SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTỈNHPHÚYÊN TrườngTHPTChuyênLươngVănChánh ĐỀTÀIKHOAHỌC: Mộtsốbàitoánlượnggiác hayvàkhó Tổ4 Lớp: Toán2 Niênkhoá:2008 –2011 Tp.TuyHoà,tháng1năm2010 Mụclục: 1  ChươngI:Biếnđổilượnggiác ChươngII: Ứngdụngcủalượnggiáctronghìnhhọc ChươngIII:Phươngtrìnhlượnggiác ChươngIV:Bấtphươngtrìnhlượnggiác ChươngV:Bấtđẳngthứclượnggiác 2 CHNGI: BINILNGGIC Bi1:Cho 2 2 1 2 2 1 tan tan 2 tan tan 2 tan tan 2 2 2 2 2 n n n n a a a a a S a - - = + + + .Tỡm lim n n S đƠ Gii: Tacú 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = - 2 tan 2 tan2 tan 2tanx x x x - = 2 tan tan 2 tan 2 2tanx x x x = - (1) Thayvo(1)ricngvtheov,ta c: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 2 1 1 1 tan tan tan 2tan 2 2 2 tan tan 2 tan 2 tan 2 2 2 2 2 tan tan 2 tan 2 tan 2 2 2 2 2 tan tan 2 tan 2 tan 2 2 2 2 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a - - - - ỡ = - ù ù ù = - ù ù ù + = - ớ ù ù ù ù = - ù ù ợ tan 2 tan 2 n n n a S a = - lim tan lim 2 tan 2 n n n n n a S a đƠ đƠ ổ ử ị = - ỗ ữ ố ứ tan n S a a = - Bi2: Cho 2 cos cos cos 2 2 2 n n x x x P = .Tỡm lim n n P đƠ Gii: T sin 2 sin 2 2sin cos cos 2sin a a a a a a = ị = 2 2 2 3 3 1 sin sin 2 co s , co s 2 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 co s , 2 sin 2 s in 2 co s 2 2 sin 2 n n n x x x x x x x x x x x x - ỡ ù = = ù ù ù ù ù ù = ớ ù ù ù ù ù = ù ù ợ 3 Nhõnvtheovtac: sin 2 sin 2 n n n x P x = ị sin lim lim 2 sin 2 n n n n n x P x đƠ đƠ = sin lim sin 2 2 n n n x x x x đƠ = ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ = sin x x Bi3:Rỳtgnbiuthc: 2 2 2 2 n n A = + + + 14444244443 Gii: Tacúvin=1: 1 2 2cos 4 A p = = Taschngminh: 2cos 2 n n A p = (*) Vin=1,ngthcỳng Gis(*)ỳngtin=k,tcl: 2cos 2 k k A p = Tachngminh(*)ỳngvin=k+1,tcl 1 1 2cos 2 k k A p + + = Thtvy: 1 1 2 2 2 k k A + + = + + 1442443 2 k A = + = 2(cos2 cos 2 k p p + 1 1 4cos( )cos( ) 2 2 k k p p p p + + = + - 1 2cos 2 k p + = (pcm) Vytheonguyờnlớquynp,tacú : 2cos 2 n n A p = 4  Bài4: Chovài(hoặctấtcả)cácsố 1 2 3 , , , , n a a a a bằng+1vàcácsốcònlạicủachúngbằng1. Chứngtỏrằng: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 3  2sin 45 2 2 2 2 2 2 2 n n n a a a a a a aa a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø = + + + + o Chẳnghạnvới 1 2 3 1 n a a a a = = = = = tađược: 1 1 1 1 1 45 2sin(1 )45 2cos 2 2 . 2 2 4 2 2 n n n - - + + + + = = + + o o 1442443 Giải: Tasẽtiếnhànhtừcôngthứcnửagóc: 2sin 2 2cos 2 a a = ± - trongđódấu“+”hoặc”–“đượcchọnchophùhợpvớiquiluậtvề dấucủahàmsin.Sửdụngcôngthứcnàytalầnlượtđịnhđượcsincácgóc: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1  45 ; 45 ; 45 ; ; 45 2 2 2 2 2 2 n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a - æ ö æ ö æ ö + + + + + + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø o o o