Thông tin tài liệu
Tổng quan
Phương trình Đại số
PHƯƠNG TRÌNH
A. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phần này đề cập đến các phương pháp giải các phương trình có bậc nhỏ hơn 5
I. Phương trình bậc nhất
Dạng tổng quát :
axbc+=
Biện luận :
•
0a ≠
: phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
=−
•
0a =
: phương trình có dạng
0
xb
=−
0b ≠
: phương trình vô nghiệm
0b =
: phương trình có vô số nghiệm
II. Phương trình bậc hai
Dạng tổng quát :
(
)
2
0 0axbxca++=≠ (1)
Biện luận : Ta xét
2
4bac∆=−
•
0∆<
: phương trình vô nghiệm.
•
0∆=
: phương trình có nghiệm kép :
12
2
b
xx
a
==−
•
0∆>
: phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1
2
b
x
a
−+∆
=
,
2
2
b
x
a
−−∆
=
Ví d
ụ. Chứng minh rằng phương trình
(
)
2
0xabcxabbcca++++++= vô nghiệm với
,,abc
là 3 cạnh của một tam giác .
Giả
i.
Ta có
()()()
2
222
42abcabbccaabcabbcca∆=++−++=++−++
Mà
0∆<
do
,,abc
là ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học)
Đònh lý Viet và một số ứng dụng
Giả sử
0∆≥
. Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình (1) thì :
12
12
.
b
S
a
c
P
a
xx
xx
−
==
==
+
Bằng
đònh lý Viet
chúng ta có thể xét dấu của các nghiệm như sau
- Phương trình có hai nghiệm dương
0⇔∆≥
và
0P >
và
0S >
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu
0⇔∆≥
và
0P <
- Phương trình có hai nghiệm âm
0⇔∆≥
và
0P >
và
0S <
Thí du
ï . Tìm m sao cho phương trình
(
)
2
22610
xmxm
−+++=
(*) có hai nghiệm không
nhỏ hơn 2
Giải
Đặt
2
tx
=−
thì phương trình đã cho trở thành
2
2230
tmtm
−+−=
(**)
Phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
⇔
phương trình (**) có hai nghiệm
không âm
'0
0
0
S
P
∆≥
⇔≥
≥
2
230
2 0
2 30
m
m
m
m
−+≥
⇔≥
−≥
3
2
m
⇔≥
Vậy
3
2
m
≥
thì phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
III. Phương trình bậc ba
Dạng tổûng quát :
(
)
32
0 0
axbxcxda
+++=≠
Ta đưa về dạng :
32
0
xaxbxc
+++=
(2)
Đặt
3
a
xy
=−
thì phương trình (2) được viết lại dưới dạng
3
0
ypyq
−−=
(2’) trong đó
2
3
a
pb
=−
và
3
2
273
ab
a
qc
−
=+−
. Công thức nghiệm của phương trình (2’) là :
y
=
3
32
3
32
27422742
pq
q
pq
q
+−−+++−
được gọi là công thức Cardano , lấy tên của nhà
toán học Italia. Cardan theo học trưòng đai học Pavie, rồi đại học Padoue và nhận bằng tốt
nghiệp Y khoa năm 1526
Cardan viết khá nhiều về Tốn, cũng như một số ngành khác. Ơng đặt vấn đề giải phương trình
bậc ba cụ thể là
3
620
xx
+=
. Bây giờ ta nói tổng qt là
3
xpxq
+=
. Phương pháp của
Cardan như sau: thay
xuv
=−
và đặt
,
uv
như thế nào đó để tích
1
3
uv
=
( hệ số của
x
trong
phương trình bậc ba đang khảo sát ). Nghĩa là
2
uv
=
. Từ phương trình
3
620
xx
+=
ta có
(
)
333
()320
uvuvuvuv
−+−=−=
. Khử
v
từ
2
uv
=
và từ
33
20
uv
−=
ta có
633
208 10810
uuu
=+⇒=+
. Từ
xuv
=−
và
33
20
uv
−=
, ta có
33
1081010810
x
=+−−
.
