Thông tin tài liệu
1
Những người thực hiện:
Phạm Hy Hiếu
Nguyễn Anh Tuấn
Phan Thiện Tôn
Nguyễn Thị Xuân Ngọc
Nguyễn Dương Bạch Mai
Tôn Nữ Quỳnh Trân
Nguyễn Mai Phương
Quách Thuỷ Tiên
Trần Ngọc Ngân
Phan Huỳnh Anh
Mai Nguyên Minh Uyên
2
ĐNN H LÝ VIÈTE VÀ CÁC N G DN G
1. N HC LI VÀ M RN G MT S VN V A THC:
1.1. N hc li v a thc:
Hàm s
ưc gi là mt a thc nu
hoc
có dng:
Khi ó,
gi là các h s ca a thc.
ưc gi là h s cao nht,
ưc gi là h s t do.
N u
thì a thc
gi là a thc chuNn tc hay a thc mônic. N u
thì a thc
gi là a
thc bc và ta kí hiu:
. Hin nhiên, nu
thì
.
cho gn, ôi khi ngưi ta còn vit:
Cách vit ng sau gi là cách vit ngưc, vi
.
1.2. a thc trên các tp s:
Cho
. Khi ó, :
N u
thì ta nói
Các trưng hp riêng:
N u
thì ta nói
N u
thì ta nói
N u
thì ta nói
Rt rõ ràng, .
1.3. Các phép tính trên a thc:
Cho 2 a thc sau:
Trong ó,
. Ta nh nghĩa mt s phép toán cơ bn trên a thc như sau:
a. Các phép tính cơ bn:
Có 3 phép tính cơ bn thưng dùng i vi 2 a thc là phép cng, kí hiu là
; phép tr kí hiu là
và phép hp, kí hiu là
VD1.3a.1: Chng minh rng:
a.
b.
c.
Lời giải:
Rõ ràng ta ch cn xét các h s cao nht
và
ca 2 a thc.
a. N u thì a thức
có dng:
Vì
nên theo nh nghĩa,
Tương t vi , ta cũng có
N u , ta có:
Do
có h s cao nht là
nên
, ng thc xy ra khi
.
T các trưng hp va xét, ta có
(pcm).
Vi trưng hp
, ta t
thì
và theo iu va nói
trên, ta cũng có
(pcm).
b. S hng cao nht ca
là
, mà
nên
(pcm).
c. Ta có:
, mà theo câu b thì:
(pcm).
3
b. Phép chia a thc:
Cho 2 a thc
và
sao cho
.
Khi dó, tn ti duy nht hai a thc
và
sao cho
và:
i là thương và
gi là dư trong phép chia a thc
cho a thc
Chú ý rng nu
thì
và
.
N u
thì ta nói rng
chia ht cho
hay
chia ht
và kí hiu:
hay
.
VD1.3b.1: Tìm dư trong phép chia
cho
.
Lời giải:
t:
. Vì
nên
, do ó
là a thc bc nht.
Li t:
vi . Ln lưt cho và , vi chú ý
, ta có:
Vy a thc dư trong phép chia cn tìm là
1.4. N ghim ca a thc và mt s vn liên quan:
a. nh nghĩa:
Cho a thc
Giá tr
ca mà ti ó
ưc gi là nghim ca a thc
.
b. nh lý Bézout:
Cho a thc
. Khi ó
là mt nghim ca
khi và ch khi
Chứng minh:
Xét a thc
và
. Theo nh nghĩa phép chia a thc, tn ti duy nht 2 a thc
và
sao cho:
Vì
nên
. t
, ta có:
Theo nh nghĩa v nghim ca a thc,
là nghim ca
khi và ch khi
, tc là:
ó cũng chính là pcm.
H qu 1: a thc bc không là a thc hng thì có không quá nghim.
Chứng minh:
Gi s a thc
có
và có t nghim tr lên, là:
. Theo nh lý
Bézout, ta có:
, suy ra
, mâu thun.
T ây ta có pcm.
H qu 2: a thc bc có nhiu hơn hoc bng nghim là a thc .
