... 6(AD 2 + BD 2 + CD 2 ). Trong trường hợp nào thì dấu đẳng thức xảy ra ?. 6. Cho 100 điểm đồng phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng nhiều nhất có 70% số tam giác được tạo thành từ các điểm trên có tất cả các góc đều nhọn. Kỳ thi IMO lần thứ 13 1971 1. Cho E n = (a 1 a 2 )(a 1 a 3 ) (a 1 a n ) + (a 2 a 1 )(a 2 a 3 ) (a 2 a n ) + + (a n a 1 )(a n a 2 ) (a n a n1 ). S n là định đề mà E n ... £ m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). 5. Hỏi có tồn tại hay không một hàm f từ tập số nguyên dương vào tập số nguyên dương sao cho: f(1) = 2, f(f(n)) = f(n) + n với mọi n và f(n) < f(n + 1) với mọi n. 6. Có n > 1 cái đèn được kí hiệu là L 0 , L 1 , ... được. 6. Tìm tất cả các đa thức P(x, y) theo hai biến sao cho: (1 ) P(tx, ty) = t n P(x, y) với n nguyên dương nào đó và với mọi số thực t, x, y. (2 ) P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0 với mọi số thực x, y , z. (3 ) P(1, 0) = 1. Kỳ thi IMO lần thứ 18 1976 1. Một tứ diện lồi có diện tích là 32 và tổng của hai cạnh đối diện và một đường chéo là 16. Tìm tất cả các độ dài có thể của đường chéo còn lại. 2. Cho P 1 (x) = x 2 ...