... Bài 4. Cựctrịhàmđa thức
BÀI 4. CỰCTRỊHÀMĐATHỨC
A. CỰCTRỊHÀMĐATHỨC BẬC 3
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số: y = f (x)
( )
3 2
0ax bx cx d a= + + + ≠
2. Đạo hàm:
( )
2
3 2y ... ÷
1
Bài 4. Cựctrịhàmđa thức
Bài 9. Chứng minh rằng:
( )
4 2
6 4 6f x x x x= − + +
luôn có 3 cựctrị đồng thời
gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị
Bài 10. ... Điều kiện tồn tại cực trị
y = f (x) có cựctrị ⇔ y = f (x) có cực đại và cực tiểu
⇔
( )
0f x
′
=
có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = b
2
− 3ac > 0
4. Kỹ năng tính nhanh cựctrị
Giả sử ∆′ = b
2
...
... zyxM
+++=
+
+
+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ zyx
8
1
xyz
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàmđa biến
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàmđa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến ... ++++
cba
cba
7+++++
a
c
c
a
b
c
c
b
a
b
b
a
2)(22)()(
1
1
0))((
2
+++++++
++
++
++
a
c
c
a
VT
a
c
c
a
b
c
a
b
b
a
c
b
b
c
a
b
a
c
b
a
c
b
c
a
acbbcabcbba
2)
1
(2)(21,
++==
x
xxfVTx
c
a
x
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàmđa biến
5) Cho x, y dơng và x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
6) Cho Chứng minh
7) Cho x, y dơng và x + y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) A= ... ]
2
3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3
+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+
=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222
bc
bc
ac
ac
+
+
+
+
3
2
22
3
ba
baba
a
++
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàmđa biến
2) Với mọi tam giác ABC chứng minh
3) Cho x, y dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ y
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x+ y...
... Cựctrịcủa các đathức đối xứng ba biến
Mọi đathức đối xứng ba biến F(x, y, z) đều biểu thị đợc qua các đathức
đối xứng cơ bản s
1
=x+y+z, s
2
=xy+yz+zx, ... s
2
=xy+yz+zx, s
3
=xyz. Vấn đề đặt ra: Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của các đathức đối xứng p
1
=F(x, y, z) khi biết giá trịcủa hai
trong ba đathức đối xứng cơ bản: s
1
, s
2
, s
3
. Vậy ... hệ (I) ta tìm tập giá trịcủa s
3
. Giả sử tập giá trị là D. Ta
khảo sát hàm số p
1
= f(s
3
), s
3
D để tìm tập giá trịcủa p rồi suy ra kết quả.
Cách tìm tập giá trịcủa s
3
theo các bớc...
... là giá trịcực tiểu của
hàm số
f
.
Giá trịcực ñại và giá trịcực tiểu ñược gọi chung là cựctrị
Nếu
0
x
là một ñiểm cựctrịcủahàm số
f
thì người ta nói rằng hàm số
f
ñạt cựctrị tại ...
-41-
CỰC TRỊCỦAHÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm cựctrịhàm số :
Giả sử hàm số
f
xác ñịnh trên tập hợp
( )
D D
⊂
ℝ
và
0
x D∈
0
)a x
ñược gọi là một ñiểm cực ñại củahàm số ... số chỉ có thể ñạt cựctrị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàmcủahàm số bằng
0
, hoặc tại ñó hàm
số không có ñạo hàm .
3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị:
ðịnh lý 2: Giả sử hàm số
f
liên tục...
... Một số hàm thông dụng 26
2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27
2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29
2.3. Vi phân củahàm số 30
2.3.1. Hàm một biến 31
2.3.2. Hàm nhiều biến 32
2.3.3. Hàm thuần ... đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm.
Các đạo hàm này cho thông tin quan trọng về hành vi tổng quát củahàm được
xét. Đạo hàm cấp một cho biết giá trịhàm tăng hay giảm khi tăng x, còn đạo
hàm ... phương củahàm lồi (lồi chặt)
luôn trùng với cực tiểu toàn cụccủahàm đó và cực đại địa phương củahàm lõm
(lõm chặt) luôn trùng với cực đại toàn cụccủahàm đó.
Định lý 3.2. Định lý tối ƣu địa...
... Điểm cực trị, cựctrịcủahàm số
1. Tìm các điểm cựctrịcủahàm số
a.
2 x
y x e=
b.
2
x 3
y
x 1
+
=
+
c.
2
2x 4x 2
y
2x 3
+
=
+
d.
