TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MƠN TỐN THỐNG KÊ Giáo Trình TỐN CAO CẤP Nhóm biên soạn: Nguyễn Huy Hồng (Chủ biên) Nguyễn Trung Đơng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2020 MỤC LỤC Trang Lời mở đầu Một số ký hiệu 10 Chương Ma trận – Định thức……………………………………………….…………… 12 1.1 Ma trận…………………………………………………………… 12 1.1.1 Định nghĩa ma trận 12 1.1.2 Ma trận ……………………………………………… 12 1.1.3 Các ma trận đặc biệt 13 1.1.4 Các phép toán ma trận…… 15 1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp hàng 18 1.2 Định thức……………………………………….……………………… .20 1.2.1 Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n………….………………… 20 1.2.2 Định lý khai triển định thức theo hàng hay cột 21 1.2.3 Các tính chất định thức……… 23 1.2.4 Định lý thay đổi định thức qua phép biến đổi……………… 24 1.2.5 Phần bù đại số ma trận phụ hợp…………………….……………… 25 1.3 Ma trận nghịch đảo……………….…………….……………………… .26 1.3.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo………….………………….………… 26 1.3.2 Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo 26 1.3.3 Định lý tồn ma trận nghịch đảo 28 1.3.4 Một số tính chất ma trận nghịch đảo……………………………… 28 1.4 Hạng ma trận… ……………….…………….………………………… .29 1.4.1 Định nghĩa tổng quát hạng ma trận….…………… ………… 29 1.4.2 Tính chất 1.4.3 Phương pháp tìm hạng ma trận 29 29 1.4.4 Một số bất đẳng thức hạng ma trận 30 1.5 Bài tập…… … ……………….…………….………………………… .32 Chương Hệ phương trình tuyến tính……………………………………………………….39 2.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính……………………………………… 39 2.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng quát……… ………………39 2.1.2 Định nghĩa nghiệm hệ phương trình tuyến tính………….…… 40 2.1.3 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác…………….………….…… 40 2.1.4 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang………….………….…… 41 2.1.5 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn Gauss.…… 42 2.2 Hệ phương trình Cramer………………………………………………………….45 2.2.1 Định nghĩa hệ phương trình Cramer……………………….……… … 45 2.2.2 Các phương pháp giải hệ phương trình Cramer 46 2.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 47 2.3.1 Nhận xét tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 47 2.3.2 Định lý Kronecker – Capelli 47 2.4 Hệ phương trình tuyến tính nhất…………………….…………………….50 2.4.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính 50 2.4.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất….…….………… 50 2.5 Một số tốn ứng dụng kinh tế……….……………………………… 51 2.5.1 Mơ hình cân thị trường 51 2.5.2 Mơ hình cân thu nhập quốc dân………………………… …… 54 2.5.3 Mơ hình input – output Leontief………………………………… 58 2.6 Bài tập………………………………………………………………………… 64 Chương Không gian vectơ.…………………………………………………………… .71 3.1 Các khái niệm bản…………………………………………………………71 3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ….…………………………… ………….71 3.1.2 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính vectơ………………… …………71 3.1.3 Định nghĩa khơng gian vectơ không gian vectơ……………72 3.1.4 Định nghĩa không gian sinh tổ hợp tuyến tính…………… 72 3.1.5 Định nghĩa độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính………………… 73 3.2 Cơ sở số chiều không gian vectơ………………………………………… 74 3.2.1 Định nghĩa sở không gian vectơ….…………………………74 3.2.2 Ma trận chuyển sở 74 75 3.2.3 Tính chất 3.2.4 Mệnh đề 76 3.3 Bài tập………………………………………………………………… … 79 Chương Phép tính vi phân hàm biến…………………………….…………………….84 4.1 Giới hạn dãy số thực………………………….…………………………… 84 4.1.1 Định nghĩa dãy, giới hạn dãy số thực…………… …………………84 4.1.2 Các tính chất định lý giới hạn dãy số thực….…….………84 4.1.3 Một số dãy số thực đặc biệt….