Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r Võ Thành Văn Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế Νη χϒχ β⁄ν ′ βι÷τ, β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ λ€ µτ β♣τ ↓νγ τηχ µ⁄νη ϖ€ χ νηι•υ νγ δνγ, τυψ νηι∂ν ν ϖ♦ν χ〈ν κηϒ ξα λ⁄ ϖι νηι•υ β⁄ν η∑χ σινη ΤΗΧΣ χνγ νη ΤΗΠΤ. Θυα β€ι ϖι÷τ ν€ψ, τι µυν χνγ χ♣π τη∂µ χηο χϒχ β⁄ν µτ κ τηυ♠τ ≡ σ δνγ ττ Β∆Τ Σχηυρ,  λ€ κ÷τ η〉π ϖι πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ. Τρχ η÷τ, τι ξιν νη↑χ λ⁄ι ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ. 1 Bất đẳng thức Schur ◊νη λ 1 (Β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) ςι µ∑ι σ τηχ κηνγ ∞µ α; β; χ; κ; τα λυν χ α κ (α β)(α  χ) + β κ (β χ)(β  α) + χ κ (χ α)(χ  β)  0: Ηαι τρνγ η〉π θυεν τηυχ 〉χ σ δνγ νηι•υ λ€ κ = 1 ϖ€ κ = 2 α(α β)(α  χ) + β(β χ)(β  α) + χ(χ α)(χ β)  0 (i) α 2 (α β)(α  χ) + β 2 (β χ)(β  α) + χ 2 (χ α)(χ  β)  0 (ii) 2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ ι ϖι µτ σ β€ι β♣τ ↓νγ τηχ τηυƒν νη♣τ ι ξνγ χ χϒχ βι÷ν κηνγ ∞µ τη… τα χ τη≡ ι βι÷ν λ⁄ι νη σαυ °τ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ: ς€ τα τηυ 〉χ µτ σ ↓νγ τηχ σαυ αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α) = πθ  3ρ (α + β)(β + χ)(χ + α) = πθ  ρ αβ(α 2 + β 2 ) + βχ ( β 2 + χ 2 ) + χα(χ 2 + α 2 ) = π 2 θ  2θ 2  πρ (α + β)(α + χ) + (β + χ)(β + α) + (χ + α)(χ + β) = π 2 + θ α 2 + β 2 + χ 2 = π 2  2θ α 3 + β 3 + χ 3 = π 3  3πθ + 3ρ α 4 + β 4 + χ 4 = π 4  4π 2 θ + 2θ 2 + 4πρ α 2 β 2 + β 2 χ 2 + χ 2 α 2 = θ 2  2πρ α 3 β 3 + β 3 χ 3 + χ 3 α 3 = θ 3  3πθρ + 3ρ 2 α 4 β 4 + β 4 χ 4 + χ 4 α 4 = θ 4  4πθ 2 ρ + 2π 2 ρ 2 + 4θρ 2 °τ Λ = π 2 θ 2 + 18πθρ  27ρ 2  4θ 3  4π 3 ρ; κηι  α 2 β + β 2 χ + χ 2 α = πθ  3ρ  π Λ 2 (α β)(β  χ)(χ  α) =  π Λ 1 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Χ τη≡ τη♣ψ νγαψ λ〉ι χη χ⌡α πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ µι ρ€νγ βυχ για χϒχ βι÷ν π; θ; ρ µ€ χϒχ βι÷ν α; β; χ βαν ƒυ κηνγ χ νη π 2  3θ π 3  27ρ θ 2  3πρ πθ  9ρ 2π 3 + 9ρ  7πθ π 2 θ + 3πρ  4θ 2 π 4 + 4θ 2 + 6πρ  5π 2 θ Νηνγ κ÷τ θυ≤ τρ∂ν ∞ψ χη↑χ χη↑ν λ€ χηα ⌡, χϒχ β⁄ν χ τη≡ πηϒτ τρι≡ν τη∂µ νηι•υ ↓νγ τηχ, β♣τ ↓νγ τηχ λι∂ν η≈ για 3 βι÷ν π; θ; ρ. ς€ ι•υ θυαν τρ∑νγ µ€ τι µυν νι ÷ν λ€ τ β♣τ ↓νγ τηχ (ι) ϖ€ (ιι), τα χ ρ  π(4θ  π 2 ) 9 (τ (ι)) ρ  (4θ  π 2 )(π 2  θ) 6π (τ (ιι)) Τυψ νηι∂ν τρονγ µτ σ τρνγ η〉π τη… χ τη≡ χϒχ ⁄ι λ〉νγ 4θ  π 2 χ τη≡ νη♠ν γιϒ τρ◊ ∞µ λ♦ν γιϒ τρ◊ δνγ ν∂ν τα τηνγ σ δνγ ρ  µαξ  0; π(4θ  π 2 ) 4  ρ  µαξ  0; (4θ  π 2 )(π 2  θ) 6π  Χ λ≥ ÷ν ∞ψ χϒχ β⁄ν ′ ηι≡υ 〉χ πηƒν ν€ο ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ. Σαυ ∞ψ λ€ µτ σ ϖ δ µινη η∑α, νηνγ τρχ η÷τ, χϒχ β⁄ν η′ψ τ♠π λ€µ τη ρι ξεµ ϒπ ϒν σαυ 3 Các ví dụ minh họa 3.1 Bất đẳng thức Schur ς δ 1 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ σ (α + β) 3 8αβ(4α + 4β + χ) + σ (β + χ) 3 8βχ(4β + 4χ + α) + σ (χ + α) 3 8χα(4χ + 4α + β)  1: (ς Τη€νη ς↔ν) Λ⊆Ι ΓΙΙ. °τ Π = σ (α + β) 3 8αβ(4α + 4β + χ) + σ (β + χ) 3 8βχ(4β + 4χ + α) + σ (χ + α) 3 8χα(4χ + 4α + β) Θ = 8αβ(4α + 4β + χ) + 8βχ(4β + 