Cardan cho một cơng thức tương đương đối với phương trình
3
xpxq
+=
là:
2323
33
24272427
qq
qpqp
x =−−+++−−+
Các dạng phương trình bậc ba thường gặp và phương pháp giải
1. Giải phương trình khi biết một nghiệm của phương trình
Giả sử ta biết được nghiệm
0
x
của phương trình (2) bằng cách đoán nghiệm ( thường là
các nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức là
32
000
0
axbxcxd
+++=
. Khi đó phương
trình (2)
3232
000
axbxcxdaxbxcxd
⇔+++=+++
(
)
(
)
(
)
()
22
0000
0
22
000
0
0
xxaxaxbxaxbxc
xx
axaxbxaxbxc
⇔−+++++=
=
⇔
+++++=
Xét
()
(
)
2
2
000
4
axbaaxbxc
∆=+−++
i) Nếu
0
∆<
thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất
0
xx
=
ii) Nếu
0
∆≥
thì phương trình (2) có các nghiệm
0
0
()
2
xx
axb
x
a
=
−+±∆
=
Thí dụ. Giải phương trình
32
3100
xxx
−+−=
Giải
Nhận thấy
2
x
=
là 1 nghiệm của phương trình
Phương trình
(
)
(
)
2
2502
xxxx
−++=⇔=
Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm
2
x
=
2. Phương trình bậc ba đối xứng
Dạng tổng quát
(
)
32
0 0
axbxbxaa
+++=≠
Phương trình bậc ba đối xứng luôn nhận
1
x
=−
làm nghiệm
Thật vậy, ta có phương trình
(
)
(
)
(
)
2
10
xaxbaxa
⇔++−+=
()
2
1
0
x
axbaxa
=−
⇔
+−+=
Mở rộng
Một số tính chất của phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX)
Dạng tổng quát của PT HSĐX
(
)
1
110011
0 , ,
nn
nnnn
axaxaxaaaaa
−
−−
++++===
Tính chất 1. PT HSĐX nếu có nghiệm
0
x
thì
0
0
x
≠
và
0
1
x
cũng là nghiệm
Tính chất 2. PT HSĐX bậc lẻ (
21
nk
=+
) nhận
1
x
=−
là nghiệm
Tính chất 3. Nếu
(
)
fx
là đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng thì
(
)
(
)
(
)
1
fxxgx
=+ , trong đó
(
)
gx
là đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng
Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc 5 làm thí dụ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5432432
1
axbxcxcxbxaxaxbaxcabxbaxa
+++++=++−++−+−+
Vậy việc giải một phương trình có hệ số đối xứng bậc
n
lẻ tương ứng với việc giải một
phương trình có hệ số đối xứng bậc
1
n
−
chẵn
3. Phương trình bậc ba hồi quy
Dạng tổng quát
(
)
3233
0 ,0,
axbxcxdadacdb
+++=≠=
q Từ điều kiện ta thấy nếu
0
c
=
thì
0
b
=
⇒
phương trình (2b) có nghiệm
3
d
x
a
−
=
q Nếu
0
c
≠
thì
0
b
≠
, điều kiện
3
dc
ab
⇔=
.
Đặt
c
t
b
=−
thì
cbt
=−
và
3
dat
=−
khi đó phương trình trở thành
323
0
axbxbtxat
+−−=
(
)
(
)
()
22
22
0
0
xtaxatbxat
xt
axatbxat
⇔−+++=
=
⇔
+++=
Vậy
c
x
b
=−
là 1 nghiệm của phương trình . Nếu
()
2
2
40
atba
∆=+−≥
thì phương trình có
thêm các nghiệm là
()
2
atb
x
a
−+±∆
=
Thí dụ. Giải phương trình
32
8210
xxx
−−+=
Đáp số.
1
2
x
=−
IV. Phương trình bậc bốn
Dạng tổng quát
(
)
432
0 0
atbtctdtea
++++=≠
Ta đưa về dạng
432
0
tatbtctd
++++=
(3)
Đặt
4
a
tx
=−
thì phương trình (3) được đưa về dạng
42
xpxqxr
=++
(3’) trong đó
()
2
3
42
3
8
1
82
1
31664256
256
a
pb
a
qabc
raabacd
=−
=−+−
=−+−
Phương trình (3’)
(
)
(
)
(
)
42222
22
xxpxqxrR
ααααα++=++++∈
(
)
()
(
)
2
222
2xpxqxr
ααα
⇔+=++++
(3*)
Ta tìm
α
thỏa hệ thức
(
)
(
)
22
42qpr
αα
=++
để viết vế phải thành
(
)
2
p
α
+
2
2(2)
q
x
p α
+
+
Khi đó ta được
()
()
()
2
2
2
2
22
q
xpx
p
αα
α
+=++
+
(3**)
§ Nếu
20
p
α
+=
thì phương trình (3*)
(
)
2
22
xr
αα
⇔+=+
(Bạn đọc tự biện luận tiếp)
§ Nếu
20
p
α
+<
thì phương trình (3**) vô nghiệm ( do VT
≥
0 và VP < 0)
§ Nếu
20
p
α
+>
thì phương trình (3**)
()
2
2
22
q
xpx
p
αα
α
⇔=±++−
+
Đây là phương trình bậc 2 theo
x
, các bạn tự biện luận
Thí dụ. Giải phương trình
42
2830
xxx
−−−=
(*)
Giải.