……………………………….….………86 4.2 Hàm số biến số………………………… ………………………………… 89 4.2.1 Các khái niệm hàm số… ……………………….……….… 89 4.2.2 Hàm số hợp 89 4.2.3 Hàm số ngược….…….…………………………………………… … 90 4.2.4 Các hàm số sơ cấp 90 4.2.5 Dáng điệu hàm số 92 4.2.6 Một số hàm kinh tế 93 4.3 Giới hạn hàm số 95 4.3.1 Các định nghĩa giới hạn 95 4.3.2 Giới hạn hàm sơ cấp 97 4.3.3 Các dạng vô định 97 4.3.4 Các giới hạn 98 4.4 Vô bé vô lớn 99 4.4.1 Định nghĩa 99 4.4.2 Các tính chất 100 4.5 Hàm số liên tục…………………….………………………………….……… 101 4.5.1 Định nghĩa hàm số liên tục 101 4.5.2 Tính chất liên tục hàm sơ cấp…….……………………………… 102 4.5.3 Các phép toán hàm liên tục điểm 103 4.6 Đạo hàm……………………………………… 103 4.6.1 Khái niệm đạo hàm 103 4.6.2 Bảng công thức đạo hàm bản….……………………………….106 4.6.3 Các quy tắc tính đạo hàm…………….……………………………….106 4.6.4 Đạo hàm hàm hợp………………….……………………………… 107 4.6.5 Đạo hàm hàm ngược………….………………………………….108 4.6.6 Đạo hàm phía……………….……………………………… …108 4.6.7 Đạo hàm cấp cao………………….………………………………….109 4.7 Vi phân…….………………………………… 110 4.7.1 Định nghĩa vi phân 110 4.7.2 Sự liên hệ vi phân đạo hàm……….……………… … ……110 4.7.3 Tính bất biến biểu thức vi phân cấp 1….…………………………111 4.7.4 Các quy tắc tính vi phân…………….……………………………… 111 4.7.5 Vi phân cấp cao…………………….……………………………… 111 4.8 Các định lý hàm số khả vi.… .112 4.8.1 Định lý Fermat 112 4.8.2 Định lý Rolle ………………… …….………………………………112 4.8.3 Định lý Lagrange…………………………………………………….112 4.8.4 Định lý Cauchy………………….………………………………… 113 4.9 Một số ứng dụng đạo hàm vi phân.……………………………….…… 113 4.9.1 Khử dạng vô định , ∞ … 113 ∞ 4.9.2 Tính gần đúng………….……… ………………………………… 115 4.9.3 Khảo sát tính tăng, giảm cực trị hàm số….……………………115 4.9.4 Khai triển Taylor – Maclaurin………………….…………………….116 4.9.5 Ứng dụng toán kinh tế………………….……………… …119 4.10 Bài tập…….…………………………………………………… ……………122 Chương Tích phân…………………………….………………………… …………… 129 5.1 Tích phân bất định……………………….…………………………….……… 129 5.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định………….… …………… ……….129 5.1.2 Bảng cơng thức tích phân bản……….………………………….130 5.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định….……………….…… ……130 5.2 Tích phân xác định……………… …………………………………………….137 5.2.1 Định nghĩa tính chất tích phân xác định….…….……… … 137 5.2.2 Các tính chất tích phân xác định 140 5.2.3 Công thức NewTon – Leibnitz ………………….……………… …140 5.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 141 5.2.5 Ứng dụng tích phân xác định 142 5.3 Tích phân suy rộng 144 5.3.1 Tích phân suy rộng loại 1: Định nghĩa phương pháp tính 144 5.3.2 Tích phân suy rộng loại 2: Định nghĩa phương pháp tính 146 5.3.3 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng 148 5.4 Bài tập………………………………………………………… …… ……….151 Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến……………………………………………… 156 6.1 Các khái niệm………… ………….………………………………………… 156 6.1.1 Hàm số hai biến số .……………………………………………… 156 6.1.2 Định nghĩa hàm n biến số… ……….…………………………………157 6.1.3 Hàm số hợp……………………………………… ………….….…….158 6.1.4 Một số hàm kinh tế……….….………………………………… 158 6.2 Giới hạn liên tục hàm số…… ………………………… …………… 161 6.2.1 Giới hạn hàm nhiều biến số….… …………………………… …161 6.2.2 Hàm số liên tục 163 6.3 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần 164 6.3.1 Đạo hàm riêng…… ……………………………… 164 6.3.2 Vi phân ứng dụng vi phân để tính gần 171 6.4 Cực trị hàm nhiều biến 175 6.4.1 Cực trị tự 175 6.4.2 Cực trị có điều kiện 183 6.4.3 Ứng dụng kinh tế 188 6.5 Bài tập………………………………………………………… ………….196 Chương Phương trình vi phân……………………………………………………………203 7.1 Phương trình vi phân cấp 1.………………………………………………… 203 7.1.1 Các khái niệm……… … …………………………………………….203 7.1.2 Phương trình vi phân cấp dạng tách biến….