VD1.4b.1: (Công thc ni suy Largrange)
Cho
có
và s thc
. Chng minh rng:
Lời giải:
4
Xét a thc:
Ta thy
. Cho ln lưt nhn các giá tr
, ta thy thì:
Suy ra
là nghim ca
. Theo h qu 2 ca nh lý Bézout suy ra
. T ó:
ó là pcm.
Chú ý rng t công thc ni suy Largrange ưc chng minh trong ví d nêu trên, ta có 2 h qu quan trng:
N u a thc bc xác nh ti giá tr ca bin thì nó xác nh hoàn toàn.
N u 2 a thc có bc không ln hơn và nhn giá tr bng nhau ti im giá tr ca bin thì chúng ng
nht vi nhau.
phn sau, khi chng minh nh lý Viète và mt s nh lý quan trng khác, ta s s dng các h qu này.
1.5. a thc vi h s nguyên, s bt kh qui và tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
1.5.1. a thc vi các h s nguyên:
phn u, ta ã nh nghĩa a thc
là a thc có các h s nguyên (hay a thc nguyên) nu và
ch nu:
ng thi
1.5.2. S bt kh qui ca a thc và tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
a. nh nghĩa:
a thc
gi là bt kh qui trên
nu và ch nu
không phân tích ưc thành tích ca 2 a
thc cũng thuc
.
b. nh lý v s bt kh qui ca a thc:
Cho a thc
và
. Khi ó, nu tn ti s nguyên t
tho mãn iu kin
:
ng thi
phân tích ưc thành tích ca 2 a thc cũng thuc
thì ít nht mt trong 2 a thc trên có
bc không nh hơn .
Chứng minh:
Gi s
vi:
là các a thc thuc
.
Ta có
là s chia ht cho nhưng không chia ht cho
nên trong 2 s
và
, có úng mt
s chia ht cho . Gi s
còn
thì không.
Gi
là s nh nht mà
không chia ht cho vi
5
Vì
mà
không chia ht cho nên
.
Mà
nên . ó chính là pcm.
c. Tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
Trong nh lý trên, cho thì ta có nh lý sau:
Cho a thc
và
. Khi ó, nu tn ti s nguyên t
tho mãn:
ô
ô
thì a thc
bt kh qui trên
nh lý này ưc gi là tiêu chuNn bt kh qui Einstein. N ó rt hu dng trong vic gii các bài toán S Hc
trên a thc.
1.6. Phương trình i s và các nh nghĩa liên quan:
Cho a thc
nh cha bin: “
” ưc gi là mt phương trình i s bc (hay phương trình bc ).
gi là Nn, các h s
ưc gi là các h s ca phương trình. Các giá tr
ca làm cho
mnh úng ưc gi là nghim ca phương trình. Tp hp các giá tr y gi là tp nghim ca phương trình.
Công vic i tìm tp nghim ca mt phương trình ưc gi là gii phương trình y.
2. NN H LÝ VIÈTE:
2.1. Các a thc i xng sơ cp và vai trò ca chúng:
a thc bin
ưc gi là a thc i xng gia bin y nu vi mi hoán v
ca b s
, ta u có:
.
Các a thc i xng là mt b phn rt quan trng ca tp hp các a thc nhiu bin. Khi xét n các a thc
i xng này, ta thưng nói n nhng a thc i xng sơ cp. ó là các a thc có dng:
………………
………………
gi là hàm a thc i xng bc tương ng ca bin và là mt tng gm
các s hng bc . Mi
s hng là tích ca bin t bin
và ưc gi là tích chp ca bin phn t. Trong mt s
tài liu, biu thc
còn ưc gi là các a thc Viète.
Mt s a thc i xng sơ cp thưng gp là:
,
,
,
6
Vai trò ca các a thc i xng sơ cp nói trên trong i S là ht sc quan trng. Chúng ta s thy rõ iu y
qua nh lý sau ây:
Định lý cơ bản của Đại Số: Mi a thc i xng u có th biu din ưc qua các a thc i xng sơ cp.
nh lý này i vi trưng hp a thc bin
bn thân tôi chưa tìm ra cách chng minh. Tôi
ch có th ưa ra cách chng minh i vi trưng hp và t ó, h qu là trong trưng hp nh lý
cũng vn úng.