Phương trình (*)
42
283
xxx
⇔=++
Ta chọn
α
thỏa
(
)
(
)
2
644223
αα
=++
. Dễ dàng nhận thấy
α
= 1 thoả
Phương trình (*)
422
21484
xxxx
⇔++=++
( cộng mỗi vế một lượng
2
21
x
+
)
(
)
()
()
()
2
2
2
2
2
141
121
121
xx
xx
xx
⇔+=+
+=+
⇔
+=−+
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là
15
x=±
Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp và phương pháp giải
1. Phương trình bậc bốn trùng phương
:
Dạng tổng quát
(
)
42
0 0
axbxca
++=≠
Phương pháp giải rất đơn giản bằng cách đặt
2
0
yx
=≥
để đưa phương trình về dạng
phương trình bậc hai
2
0
aybyc
++=
và biện luận
2. Phương trình bậc bốn đối xứng
Dạng tổng quát
(
)
432
0 0
axbxcxbxaa
++++=≠
Do
0
a
≠
nên
0
x
=
không là nghiệm của phương trình, ta có thể chia cả 2 vế của phương
trình cho
2
0
x
≠
và được
2
2
0
ba
axbxc
xx
++++=
2
2
11
0
axbxc
xx
⇔++++=
(*)
Đặt
1
yx
x
=+
( điều kiện :
2
y
≥
)
2222
22
11
22
yxxy
xx
⇒=++⇒+=−
Khi đó phương trình (*) trở thành
2
20
aybyca
++−=
và dễ dàng giải được
Lưu ý
Ngoài kiểu phương tình bậc bốn đối xứng như trên còn có phương trình bậc bốn có hệ số đối
xứng lệch
432
0
axbxcxbxa
++−+=
(
0
a
≠
)
Phương pháp giải tương tự như trên, xin giành cho bạn đọc
Thí dụ: Cho phương trình : 8x
4
– 5x
3
+ mx
2
+ 5x + 8 = 0.
a) Giải phương trình khi m = -16.
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm .
Đáp số: a) x
1
= 1, x
2
= -1, x
3
=
16
2815 +
, x
4
=
16
2815 −
b) m
≤
32
487
−
.
3.Phương trình bậc bốn hồi quy :
Dạng tổng quát : ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 , (a
≠
0) trong đó ad
2
= eb
2
(*)
q Nếu b = 0 thì d = 0 phương trình trở thành phương trình trùng phương :
ax
4
+ cx
2
+ e = 0 và ta giải quyết được theo phương pháp 1.
q Nếu b
≠
0 thì d
≠
0 , điều kiện ó
a
e
=
2
d
b
Đặt
b
d
= t thì e = at
2
và d = bt thì phương trình (*) trở thành:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ btx + at
2
= 0. (**)
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình (**) nên ta chia 2 vế phương trình (**) cho
x
2
≠
0 ta được ax
2
+ bx + c +
x
bt
+
x
t
a
2
2
= 0
ó a(x
2
+
x
t
2
2
) + b(x +
x
t
) + c = 0 (***)
Đặt x +
x
t
= y (điều kiện : y
2
≥
4t)
⇒
x
2
+
x
t
2
2
+ 2t = y
2
⇒
x
2
+
x
t
2
2
= y
2
– 2t.
Phương trình (***) trở thành : ay
2
+ by + c – 2at = 0 là phương trình bậc hai theo y , ta sẽ
tìm được nghiệm y
⇒
tìm được x.
Thí dụ : giải phương trình 2x
4
– 21x
3
+ 34x
2
+ 105 x + 50 = 0.