o Giảsửtađãxácđịnhđượcsingóc: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o trongđó 1 2 3 , , , , n a a a a lấycácgiátrịbằng+1hoặc1bởi vì: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  2 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o = 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  90 45 2 2 2 n n a a a a a a aa a a - é ù æ ö ± ± + + + + ç ÷ ê ú è ø ë û o o trongđódấu“+”tươngứngvớia=1vàdấu”– “ứmgvớia=1 Và 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  cos 90 45 2 2 2 n n a a a a a a aa a a - é ù æ ö ± ± + + + + ç ÷ ê ú è ø ë û o o 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö = - + + + + ç ÷ è ø o Ápdụngcôngthức 2sin 2 2cos 2 a = ± - , tacó: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o 1 2 3 1 2 31 2 1 2 1  2 2sin 45  2 2 2 n n a a a a a a aa a a - æ ö = ± + + + + + ç ÷ è ø o Để ý rằng tất cả các góc được xét đều nhỏ hơn 90 o về mặt giá trị tuyệt đối ( ngay cả 2 1 1 1 1 1 45 90 90 90 2 2 2 2 n n æ ö + + + + = - < ç ÷ è ø o o o o vàvìdấucủacácgócnàyđượcđịnhbởidấucủa 1 a ,nên cănbậchaitrongcôngthứccuốiphảilấydấu“+”hoặc”–“tùytheodấucủa 1 a .Nóicáchkhácta cóthểviết: 5  1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1  2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o 1 2 3 1 2 31 2 1 1 2 1  2 2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a aa a a a - æ ö = + + + + + ç ÷ è ø o Giờtahãydùngcôngthứchiểnnhiên 1 1 2sin 45 2a a = o giúptasuyraliêntiếpcáchệthứcsau: 1 2 1 1 2 2sin 45 2 2 2 a a a a a æ ö + = + ç ÷ è ø o 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 2sin 45 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a æ ö + + = + + ç ÷ è ø o …………………………………………… 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 3  2sin 45 2 2 2 2 2 2 2 n n n a a a a a a aa a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø = + + + + o Bài5:Tìmđiềukiệnđốivớiavàbđểhàmsố: 2 sin cosy x a x b x = + + luônđồngbiến Giải: HàmsốcótậpxácđịnhD R = Cóđạohàm ' 2 cos siny a x b x = + - Trườnghợp1: 0 ' 2 0a b y = = Þ = > x R " Î Điềunàythỏamãnyêucầuđề bài Trườnghợp2: 2 2 0a b + > Tacó: 2 2 2 2 2 2 ' 2 cos sin a b y a b x x a b a b æ ö = + + - ç ÷ + + è ø Với 2 2 2 2 cos sin a a b b a b j j ì = ï + ï í ï = ï + î ( ) 2 2 ' 2 cosy a b x j = + + + vì ( ) 1 cos 1x j - £ + £ nên ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2a b a b x a b j Û - + £ + + + £ + + Đểhàmsốluônđồngbiến: ' 0y Û ³ x R " Î 2 2 2 0a b Û - + ³ 2 2 2a b Û + £ 2 2 4a b Û + £ Kếiluận 2 2 4a b + £ (chúý 2 2 4a b + £ vẫnđúngkhi 0a b = = ) 6  Bài6: Chohàmsố 3 4y x mx = - .Tínhmđể 1y £ khi 1x £ Giải: Thuận:vì 1x £ nêntachọn: * 1 4x y m = Þ = - Theogiả thiết 1y £ 4 1m Þ - £ Þ 1 4 1m - £ - £ Þ3 5m £ £ (1) Theogiảthiết 1 2 1 1 £ - Þ £ m y 31 212 21 £ £ - Þ £ - £ - Þ £ - Þ m m m Kếthợp(1)và(2)suyram=3 