4χ + α) + 8χα(4χ + 4α + β) = 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Ηολδερ, τα χ Π 2  Θ  8(α + β + χ) 3 c Võ Thành Văn 2 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Τα χƒν χηνγ µινη 8(α + β + χ) 3  Θ , 8(α + β + χ) 3  32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ , (α + β + χ) 3  4(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 9αβχ (⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ). ς♠ψ τα χ πχµ.  ς δ 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ (α 2 + 2)(β 2 + 2)(χ 2 + 2)  9(αβ + βχ + χα): (ΑΠΜΟ 2004) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Κηαι τρι≡ν β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χƒν χηνγ µινη α 2 β 2 χ 2 + 2(α 2 β 2 + β 2 χ 2 + χ 2 α 2 ) + 4(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 8  9(αβ + βχ + χα) Τα χ α 2 + β 2 + χ 2  αβ + βχ + χα (α 2 β 2 + 1) + (β 2 χ 2 + 1) + (χ 2 α 2 + 1)  2(αβ + βχ + χα) α 2 β 2 χ 2 + 1 + 1  3 3 π α 2 β 2 χ 2  9αβχ α + β + χ  4(αβ + βχ + χα) (α + β + χ) 2 (τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) π δνγ χϒχ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χ (α 2 β 2 χ 2 + 2) + 2(α 2 β 2 + β 2 χ 2 + χ 2 α 2 + 3) + 4(α 2 + β 2 + χ 2 )  2(αβ + βχ + χα) + 4(αβ + βχ + χα) + 3(α 2 + β 2 + χ 2 )  9(αβ + βχ + χα): Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1:  ς δ 3 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ 2(α 2 + β 2 + χ 2 ) + αβχ + 8  5(α + β + χ): (Τρƒν Ναµ ∆νγ) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ 6ς Τ = 12(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 3(2αβχ + 1) + 45  5  2 3(α + β + χ)  12(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 9 3 π α 2 β 2 χ 2 + 45  5  (α + β + χ) 2 + 9  = 7(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 9αβχ 3 π αβχ  10(αβ + βχ + χα)  7(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 27αβχ α + β + χ  10(αβ + βχ + χα) Μ°τ κηϒχ, σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, 9 α + β + χ  4(αβ + βχ + χα)  (α + β + χ) 2 = 2(αβ + βχ + χα)  (α 2 + β 2 + χ 2 ) c Võ Thành Văn 3 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ∆ο  7(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 27 α + β + χ  10(αβ + βχ + χα)  7(α 2 + β 2 + χ 2 ) + 6(αβ + βχ + χα) 3(α 2 + β 2 + χ 2 ) 10(αβ + βχ + χα) = 4(α 2 + β 2 + χ 2  αβ βχ  χα)  0: Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1:  ς δ 4 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ α β 3 + χ 3 + β α 3 + χ 3 + χ α 3 + β 3  18 5(α 2 + β 2 + χ 2 ) αβ  βχ  χα : (Μιχηαελ Ροζενβεργ) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι Ξ χψχ α(α + β + χ) β 3 + χ 3  18(α + β + χ) 5(α 2 + β 2 + χ 2 ) αβ  βχ  χα , Ξ χψχ α 2 β 3 + χ 3 + Ξ χψχ α β 2 + χ 2  βχ  18(α + β + χ) 5(α 2 + β 2 + χ 2 ) αβ  βχ  χα π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ Ξ χψχ α 2 β 3 + χ 3  (α 2 + β 2 + χ 2 ) 2 Π χψχ α 2 (β 3 + χ 3 ) Ξ χψχ α β 2 + χ 2  βχ  (α + β + χ) 2 Π χψχ α(β 2 + χ 2  βχ) Τα χƒν χηνγ µινη (α 2 + β 2 + χ 2 ) 2 Π χψχ α 2 (β 3 + χ 3 ) + (α + β + χ) 2 Π χψχ α(β 2 + χ 2  βχ)  18(α + β + χ) 5(α 2 + β 2 + χ 2 ) αβ  βχ  χα Γι≤ σ α + β + χ = 1 ϖ€ °τ αβ + βχ + χα = θ; αβχ = ρ ) ρ  µαξ ν 0; (4θ1)(1θ) 6 ο . Τα χƒν χηνγ µινη (1 2θ) 2 θ 2  (θ + 2)ρ + 1 θ  6ρ  18 5 11θ Β♣τ ↓νγ τηχ χυι δ≠ δ€νγ χηνγ µινη β←νγ χϒχη ξ″τ 2 τρνγ η〉π 1  4θ ϖ€ 4θ  1. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = β = χ ηο°χ α = β; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ.  ς δ 5 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α 4 + β 4 + χ 4 = 3. Χηνγ µινη ρ←νγ 1 4 αβ + 1 4 βχ + 1 4 χα  1: (Μολδοϖα ΤΣΤ 2005) c Võ Thành Văn 4 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Λ⊆Ι ΓΙΙ. Θυψ νγ µ♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ µινη 49 8(αβ + βχ + χα) + (α + β + χ)αβχ  64 16(αβ + βχ + χα) + 4(α + β + χ)αβχ  α 2 β 2 χ 2 , 16 + 3(α + β + χ)αβχ  α 2 β 2 χ 2 + 8(αβ + βχ + χα) π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ γι≤ τηι÷τ α 4 + β 4 + χ 4 = 3, τα χ (α 3 + β 3 + χ 3 + 3αβχ)(α + β + χ)  [αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α)] (α + β + χ) , 3 + 3αβχ(α + β + χ)  (αβ + βχ) 2 + (βχ + χα) 2 + (χα + αβ) 2 π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ (αβ + βχ) 2 + (βχ + χα) 2 + (χα + αβ) 2 + 12  8(αβ + βχ + χα) ) 15 + 3αβχ(α + β + χ)  8(αβ + βχ + χα) Μ°τ κηϒχ τα λ⁄ι χ 1  α 2 β 2 χ 2 : ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1:  ς δ 6 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν αβ + βχ + χα = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ α 3 + β 3 + χ 3 + 7αβχ  10: (ςασιλε Χιρτοαϕε) π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ ρ  µαξ  0; π(4θ  π 2 ) 9  = µαξ  0; π(12 π 2 ) 9  Τα χƒν χηνγ µινη π 3  9π + 10ρ  10 Ν÷υ π  2 π 3 τη… τα χ π 3  9π + 10ρ  10  π 3  9π 10  12π  9π  10 = 3π 10 > 0 Ν÷υ π  2 π 3 < 4 τη… π 3  9π + 10ρ  10  π 3  9π + 10 9 π(12 π 2 ) 10 = 1 9 (π 3)[(16  π 2 ) + 3(4  π) + 2]  0: ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1. ς δ 7 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ 3 + 12 αβχ  5  1 α + 1 β + 1 χ  : (ς Τη€νη ς↔ν) c Võ Thành Văn 5 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Λ⊆Ι ΓΙΙ. ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, β∞τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη 〉χ ϖι÷τ λ⁄ι νη σαυ 3ρ + 12  5θ Μ°τ κηϒχ,τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ 3ρ  3π(4θ  π 2 ) 9 = 4θ  9 Τα χƒν χηνγ µινη 4θ  9 + 12  5θ , θ  3 (⌠νγ). ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1:  ς δ 8 Χηο α; β; χ λ€ χϒχ σ τηχ δνγ τηα µ′ν α 2 + β 2 + χ 2 = 3. Χηνγ µινη ρ←νγ 1 2 α + 1 2 β + 1 2 χ  3: (Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ) Θυψ νγ, ρ⌠τ γ∑ν ϖ€ ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι 8π + 3ρ  12 + 5θ π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ 3ρ  π(4θ  π 2 ) 3 = π(2θ  3) 3 Τ γι≤ τηι÷τ π 2  2θ = 3 ) θ = π 2  3 2 Τηαψ 2 ι•υ τρ∂ν ϖ€ο β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη, τα χ 8π + π(π 2  6) 3  12 + 5(π 2  3) 2 , (2π 3)(π  