Chu.o.ng I ` ´ ˆ ˆ - MA TRA N - DINH THU C - HE PHU O NG TRI NH ˆ §1 MA TRA N - ˜ 1.1 Dinh nghı a ´ • Ma trˆ n cˆ p m × n (d ˆi goi la co m × n) la mˆt bang hı a a ¯o ` ` o ’ `nh ` ˜ ’ ˜ a ` ˜ ` ` o ` ´ a ’ ’ a ¯ e e chu nhˆ t gˆm m−hang, n−cˆt va ca c phˆn tu cua ma trˆ n d u.o.c biˆ u diˆ n o ´i du.o da ng sau:   a11 a12 a13 a1n a   21 a22 a23 a2n     a31 a32 a33 a3n        am2 am1 am3 amn -e ¯ ’ ´ ’ Dˆ d o.n gian ta kı hiˆ u ma trˆ n A cˆ p m × n nhu sau: A = (aij )m×n , ´ e a a ’ ´ ` o ´ a ` ` a ’ ’ ` d´ aij la phˆn tu o hang thu i va cˆt thu j cua ma trˆ n A ¯o ˜ ` ´ ` ’ ’ • Nˆ u ca c phˆn tu cua ma trˆ n A d` u nhˆ n gia tri thu.c, co nghı a la e ´ a ´ a ¯ˆ e a ´ aij ∈ R, thı ma trˆ n A d u.o.c goi la ma trˆ n thu.c ` a ¯ ` a * Vı du : ´ ´ A = ( 15 ) la ma trˆ n cˆ p × ` a a     ´ B =   la ma trˆ n cˆ p × ` a a A= −3 cos x sin x + cos x ln x sin x −3 ´ la ma trˆ n cˆ p × ` a a ’ ´ ` a ` • Ma trˆ n hang: Ma trˆ n co × n (chı co hang) goi la ma trˆ n hang a ` a ˜ ` ˜ * Vı du : Ma trˆ n ( ) la ma trˆ n hang (co × 4) ´ a ` a ` ’ ´ o a o • Ma trˆ n cˆt: Ma a n co m × (chı co cˆt) goi la ma trˆ n cˆt a o trˆ  ˜ `   ˜ * Vı du : Ma trˆ n   la ma trˆ n cˆt (co × 1) ´ a ` a o ´ ` ` ’ a o a ’ ´ a • Ma trˆ n thu.c gˆm tˆ t ca ca c phˆn tu b˘ ng d u.o.c goi la ma trˆ n a a ¯ ` ` khˆng o ´ ´ a o a • Ma trˆ n cˆ p n × n d u.o.c goi la ma trˆ n vuˆng cˆ p n a a ¯ ` ` ´ ` • Ma trˆ n d n vi: La ma trˆ n vuˆng cˆ p n co ca c phˆn tu n˘ m trˆn a ¯o e a o a ´ ´ a ’ a ` ` ` ` ´nh a ` ´ a ’ a ´nh ¯ˆ e ` ¯ `ng ´ d u.o che o chı b˘ ng va ca c phˆn tu n˘ m ngoai d u.o che o chı d` u ¯ `ng ´     la co da ng: I =   Ky hiˆ u la: I (d ˆi ta ` b˘ ng 0, tu ` ´ a ´c  ´ e ` n ¯o    0 ky hiˆ u: I) ` ´ e ´ • Ma trˆ n con: Cho A la ma trˆ n cˆ p m × n, ta goi Mij la ma trˆ n a ` a a ` a o.c tu ma trˆ n A b˘ ng ca ch bo d i hang i va cˆt j, d´ M goi la ` ’ ¯ ` a lˆ p d u ` a ¯ a ´ ` o ¯o ij ` ’ ´ng  ´i ` a ’  ma trˆ n cua ma trˆ n A u vo phˆn tu aij a a   * Vı du : Cho ma trˆ n A =  −1  ´ a −2 ; M12 = Ta co : M11 = ´ −2 8 3 M21 = ; M22 = −2 8 3 ; M32 = M31 = −1 4 ’ ´ ´ 1.2 Ca c phe p biˆ n d o i so cˆ p trˆn hang ´ ´ e ¯ˆ a e ` −1 ; M13 = ; M23 = ; M33 = −1 −2 −2 −1 ’ (cˆt) cua ma trˆ n o a ’ ´ ´ ’ o a ¯ • Ca c phe p biˆ n d ˆ i sau d ˆy d ˆ i vo hang (cˆt) cua ma trˆ n d u.o.c goi ´ ´ e ¯o ¯a ¯o ´i ` cˆ p theo hang (cˆt) cua ma trˆ n: ’ ´ ´ ’ la ca c phe p biˆ n d o i so a ` ´ ´ e ¯ˆ ` o a -o ’ ’ ’ (1) Dˆ i chˆ hai hang (cˆt) cua ma trˆ n cho o ` o a cua mˆt hang (cˆt) cua ma trˆ n vo mˆt ´ ` ’ o ` o a ´i o (2) Nhˆn tˆ t ca ca c phˆn tu ’ a a ’ ´ a ’ ´ sˆ λ = o (3) Cˆng vao mˆt hang (cˆt) nao d´ cua ma trˆ n mˆt hang (cˆt) kha c o ` o ` o ` ¯o ’ a o ` o ´ sau d˜ nhˆn vo mˆt sˆ λ = ¯a a ´i o o ´  −2    * Vı du : Cho ma trˆ n A =  −1  ´ a −2 Khi d´ : ¯o -o ’ ˜ (1) Dˆ i chˆ hang cho hang (cˆt cho cˆt 2)ta d u.o.c: o ` ` o o ¯     −1     B= −2  ; B =  −1  −2 −2 ´ ` ’ ¯ (2) Nhˆn tˆ t ca ca c phˆn tu cua hang cua A cho λ = ta d u.o.c: a a ’ ´ a ’ ’ `     −2 −2     C =  −1  =  −2  −2 −2 ’ ¯ (3) Cˆng hang vao hang sau d˜ nhˆn vo λ = cua A ta d u.o.c: o ` ` ` ¯a a ´i   −2   D =  −1  −2 - ˜ ` ’ ’ ’ ´ ¯ˆ a e o ` a • Dinh nghı a: Phˆn tu kha c d` u tiˆn cua mˆt hang cua ma trˆ n a o.c tı tra i sang phai) d u.o.c goi la phˆn tu co so cua hang d´ ’ ¯ ` ` ’ ’ ’ ` ¯o ` a (d u ´nh tu ´ ¯ - ˜ a a e • Dinh nghı a: Mˆt ma trˆ n d u.o.c goi la ma trˆ n bˆ c thang trˆn o a ¯ ` ´ ’ ˜ ´ ¯` nˆ u no thoa ma n ca c d iˆu kiˆ n sau: e ´ e e ` ’ ´i ´ ` ´ o (1) Ca c hang b˘ ng khˆng o du.o ca c hang kha c khˆng ´ ` a o ` ` ’ ’ ’ ’ ` ´i a e ´i ` a ’ (2) Phˆn tu co so cua hang phı du.o n˘ m bˆn phai so vo phˆn tu a ´a ’ ’ ` ´a e co so cua hang phı trˆn * Vı du : ´  0  A= 0 0  −3      0  B= 0 ; 0 0  −3    1 - ’ ` • Dinh ly : Moi ma trˆ n d` u co thˆ d u.a vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang ´ a ¯ˆ ´ e ¯ e e a a ’ ´ ´ ’ trˆn nho ca c phe p biˆ n d ˆ i so cˆ p theo hang cua ma trˆ n e ` ´ ´ e ¯o a ` a   ’ * Vı du 1: Tı ma trˆ n bˆ c thang cua ma trˆ n A =  ´ `m a a a ’ ´n d ˆ i so cˆ p ta co ´ Dung ca c phe p biˆ ¯o ` ´ ´ e a ´     7     A −→  3  −→  3  0 2 4  A= 4  2  −5  A −→   −1 −2 −2  17 −2  2 0     −→  0 −3  −5 −7 −5 −6 −10    2  −5  0    −→   −→   0 −7  0 0  −1    1 −31 30 0 55 1.3 Ca c phe p toa n ma trˆ n ´ ´ ´ a ` • Hai ma trˆ n b˘ ng nhau: a a ´ a Cho hai ma trˆ n A = (aij )m×n , B = (bij )p×q Khi ˆ y: a  ´ o `  m = p (sˆ hang)   ´ A = B ⇐⇒ n = q (sˆ cˆt) o o    aij = bij ´ ` ´c ` ´ ` a ` `ng ` a ’ ´ng a (Tu la no cung cˆ p va tu phˆn tu tu.o.ng u b˘ ng nhau.) * Vı du : ´      −5 −6 −10  −5    −7    10  ` a e a a * Vı du 2: Du.a ma trˆ n sau vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang ´    A = 0    −5  4  B = 0 ;   −5  • Phe p cˆng ma trˆ n: ´ o a ’ ˜ ´ ’ ` Tˆ ng cua hai ma trˆ n cung cˆ p A = (aij )m×n , B = (bij )m×n cu ng la o a ` a ´ ’ ma trˆ n cˆ p m × n, ky hiˆ u la: A + B, d u.o.c xa c d inh bo.i: a a ´ e ` ¯ ´ ¯ A + B = (aij + bij )m×n * Vı du : ´   A = 0 1    −5   B = 0 ;   2 ´ Khi ˆ y a  1+3 4+7 0+6  A + B = 0 +0 2+8 7+7 0+1 1+9     −5 +  =  1+0 4+2 5+4 11 10   10 14 −3  ´ o a • Phe p nhˆn mˆt sˆ vo.i mˆt ma trˆ n: ´ a o o ´ ´ ´ ´ ´i Cho ma trˆ n A = (aij )m×n va sˆ λ = Khi ˆ y tı cua sˆ λ vo ma a ` o a ´ch ’ o o.c xa c d inh bo.i: ˜ ´ ’ trˆ n A cu ng la ma trˆ n cˆ p m × n, ky hiˆ u la: λ.A, d u ´ ¯ a ` a a ´ e ` ¯ λ.A = (λ.aij )m×n * Vı du : ´ ´ Cho sˆ λ = va ma trˆ n A = o ` a λ.A = 5.1 5.4 5.0 0 −5 5.1 5.0 5.2 5.7 5.