Chứng minh (đối với trường hợp )
:
Trong trưng hp , nh lý ưc phát biu như sau:
Mi a thc i ng
u vit ưc dưi dng a thc i xng 3 bin Viète, tc là dng:
Vi , và
Tht vy, nhn xét rng vi mi b s mũ
c nh thì các h s tương ng vi
vi mi hoán v
ca
u phi bng nhau. (Vì gi s ngưc li, tc là các h s tương ng vi
khác
nhau thì a thc không còn i xng gia ) Do ó, ta ch cn chng minh nh lý cho trưng hp:
Vi và , ta xét biu thc:
Khi ó,
ta có:
Vy bng nguyên lý quy np toán hc, ta suy ra vi mi a thc có dng
u có th ưc
biu din qua các a thc i xng 3 bin Viète. T ó, ta suy ra a thc có dng:
Tc là ng vi b s mũ , các a thc y cũng có th ươc biu din dng:
Vi
,
và
.
Xét trưng hp , ta có a thc:
N hưng a thc trên có th ưc vit dưi dng:
Vy
có th ưc biu din thông qua .
Cui cùng, xét trưng hp khác nhau ôi mt. Không mt tính tng quát, ta có th gi s .
Trong trưng hp y, ta có:
Vy nh lý ưc chng minh.
N hư vy, có th coi các a thc i xng sơ cp nêu trên là “chic cu ni” dn chúng ta t ch các a thc i
xng nói chung khó nghiên cu v trưng hp các a thc i xng sơ cp cơ bn, thun nht và d nghiên cu
hơn nhiu. Chúng ta s hiu rõ hơn v vai trò ca các a thc i xng này qua nh lý Viète ưc trình bày
phn sau, cũng là tài chính ca bài báo cáo này.
7
i vi trưng hp 3 bin s , ngưi ta thưng t , và . T ó
mà hình thành mt phương pháp chng minh các bt ng thc i S mang tên “”. Chúng ta s tìm hiu
kĩ hơn v phương pháp “” phn sau.
Trong phương pháp này, khi , ta chú ý n mt s cơ s sau:
•
(tương ương vi
)
•
(tương ương vi
)
•
,
(ln lưt tương ương vi
và
)
• (tương ương vi
)
VD2.1a.1: (Bulgari MO 1998)
Cho tho . Chng minh rng:
Lời giải:
t , và . Ta có:
Bt ng thc cn chng minh tương ương vi:
Mt khác do và theo bt ng thc Cauchy ta có:
Hay , do ó:
Vy ta có pcm, và ng thc ch xy ra khi .
Bây gi chúng ta hãy n vi nh lý Viète.
8
2.2. nh lý Viète:
a. ơi nét v François Viète:
Francois Viète, còn được nhiều người biết đến với tên tiếng La tinh là Vieta, ông sinh năm 1540 tại
Fontenay-le-Comte, Pháp. Thû nhỏ ông học ở một trường dòng và sau đó tiếp tục học luật ở trường Đại học
Poitiers ngay tại quê nhà. Ông sớm nổi bật lên bởi sự khôn ngoan, sắc sảo trong những lần tham vấn về luật
pháp cho những người lỗi lạc,sau đó không lâu ông trở thành cố vấn hoàng gia cho Vua Henry III và Henry
IV của Pháp.Vào những lúc rảnh rỗi,ông nghiên cứu toán học và tự xuất bản những kết quả mà ông gặt hái
được.ng được mệnh danh là cha đẻ của ngành số học hiện đại và là nhà toán học lỗi lạc nhất của thế kỉ 16.
Những câu chuyện sau sẽ phần nào mô tả một chút tính cách của ông.Trong thời gian làm việc cho vua
Henry III,ông đã tìm ra chìa khóa mật mã của người Tây Ban Nha dài 500 kí tự và đọc được thư từ bí mật
của quân đội kẻ thù.Vua Philipp II của Tây Ban Nha vẫn tin chắc rằng mật mã của mình là bất khả xâm
phạm,không ai có thể giải mã được nên khi nghe tin đó ,ông ta đã phàn nàn với Đức giáo hoàng rằng người
Pháp đã sử dụng ma thuật để chống lại ông ta và điều đó trái với những bài học tốt đẹp của Chúa.