Đảo:vớim=3 xxy 34 3 - = Þ Theogiảthiết 1 £x a a  cos: = Î $ Û xR Vậy a a  cos3cos4 3 - =y 13cos 3cos £ = Û = Û a a  y y Kếtluậnm=3 Bài7:Chứngminhrằngnếu )cos()sin( baam = = + trongđo p kba ¹ - và 1 ¹m thìbiểuthức bmam E 2sin1 1 2sin1 1 - + - = khôngphụthuộcvàoavàb Giải: Tacó: )]()sin[(2sin babaa - + + = )sin()cos()(sin )sin()cos()cos()sin( 2 bababam babababa - + + + = - + + - + = )]cos())[sin(sin( )sin()cos()(sin )sin()cos()(cos1 )sin()cos()(sin12sin1 2 2 22 bambaba babamba babamba babambamam + - - - = - + - - = - + - - - = - + - + - = - Þ Tươngtự )]cos())[sin(sin(2sin1 bambababm + + - - = - 1 1 sin( )[sin( ) cos( )] sin( )[sin( ) ( )] 1 1 1 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) E a b a b m a b a b a b mco a b a b a b m a b a b m a b = + - - - + - - + + é ù = + ê ú - - - + - + + ë û 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin( ) sin( ) sin ( ) cos ( ) 2 sin ( ) [1 sin ( )] 2 sin ( ) sin ( ) a b a b a b m a b a b m a b a b m a b m - = - - - + = - - - + = - + + - 2 2 2 2 sin ( ) cos ( )a b a b m = - + - - 2 1 2 m - = (khụngph thucvoav b) Bi8:Chodóys { } n u xỏcnhnhsau: 2,1),1t an(tan = - = nnnu n Chngminhrngtnticỏchngs b a , saochotacú nnuuuS nn b a + = + + = tan 21 2,1 = "n Gii: Theocụngthccngcung,tacú 2,1 = "n 1tan )1tan(tan )1tan(tan )1tan(tan1 )1tan(tan 1tan - - = - ị - + - - = kk kk kk kk Túsuyra: n n n kk kk kkS n k n k n k n - = - ữ ứ ử ỗ ố ổ - - = ỳ ỷ ự ờ ở ộ - - - = - = ồ ồ ồ = = = 1tan tan 1tan )1tan(tan 1 1tan )1tan(tan )1tan(tan 1 1 1 t 1tan 1 = a , 1 - = b khiú 2,1 = "n tacú: nnS n b a + = tan Vybitoỏncchngminhvistnticacỏchngs b a , nhtrờn Bi9:Dóysxỏcnhnhsau: ù ợ ù ớ ỡ - = = + 12 2 1 0 nn xx ax n=0,1,2 Bit 1 <a .Tỡmiukincaacỏcshngcadóytrờnụimtkhỏcnhau. Gii: Vỡ 1 <a nờntacú tht a cos =a vi p a < <0 Khiútacú: a a a a a a 22 2 2 1 0 2cos4cos12cos2 2cos1cos2 cos = = - = = - = = x x x Bngquinpdthy a n n x 2cos = 8 Gistacú mn < m mn xx = tcl a a mn 2cos2cos = zkk mn ẻ + = ị ,222 p a a mn k 22 2 m = ị p a Lshut oligis p a lshut,tcl q p = p a Trongúp,q nguyờndngvnguyờntcựngnhau. Khiútacú: ( ) qq q q p kkkk kk p b p a p b a p a + = + = = 2222 Trongú k b nhnmt trongcỏcgiỏ tr 0,1,2.2q1v N k ẻ a Vỡ a k k x 2cos = suyramimts k x trongdóyvụhn { } 2,1,0, =kx k sbng1phnttrongdóy huhn ỵ ý ỹ ợ ớ ỡ q l p cos vil=1,22q1 iuúcúnghatntin<msaocho x n =x m Vykhi 1 <a ,mishngcadóyụimtkhỏcnhau,iukincnvl p a lsvụtvi cos=a Bi10:Cho V ABCcú = = CBA 24 .Chngminhrng: 5 4 coscoscos 222 = + + CBA Gii: Trchttachngminhngthcsau: ( ) 1 2 1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos = + - p p p Thtvy,nhõnc2vcho 7 2 sin p ,ta c ữ ứ ử ỗ ố ổ + - = ữ ứ ử ỗ ố ổ - + ữ ứ ử ỗ ố ổ - - = = + - 7 4 sin 7 3 sin 7 sin 2 1 7 2 sin 7 4 sin 2 1 7 sin 7 3 sin 2 1 7 sin 2 1 7 sin 2 1 7 sin 7 3 cos 7 sin 7 2 cos 7 sin 