(−5) = ´ Khi ˆ y ta co : a ´ 20 10 35 −25 • Phe p nhˆn ma trˆ n: ´ a a Tı cua ma trˆ n A = (aij )m×n vo ma trˆ n B = (bij )n×p la mˆt ma ´ch ’ a ´i a ` o ´ ’ trˆ n cˆ p m × p, ky hiˆ u la: A.B, d u.o.c xa c d inh bo.i: a a ´ e ` ¯ ´ ¯ n A.B = cij = aik bkj m×p k=1 * Vı du : ´  Cho hai ma trˆ n A = a 13   10 14    ´ va B =  ` a ´  Khi ˆ y ta co :  11 15  12 16 A.B = 1.9 + 2.10 + 3.11 + 4.12 1.13 + 2.14 + 3.15 + 4.16 5.9 + 6.10 + 7.11 + 8.12 5.13 + 6.14 + 7.15 + 8.16 110 136 = 278 339 ’ ´ ` o o ’ a *.Chu ´ : Dˆ hai ma trˆ n nhˆn d u.o.c vo thı sˆ cˆt cua ma trˆ n ´ y -e a a ¯ ´i o phai b˘ ng sˆ hang cua ma trˆ n sau ` ´ ’ a ’ o ` a tru ´c ’ • Phe p chuyˆ n vi ma trˆ n: ´ e a ’ ´ Cho ma trˆ n A = (aij )m×n Khi ˆ y ma trˆ n chuyˆ n vi cua ma trˆ n A la a a a e ’ a ` ’ ` ’ ` a ´ e ` o e o mˆt ma trˆ n co d u.o.c tu A b˘ ng ca ch chuyˆ n hang cˆt, chuyˆ n cˆt o a ´ ¯ ` ´ hang theo d´ ng thu tu ` ` ¯u Ky hiˆ u la: AT Nhu vˆ y ta co : ´ e ` a ´     a11 a21 am1 a11 a12 a1n      a12 a22 am2   a21 a22 a2n  T ; A = A=           am1 am2 amn m×n a1n a2n amn n×m * Vı du : ´   Cho ma trˆ n A =  a   2   ´  Khi ˆ y ta co : AT =  a ´ 3 10 11 12 ´ tı ´t cua phe p toa n ma trˆ n ’ 1.4 Mˆt sˆ ´nh chˆ o o a ´ ´ a  10    11  12 - ´ • Dinh ly 1: Cho ca c ma trˆ n A, B, C va ca c sˆ α, β cho ca c phe p ´ ´ a ` ´ o ´ ´ ˜ ´ ´ ` a toa n sau d ˆy d u.o.c ta o Khi ˆ y ta se co : ´ ¯a ¯ A + B = B + A (α.β).A = α.(β.A) (A + B) + C = A + (B + C) α.(A.B) = (α.A).B = A.(α.B) A.(B.C) = (A.B).C α.(A + B) = α.A + α.B (A + B).C = A.C + B.C (α + β).A = α.A + β.A A.(B + C) = A.B + A.C 10 No i chung, A.B = B.A ´ - ´ • Dinh ly 2: Cho ca c ma trˆ n A, B Khi ˆ y ta co : ´ ´ a a ´ (AT )T = A (A + B)T = AT + B T (A.B)T = B T AT (λ.A)T = λ.AT ´ - §2 DINH THU C  a11 a12 a1n     a21 a22 a2n  ´ • Cho ma trˆ n vuˆng cˆ p n co da ng: A =  a o a ´  Ta     an1 an2 ann a ¯a ’ ¯ ` ´ ` a o a ` ky hiˆ u Mij la ma trˆ n vuˆng lˆ p tu ma trˆ n A sau d˜ bo d i hang thu ´ e ’ ’ ´ a ` ¯ i va cˆt thu j cua ma trˆ n A va Mij d u.o.c goi la ma trˆ n cua ma trˆ n ` o a a ` ´ng ´i ` a ’ A u vo phˆn tu aij   −2   * Vı du : Cho ma trˆ n A =  −5 ´ a  Khi d´ ta co : ¯o ´ M11 = −2 −3 , M21 = −3 −3 , M32 = −5 - ˜ 2.1 Dinh nghı a - ´c ’ a ` o o ´ e ` • Dinh thu cua ma trˆ n A = (aij )n×n la mˆt sˆ , ky hiˆ u la ´ a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n det(A) = a31 a32 a33 a3n an1 an2 ann va d u.o.c xa c d inh nhu sau: ` ¯ ´ ¯ ´ (1) A la ma trˆ n cˆ p 1(n = 1): ` a a ` A = ( a11 ) thı det(A) = a11 ´ (2) A la ma trˆ n cˆ p (n = 2): ` a a a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 det(A) = a21 a22 = a11 det(M11 ) − a21 det(M21 ) ` ` ` ’ a ’ ` ’ ` ` ´ a (Chu ´ r˘ ng a11 va a12 la ca c phˆn tu n˘ m cung o hang cua ma trˆ n ´ y a ` a ’ A), vˆn vˆn, va mˆt ca ch tˆ ng qua t, a a ` o ´ o ´ ´ (3) A la ma trˆ n cˆ p n (n ≥ 3) thı ` a a `: det(A) = a11 det(M11 ) − a21 det(M21 ) + a31 det(M31 ) − + + (−1)i+j aij det(Mij ) + + (−1)n+1 an1 det(Mn1 ) ’ `i e ` (Ngu.o ta goi la phe p khai triˆ n theo hang 1) ` ´ * Vı du : ´ = − 9 + = 1.(45 − 48) − 4.(18 − 24) + 7.(12 − 15) = ’ ’ ¯ ´ o ´c e ´c ` ` • Tu.o.ng tu ta co cˆng thu khai triˆ n cua d inh thu theo hang k nao d´ : ¯o det(A) = (−1)k+1 [ak1 det(Mk1 )−ak2 det(Mk2 )+ .+(−1)n+1 akn det(Mkn )] ’ ` ´c a ´ e ` * Vı du 1: Tı ´ ´nh d inh thu sau b˘ ng ca ch khai triˆ n theo hang ¯ −2 −1 = (−1)3+1 2 −2 −5 −1 −3 −1 + (−5) −2 = 2.(2 − 0) − 3.(−1 − 0) + 7.(4 − 4) = −1 ’ ` ´c a ´ e ` * Vı du 2: Tı ´ ´nh d inh thu sau b˘ ng ca ch khai triˆ n theo hang ¯ 1 1 1 1 a b d c   = (−1)4+1 a 2 1 1 1 − b 1 + c 2 1 1 − d = −a − b − c + 4d ’ ´ • Chu ´ : Trong tru.o ho.p n = ta co thˆ dung quy t˘c Sarrus sau ´ y `ng ´ e ` a d ˆy: ¯a a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 1 1    ` ¯o ´ Tu d´ ta co : a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 ´ ´ ’ ¯i ´ 2.2 Mˆt sˆ tı o o ´nh chˆ t cua d nh thu.c a ´ • Tı ´nh chˆ t 1: A = AT a * Vı du : ´ = −2 , = −2 ’ ´ • Tı ´nh chˆ t 2: Khi d ˆ i vi trı cua hai hang (hai cˆt) cho thı d nh a ¯o ´ ’ ` o ` ¯i ’ ´ ´c ¯o a thu d ˆ i dˆ u * vı du : Ta co : ´ ´ = 1.5 − 2.3 = −1 -o ’ ’ ˜ Dˆ i chˆ hang cho hang ta cu ng d u.o.c: o ` ` ¯ = 2.3 − 1.5 = = −(−1) - ´ ´ ´c ´ o ` o o ` ¯o ` o ` o • Tı ´nh chˆ t 3: Dinh thu co mˆt hang (mˆt cˆt) nao d´ gˆm toan sˆ a ` thı b˘ ng ` a * Vı du : ´ 0 =0 hay 0 =0 3 - ´ ` ’ e • Tı ´nh chˆ t 4: Dinh thu co hai hang (hai cˆt) ty lˆ thı b˘ ng a ´c ´ ` o ` a 10 ∞ ˜ ´ ¯ ˜ ´ ´ a o a (−un ) ta se co d u.o.c mˆt chuˆ i sˆ du.o.ng Do vˆ y, khˆng mˆ t o o o ˜ xe t chuˆ i ´ o n=1 ’ ˜ ´ ´ ’ ` ´ ¯e tı ´nh tˆ ng qua t chu ng ta chı cˆn xe t dˆ n chuˆ i sˆ du.o.ng o ´ ´ a o o ˜ ´ ’ 2.2 Hai d nh ly so sa nh cua chuˆ i sˆ du.o.ng ¯i ´ ´ o o - • Dinh ly 1: ´ ∞ ∞ ˜ ´ Cho hai chuˆ i sˆ du.o.ng o o un va ` n=1 n=1 ´ ’ ’ a Gia su ta co un ≤ , ∀n ≥ N0 (N0 ∈ N) Khi ˆ y: ´ ∞ ˜ ´ (1) Nˆ u chuˆ i e o ∞ ˜ hˆi tu thı chuˆ i o ` o n=1 ∞ ˜ un cu ng hˆi tu o n=1 ∞ ˜ un phˆn ky thı chuˆ i a ` ` o ˜ ´ (2) Nˆ u chuˆ i e o n=1 ˜ cu ng phˆn ky a ` n=1 ˜ ´ o o * Vı du : Xe t su hˆi tu cua chuˆ i sˆ ´ ´ o ’ ∞ √ n=1 n.3n Ta co : ´ un = √ 1 ≤ n = ; ∀n ≥ n.3n ∞ Ma ` 3n n=1 hˆi tu o ∞ ’ Theo tiˆu chuˆ n so sa nh ⇒ e a ´ √ n=1 - • Dinh ly 2: ´ ∞ ˜ ´ Cho hai chuˆ i sˆ du.o.ng o o un ´ lim = K Khi ˆ y: a n→∞ n.3n hˆi tu o ∞ ’ ’ ` ´i Gia su tˆn ta i gio n o un