Khả năng cư xử khéo léo của Viete được minh họa trong câu chuyện về Francoise de Rohan, người em
họ của Henry III.Bà đã hứa hôn với công tước J.de Nermours và có một con trai với ông nhưng sau đó,ông
này lại cưới một người phụ nữ khác là Anne d’Este. Francoise muốn ông ta công bố là chồng hợp pháp của
mình còn đứa con cùng Anne chỉ là con hoang.Viete đã tìm ra giải pháp:Nghò viện tuyên bố Francoise là vợ
hợp pháp của Nemours và trao cho bà ta những quyền lợi của một công tước và đồng thời cuộc hôn nhân của
Anne và Nemours bò huỷ bỏ để đảm bào Anne và con cô ta sẽ không bò tổn hại nào về danh dự hay quyền
lợi.
Khả năng toán học của Viete bắt đầu lộ diện trong sự việc sau vào mùa hè năm 1594.Nhà toán học
người Bỉ A. van Roomen đưa ra thách thức cho tất cả những nhà toán học đương thời về lời giải cho một
phương trình bậc 45.Đại sứ Hà Lan dâng cho vua Henry IV cuốn sách của van Roomen với lời bình luận
rằng dường như nước Pháp không có một nhà toán học nào quan trọng.Nhà vua cho gọi Viete và ngay sau
đó ông đã lập tức tìm ra lời giải cho bài toán ,vào ngày hôm sau,ông tìm ra hơn 22 cách giải nữa.
Đáp lại Van Roomen,Viete thách thức ông giải bài toán Apollonius tìm ra cách xây dựng 1 đường tròn
tiếp xúc với 3 tam giác cho trước.Khi Adrianus Romanus tìm ra lời giải sử dụng 2 hyperbolas,Vieté không
hài lòng lắm với lời giải đó vì nó xa lạ với hình học mà theo ông chỉ cần dùng hình học phẳng ,chỉ với những
đường tròn và đường thẳng. Sau đó, ông đã đưa ra lời giải tổng quát cho bài toán tiếp tuyến với một phương
pháp thuần chất hình học và xuất bản một cuốn sách nhỏ với tựa đề Apollonius Gallus năm 1600 ở Paris.
Adrianus cảm thấy rất hài lòng và hứng thú nên ngay sau đó ông lên đường đến Pháp để gặp Viete và có
một tình bạn mật thiết với Viete.
Lấy làm ngạc nhiên vì sao một luật sư bận rộn như Viete lại có thể dành nhiều thời gian đến thế cho
toán học.Theo một nhà sử học đương thời,vào năm 1620,sự suy tư dành cho toán học của Viete sâu sắc đến
nỗi suốt 3 ngày liền ông ngồi trên bàn làm vic, không ăn, không ngủ, ngoại trừ ngả đầu vào khuỷ tay và
thiếp đi, cũng không nghỉ ngơi một chút nào. Viete mất năm 1603, ch 2 tháng sau khi vua cho ông nghỉ hưu.
b. nh lý Viète:
Cho a thc
xác nh như sau:
và
b s thc
(khơng nht thit phi hồn tồn phân bit ln nhau, trong trưng hp a thc có
nhiu nghim bng nhau). Khi ó,
là nghim ca
khi và ch khi chúng tho mãn h iu
kin sau:
9
Chứng minh:
a. nh lý thun:
Gi s
là các nghim ca
. Theo nh lý Bézout thì:
T ng nht thc trên ta có:
ó chính là pcm.
b. nh lý o:
Gi s b s
là tho h iu kin
. Ta chng minh rng chúng là nghim ca
.
Tht vy, gi
là nghim ca
. Theo nh lý thun va chng minh, ta có:
Xét 2 a thc:
N hưng do
nên
và vì th tp nghim ca chúng là ging nhau.
T ây ta cũng có pcm.
VD2.2b.1: Cho a thc
và
có nghim không
âm. Chng minh rng:
Lời giải:
Theo nh lý Viète ta có:
Áp dng bt ng thc Cauchy ta có:
10
ó chính là pcm.
VD2.2b.2: Cho phương trình:
. Bit rng phương trình
có nghim
trong khong
và . Chng minh rng:
Lời giải:
Gi
là nghim ca phương trình
. Theo nh lý Viète ta có:
Vì nên bt ng thc cn chng minh tương ương vi:
Do gi thit
nên
.