7 cos p p p p p p p p p p p p p p p VT Nhng 7 3 7 4 p p p - = ,nờn 7 3 sin 7 4 sin p p = Vy dpcmVP VT ị = = ữ ứ ử ỗ ố ổ + - = 7 sin 2 1 7 4 sin 7 3 sin 7 sin 2 1 p p p p Tgithittacú: 9  7 4 ; 7 2 ; 7 24 p p p p = = = Û ï î ï í ì = = = + + Ù Ù Ù Ù Ù Ù CBA CBA CBA ( ) 2 5 4 coscoscos 222 = + + CBA ( ) 1 2 1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 2 1 7 cos 7 3 cos 7 2 cos 2 1 7 8 cos 7 4 cos 7 2 cos 2 1 2cos2cos2cos 5 4 2 2cos1 2 2cos1 2 2cos1 = + - Û - = - - Û - = + + Û - = + + Û = + + + + + Û p p p p p p p p p  CBA CBA (1)đúng Þ 2đúng Bài11:Chodãysốxácđịnhnhưsau: ( ) ï ï î ï ï í ì = - - - + = = + 3,2; 231 32 3 3 1 1 1 n U U U U n n Tìm 2008 u Giải: Tacó: 32 32 32 6 cos1 6 cos1 12 tan - = + - = + - = p p p  ViếtlạibiểuthứccủaU n+1 dướidạngsau: ( ) 1 12 tan1 12 tan 1 p p  n n n U U U - + = + ĐặtU n =tanβthìtừ(1)suyra ( ) 2 12 tan 1 ÷ ø ö ç è æ + = + p b  n U Vì 2 3 1 =U nêntừ(2)vànguyênlý quynạptadễ dàngsuyra: ( ) ÷ ø ö ç è æ - + = 12 1 6 tan p p  nU n [...]... Trong ABEtheonh lýhms sin,ta cú: Tngt: ư12 ư Thay(3)vo(1) cú: Thay(4)vo(2) cú: Do nờnt(5)v (6)suyra: Trong ABDta cú: Tngt: Túsuyra: (8) T(1)v(2)suyra: pdngnh lýhmscosintrong cỏctamgicasABDv ACEtacú: Tacú: v theo(8)cú (11) Tngttacú: ư13 ư (12) Thay(11),(12)vo(1) cú: ( ) (13) T(9)v(13)cú (14) T(3)(4) v(14)suyra Haysaukhithay Tacú : (15) Thay(7)vo(15)cú: Hay (*) Vy(*)ỳng vliucnchngminh. Bi3:(nhlớhmscosthnhtvitgiỏc)... b +g )(1) 4 4 2 2 TheocụngthcEulervitgiỏc,tacú: 1 2 ( a + b 2 + c 2 + d 2 - e2 - f 2) ( 2) 4 Vi e = AC , f =BD ,thay(2)vo(1): KL2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 - e 2 - f 2 = a 2 + b 2 + 2 ac cos ( b +g )(3) Liỏpdngnhlớhmscos,tacú: e 2 = a 2 + b 2 - 2 abcos b (4) f 2 = c 2 + b 2 -2bc cos g (5) Thay(4)v(5)vo(3),tacú: d 2 = e 2 + f 2 - b 2 + 2accos( b + g ) = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab cos b - 2bc cos g + 2ac cos(... tana b - c Thay(4)vo(3)tacú: = Vy(2)ỳng=>pcm. A b +c tan 2 Cỏch4: à ã = C + MAC = C+ A APB à ã à 2 0 à à -C à à à à B -C 0 ã B - C à 180 - B =C+ = 90 => HAD = 2 2 2 Mtkhỏc: ã ã tan a = tan HAM - HAD ( ) à à ổ ã B - Cử = tanỗ HAM ữ ỗ 2 ữ ố ứ à à B - C ã tan HAM - tan 2 = à - C B à ã 1 +tan HAM tan 2 sin( B - C) HM HC - HB 1 Tacú: tan HAM = = = ( cot C - cot B) = ( 2) AH 2 AH 2 2 sin B sinC Thay(2)vo(1),tacú... Mtkhỏctheonhlớhmssintrong D ABCtacú: BC = 2 R sinA BC = OO1 sin BOC = OO1 sin => 2 R sin A = OO1 cos A A => OO1 = 4 R sin ( 2) 2 2 ư20 ư Thay(2)vo(1)cú: SOO 'O =2 R 2 sin 1 A B - C sin ( 3) 2 2 Licú: O ' O 2 + O ' O12 - OO12 = 2O ' I 2 + 2 2 - OO2 OI 1 = 2 R 2 - 8 R 2 sin 2 A = 2 R 2 ( 2 cos A -1)( 4) 2 Thay(4)vo(3)tac 2 cos A - 1 2 cos A- 1 = B-C B - C 2 ( sin B - sinC) 4 sin cos 2 2 2 ( sin B - sinc) => tan O 'OO = 1... tiI,P,Q,R.DthyrngB,P,Q,Rlmthngimiuho.RừrngIltrungimPQ,vy theohthcNewtonvihngimiuho,tacú: IB 2 = IP. IR 2 IP IR ổ IB ử => ỗ ữ = IA IA ố IA ứ A tan 2 = tan a cotIRA 2 à à ã ã ã B - C( 2) IRA = IBD , IBD = 2 (soletrong) Thay(2)vo(1)tacúpcm. *Chỳý:Vibitptrờnchỳngemara5cỏchchngminhkhỏcnhau.Núichung,mtbitoỏn cúnhiucỏchgiiv5chaphilmtconslnngitadngvictỡmtũi.No,thkhỏm phỏmtconngcỏokhỏcxem,cỏchgiith6anginhngnhtoỏnhctinngnht y!... ư CụngthcEulercchngminh. 