va ` n=1 n=1 ∞ ∞ ˜ hˆi tu thı chuˆ i o ` o ˜ ´ (1) Nˆ u K = va chuˆ i e ` o n=1 ∞ ˜ ´ (2) Nˆ u < K < +∞ thı hai chuˆ i e ` o 69 n=1 un va ` n=1 cung phˆn ky ` a ` ∞ ˜ un cu ng hˆi tu o cung hˆi tu ho˘ c ` o a n=1 ∞ ∞ ˜ ´ (3) Nˆ u K = +∞ va chuˆ i e ` o ˜ phˆn ky thı chuˆ i a ` ` o n=1 ˜ un cu ng n=1 phˆn ky a ` ˜ ´ a ` ’ o o * Vı du : Xe t su hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i sˆ sau ´ ´ o ∞ ln + n=1 n Ta co : ´ ln + 1 ∼ n n 1+ un = lim n→∞ n→∞ n lim Ma ` ∞ n n=1 n n −→ ∞ = lim (n + 1) = ∞ n→∞ ∞ ln + phˆn ky ⇒ a ` n=1 n phˆn ky a ` ’ ’ ˜ ´ a ` ’ o o 2.3 Ca c tiˆu chuˆ n d e xe t su hˆi tu , phˆn ky cua chuˆ i sˆ ´ e a ¯ˆ ´ o du.o.ng ∞ ˜ ´ ` ´ o ’ ’ Gia su ta cˆn xe t su hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i sˆ du.o.ng a a ` ’ o o un n=1 ’ • Tiˆu chuˆ n D’Alembert e a un+1 ´ ` ’ ’ a = D Khi ˆ y ta co : a ´ Gia su r˘ ng lim n→∞ un ˜ ´ (1) Nˆ u D > thı chuˆ i d˜ cho phˆn ky e ` o ¯a a ` ˜ ´ (2) Nˆ u D < thı chuˆ i d˜ cho hˆi tu e ` o ¯a o * Vı du : ´ ∞ ˜ ´ Cho chuˆ i sˆ du.o.ng o o nn ’ Dung tiˆu chuˆ n D’Alembert ta co : ` e a ´ n! n=1 un+1 = lim lim n→∞ un n→∞ (n+1)n+1 (n+1)! nn n! n+1 (n + 1) n! (n + 1)n = lim =e>1 = lim n→∞ nn (n + 1)! n→∞ nn 70 ˜ Vˆ y chuˆ i d˜ cho la phˆn ky a o ¯a ` a ` * Vı du : ´ ∞ ˜ ´ Cho chuˆ i sˆ du.o.ng o o n 1 1+ n n n=1 ’ Dung tiˆu chuˆ n D’Alembert ta ` e a co : ´ un+1 = lim n→∞ un n→∞ lim 1+ 3n+1 3n n+1 n+1 1+ 1 + n+1 = lim n→∞ 1+ 1 n n n+1 n = e = thı chuˆ i d˜ cho phˆn ky e ` o ¯a a ` ˜ ´ (2) Nˆ u C < thı chuˆ i d˜ cho hˆi tu e ` o ¯a o * Vı du 1: ´ ∞ ˜ ´ Cho chuˆ i sˆ du.o.ng o o lim n→∞ √ n 3n ’ Dung tiˆu chuˆ n Cauchy ta co : ` e a ´ (n + 1)n n=1 un = lim n n→∞ 3n = lim =01 2 ˜ Vˆ y chuˆ i d˜ cho la phˆn ky a o ¯a ` a ` ’ ’ `ng e a ¯i ` ´ Nhˆ n xe t: Trong tru.o ho.p C = thı chu ng ta chu.a thˆ kh˘ng d nh a ´ ˜ chuˆ i d˜ cho la hˆi tu hay phˆn ky o ¯a ` o a ` ’ • Tiˆu chuˆ n Tı e a ´ch phˆn a ´ o a ’ ’ ’ ` o ` o o a e Gia su f (x) la mˆt ham sˆ khˆng ˆm, khˆng t˘ng trˆn khoang [1, +∞) ’ ´ch e va f (x) kha tı trˆn moi d oa n [1, A], (A > 1) Khi d´ : ` ¯o ¯ ∞ +∞ ˜ ´ f (x)dx hˆi tu thı chuˆ i sˆ o ` o o ´ (1) Nˆ u tı phˆn e ´ch a +∞ ˜ ´ f (x)dx phˆn ky thı chuˆ i sˆ a ` ` o o ´ (2) Nˆ u tı phˆn e ´ch a * Vı du : ´ f (n) hˆi tu o n=1 ∞ f (n) phˆn ky a ` n=1 ∞ ˜ ´ Cho chuˆ i sˆ du.o.ng o o ´ Ta xe t ham sˆ : ´ ` o n n=1 f (x) = x ’ ´ ´ ’ ˜ ´ ’ Ham sˆ thoa ma n ca c gia thiˆ t cua tiˆu chuˆ n tı phˆn Ngoai ta ` o ` e ’ e a ´ch a ` co : ´ +∞ +∞ dx x f (x)dx = 1 A dx = lim (ln A − ln 1) = +∞ A→+∞ x = lim A→+∞ +∞ ˜ ´ dx phˆn ky Do d´ chuˆ i sˆ d˜ cho a ` ¯o o o ¯a x a ´ch a o Nhu vˆ y tı phˆn suy rˆng ˜ cu ng phˆn ky a ` ˜ ´ `ng ¯a ´ Nhˆ n xe t: Trong thu.c