Áp dng bt ng thc Cauchy ta có:
Lý lun tương t ta có:
N hân theo v các bt ng thc
và
ri rút gn, ta có:
Và ó chính là pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi:
VD2.2b.3: Tn ti hay không mt tp hp gm hu hn các s thc dương sao cho ng vi mi
u
tn ti a thc
sao cho
và
có úng nghim u thuc .
Lời giải:
[...]... trình khi và chỉ khi: −I I −ˤ ; ˲# ˲$ + ˲$ ˲% + ˲% ˲# = ; ˲# ˲$ ˲% = ˲# + ˲$ + ˲% = I I I Ta sẽ xét một số bài toán ví dụ cho việc ứng dụng định lý Viète đối với phương trình bậc 2 và bậc 3 ở phần sau 11 3 CÁC ỨN G DỤN G CỦA ĐNN H LÝ VIÈTE: 3.1 Định lý Viète với phương trình bậc 2: a Liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc 2: Cho phương trình bậc 2: I˲ $ + I˲ + I = 0 Khi đó, dựa vào định lý cơ... 7 5−3 7 2 c Ứng dụng của phép thế Viète trong chứng minh các bất đẳng thức, phương pháp “J, J, J”: Trước hết ta nhắc lại định lý sau: Định lý cơ bản của Đại Số (đối với trường hợp 3 biến số): Mọi đa thức đối xứng ˦{˲, ˳, ˴{ đều có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức H{J, J, J{ trong đó J = ˲ + ˳ + ˴, J = ˲˳ + ˳˴ + ˴˲, J = ˲˳˴ Áp dụng định lý trên, để chứng minh một bất đẳng thức đối xứng giữa 3 biến... Tính: ˟ = I$ + I $ + I $ + III Lời giải: Theo định lý Viète, các cặp nghiệm của cả 3 phương trình nói trên đều gồm 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau VD3.1b.4: Cho các phương trình: 16 1 1 1 < ; ˟$ = ˲$ , < và ˟% = ˲# ˲$ , < lần lượt là tập nghiệm của các PT {1{, {2{, {3{ ˲# ˲$ ˲# ˲$ Lại theo định lý Viète, ta có: 1 1 1 $ $ $ $ ˲# + $ = I$ − 2; ˲$ + $ = I $ − 2 và ˲# ˲$ + $ $ = I $ − 2 ˲# ˲$ ˲# ˲$ Suy ra:... Theo định lý Viète, ˳, ˴ là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: ˮ $ + {˲ + 2{ˮ + ˲ $ + 2˲ + 1 = 0 Vì có tồn tại các số ˳, ˴ nên phương trình nói trên có nghiệm, do đó: ∆ = {˲ + 2{$ − 4{˲ + 1{$ ≥ 0 ⇔ ˲{3˲ + 4{ ≤ 0 4 ⇔− ≤˲≤0 3 Hợp của 2 kết qủa trên, ta có: 4 4 − ≤˲≤ 3 3 Tương tự ta cũng có: 4 4 4 4 − ≤ ˳ ≤ và − ≤ ˴ < 3 3 3 3 Vậy ta đã có đpcm 3.2 Định lý Viète đối với phương trình bậc 3: Ứng dụng của định. .. ta có đa thức ˜{˲{ cần tìm là: ˜{˲{ = {˲ − I{ = {−1{ ˕ ˲ (" Các ví dụ trên cho ta thấy ứng dụng của định lý Viète đối với trường hợp tổng quát của đa thức bậc J và trường hợp riêng đối với J = 4 Song, 2 trường hợp riêng rất thường gặp của định lý Viète là: Đối với phương trình bậc 2: I˲ $ + I˲ + I = 0 ˲# , ˲$ là 2 nghiệm của phương trình khi và chỉ khi: −I I ; ˲# ˲$ = ˲# + ˲$ = I I Đối với phương