Hứơng dẫn: Đặt x -
x
5
= y ta thu được phương trình : 2y
2
–21y + 54 = 0 có nghiệm
y
1
= 6, y
2
=
2
9
o Với y
1
= 6 thì ta thu được các nghiệm : x
1
=
143+
, x
2
=
143−
.
o Với y
2
=
2
9
thì ta thu được : x
3
=
4
1619+
, x
4
=
4
1619 −
.
4.Phương trình bậc bốn dạng (x +
a
)
4
+ (x + b)
4
= c , (c > 0) :
(3d)
Phương pháp giải phương trình loại này là đặt x = y -
2
ba
+
. Khi đó phương trình (3d) trở
thành:
44
22
abab
yyc
−−
++−=
. Đặt
α
=
2
ba
−
để được phương trình gọn hơn :
()()()()()()
2
442222
2
yycyyyyc
αααααα
++−=⇔++−−+−=
(
)
(
)
22
2222
4224
222
21220 (*)
yyc
yyc
αα
αα
⇔+−−=
⇔++−=
(*) là phương trình trùng phương theo y.
Ta giải quyết tiếp bài toán theo phương pháp 1.
Thí dụ : Giải phương trình (x – 2004)
4
+ (x – 2006)
4
= 2
Đáp số: x = 2005
5. Phương pháp hệ phương trình đối xứng
Khi ta gặp các phương trình dạng
(
)
(
)
()
2
22
0
aaxbxcbaxbxccxa
++++++=≠
(4e)
thì ta chuyển về hệ phương trình bằng cách đặt
2
yaxbxc
=++
. Lúc đó ta có hệ đối xứng
²
²
axbxcy
aybycx
++=
++=
Ta trừ vế theo vế hai phương trình của hệ và thu được
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
10
axyxybxyyxxyaxayb
−++−=−⇔−+++=
()
()
(
)
()
2
2
2
2
10
1
1
1
10
xy
xaxbxc
axbxc
b
b
bac
xy
axbx
xaxbxc
a
a
a
=
=++
+−+=
⇔⇔⇔
−+
−+
++
+=
+++=
+++=
Giải 2 phương trình bậc hai này ta thu được nghiệm của phương trình
Thí dụ. Giải phương trình
(
)
2
22
24
xxx
+−+=
Giải
Phương trình
(
)
(
)
2
22
222
xxxxx
⇔+−++−−=
Đặt
2
2
yxx
=+−
thì ta có hệ :
² -2
² -2
xxy
yyx
+=
+=
Trừ vế theo vế ta được
(
)
(
)
20
xyxy
−++=
2
2
2
2
20
02
220
xyxxx
x
xy
xx
xxx
==+−
=±
⇔⇔⇔
++=
=∨=−
++−+=
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
{
}
2,2,0,2
x∈−−
6. Phương trình bậc bốn dạng
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xaxbxcxdmabcd
β
++++=+++=
Phương trình
(
)
(
)
22
xxabxxcdm
ββ
⇔++++=
Đặt
2
xxy
β
+=
thì ta được phương trình
(
)
(
)
yabycdm
++=
(
)
2
0
yabcdyabcdm
⇔+++−=
Giải ra ta tìm được
y
rồi thay vào phương trình ban đầu để tìm
x
Thí dụ. Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
1357297
xxxx−−++=
Giải
Để ý thấy (-1) + 5 = (-3) + 7 cho nên tabiến đổi lại như sau:
Phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
1537297
xxxx⇔−+−+=
(
)
(
)
()()
()
22
2
2
12
45421297
521297 4
261920
32, 6
xxxx
yyyxx
yy
yy
⇔+−+−=
⇔−−==+
⇔−−=
⇔==−
7. Phương trình bậc bốn dạng
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
xaxbxcxdmxadbc
β
++++===
Phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
2
xaxdxbxcmx
⇔++++=
(
)
(
)
222
xadxxbcxmx
ββ
⇔++++++=
Ta chỉ quan tâm đến trường hợp
0
β
≠
. Khi đó
0
x
=
không là nghiệm phương trình trên
Chia 2 vế phương trình trên cho
2
0
x
≠
ta được
xabxcdm
xx
ββ
++++++=
Đặt yx
x
β
=+
ta thu được phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
yabycdmyabcdyabcdm
++++=⇔+++++++−=
Giải phương trình trên ta thu được
y
từ đó tìm được
x
Thí dụ. Giải phương trình
(
)
(
)
222
32918168
xxxxx
++++=
Hướng dẫn.
