... f
Ă1
(F) đóng.
1.7.2.
Kí hiệu
B(X)
là họ tất cả các tập con Borel của
X
,tứclà,
ắ
-đại số
các tập con của
X
chứa mọi tập mở. Kí hiệu
~
B
là họ các tập
B ẵ Y
sao cho
212 Chơng 2. Vi phân
2.1.7.
Đặt
f(x)=a
1
sin ... trong đề
bài, rõ ràng
L
và
R
là các đa thức bậc
n +1
và
L(0) = R(0) = 0
.Dođóta
194 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm
f
Ă1
(B) 2B(X)
.Khiđó
~
B
là
ắ
-đại số các tập con của
Y
.Vì...
... trong bài toán trước. Chứng minh rằng với mọi
">0
,tập
fx 2 A : o
f
(x) á "g
là đóng trong
X
.
1.7.14.
Chứng minh rằng tập điểm liên tục của
f : X ! Y
là giao đếm được
các tập mở, ... tục
1.7.15.
Cho ví dụ hàm
f : R ! R
có tập điểm gián đoạn là
Q
.
1.7.16.
Chứng minh rằng với mỗi tập con
F
ắ
của
R
là tập điểm gián đoạn
của hàm
f : R ! R
.
1.7.17.
Cho
A
là tập con...
... ra
f
là hàm
tăng trên
[c; b)
.
2.4.17.
Đây là hệ quả trực tiếp của bài tập trên.
2.4. Hàm lồi 269
2.4.18.
Vì
f
bị chặn nên sử dụng bài tập trên ta suy ra giới hạn m ột phía
của
f
tại các điểm
a
và
b
tồn ... b]
nên ta có điều phải chứng
minh.
Bây giờ ta chứng minh công thức của đề bài. Sử dụng công thức T aylor
với phần d dạng tích phân (xem 2.3.4)
f
(n)
à
x
n +1
ả
= f
(n)
(0) + f
(...
... nếu
Ăf
là hàm lồi.
Định nghĩa 2. Hàm
f(x)
đợcgọilàthoảmn điều kiện Lipschitz địa
phơng trên một khoảng mở
I
với hằng số Lipschitz
L>0
nếu với mọi
x; y 2 I
,
x 6= y
thì
jf(x) Ăf(y)j Ljx Ăyj:
2.4.1.
Chứng ... ÂÂÂ+
2
(2n Ă1)!
f
(2nĂ1)
x
2
x
2
2nĂ1
+
2
(2n +1)!
f
(2n+1)
(àx)
x
2
2n+1
:
2.3.11.
Sử dụng kết quả bài trên hy chứng minh rằng
ln(1 + x) > 2
n
X
k=0
1
2k +1
à
x
2+x
ả
2k+1
vớ...
... n
.
3.4.19.
Cho
I
,
J
là những khoảng mở, và
f : I ! J
,
g : J ! R
là các hàm
giải tích thực trên các tập
I
,
J
tơng ứng. Chứng minh
h = g f
là hàm giải
tích thực trên
I
.
3.4.20.
Cho hàm
f
thuộc
C
1
trên khoảng ... phần d tích phân (xem 2.3.4) để chứng
minh định lý Bernstein sau. Giả s ử
f
khả vi vô hạn lần trên khoảng mở
I
và
tất cả các đạo hàm cấp cao
f
(n)
đều không âm trên...
... minh tơng tự nh trong (a).
1.4.2.
Kết quả là hệ quả trực tiếp của 1.1.35 và bài toán tr ớc.
1.4.3.
Suy ra từ kết quả của bài toán trớc rằng với
">0
cho trớc, tồn tại
>0
sao cho
0 y
0
Ă ... inf
x2A
g(x);(1)
sup
x2A
(f(x) Â g(x)) á sup
x2A
f(x) Â sup
x2A
g(x)(2)
Phần còn lại của chứng minh tơng tự nh trong lời giải của bài toán trớc.
Để thấy rằng bất đẳng thức có thể ngặt, xé...
... thiết của bài tập t rên.
2.6.10.
[C. E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967) 708-711]. Vì
f
bị chặn
trong
(a; b)
nên tồn tại
M á 0
saochosaocho
jf
s
(x)j M
với mọi
x 2 (a; b)
.
Theo bài trên ta ... đẳng thức (
??
) đúng với mọi
x 2 (1; 1)
.
2.5.56.
[5] Chứng minh của bài này dựa vào định lý phạm trù Baire. Với
n 2 N
xét tập
A
n
= fx 2 [0; 1] : f
(n)
(x)=0g
. Từ giả thiết ta suy ra
[0...
... =
∞
n=1
L
p
n
18
MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua các kỳ thi
BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM QUA CÁC KỲ THI
Trần Mậu Quý - K.16 - http://mathvn.com
Tập tài liệu nhỏ này chỉ là sự tuyển chọn các bài tập về không gian ... chỉ cao học
23
Đây là một dạng phát biểu khác của Bài 20 - trang 92 - sách Bài tập Giải tích hàm - Nguyễn Xuân
Liêm
20
MathVn.Com - Bài tập Gi...