hanh chu ng ta thu.o d ˘ t f (x) = ux , co nghı a a ´ ` ’ ˜ ` ´ ´ ´ la chu ng ta thay biˆ n n sˆ ng tˆ ng qua t cua chuˆ i b˘ ng biˆ n x ta ` ´ e o o ´ ’ o a e ˜ ´ ¯ ` se co d u.o.c ham f (x) ˜ ´ ˆ ´ ´ ` ˆ ˆ §3 CHUOI CO DAU BAT KI 72 ˜ ´ 3.1 Chuˆ i d o ¯an dˆ u a - ˜ • Dinh nghı a ˜ ˜ ´ ´ Chuˆ i d an dˆ u la chuˆ i sˆ co mˆt hai da ng sau: o ¯ a ` o o ´ o u1 − u2 + u3 − u4 + + (−1)n+1 un + (3.1) −u1 + u2 − u3 + u4 − + (−1)n un + (3.2) hay d´ uk > 0, ∀k ¯o • Nhˆ n xe t a ´ ’ ’ e ˜ ˜ ` o ´ ´ e e ` Tu chuˆ i (3.2) chu ng ta co thˆ chuyˆ n vˆ chuˆ i (3.1) va ngu.o.c la i Do o ` ˜ ´ ’ ` ´ ¯e vˆ y ta chı cˆn xe t dˆ n chuˆ i (3.1) a a o - • Dinh ly Leibnitz ´ ˜ ` ´ ’ ˜ ¯` e e ¯a Cho chuˆ i d an dˆ u (3.1) va gia su r˘ ng hai d iˆu kiˆ n sau d ˆy thoa ma n: o ¯ a ` ’ ’ a (1) u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ≥ un ≥ (2) lim un = n→∞ ’ ˜ ´ ´ ’ ´ ´ o Khi ˆ y chuˆ i d˜ cho (3.1) la hˆi tu va tˆ ng cua no khˆng vu.o.t qua sˆ a o ¯a ` o ` o o ng d` u tiˆn u1 ¯ˆ a e * Vı du : ´ ∞ (−1)n+1 ˜ ’ ˜ ´ ¯` ’ Chuˆ i thoa ma n ca c d iˆu kiˆ n cua o ` e e n n=1 d inh ly Leibnitz nˆn no hˆi tu ¯ ´ e ´ o ˜ ´ Cho chuˆ i d an dˆ u o ¯ a - ˜ • Dinh nghı a ˜ ´ ’ ˜ ¯i Mˆt chuˆ i d an dˆ u da ng (3.1) thoa ma n d nh ly Leibnitz d u.o.c goi la o o ¯ a ´ ¯ ` ˜ chuˆ i Leibnitz o ˜ ´ ´ ` ´ 3.2 Chuˆ i co dˆ u bˆ t ky - Hˆi tu tuyˆt d o i o ´ a a o e ¯ˆ - • Dinh ly ´ ∞ ˜ ´ ´ Nˆ u chuˆ i sˆ du.o.ng e o o ∞ ˜ ´ |un | hˆi tu thı chuˆ i sˆ o ` o o n=1 ˜ un cu ng hˆi tu o n=1 73 • Nhˆ n xe t a ´ - ’ ` ¯` ’ ` ¯` (1) Dinh ly trˆn chı la d iˆu kiˆ n d u ma khˆng phai la d iˆu kiˆ n cˆn, ´ e e e ¯’ ` o e e ` a ∞ ˜ ` ˜ ´ co nghı a la chuˆ i sˆ ´ o o ˜ ´ ´ ’ ` ¯` un hˆi tu khˆng nhˆ t thiˆ t phai cˆn d iˆu kiˆ n chuˆ i o o a e a e e o n=1 ∞ ´ sˆ du.o.ng o |un | hˆi tu o n=1 ’ ’ ´ (2) Nˆ u dung tiˆu chuˆ n D’Alembert hay tiˆu chuˆ n Cauchy ma ta e ` e a e a ` ∞ ˜ ´ ´ biˆ t d u.o.c chuˆ i sˆ du.o.ng e ¯ o o ∞ ˜ ˜ ´ |un | phˆn ky thı ta cu ng co chuˆ i sˆ a ` ` ´ o o n=1 un n=1 phˆn ky a ` ∞ ˜ a ` ’ o * Vı du : Xe t su hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i sau ´ ´ o ∞ ∞ ’ ˜ Dung tiˆu chuˆ n Cauchy xe t chuˆ i ` e a ´ o |un | = n=1 lim √ n n→∞ un = lim n n→∞ 2n − 3n + n n=1 2n − 3n + (−1)n n=1 2n − 3n + n n , ta co ´ 2n − = |y1 | • Nhˆ n xe t a ´ ’ e Theo d nh ly Abel va hˆ qua trˆn thı tˆn ta i mˆt sˆ r ≥ cho: ¯i ´ ` e ` ` o o o ´ ˜ ’ (1) Chuˆ i (5.2) hˆi tu ta i moi y thoa |y| < r o o ˜ ’ (2) Chuˆ i (5.2) phˆn ky ta i moi y thoa |y| > r o a ` 76 ˜ ´ ´ ’ ´nh hˆi tu cua chuˆ i (5.2) Khi ˆ y khoang o ’ o a Sˆ r d u.o.c goi la ba n kı o ` ¯ ` ´ ˜ ˜ ` ’ o ’ o e o ’ o (−r, r) d u.o.c goi la khoang hˆi tu cua chuˆ i (5.2) Miˆn hˆi tu cua