trình... ˰ = 1 Vậy các giá trị cần tìm của J là J ∈ {1; 2; 3; 4} e Giải và biện luận một số hệ phương trình: Một đa thức ˦{˲# ; ˲$ ; … ; ˲ { được gọi là đối xứng giữa các biến ˲# , ˲$ , … , ˲ nếu như với mọi hoán vị ˲ ; ˲ ; … ; ˲ của bộ số {˲# ; ˲$ ; … ; ˲ {, ta đều có: ˦ ˲ ; ˲ ; … ; ˲ = ˦{˲# ; ˲$ ; … ; ˲ { Hệ phương trình gồm các phương trình đối xứng giữa các Nn được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I... tìm hiểu ứng dụng của định lý Viète trong việc giải các hệ phương trình loại này ˲ $ + ˲˳ + ˳ $ = 4 ˲ + ˲˳ + ˳ = 2 VD3.1e.1: Giải hệ phương trình: Lời giải: Đặt ˟ = ˲ + ˳ và ˜ = ˲˳, hệ phương trình trở thành: ˜ = 2−˟ −˜ = ˟ − 2 ˟=2 ˟=0 ˟$ − ˜ = 4 ⇔ Ӝ ⇔ ⇔Ӝ hoặc Ӝ $ $ ˟{˟ − 2{ = 0 ˟ + ˟ − 4˟ + 4 = 4 ˜=0 ˜=2 ˟+˜ =2 Do điều kiện ˟ $ ≥ 4˜ nên ta chỉ chọn kết quả ˟ = 2; ˜ = 0 Khi đó, theo định lý Viète đảo,... ˟ = 2 và khi ˭ = 2 2 3 1± 5 Vậy max ˟ = 2 và min ˟ = , đạt được lần lượt tại ˭ = 2 và ˭ = 2 2 1 = 0 có các nghiệm ˲# , ˲$ Kí hiệu như sau: 2 1 ˟ = ˲# + ˲$ , ∀J ∈ W∗ và J ≥ 2 Chứng minh rằng ˟ = 3˟ # + ˟ $ 2 Lời giải: Theo định lý Viète, ta có: −1 " " $ $ ˟" = ˲# + ˲$ = 2; ˟# = ˲# + ˲$ = 3; ˟$ = ˲# + ˲$ = {˲# + ˲$ {$ − 2˲# ˲$ = 3$ − 2 F = 10 2 Suy ra: ˀ d Các bài toán số học: F : Cho phương trình... với phương trình bậc 3: Ứng dụng của định lý Viète đối với phương trình bậc 3 tương tự như ứng dụng của định lý này đối với phương trình bậc 2 Ta hãy xét một số bài toán: a Liên hệ giữa các nghiệm ˲# , ˲$ , ˲% của một phương trình bậc 3: ## ## ## VD3.2a.1: Gọi ˲# , ˲$ , ˲% là 3 nghiệm của phương trình: ˲ % − ˲ + 1 = 0 Tính: ˟ = ˲# + ˲$ + ˲% Lời giải: Theo định lý Viète, ta có: 27 ˲# + ˲$ + ˲% = 0 ˲#... số nguyên ∀J ∈ W Tính ˟ # theo ˟ và ˟ # , ∀J ∈ W∗ Tìm số dư phép chia ˟%#" cho 5 Lời giải: " " Theo định lý Viète, ta có: ˟" = ˲# + ˲$ = 2; ˟# = ˲# + ˲$ = 6 nên ˟" và ˟# là các số nguyên Mặt khác, cũng theo định lý Viète, ta có: ˲# ˲$ = 1, suy ra: 1 , ∀J ∈ W∗ ˟ = ˲# + ˲# Giả sử ˟ là số nguyên ∀˫ = 1, J, ta có: 1 1 1 1 F Ӟ˲# + ӟ = ˲# # + + ˲# # + ˲# ˲# ˲# # ˲# # là các số nguyên (theo giả thiết qui . trình bc 2 và bc 3 phn sau.
12
3. CÁC N G DN G CA NN H LÝ VIÈTE:
3.1. nh lý Viète vi phương trình bc 2:
a. Liên h gia các nghim. và nhn giá tr bng nhau ti im giá tr ca bin thì chúng ng
nht vi nhau.
phn sau, khi chng minh nh lý Viète và mt s nh lý
Ngày đăng: 25/01/2014, 11:20
Xem thêm: Tài liệu Định lý Vectơ và các ứng dụng pdf, Tài liệu Định lý Vectơ và các ứng dụng pdf