…………………………203 7.1.3 Phương trình vi phân cấp dạng đẳng cấp….…….….…………… ….204 7.1.4 Phương trình vi phân cấp dạng tuyến tính……………………………206 7.1.5 Phương trình vi phân cấp dạng Bernoulli…….………………………208 7.2 Phương trình vi phân cấp 2………….………………………………………….209 7.2.1 Các khái niệm chung……………….……………………………….…209 7.2.2 Phương trình vi phân cấp giảm cấp 209 7.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số 211 7.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số không nhất.… 212 7.3 Một số ứng dụng kinh tế 218 7.3.1 Tìm hàm y = f (x) biết hệ số co dãn 218 7.3.2 Mô hình cân thị trường với kỳ vọng giá………… ………… 218 7.4 Bài tập………………………………………………………… …………….221 Một số đề tham khảo…………………………………………………………….………… 225 Phụ lục 1.Tập số, tổng, tích hữu hạn, đẳng thức, bất đẳng thức, chứng minh phương pháp quy nạp………………………………………… ………………………………… 238 Phụ lục 2.Tập hợp ánh xạ……………………….…………………………………… 241 Phụ lục Tính tốn ma trận máy tính cá nhân…………………………………… 247 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………… 249 LỜI MỞ ĐẦU Các bạn có tay “ Giáo trình Tốn cao cấp” dành cho sinh viên hệ đại trà, trường đại học Tài – Maketing Đây giáo trình dành cho sinh viên khối ngành kinh tế quản trị kinh doanh với thời lượng tín (60 tiết giảng), biên soạn dựa sách tên dành cho chương trình CLC; chúng tơi cố gắng lựa chọn nội dung bản, trọng yếu có nhiều ứng dụng kinh tế quản trị kinh doanh; nội dung giảng dạy không trùng lặp với nội dung sinh viên trang bị chương trình phổ thông; trọng ý nghĩa khả áp dụng kiến thức; giáo trình biên tập sở tham khảo nhiều giáo trình quốc tế nước (xem phần tài liệu tham khảo), kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả; Nội dung giáo trình, thiết kế phù hợp với chương trình đào tạo đại học đại trà, trình độ sinh viên khối ngành kinh tế quản trị kinh doanh Giáo trình bao gồm chương, số đề tự luyện số phụ lục cần thiết Chương Trình bày ma trận, phép toán ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận, áp dụng vào giải mơ hình cân đối liên ngành (Input – Output) Một số ví dụ tập rèn luyện Chương Trình bày hệ phương trình tuyến tính ứng dụng giải mơ hình cân thị trường n hàng hóa có liên quan Một số ví dụ tập rèn luyện Chương Trình bày khơng gian vectơ; Một số ví dụ tập rèn luyện Chương Trình bày phép tính vi phân hàm biến : Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm vi phân, ứng dụng tốn học kinh tế Một số ví dụ tập rèn luyện Chương Trình bày nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng ứng dụng phân tích kinh tế Một số ví dụ tập rèn luyện Chương Trình bày phép tính vi phân hàm nhiều biến : Hàm số nhiều biến; đạo hàm riêng, vi phân toàn phần ứng dụng phân tích kinh tế Bài tốn cực trị tự cực trị có điều kiện, phương pháp nhân tử Lagrange; Một số mơ hình ứng dụng kinh tế; Một số ví dụ tập rèn luyện Chương Trình bày phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hệ số ứng dụng phân tích kinh tế; Một số ví dụ tập rèn luyện Phần cuối, biên soạn số đề tham khảo để sinh viên có hội thử sức, tự rèn luyện số phụ lục cần tự tra cứu Do đối tượng người đọc sinh viên chuyên ngành kinh tế quản trị kinh doanh nên không sâu lý thuyết mà chủ yếu quan tâm vào ý nghĩa áp dụng kinh tế quản trị kinh doanh khái niệm kết tốn học, chúng tơi sử dụng nhiều ví dụ để người học dễ hiểu, dễ áp dụng, đảm bảo chặt chẽ logic tốn học Giáo trình Giảng viên cao cấp, TS Nguyễn Huy Hồng ThS Nguyễn Trung Đơng giảng viên Bộ mơn Tốn – Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, trường đại học Tài – Marketing, có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy tốn dành cho sinh viên khối ngành kinh tế quản trị kinh doanh, biên tập Lần đầu biên soạn, nên giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý độc giả để lần sau giáo trình hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gởi địa email: hoangtoancb@ufm.edu.vn nguyendong@ufm.edu.vn Xin trân trọng cảm ơn Thư viện, Trường đại học Tài – Marketing hỗ trợ tạo điều kiện cho giáo trình sớm đến tay bạn đọc! Tp HCM, Tháng 06 năm 2020 Các tác giả MỘT SỐ KÝ HIỆU ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿123࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿↢࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ᕞ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿࿿Ἢ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¡࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¢࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿£࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ƠƯĐăâê ơơđ àảÃá ằẳẵắ ặ ẩẫấậè ẽéẹềểễ ệìỉ íịòỏõ ọồổỗốộ ởỡớợù ũúụừửữ ựỳỷỹýỵ ỡ ࿿ı‫ﻖ‬࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿IJ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ij࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ĵ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ĵ࿿Ґ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ķ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿ĸ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ĺ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ĺ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ĻƮ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ļ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ľ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿Ŀ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŀ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ł࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ł࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ń࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ń࿿⠎࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿ņ࿿☢࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ň࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ň࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ʼn࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŋ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŋ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿ō࿿ὀ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŏ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŏ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ő࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ő࿿ ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Œ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿Ŕ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŕ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŗ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŗ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ř࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ř࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿ś࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŝ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŝ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ş࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ş࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Š࿿࿿ ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿Ţ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ţ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ť࿿ȡ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ť࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŧ࿿ⱼ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŧ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿ũ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ū࿿❑࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ū࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŭ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŭ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ů࿿≯≯࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿Ű࿿⪜࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ű࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ų࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ų࿿℉࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ŵ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ŵ࿿Ȓ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ࿿࿿ŷ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ÿ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Źⴚ⤦࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ź࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ : Tập số tự nhiên ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿124࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿↢࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ᕞ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ĂÂÊ ƠƯĐăâê ơơđ àảÃá ằẳẵắ ặ ẩẫấậè ẽéẹềểễ ệìỉ íịòỏõ ọồổỗốộ ởỡớợù k =0 238 n b a n −b n ( a −b ) ∑a n =1 = −k −1 bk với Cn = k n! k!(n − k)! Hệ n a ( a − b ) n = ∑C k i =0 n −k ( −1) k a n bk n b Nếu n lẻ: a n + b n = ( a + b ) ∑( −1) k k =1 −1 a n −k b k −1 Bất đẳng thức 4.1 Bất đẳng thức Cauchy Cho a , a , , a n ≥ , ta có a1 + a + + an ≥ a 1a n .an n = a = = an Dấu “=” xảy a 4.2 Bất đẳng thức BCS Cho a , a , , a n , b1 , b , , bn ∈  n ∑ i i =1 a b  i   ≤ Dấu “=” xảy   n  n  ∑  ∑ a  i =  i =  i a1 b1 bi a2 = b2 = = an bn 4.3 Bất đẳng thức Bernoulli Cho a ≥ −1 Ta có ∀n ∈ , ( + a ) n ≥ + na Dấu “=” xảy n = ∨n = 1, a = −1 Chứng minh phương pháp quy nạp Xét hàm mệnh đề: p(n), n ∈ * Nếu p(1) p(n) ⇒ p(n +1) 239 * Thì p(n) với ∀ n ∈ Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau phương pháp quy nạp n(n + 1) +2 + +n = Giải Đặt n(n +1) p(n) :1 + + + n = 1(1+ 1) +) Với n = 1, p(1) :1 = đẳng thức +) Với n bất kỳ, p(n) đúng, nghĩa đẳng thức n(n + 1) +2 + +n = đó, ta có + + + n + (n + 1) = n(n + 1) + (n + 1) = nghĩa p(n +1) mệnh đề Nói khác (n + 1)(n + 2) ∀ n ∈ , p(n) → p(n +1) mệnh đề Do nguyên lý quy nạp, đẳng thức n(n +1) +2 + +n = với n ∈ Chú ý nguyên lý quy nạp không đơn phép chứng minh Nó cịn dùng phép suy luận Tổng quát hơn, nguyên lý quy nạp dùng để chứng minh hàm mệnh đề sau: Xét hàm mệnh đề: ∀n ≥ n , p(n) Nếu +) p(n ) +) ∀n ≥ n , p(n) ⇒ p(n +1) Thì ∀n ≥ n , p(n) 240 Phụ lục Tập hợp ánh xạ Tập hợp 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm bản, không định nghĩa Thông thường, tập hợp bao gồm nhiều đối tượng, đối tượng gọi phần tử tập hợp Ta nhận biết tập hợp thơng qua phần tử Ví dụ Tập hợp môn mà sinh viên năm thứ trường Đại học Tài – Marketing phải học; tập hợp mặt hàng mà công ty bán,… Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C,…và phần tử tập hợp chữ in thường a, c, b,… Một tập hợp A chứa phần tử a (hay phần tử a thuộc tập hợp A) kí hiệu a∈A Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅ Để biểu diễn tập hợp A, người ta dùng giản đồ Venn với đường cong đơn khép kín, chia mặt phẳng làm hai miền, miền phía bên đường cong dành cho phần tử thuộc tập hợp A miền phía bên ngồi mặt phẳng dành cho phần tử không thuộc tập hợp A Chẳng hạn, với giản đồ Venn sau mô tả 1, 2,3 ∈ A 4,5 ∉ A Có hai cách để xác định tập hợp Cách thứ liệt kê phần tử Trong tốn học, người ta liệt kê phần tử tập hợp hai ngoặc nhọn (“{” “}”), không ý thứ tự