2.pdngcụngthc r =4 R sin A B C sin sin vtheogithitsuyra: 2 2 2 r 2 - 1 = => r + R = R 2 4 R 4 => r 2 + 2 Rr + R 2 = 2 2 R => r 2 = R 2 -2 Rr TheocụngthcEulerphn1,tac r 2 =d e2 hayIO=r(pcm) à à Bi6:ChotamgiỏcABCvi B >C GiOltõmngtrũnnitip,O'ltõmngtrũnngoi tip,O1 ltõmngtrũnbngtipgúcAtamgiỏc.Chngminhrng: tan OO 'O = 1 2(sin B - sin C) 2 cos A -1 Gii: Rừrng OBI1 = OCO1 =90 =>BOCO1... DdngthyrngPATMltgiỏcnitip. ã ã =>PJM = PAM =a ã Mtkhỏc PIM = B - C 2 Túsuyra: tan a cot B - C PM MI MI IJ = = (1 ) 2 JM PM MJ IJ Theo h thc lng trong tam giỏc vuụng, ta cú: ỡMI = IC2 IJ ù ớ 2 ùMJ = IJ ợ IJ Vythayvo(1)tac: 2 B - C ổ IC ử 2 2 tan a cot =ỗ ữ = tan IJC = tan a 2 ố JC ứ úlpcm. Cỏch3: A B-C = tan a cot 2 2 A B-C B - C tan tan = tan a tan 2 2 2 B - C tan tana 2 (1 = ) A B +C tan tan 2 2 ngthc... A, c = 2 R3 sinB => abc = 8 R1 R2 R3 sin A sin B sinC => R1 R2 R3 = R 3 (1 ) pdngnhlớhmssintrongtamgiỏcMAB,tacú: MB =2 R3 sina Tngt MC = 2 R sina 1 MA = 2 R sina 2 => MA.MB.MC =8 R1 R2 R3 sin 3a ( 2) Thay(1)vo(2)tacú MA.MB.MC =8 R3 sin3a (pcm) 1 2 5.Tacú S MAC = MC.b sina Theocõu4tacú: MC =2 R1sina v R1 = a absin2a => S = MAC 2sin C 2sinC Lớluntngt: bcsin2 a S = MAB 2 sin A acsin2a S = MBC 2sinB =>... 0 sin (120 + b ) sin ( 60 -b ) Tacú: ộổ 3ử 2 ự sin 3b = 3sin b - 4sin b = 4 sin b ờỗ - sin2 b ỳ ữ ờỗ 2 ữ ỳ ứ ởố ỷ 3 = 4sin b ộsin 2 60 0 - sin2 b ự ở ỷ ( ) ( = 4sin b sin 60 0 + b sin 60 0 -b ) ( 3) Thay(3)vo(2): 0 n = CY = 4d sin a sin b sin ( 60 +b ) 0 Lớluntngt: m = CX = 4d sin a sin b sin ( 60 +a ) TrongtamgiỏcXYZ,ỏpdngnhlớhmscos,tacú: XY 2 = m 2 + n 2 - 2 mncosg = 16 d 2 sin 2 b sin 2 a ộsin 2... ngkớnhngtrũnngoitiptamgiỏcny.Theonhlớhmssintrongtamgiỏcny,tacú: ( ) ( ( ) ( ) 0 FG = e = d sin 60 0 + a => sin 60 + a = 1 ) 0 EG = f = d sin 60 0 + b => sin 60 + b = 1 EF = g = d sin g => sing = 1 e d 1 f d 1 g d1 Vythayvo(4),tacú: e2 + f 2 - 2ef cosg XY 2 = 16d2 sin 2 a sin 2 b d2 1 = 16d 2 sin 2 a sin 2 b g2 = 16d2 sin 2 a sin 2 b sin2 g 2 d 1 => XY =4d sin a sin b sing Dovaitrũnhnhau,tacngcú: YZ = ZX = 4dsin a .  ChươngI:Biếnđổi lượng giác ChươngII: Ứngdụngcủa lượng giác tronghìnhhọc ChươngIII:Phươngtrình lượng giác ChươngIV:Bấtphươngtrình lượng giác ChươngV:Bấtđẳngthức lượng giác 2. SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTỈNHPHÚYÊN TrườngTHPT Chuyên LươngVănChánh ĐỀTÀIKHOAHỌC: Mộtsốbàitoán lượng giác hay vàkhó Tổ4 Lớp: Toán2 Niênkhoá:2008