nghiệm, chia cả hai vế cho x 2 rồi đặt 1 ; với t 2xt x += ứng với mỗi nghiệm có hai nghiệm x phân biệt. Để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt thì phơng trình bậc hai của t phải có cả hai nghiệm 2t 21 2tt Đáp số: 43 0 hoặc 32 mm<< Bài 9.Tìm m để phơng trình : x 2 -2mx+5m-4=0 có duy nhất một nghiệm thuộc [0;1]. Đáp số: 4 1 5 m<< Bài 9 Phơng trình chứa căn thức và Dấu trị tuyệt đối Việc giải một phơng trình hay một bất phơng trình là quá trình biến đổi phơng trình hoặc bất phơng trình đó thành một phơng trình hoặc bất phơng trình tơng đơng đơn giản hơn. Quá trình này thờng phức tạp đối với các phơng trình và bất phơng trình vô tỉ. Một trong những điều cần lu ý nhất đối với phơng trình và bất phơng trình dạng này là tính không thuận nghịch của các phép toán. Vì vậy cần xác định một cách đầy đủ các điều kiện để phơng trình hoặc bất phơng trình nhận đợc tơng đơng với phơng trình hoặc bất phơng trình ban đầu. Gộp các điều kiện đó với phơng trình hoặc bất phơng trình mới, ta đợc một hệ tơng đơng. Khi giải các phơng trình và bất phơng trình vô tỉ cần đặc biệt chú ý đến hai điều sau: 1)Chỉ ra đầy đủ các tập hợp xác định của các hàm số hoặc biểu thức tham gia vào bất phơng trình. 2)Chỉ nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế của một phơng trình hay bất phơng trình khi cả hai vế đều không âm. ở đây ra nhắc lại một số phép biến đổi tơng đơng quan trọng áp dụng cho trờng hợp căn thức. Giải sử k là một số nguyên dơng, khi đó: 1) 2 2 () 0 () () () () k k gx fx gx f xgx = = Chú ý ở đây không cần thiết đặt điều kiện f(x) 0 vì nó là hệ quả của đẳng thức 2 () () k f xgx= 2) 21 21 () () () () k k f xgx fxg x + + == 3) 22 () () () () () 0 kk f xgx fx gx fx = = 4) 21 21 f(x) g (x) ( ) ( ) k k f xgx + + == 5) 2 () 0 () 0 () () () () () () gx gx fx gx f xg fx g x = = = x 6) 22 () () () () [() ()].[() ()] 0 () () f xgx fxgx fxgxfxgx fx gx= =+ == 7) Trong trờng hợp có nhiều dấu trị tuyệt đối: 11 2 2 2 0 n aA aA aA+++= trong đó a i ;A i là các biểu thức chứa x, ta dùng định nghĩa nếu A 0 -A nếu A<0 A A = để khử dấu trị tuyệt đối. A. Một số phơng pháp thông dụng và ví dụ minh hoạ 1. quy tắc giản ớc. Khác với các phơng trình đại số bậc nguyên, khi một nhân tử khác không , ta có thể giản ớc hoặc đặt thừa số chung. Đối với các biểu thức chứa căn, cần đặc biệt lu ý tới điều kiện có nghĩa. Ví dụ 1. Giải phơng trình: .( 1) .( 2) .( 3)xx xx xx+ = + Điều kiện có nghĩa (1)0 2 (2)0 0 (3)0 xx x xx x xx x = 3 Phơng trình đã cho tơng đơng với .1 .2 .xx xx xx+ = +3 1) Rõ ràng x=0 là một nghiệm 2) Xét x 2 khi đó có thể giản ớc cả hai vế của phơng trình cho x , ta có phơng trình tơng đơng: 12xx x+ = +3 Cả hai vế đều không âm, bình phơng hai vế ta đợc: 22 2 22(1)(2) 2( 1)( 2) 6 60 4( 3 2) (6 ) 6 28 3 328 xxxx 3 x xx x x xx x x x + = + = += = = Kết hợp với điều kiện x 2 ta đợc nghiệm của phơng trình 28 3 x = 3) Xét x -3, khi đó phơng trình đã cho có dạng: .1 .2 . 