liệt kê phần tử liệt kê lần Cách thứ hai mơ tả tính chất phần tử tập hợp Ví dụ Một số tập hợp số thường dùng Tập hợp số tự nhiên, ký hiệu hiệu * = {0,1,2, } ; tập hợp số tự nhiên khác 0, kí Tập hợp số nguyên, ký hiệu = { , -2, -1,0,1,2, } m Tập hợp số hữu tỷ, ký hiệu ={ | m ∈ ; n ∈ ; n ≠ 0} 241 Tập hợp số thực, ký hiệu = {x | x ∈ ∨x ∈ I} ; tập hợp số thực khác 0, ký hiệu hiệu * ; tập hợp số thực không âm, ký hiệu + ; tập số thực không dương ký − ,… = {a + bi | a, b ∈ ;i = −1} Tập hợp số phức, ký hiệu 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Phép lấy phần bù Phần bù A X, ký hiệu C XA (hay A ), tập X gồm phần tử {x không thuộc A, nghĩa : A = ∈Xx ∉A } 1.2.2 Phép lấy phần hợp Phần hợp A với B, ký hiệu A B, tập X gồm phần tử thuộc A hay thuộc B, nghĩa : A B = {x ∈ X x ∈ A ∨x ∈ B } 1.2.3 Phép lấy phần giao Phần giao A với B, ký hiệu A B , tập X gồm phần tử nằm A nằm B, nghĩa : A B = {x ∈ X x ∈ A ∧x ∈ B } 1.2.4 Phép lấy phần hiệu Phần hiệu A với B , ký hiệu A \ B , tập X gồm phần tử nằm A không nằm B, nghĩa : A \ B = 242 {x ∈ X x ∈ A ∧x ∉ B } Chú ý: A \ B = A B Ví dụ Cho tập X = tìm A = {0,1,2,3, ,8,9} hai tập hợp A = {0,2,4,6,8} ;B = {0,2,4} ta {1,3,5,7,9} ; A B = {0,1,2,3,4,6,8}; A B = {0,2,4}; A \ B = {6,8} 1.3 Các tính chất tập hợp Với tập hợp A, B, C ⊂ X Ta có : ( A) = A A B= B A;A B= B A ( A B) C= A ( B C) ; ( A B) C= A ( B C) ( B C) = ( A B) ( A C) ;A A ( A B) = A ( B C) = ( A B) ( A C) B;( A B) = A B A A= A; A A= A A ∅= A; A X= A A X= X; A ∅=∅ A A= X;A A=∅ A ( A B) = A; A ( A B) = A Ánh xạ 2.1 Định nghĩa Với hai tập hợp không rỗng X, Y, ánh xạ f từ X vào Y liên kết phần tử X Y cho phần tử x ∈X liên kết với phần tử y ∈ Y , ký hiệu y = f ( x) , gọi ảnh x qua ánh xạ f Ta viết :X→Y x y = f ( x) Tập X gọi miền xác định f, tập Y gọi miền ảnh f Người ta dùng giản đồ Venn để mơ tả ánh xạ 243 {1,2,3}, Y = {a,b} f ( 1) = a ; f ( Ví dụ Để mô tả ánh xạ f : X → Y , với X = ) = f ( ) = b ta mơ tả hình vẽ sau : ( A) , tập hợp phần tử y Ảnh A ⊂ X qua f , ký hiệu f ∈ Y cho ảnh phần tử x ∈A , nghĩa : f Đặc biệt, f (A ) {y = ∈ Y ∃ x ∈ A, y = f ( X) gọi ảnh f, ký hiệu Im f −1 Ảnh ngược B ⊂ Y qua f , ký hiệu f cho (x ) ( x ) } ( B) , tập hợp gồm phần tử x ∈ B , nghĩa : f −1 (B ) {x = (x ) ∈Xf Đặc biệt, với y ∈ Y , ta ký hiệu f −1 ∈B } ( y) thay cho f −1 ( {y}) Một số ánh xạ đặc biệt : Với tập X bất kỳ, ánh xạ f : X → X xác định f ( x ) = x , với x ∈X , gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu idX Với tập không rỗng A tập hợp X, hàm tiêu A, ký hiệu χA , ánh xạ f : X → xác định : 1 x f (x ) =  0 2.2 Phân loại ánh xạ Xét ánh xạ f : X → Y Ta nói : ∈A x ∉A , với x ∈X f toàn ánh Im f = Y , nghĩa phần tử y ∈ Y ảnh phần tử x ∈X Nói khác đi, f −1 ( y) có phần tử, với y ∈Y f đơn ánh f với x, x ′ ∈ X ta có f −1 ( y) có nhiều phần tử, với y (x ) = f ( x′ ) x = x′ ∈ Y , nghĩa 244 f song ánh vừa đơn ánh tồn ánh Nói khác đi, f song ánh f −1 ( y) ln ln có phần tử, với y (x ) Ví dụ Ánh xạ f : → xác định f ánh Ánh xạ g : Ánh xạ h : Ánh xạ ϕ : + → xác định g + → + → xác định h + ∈Y = x không đơn ánh, khơng tồn (x ) = x khơng toàn ánh đơn ánh (x ) = x khơng đơn ánh tồn ánh xác định ϕ (x ) 2 = x vừa toàn ánh, vừa đơn ánh nên song ánh 2.3 Ánh xạ ngược Cho song ánh f : X → Y , ánh xạ từ Y vào X, liên kết phần tử y ∈ Y với phần tử (duy nhất) x ∈X cho f −1 (x ) = y gọi ánh xạ ngược f, ký hiệu f Ví dụ Ánh xạ f cho giản đồ Venn song ánh có ánh xạ ngược xác định f f f −1 (a ) = (vì f (2 ) = a ), −1 (b ) = (vì f (3 ) = b ), −1 (c ) = (vì f ( 1) = c ) 245 2.4 Ánh xạ hợp Xét hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Ánh xạ có miền xác