3) 2  0 Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: ς δ 9 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ 1 9 αβ + 1 9 βχ + 1 9 χα  3 8 : (Χρυξ µατηεµατιχορυµ) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Β€ι ν€ψ ′ 〉χ ανη Η∫νγ σ δνγ χηο πηƒν β♣τ ↓νγ τηχ Χηεβψσηεϖ τρονγ χυν ∀Σϒνγ τ⁄ο β♣τ ↓νγ τηχ∀. Β∞ψ γι χϒχ β⁄ν σ≥ 〉χ τη♣ψ µτ λι γι≤ι κηϒχ ϖι β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ ρ♣τ τ νηι∂ν. Βι÷ν ι β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη ϖ€ χηυψ≡ν ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τα χ 8(243 18π + 3ρ)  3(729  81θ + 27ρ  ρ 2 ) c Võ Thành Văn 6 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA , 243  99θ + 57ρ  3ρ 2  0 Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ τη… 3 = 3  α + β + χ 3  6  3(αβχ) 2 = ρ 2 Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ ρ  π(4θ  π 2 ) 3 = 4θ  9 3 ) 57ρ  19(4θ 9) Ν∂ν τα χƒν χηνγ µινη 72 23θ  3ρ 2  0 , 3(1 ρ 2 ) + 23(3  θ)  0 (⌠νγ). ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χηι κηι α = β = χ = 1:  3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ ς δ 10 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ α 2 β 4 βχ + β 2 χ 4 χα + χ 2 α 4 αβ  1: (Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Θυψ νγ µ♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ µινη 4  Ξ χψχ α 2 β  Ξ χψχ α 2 β 2 χ 4 βχ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θυεν τηυχ 4  Π χψχ α 2 β  αβχ, τα χƒν χηνγ µινη αβχ  Ξ χψχ α 2 β 2 χ 4 βχ , 1  Ξ χψχ αβ 4 βχ , 64  32 Ξ χψχ αβ + 8 Ξ χψχ α 2 βχ + 4 Ξ χψχ α 2 β 2  αβχ Ξ χψχ α 2 β + αβχ ! Τι÷π τχ σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν,τα χƒν χηνγ µινη 64 32 Ξ χψχ αβ + 8 Ξ χψχ α 2 βχ + 4 Ξ χψχ α 2 β 2  4αβχ , 16  8θ + θ 2  ρ  0 ϖι θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ. π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ θ 2  9ρ ν∂ν χƒν χηνγ µινη 16 8θ + θ 2  θ 2 9  0 , (θ  3)(θ  6)  0: Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1 ηο°χ α = 2; β = 1; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ.  c Võ Thành Văn 7 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ 1 α + 1 β + 1 χ  3α α 2 + 2βχ + 3β β 2 + 2χα + 3χ χ 2 + 2αβ : (∆νγ χ Λ∞µ) °τ α := 1 α ; β := 1 β ; χ := 1 χ ; β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι Ξ χψχ α  3αβχ Ξ χψχ 1 2α 2 + βχ , Ξ χψχ α(α 2  βχ) 2α 2 + βχ  0 , 3 Ξ χψχ α 3 2α 2 + βχ  Ξ χψχ α π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ Ξ χψχ α 3 2α 2 + βχ  Π χψχ α 2 ! 2 2 Π χψχ α 3 + 3αβχ ÷ν ∞ψ, τα χƒν χηνγ µινη 3 Ξ χψχ α 2 ! 2  Ξ χψχ α ! 