Phương trình
66
75168
xx
xx
⇔++++=
()()
2
12
6
75168
7
121330
19
6
71,6
619337
19
2
yyyx
x
y
yy
y
xxx
x
xx
x
⇔++==+
=
⇔+−=⇔
=−
+=⇔==
⇔
−±
+=−⇔=
Vậy các nghiệm của phương trình là
1933719337
1,6,,
22
x
−+−−
∈
B. CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Trong phần này tôi xin giới thiệu cùng bạn đọc một số phương trình thường gặp trong các kì
thi như : phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối , phương trình vô tỷ, phương trình chứa ẩn ở
mẫu.
I.Phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối :
Một số tính chất của A : A =
<
≥
0 A nếu A-
0 A nếu A
A
∀
∈
R
1)
ABAB
+≤+
. Dấu “=” xảy ra
⇔
AB
≥
0.
Chứng minh : Bình phương 2 vế : A
2
+ 2AB + B
2
≤
A
2
+ 2 AB + B
2
ó AB
≤
AB : luôn
đúng.
2) BABA −≥− . Dấu “=” xảy ra
⇔
B(A – B)
≥
0
Chứng minh: Áp dụng tính chất 1 ta có : A = BB)-(A +
≤
BA − + B
⇔
BABA −≥− : đpcm.
Lưu ý:
A
2
= A
Thí dụ :giải phương trình
14412
22
=+−++− x
x
x
x
Giải: phương trình
⇔
()()
121
22
=−+− xx
⇔
xx −+− 21 = 1 . (Để ý 2−x = x−2 )
Áp dụng tính chất 1 ta có xx −+− 21
≥
(
)
)2(1 xx −+−
⇔
xx −+− 21
≥
1. Dấu “=”
⇔
(x – 1)(2 – x)
≥
0
⇔
1
≤
x
≤
2
v Một số dạng thường gặp:
1.Phương trình dạng
A
=
B (5a)
Phương trình (5a)
AB
AB
=
⇔
=−
2.Phương trình dạng
A
=
B (5b)
Phương trình (5b)
⇔
==
≥
B- A hayB A
0
B
hoặc
Phương trình (5b)
⇔
=
≥
B A
0
A
hay
=
<
B- A
0
A
3.Phương trình cứ nhiều dấu giá trò tuyệt đối :
Phương pháp thừơng dùng là xét nghiệm của phương trình trên từng khoảng giá trò của
TXĐ.
Thí dụ :giải phương trình 42533 −=−++ xxx (5c).
Giải: Nghiệm của các phương trình (3x + 3) , (x – 5), (2x – 4) lần lượt là –1, 5, 2.
o Khi x
≥
5 thì phương trình (5c) trở thành :(3x + 3) + (x – 5) = (2x – 4)
⇔
x = -1 (loại do
không thuộc khoảng đang xét )
o Khi 2
≤
x < 5 thì phương trình (5c) trở thành (3x + 3) + (5 – x) = (2x – 4)
⇒
vô nghiệm .
[...]... giải phương trình chứ a dấu giá trò tuyệt đối theo y Thí dụ : giải phương trình Đáp số : x = 2 x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 2x − 1 4 .Phương pháp hệ phương trình hóa: Trong phần này tôi xin trình bày cách chuyển một phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ cũng bằng cách đặt ẩn phụ i) Phương trình bậc hai chứa căn : Dạng tổng quát : ax + b = r (ux + v)2 + dx + e (a, u , r ≠ 0) (6e) Phương. .. x − 2 ) 8 10 =1 Bài 7: Giải phương trình: x −8 − 2 = 4 Bài 8: Giải phương trình: x + 3 + 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1 = 6 Bài 9: Giải phương trình: x2 − x + 5 = 5 Bài 10: Giải phương trình: 8x3 − 2 x2 − x + 1 = 0 Bài 11: Giải phương trình: x4 = 4x2 − 3 Bài 12: Giải phương trình: 2x2 − 6 x −1 = 4 x + 5 Bài 13: Giải phương trình: ( x + 3)4 + ( x + 5) 4 = 4 Bài 14: Giải phương trình: x +1 x+6 x+2 x+5 + 2... +4 1 1 < 1 < VP suy ra (7c1) vô nghiệm Xét phương trình (7c1) Ta có VT < + 2( 6 + 2 2 ) 2 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x = 5 III .Phương trình chứa ẩn ở mẫu : Đối với phương trình loại này chúng ta cần lưu ý tìm điều kiện của x để mẫu khác 0 Sau đây là một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 1 Phương pháp khử phân thức Mục đích của phương pháp là dùng để triệt tiêu và rút gọn... và b – cx ≥ 0 ⇒ Phương trình (6c) trở thành 2y + d(y2 – a – b) = n ó dy2 + 2y – (a + b + n) (6c2) Điều kiện của y là: a + b ≤ y ≤ 2 a + b Giải phương trình (6c2) ta có y , thay y vào phương trình (6c1) rồi bình phương 2 vế ta tìm được x Thí dụ : giải phương trình x + 4 + 1 - x - (x + 4)(1 − x) = 1 Đáp số: x = 0 ii) x + a 2 − b + 2a x − b + Phương pháp giải: Điều kiện : x ≥ b Phương trình (6d) ⇔ ⇔... nhất là x = 1 Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải phương trình: (x + 3 )( ) x + 2 x + 9 x + 18 = 168 x Bài 2: Giải phương trình: 8 20 14 + 2 = 3− 2 2 x + 4 x + 16 x + 10 Bài 3: Giải phương trình: x 6 + 3x5 + 6 x 4 + 7 x3 + 6 x 2 + 3x + 1 = 0 Bài 4: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 5)( x − 3)( x − 7) = 20 Bài 5: Giải phương trình: 2 x2 − 1 5x 20 + 2 = x 2x − x −1 3 Bài 6: Giải phương trình: ( x − 1) + ( x...o Khi –1 ≤ x < 2 thì phương trình (5c) trở thành (3x + 3) + (5 – x) = (4 – 2x) ⇔ x = -1 (thỏa) o Khi x < -1 thì phương trình (5c) trở thành (-3x – 3) + (5 – x) = (4 – 2x) ⇔ x = -1 (loại do không thuộc khoảng đang xét ) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x= -1 2 .Phương trình vô tỷ: Đây là phần quan trọng nhất trong các loại phương trình vì nó rất đa dạng và phức tạp Phương trình vô tỷ thường xuất... q đẹp phải khơng các bạn J Phương trình sử dụng phương pháp này thường chỉ có 1 nghiệm x0 và nghiệm này thường dễ đốn Cách đánh giá dựa trên việc xét x > x0 và x < x0 để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = x0 Thí dụ: Giải phương trình 5 − x 6 − 3 3x 4 − 2 = 1 Giải: Điều kiện: − 6 5 ≤ x ≤ 6 5 Phương trình tương đương với 5 − x 6 = 3 3 x 4 − 2 + 1 Ta dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1 , nghĩa... đó là ở bậc của mỗi phương trình Phương trình đầu tiên bậc 2 có lẽ chứa P Thể nhưng nó khơng ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4,gấp đơi bậc 2 Nếu các bạn nhìn trong biểu thức S và P,bậc của P gấp đơi bậc của S,như vậy phải chăng phương trình thư nhất là S,thứ hai là P Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì Quan sát phương trình thứ hai các bạn... tổng hợp các mục về hệ phương trình mà ta đã xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: x 2 y + xy 2 = 6 a) xy + x + y = 5 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 21 b) 2 2 x − xy + y = 7 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: x + y + x2 + y 2 = 8 x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau: 3 2 2 3 x + y + x + 2 x y + 2 xy + y = 0 x y = −2 Bài 4:Giải hệ phương. .. thường gặp và phương pháp giải: 1 .Phương pháp giản ước : Khi ta chia 2 vế của phương trình cho f(x) thì phải chú ý điều kiện f(x) ≥ 0 Thí dụ : giải phương trình x(x - 2) + x( x − 5) = x( x + 3) (6a) Giải: Điều kiện : x ≥ 5 hoặc x ≤ -3 Xét x ≥ 5: khi đó ta chia 2 vế phương trình (6a) cho x > 0 thì thu được : x - 2 + x − 5 = x + 3 Bình phương 2 vế không âm cho ta phương trình : 2x – 7 + 2 x - 2 x − 5 = .
Tổng quan
Phương trình Đại số
PHƯƠNG TRÌNH
A. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phần này đề cập đến các phương pháp giải các phương.
•
0a =
: phương trình có dạng
0
xb
=−
0b ≠
: phương trình vô nghiệm
0b =
: phương trình có vô số nghiệm
II. Phương trình bậc hai
Dạng tổng quát
Ngày đăng: 25/01/2014, 09:20
Xem thêm: Tài liệu Tổng quan Phương trình Đại số doc