định X, miền ảnh Z, z = g  f (x )  ∈ Z liên kết phần tử x ∈X với phần tử  gọi ánh xạ hợp f với g,  ký hiệu g f , g f: X → g f Z ( x)   Ví dụ i) Với ánh xạ f g cho giản đồ Venn ta ánh xạ hợp g f (x ) Với ánh xạ f , g : → xác định f (x ) = x g = x +1, ta có ánh xạ hợp g f , f g, f f , g g : → xác định : g f ( x) f g (x ) = f f (x ) g (x ) = g (f (x )) (g ( x ) ) = f = g , ∀x ∈ = f (f (x )) = g (x = f (g (x ) ) ( x2 ) + 1) = (x ( x2 ) = g (x = x +1; ∀x ∈ +1) ; ∀x ∈ = g f = idX ( x2 ) = x4 ; ∀x ∈ + 1) = Định lý Với ánh xạ f : X → Y g : Y → X , ta có g = f idY −1 (x + 1) + = x + f g = 246 Phụ lục Tính tốn ma trận máy tính cá nhân Trong phần chúng tơi hướng dẫn sử dụng máy tính cá nhân FX 570 ES Plus loại VINACAL để tính tốn số phép tính ma trận cịn phép tính khác bạn học cấp Các loại máy tính 570 khác cách làm tương tự Cụ thể cho hai ma trận  2  01  A  3 ; B  2  =   =    5 4     Sử dụng máy tính FX 570 ES Plus II Tính 2A, 3A + 4B, AB, BA, A , B , A−1, B−1 Bước Vào chức ma trận → chọn MATRIX nhấn (các máy tính khác ký hiệu số khác) Nhấn Mode → AC Bước Nhập ma trận +) Nhấn Shift → → chọn cấp ma trận (DIM) nhấn → chọn ma trận A nhấn Chọn cấp ma trận chưa thấy cấp nhấn ∇ di chuyển phím mũi tên xuống tìm cấp ma trận nhấn × → nhập ma trận A →AC +) Nhấn Shift → → chọn cấp ma trận (DIM) nhấn → chọn ma trận B nhấn Chọn cấp ma trận chưa thấy cấp nhấn ∇ di chuyển phím mũi tên xuống tìm cấp ma trận nhấn × → nhập ma trận B →AC Bước Khai thác kết +) Tính 2A Nhấn → × → Shift → → = ta kết 2 2A   =   +) Tính 3A + 4B Nhấn → × → Shift 4    10 →3→+   → → → kết 247 Shift → → = ta  15 10 3A+4B=  17  14     11 31  13 +) Tính AB Nhấn Shift → → × → Shift → → = ta kết 9 AB =    +) Tính BA Nhấn Shift 13  14     16 11 25  →4→× → 6 BA   10 = 11  17     +) Tính A 17 → → = ta kết Shift 28   Nhấn Shift → → → Shift → → = ta kết = −1 +) Tính B Nhấn Shift → → → Shift → → = ta kết = −1 +) Tính A Nhấn Shift → → → x−1 → = ta kết A −1 +) Tính B 3  = 1   −2 −5  −6  −1   −1 → x−1 → = ta kết   Nhấn Shift →4→ B −1 =    −2 11   −2    −  3 4 −      248 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, Phạm Bảo Lâm, Nguyễn Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng – Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& NXB Thống kê, 2007 Bộ mơn tốn – Bài tập toán cao cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008 Nguyễn Huy Hồng – Tốn sở cho kinh tế, NXB Thông tin Truyền thông, 2011& NXB GD, 2014 Nguyễn Thị An, Nguyễn Huy Hoàng, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Sau đại học (2006 – 2012), Mơn Tốn Kinh tế (Phần Tốn sở cho Kinh tế), NXB Chính trị – Hành chính, 2012 Laurence D Hoffmann, Gerald L Bradley, Applied Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc Graw - Hill Companies, Inc (Expanded th 10 ed), 2010 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011 A C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 3rd edition, 1984 A C Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005 249 ... Phương trình vi phân cấp dạng đẳng cấp? ??.…….….…………… ….204 7.1.4 Phương trình vi phân cấp dạng tuyến tính……………………………206 7.1.5 Phương trình vi phân cấp dạng Bernoulli…….………………………208 7.2 Phương trình. .. khảo………………………………………………………………………… 249 LỜI MỞ ĐẦU Các bạn có tay “ Giáo trình Toán cao cấp? ?? dành cho sinh viên hệ đại trà, trường đại học Tài – Maketing Đây giáo trình dành cho sinh viên khối ngành kinh tế quản... thức; giáo trình biên tập sở tham khảo nhiều giáo trình quốc tế nước (xem phần tài liệu tham khảo), kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả; Nội dung giáo trình, thiết kế phù hợp với chương trình