2 Ξ χψχ α 3 + 3αβχ ! Γι≤ σ α + β + χ = 1; χηυψ≡ν ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη 3(1 2θ) 2  2  6θ + 9ρ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θ 2  3ρ; τα χƒν χηνγ µινη 3(1 2θ) 2  2  6θ + 3θ 2 , 3  12θ + 12θ 2  2  6θ + 3θ 2 , (1 3θ) 2  0 (⌠νγ): ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ: ς δ 12 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ α 4 (β + χ) + β 4 (χ + α) + χ 4 (α + β)  1 12 (α + β + χ) 5 : (ςασιλε Χιρτοαϕε) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Χηυ♥ν ηα χηο π = 1, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη (1 3θ)θ + (5θ  1)ρ  1 12 ÷ν ∞ψ τα σ δνγ µτ τη⌡ τηυ♠τ κηι δ∫νγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ,  λ€ χηια τρνγ η〉π ≡ γι≤ι θυψ÷τ c Võ Thành Văn 8 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ν÷υ θ  1 5 τη… τα χ (1 3θ)θ + (5θ  1)ρ  (1 3θ)θ = 1 3 (1 3θ)  3θ  1 3  1 3θ + 3θ 2  2 = 1 12 Ν÷υ θ > 1 5 ; τα χ (1 3θ)θ + (5θ  1)ρ  (1 3θ)θ + (5θ  1)  θ 9 = 1 36 (88θ 2 + 32θ  3) + 1 12 < 1 12 : ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = 0; β = 3+ π 3 6 ; χ = 3 π 3 6 ϖ€ χϒχ ηοϒν ϖ◊  ςι κ τηυ♠τ ξ″τ τρνγ η〉π ≡ γι≤ι, χη⌠νγ τα χ τη≡ δ≠ δ€νγ γι≤ι θυψ÷τ χϒχ β€ι τοϒν σαυ Β€ι τοϒν 1 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ (α 2 + β 2 )(β 2 + χ 2 )(χ 2 + α 2 )  1 32 : Η⋅∈ΝΓ ∆Ν. Νη∞ν ϖ€ο ρι ρ⌠τ γ∑ν, χηυψ≡ν β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τα χƒν χηνγ µινη θ 2  2θ 3  ρ(2 + ρ  4θ)  1 32 ÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα ξ″τ 2 τρνγ η〉π θ  1 4 ϖ€ θ > 1 4 :  Β€ι τοϒν 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ α α 2 + 3 + β β 2 + 3 + χ χ 2 + 3  3 4 : (∆νγ χ Λ∞µ) Η⋅∈ΝΓ ∆Ν. α β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• µτ η€µ τηεο π φ(π) = 27π 2  (54 + 12θ)π + 9θ 2  58θ + 120  0 ÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα χηια τη€νη 2 τρνγ η〉π 18θ  58 + 12π ϖ€ 18θ  58 + 12π  ς δ 13 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α 2 + β 2 + χ 2 = 8. Χηνγ µινη ρ←νγ 4(α + β + χ  4)  αβχ: (Νγυψ≠ν Πηι Η∫νγ) Λ⊆Ι ΓΙΙ. Τηεο γι≤ τηι÷τ, τα χ π 2  2θ = 8: Μ°τ κηϒχ, τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ β♠χ 4, τα χ ρ  (4θ  π 2 )(π 2  θ) 6π = (π 2  16)(π 2 + 8) 12π ς… ϖ♠ψ, τα χƒν χηνγ µινη (π 2  16)(π 2 + 8) 12π  4(π 4) , (π 4) 2 (π 2 + π  8) 12π  0 (⌠νγ): ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 2; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ.  c Võ Thành Văn 9 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 14 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ π α 2 + αβχ β + χα + π β 2 + αβχ χ + αβ + π χ 2 + αβχ α + βχ  1 2 π αβχ : Λ⊆Ι ΓΙΙ. ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β • ρ  θ 2 (1 θ) 2(2 3θ) π δνγ Β∆Τ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ ∀ Ξ χψχ π α 2 + αβχ (β + χ)(β + α) # 2  ∀ Ξ χψχ α (α + β)(β + χ) # Ξ χψχ α + χ β + χ ! = Π χψχ α 2 + Π χψχ αβ (α + β)(β + χ)(χ + α) Ξ χψχ α + χ β + χ ! Τα χ Ξ χψχ α + χ β + χ = Ξ χψχ 1 β + χ  Ξ χψχ β β + χ  Ξ χψχ 1 β + χ  (α + β + χ) 2 Π χψχ α 2 + Π χψχ αβ Ν∂ν τα χƒν χηνγ µινη Π χψχ α 2 + Π χψχ αβ (α + β)(β + χ)(χ + α) 2 6 4 Ξ χψχ 1 β + χ  1 Π χψχ α 2 + Π χψχ αβ 3 7 5  1 4αβχ , 1 θ θ  ρ  1 + θ θ  ρ  1 1 θ   1 4ρ , 4(1 θ 2 ) θ  ρ  4  θ  ρ ρ , 4(1 θ 2 ) θ  ρ  θ ρ  3 Σ δνγ β •, τα χ ς Τ  4(1 θ 2 ) θ  θ 2 (1θ) 2(23θ)  θ θ 2 (1θ) 2(23θ) = 3  θ(1 3θ)(5  7θ) (1 θ)(4  7θ + θ 2 )  3: ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1 3 : Νη♠ν ξ″τ 1 ςι β€ι τοϒν ν€ψ, χη⌠νγ τι χ 2 χ∞υ ηι τη⌠ ϖ◊ ξιν δ€νη χηο χϒχ β⁄ν 1. Χηνγ µινη β • µ€ χη⌠νγ τι ′ ν∂υ ð τρ∂ν. 2. Η′ψ χη↵ ρα χον νγ ≡ τ…µ β • ν€ψ.  c Võ Thành Văn 10 [...]