3 x xxxx+ =x chia cả hai vế cho x : 12 3 x xx+ = Trờng hợp này vô nghiệm vì vế trái lớn hơn vế phải. Tóm lại phơng trình đã cho có hai nghiệm là 28 0; 3 xx== 2. Quy tắc thay giá trị. Sử dụng hằng đẳng thức () 333 3(uv u v uvuv+=++ +) 3 Từ biểu thức u+v=a dễ dàng suy ra: 33 3.uv uvaa++ = Tuy nhiên, phép thế giá trị u+v=a này vào biểu thức lập phơng có thể dẫn đến một phép bình phơng và phép biến đổi này không còn là phép biến đổi tơng đơng, do đó có thể có nghiệm ngoại lai. Ví dụ 2. Giải phơng trình: 33 34 3 1xx+= Giải Lập phơng hai vế phơng trình đã cho ta có: 33 3 2 3 2 34 3 ( 34)( 3).[ 34 3] 1 31 102 12 31 1830 0 30 61 xxxxx xx xx x x + + + = += + = = = Thử lại hai nghiệm trên thoả mãn phơng trình Vậy phơng trình có hai nghiệm là: x=30 và x=-61. 3. Quy tắc hữu tỉ hoá Một trong những phơng pháp cơ bản để giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức là chuyển bài toán đã cho về dạng hữu tỉ bằng cách đặt ẩn phụ Ví dụ 3. Giải phơng trình: 2 (1)(4)3 52xx xx++ ++=6 Giải Đặt 2 5 2 điều kiện t 0xx t++= Khi đó phơng trình tơng đơng với: 2 0 4 340 t t tt = = Từ đó 2 7 524 2 x xx x = ++= = Ví dụ 4. Giải phơng trình: 44 51xx+ =2 Giải Điều kiện: 15 x Đặt 4 22 1; 22 2 xy y=+ 2 khi đó 44 4 4 22 ()1;5 4() 22 xy x y=+ + = + Từ đó ta có phơng trình 4 4 44 222 42 22 4( ) 2 22 22 ()()4 22 22 1 [( ) ( ) ] 2( ) 4 22 2 72 26 0 22 yy yy yy y yy y + ++ = + + = + + = +== 2 Vậy phơng trình có nghiệm: 4 4 22 ()1 22 22 () 22 x x =+ += = + + = 5 11 4. Phơng pháp chuyển về hệ ( phơng pháp hữu tỉ hoá gián tiếp) Nhìn chung, các phơng trình vô tỉ đều có thể chuyển đợc về một hệ hữu tỉ. Tuy nhiên, không phải lúc hệ nhận đợc cũng có tính u việt. Thông thờng, phép chuyển về hệ sẽ có hiệu quả khi các phép toán có sử dụng các hằng đẳng thức quen biết. Ví dụ 5. Giải phơng trình 4 1 2 2 xx+= Giải Điều kiện: 0 x 2. Đặt 4 4 2 ;0 2;0 2 xu uv xv = = Khi đó ta có hệ đối xứng loại I. 24 24 1 1(4) 2 2 1 (4) 2( 2 2 u uv v uv = += += += 1) Giải (1): 42 4222 22 2 22 1 22 2 1 (21)( 2 )0 2 1 (1)( )0 2 11 (1)(1) 22 vv v vv v v vv vv vv + += +++ += ++ = +++ + = 0 Vế trái luôn dơng, vậy phơng trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 6. Giải phơng trình 2 55xx++= Giải Đặt 2 5;0xtt tx+= =+5. Khi đó ta có hệ 2 2 2 2 2 5 5 ()( 1)0 5 0 0 121 121 50 2 2 10 1 117 2 40 117 2 xt xt xtxt tx x tx x x xx tx x x xx x += += ++= = = = = = =+ + = += = Ví dụ 7. Giải phơng trình dạng: 2 ax bx c Ax B++= + Đặt Ax B y += + Khi đó ta có hệ: 2 2 () ax bx c y y Ax B ++= + +=+ Trong một số trờng hợp ta có thể chọn và sao cho hệ trên là đối xứng loại II Ví dụ:Giải phơng trình 2 2221 x xx= Điều kiện 1 2 x Đặt 21xy = + . Khi đó ta có hệ: 22 222 22( ) 22 2 ()21 221 xx y xx y yx yyx 2 = + = + += + = Chọn và sao cho hệ trên là đối xứng loại II ; tức là 22 221 1; 1 122 2 === == Vậy ta đặt 21 1 x y= Khi đó ta có hệ đối xứng loại II: 2 2 2 2 22 2 22(1) 1 (;1) 2 22(1) 420 22(1) 22 0 2 xxy xy yyx yx xx xxy xy yx xy x = = = += = = = = = = Đối chiếu với các điều kiện của x và y ta đợc nghiệm duy nhất của phơng trình: 22x =+ 5.Phơng pháp phân tích thành nhân tử. Một trong những nội dung khó nhất của phơng trình và bất phơng trình chứa căn chính là xác định tiêu chuẩn để một biểu thức chứa căn có thể phân tích đợc thành nhân tử. Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng của từng bài toán, có thể xem một bộ phận thích hợp của biểu thức đã cho nh một biến số độc lập và phân tích chúng theo biến phụ đó. Ví dụ 8. Giải phơng trình: 2 41 1 3 21 1 x xx+= + + x (1) Giải Phân tích: Coi 1 x t= nh một biến độc lập. Khi đó phơng trình có dạng: 2 2 41 1 3(1 ) 2 .1 3(21)4(1 1) xtttx txtx += + + + +++ +=0 (2) Cũng nh vậy nếu coi 1 x t+= là ẩn phụ mới thì cũng có một phơng trình tơng tự. Tuy nhiên, sự may mắn để giải đợc phơng trình (2) thờng là ít xảy ra. Đó chính là điểm khó nhất và quan trọng nhất trong phơng pháp đặt ẩn phụ không toàn phần kiểu này: Thông thờng, trớc khi giải cần xét biểu diễn của số hạng 3x dới dạng tổ hợp của hai số : 22 );(1 ):3 (1 ) (1 )xxxx x(1 +=+++ và chọn ; ; thích hợp để tam thức bậc hai theo biến t có biệt thức bằng 0. Giải:Điều kiện -1 x 1 (1) Đặt 1 x t=; Ta có: 3( 2 1)2(1)1 2(1)xx xtx= + + = + + 1 Khi đó phơng trình đã cho có dạng: 2 2 2 41 1 2( 1) 1 2 1 . (2 1 ) 4 1 2(1 ) 0 (3) (2 3 1 ) 3 21 1 21 5 21 1 21 0 xtx txt txtxx x tx xx x txxx x +=+ ++ + + + + + + + = = + =+ =+ = = + = + = Vậy phơng trình có hai nghiệm là 3 0 hoặc x=- 5 x = B.Bài tập tự giải Bài 1. Giải phơng trình 2 54xx x+=+4 Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 12 23 3 4xxx−− − + − = Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 33 3 122xx x−+ − = −3 Bµi 4.Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 333 2x-1 . 16 2x+1x=− Bµi 5.Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 22 33 3 x2-x2xx+++ −+=4 Bµi 6.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2614xx x−−= +5 Bµi 7.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 28xx+= −8 Bµi 8.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 41 x x+= Bµi 9.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 12 1 36xx x++ += Bµi 10.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 3 122 1xx+= − Bµi 11.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 22 (4 1). 1 2 2 1 x xxx−+=++ Bµi 12. (§H B¸ch khoa 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 22 286 12xx x x+++ −=+2 Bµi 13. (§H S− ph¹m hµ néi II 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 (1) (2)2 x xxx−+ + = x Bµi 14. (§H Má 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 22 4234 x xx+−=+ − Bµi 15. (Häc viÖn BCVT 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 41 32 5 x xx + +− − = Bµi 16. (§H Ngo¹i ng÷ HN 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 14 (1)(4)xxxx++ − + + − =5 Bµi 17. (§H Quèc gia Hµ néi 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 22 31(3)xx x x++=+ +1 Bµi 18. (§H S− ph¹m Vinh 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 12 2 12 2 1xxxx−+ − − −− − = . phơng trình : x 2 -2mx+5m-4=0 có duy nhất một nghiệm thuộc [0;1]. Đáp số: 4 1 5 m<< Bài 9 Phơng trình chứa căn thức và Dấu trị tuyệt đối . giải một phơng trình hay một bất phơng trình là quá trình biến đổi phơng trình hoặc bất phơng trình đó thành một phơng trình hoặc bất phơng trình tơng đơng