chuˆ i ¯ ` ’ ’ ’ o ’ ´ (5.2) la ho.p cua khoang hˆi tu vo ca c d iˆ m hˆi tu cua (5.2) xe t ta i hai ` o ´i ´ ¯ e ’ ’ d iˆ m mu t cua khoang hˆi tu ¯e ´ ’ o ´ `m ´ 5.2 Quy t˘c tı ba n kı a ´nh hˆi tu o - • Dinh ly D’Alembert ´ an+1 ´ Nˆ u lim e = D thı ba n kı ` ´ ´nh hˆi tu cua (5.2) d u.o.c xa c d inh nhu o ’ ¯ ´ ¯ n→∞ an sau: ´ ´c) (1) Nˆ u D = thı r = +∞ (quy u.o e ` ´ (2) Nˆ u < D < +∞ thı r = D e ` ´ ´c) (3) Nˆ u D = +∞ thı r = (quy u.o e ` - • Dinh ly Cauchy ´ ´ Nˆ u lim n |an | = C thı ba n kı e ` ´ ´nh hˆi tu cua (5.2) d u.o.c xa c d inh nhu o ’ ¯ ´ ¯ n→∞ sau: ´ ´c) (1) Nˆ u C = thı r = +∞ (quy u.o e ` ´ (2) Nˆ u < C < +∞ thı r = e ` C ´ (3) Nˆ u C = +∞ thı r = (quy u.o e ` ´c) ˜ ˜ ´ ´ ’ `a 5.3 Mˆt sˆ tı o o ´nh chˆ t cua chuˆ i luy thu a o ´ • Tı ´nh chˆ t a ’ ˜ ´ ’ ’ Tˆ ng S(y) cua chuˆ i luy thu (5.2) la mˆt ham sˆ liˆn tu c khoang o o ˜ `a ` o ` o e hˆi tu (−r, r) o ´ • Tı ´nh chˆ t a ’ ´ ˜ ´ ’ o e ¯ Ta co thˆ lˆ y tı phˆn tu sˆ ng cua chuˆ i (5.2) trˆn d oa n [a, b] ´ e a ´ch a `ng o ˜ ˜ ` ` ’ nao d´ n˘ m khoang hˆi tu cua chuˆ i Co nghı a la: ` ¯o a o ’ o ´ b b ∞ an y n S(y)dy = a n=0 a 77 dy b b = (a0 ) dy + a b (a1 y) dy + a b a2 y (an y n ) dy + dy + + a a -a D˘ c biˆ t ta co : e ´ y y S(t)dt = y (a0 ) dt + y (a1 t) dt + y a2 t (an tn ) dt + dt + + 0 a1 a2 an n+1 + (5.3) = a0 y + y + y + + y n+1 ˜ ˜ ˜ ’ o ` Chuˆ i (5.3) cu ng la chuˆ i luy thu co khoang hˆi tu la (−r, r) o ` o ˜ `a ´ ´ • Tı ´nh chˆ t a ’ ´ ˜ ´ ’ ’ `ng o o o Ta co thˆ lˆ y d a o ham tu sˆ ng cua chuˆ i (5.2) khoang hˆi ´ e a ¯ ` ˜ ˜ ` tu cua chuˆ i Co nghı a la: o ´ ’ ∞ S(y) an y n = = a1 + 2.a2 y + 3.a3 y + n.an y n−1 + n=0 ˜ ˜ ˜ ’ o ` Chuˆ i (5.4) cu ng la chuˆ i luy thu co khoang hˆi tu la (−r, r) o ` o ˜ `a ´ ˜ * Vı du : Tı miˆn hˆi tu cua chuˆ i luy thu ´ `m ` e o ’ o ˜ `a ∞ (x + 2)n n.3n n=1 Ta co : ´ |un+1 | n.3n = lim = ⇒R=3 n+1 n→∞ |un | n→∞ (n + 1)3 lim ˜ ’ Vˆ y chuˆ i co khoang hˆi tu la a o ´ o ` −3 < x + < ⇒ −5 < x < ˜ ´i ´ o Vo x = −5 ta co chuˆ i ∞ (−1)n n n=1 78 hˆi tu o (5.4) ˜ ´i ´ o Vo x = ta co chuˆ i ∞ phˆn ky a ` n n=1 ˜ ` Vˆ y miˆn hˆi tu cua chuˆ i la D = [−5, 1) a e o ’ o ` 79 ` ˆ BAI TA P CHU O NG III ’ ˜ ´ Bai 1: Tı sˆ ng tˆ ng qua t cua chuˆ i ` `m o o ´ ’ o + + + + 10 + + + + 16 42 32 + + + 11 22 23 24 + + + + 1.2 1.2.3 1.2.3.4 5! 7! 