...3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 15 Χηο χϒχ σ τηχ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1 Χηνγ µινη ρ←νγ 5 4 + αβχ  : 81(αβ + βχ + χα) 27 (ς Τη€νη ς↔ν) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ,... τρð τη€νη π2 + ρ(π + 3) , (π 1)(π 3π + 2  0 2) + ρ(π + 3)  0 Ν÷υ π  2 τη…π ↓νγ τηχ ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ β♣τ Ν÷υ 2  π  3; ϒπ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ π3 + 9ρ  4πθ c Võ Thành Văn 11 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 ,ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA π3 4π 9 Τα χƒν χηνγ µινη π2 3π + 2 + (π + 3) , π4 + 3π3 , (π π3 4π 9 13π2 + 15π 3 2)(π + 5π 2 0 18  0 3π + 9)  0 Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ϖ…... 2 κ + 1: θ 1 3θ + 3ρ  π π π κ+2 κ 3+ κ+1 ξ; ξ; 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι (α; β; χ) = 2 1 2θ + 3ρ +κ θ ρ 1 θ 3θ + 3ρ = 1 Μτ σ β€ι τ♠π τνγ τ c Võ Thành Văn 12 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Β€ι τοϒν 3 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ ϖι µ∑ι κ  1; τα λυν χ π β χ (α + β)(β + χ)(χ + α) α + + +κ  2 κ + 1: 3 + β3 + χ3 β+χ χ+α α+β α (Πη⁄µ...  4θ ν∂ν π2 3)(π2 2θ + 5ρ  π2 16)  0 2θ  π2 8 2 ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ξ = ψ = ζ = 1 ηο°χ ξ = ψ = 2; ζ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ c Võ Thành Văn 13 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 20 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ 1 6 + αβ 1 6 + βχ 1 6 3 : 5  χα (ςασιλε Χιρτοαϕε) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Χηυψ≡ν ι β♣τ ↓νγ τηχ... 18ρ 3θ + 3ρ) + 1 8θ + 2  0 Μ↔χ κηϒχ, β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ν∂ν τα χ πχµ ς€ µτ ϖ δ ι≡ν η…νη χηο πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ β♣τ ↓νγ τηχ Ιραν 1996 c Võ Thành Văn 14 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 23 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ ξ; ψ; ζ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0 Χηνγ µινη ρ←νγ   1 1 1 9 (ξψ + ψζ + ζξ) + +  : (ξ + ψ)2 (ψ + ζ)2 (ζ + ξ)2 4 (Ιραν... + β + χ) αβχ  10: (ςιετναµ ΜΟ 2002, Τρƒν Ναµ ∆νγ) Β€ι τοϒν 10 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ 1+ 3 6  : α+β+χ αβ + βχ + χα (ςασιλε Χιρτοαϕε) c Võ Thành Văn 15 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Β€ι τοϒν 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ 2(α2 + β2 + χ2 ) + 12  3(α + β + χ) + 3(αβ + βχ + χα) (Βαλκαν ΜΟ) Β€ι τοϒν 12 Χηο χϒχ σ . Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r Võ Thành Văn Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH. ξιν νη↑χ λ⁄ι ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ. 1 Bất đẳng thức Schur ◊νη λ 1 (Β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) ςι µ∑ι σ τηχ κηνγ ∞µ α; β;