3! + + + 2.4 2.4.6 2.4.6.8 1.3 1.3.5 + + + 3.6 3.6.9 1 1+ √ + √ + √ + 13 ’ ’ ˜ ´ ´ Bai 2: Tı tˆ ng riˆng va tˆ ng (nˆ u co )cua ca c chuˆ i sˆ sau ` `m o e ` o e ´ ’ ´ o o 1 + + + 1.3 3.5 5.7 1 1 + + + ···+ 4.5 5.6 6.7 n(n + 1) 1 + + + 2.4.6 4.6.8 6.8.10 ∞ 3n2 + 3n + n3 (n + 1)3 n=1 ∞ n=0 ∞ 4n2 − n=1 ∞ +n+1 √ √ √ ( n + − n + + n) ∞ ∞ 10 + 3n + n n=1 n2 n=1 ∞ 2n n=0 arctg n n2 + n=0 ∞ 11 n=4 80 n3 n+1 − 6n2 + 11n − ∞ 3n − 12 n(n2 − 1) n=2 ∞ 13 ∞ + 2n 3n n=0 ∞ 2n − 3n 14 5n n=1 (−1)n 15 n=2 n2 −1 ’ ˜ ˜ ´ ´ng ´ o Bai 3: Dung d iˆu kiˆ n cˆn dˆ chuˆ i sˆ hˆi tu , y chu minh ca c chuˆ i ` ` ¯` e e ` ¯e o o o ˜ a ´ sˆ sau phˆn ky: o a ` ∞ n−1 3n + n=0 ∞ (−1) ∞ n=0 ∞ n1 n=0 sinn n=1 ∞ n+1 n n e ∞ n ln2 n n=2 √ √ n− n−1 n=1 ’ ˜ o Bai 4: Dung ca c tiˆu chuˆ n so sa nh xe t su hˆi tu cua ca c chuˆ i sau: ` ` ´ e a ´ ´ o ’ ´ ∞ n 100n2 + n=1 ∞ n=1 1+n + n2 ∞ n=1 ∞ ∞ n=1 ∞ 2n + n 4n + 2n n=1 n(n + 1) √ √ n+1− n−1 n4 n=1 ∞ 1 sin √ n n n=1 1 4.2n −3 ∞ n+1 √ ln n n−1 n=2 1 1 + + + + 11 12 13 14 + 22 + 23 + + + + 10 + 52 + 53 + ’ ’ ˜ o Bai 5: Dung tiˆu chuˆ n tı phˆn dˆ xe t su hˆi tu cua ca c chuˆ i sau ` ` e a ´ch a ¯e ´ o ’ ´ 1 1 + + + ···+ ln 19 ln 19 29 ln 29 1 + + + ln ln ln ln ln ln ln ln ln 81 ∞ n ln n n=2 ∞ ln n n2 n=2 ’ Bai 5: Dung tiˆu chuˆ n D’alembert hay Cauchy, xe t su hˆi tu cua ca c ` ` e a ´ o ’ ´ ˜ chuˆ i sau o ∞ ∞ n 1n n.lnn (1 + ) n2 − n n=0 n=0 ∞ ∞ 3n + ( ) n 5n − n=0 n! tg n (2n)! n=0 ∞ ∞ nn 3n n! n=0 ∞ ∞ 3n (n!)2 (2n)! n=1 (3n + 1)! 8n n2 n=1 ∞ 1 1− 5n n n=1 ∞ 11 n=1 n2 + 2n n=1 n 2n + ∞ n2 10 7n (n!)2 n2n n=1 ∞ n 12 n=2 2n2 + 2n + 5n2 + 2n + ∞ 13 1.3.5 (2n − 1) 22n (n − 1)! n=1 23 24 22 14 + 10 + 10 + 10 + 10 102 103 15 + + + 1! 2! 3! ˜ Bai 6: Xe t su hˆi tu cua ca c chuˆ i sau: ` ´ o ’ ´ o ∞ ∞ n+1 n+1 √ (−1)n 2 (−1)n n − n 2n − n=1 n=1 ∞ (−1) n=1 n+1 n ( )n 3n − ∞ (−1)n ( n=1 82 2n − n ) 3n + n ∞ (−1) n2 ∞ n2 n! n=1 (−1)n−1 √ 2n − n=1 ∞ ∞ n! (−1) 1.3.5 (2n − 1) n=1 n (−1)n ln n=1 n+1 n ∞ x.lnn x2 + n n=1 ˜ Bai 7: Tı miˆn hˆi tu cua chuˆ i ham: ` `m ` e o ’ o ` ∞ ∞ n (x + 2) 1 n n.3 + xn n=1 n=1 ∞ xn + x2n n=1 ∞ ∞ (x + n n ) x n=1 n ∞ lnn x n=1 (n − 1) x.nx n=1 ∞ cosnx 2nx n=1 ∞ (−1)n+1 + n2x n=1 ∞ (−1)n n xn + n2 n=1 ∞ sinn ( 10 n=1 x.lnn ) x2 + n ˜ `a Bai 8: Tı miˆn hˆi tu cua ca c chuˆ i lu y thu sau: ` `m ` e o ’ ´ o ˜ ∞ ∞ n x (x − 2)n ) n n2 n=1 n=1 ∞ xn ( n ) + 3n n=1 ∞ n! n x nn n=1 ∞ n=1 ∞ (x − 4)n √ n n=1 ∞ (−1)n−1 n x n.2n n=1 ∞ (x + 5)2n−1 n2 4n n=1 ( n=1 ∞ 2n xn 10 n+1 n ) (x − 2)2n 2n + (x + 1)3 x + (x + 2)2 + + + 1! 3! 5! 83 ... + y ) ˆ - ’ §3 MA TRA N NGHICH DAO - ˜ 3.1 Dinh nghı a ´ a • Cho A la mˆt ma trˆ n vuˆng cˆ p n Ma trˆ n B d u.o.c goi la ma trˆ n ` o a o a a ¯ ` −1 ´ ’ ’ ˜ nghich d ao cua ma trˆ n... Dˆ hai ma trˆ n nhˆn d u.o.c vo thı sˆ cˆt cua ma trˆ n ´ y -e a a ¯ ´i o phai b˘ ng sˆ hang cua ma trˆ n sau ` ´ ’ a ’ o ` a tru ´c ’ • Phe p chuyˆ n vi ma trˆ n: ´ e a ’ ´ Cho ma trˆ... la ma trˆ n nghich d ao cua ma trˆ n A ` a a ¯’ ´ ` ’ • Nˆ u A tˆn ta i ma trˆ n nghich d ao thı ta no i A la ma trˆ n kha nghich e o a ` ´ ` a ¯’ - • Dinh ly (d iˆu kiˆ n tˆn ta i ma