2
2
x ... có cực tiểu mà không có cực đại
5. Với giá trị nào của m thì hàm số
2
y 2x m x 1= + +
có cực tiểu
6. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= + +
. Với giá trị nào của m thì hàm ... Cho hàm số
( )
3 2
1 1 1
y x sin a cos a x sin 2a x
3 2 4
= + +
ữ
. Xác định a để hàm số có cực trị
Gọi
1 2
x , x
là hoành độ các điểm cực trị, xác định a để cho hành độ điểm cực đại, cực...
... Cho hàm số xác định m để
a) Hàm số không có cực trị
b) Hàm số có cực trị
c) Hàm số có 2 điểm cựctrị có hoành độ dương
d) Hàm số có 2 điểm cựctrị nằm về 2 phía của oy
e) Hàm số có 2 điểm cựctrị ... x
0
là điểm cựctrịcủahàm số thì f(x
0
) là giá trịcực trị,
M(x
0
; f(x
0
)) là điểm cựctrịcủa đồ thị hàm số.
Điểm cựctrịcủahàm số
Ví dụ minh họa - Ví dụ 1
Tìm m để hàm số y = mx
3
... ÷
Điểm cựctrịcủahàm số
Chuyên đề
Điểm cựctrịcủahàm số
Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2
Cho hàm số Giá trị nào của m để hàm số
đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải
Hàm số đạt cực đại tại...
... là giá trịcực tiểu củahàm số
( )
f x
.
Giá trịcực đại và giá trịcực tiểu được gọi chung là cực trị
II. Điều kiện để hàm số có cực trị
1) Điều kiện cần
Giả sử hàm số
( )
f x
đạt cựctrị tại ... khác đều sai.
Câu 26*. Hàm số
)22(|1|)(
2
+−+==
xxxxfy
có:
A. Ba cực trị.
B. Hai cực trị.
C. Một cực trị.
D. Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 27. Giá trịcực đại củahàm số
2
)1(
2
−
−
=
x
x
y
... trịcực đại củahàm số
51232
23
−++−=
xxxy
là:
A.
15
.
B.
2
.
C.
1
−
.
D. Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 31. Giá trị tuyệt đối của hiệu giữa giá trịcực tiểu và giá trịcực đại của...
... cực tiểu củahàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm
sao cho:
Khi đó được gọi là giá trịcực tiểu củahàm số
Điểm cực đại và cực tiểu củahàm số được gọi chung lag điểm cựctrịcủahàm số.
2. ... này.
Vậy các điểm cựctrịcủahàm số là với
b) Ta có: Tập xác định củahàm số:
và đổi dấu qua
Vậy hàm số đã cho có điểm cựctrị là
Ví dụ 2:
Xác định các hệ số sao cho hàm số đạt cựctrị tại điểm ... cựctrịcủahàm số.
6. Cho hàm số . Tìm dể hàm số có cựctrị và các điểm
cực trị này tạo với gốc tọa độ một tam giác vuông tại (Đề thi Toán khối A năm
2007)
7. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực...
... giá trịcực đại củahàm số
+) được gọi là điểm cực tiểu củahàm số nếu tồn tại một khoảng chứa
điểm sao cho:
Khi đó được gọi là giá trịcực tiểu củahàm số
Điểm cực đại và cực tiểu củahàm ... điểm cựctrịcủahàm số.
2. Điều kiện cần, đủ để hàm số có cực trị:
+) Nếu hàm số đạt cựctrị tại và đồng thới hàm số có đạo hàm tại thì
+) Nếu hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm ... 2005)
5.Cho hàm số: . Với giá trị nào của thì đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cựctrịcủahàm số.
6. Cho hàm số . Tìm dể hàm số có cựctrị và các
điểm cựctrị này tạo...
... Q
(x)
=t
0
) thì t
0
chínhlà giá trị nhỏ nhất hoặc là giá trị lớn nhất của biểu thức
Q
(x)
.
II. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q=
Lời giải:
Xét f
(x) ...
sử dụng phơng pháp tham biến
để tìm cựctricủa một biểu
thức
I.Phơng pháp
Giả sử cần tìm cựctricủa một biểu thức Q
(x)
. Để đơn giản ta chỉ xét biểu thức Q
(x)
luôn xác định trên tập hợp ... có mẫu thức thì mẫu thức luôn d-
ơng. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f
(x)
=Q
(x)
t. Nếu f
(x)
0
(hoặc f
(x)
0) với mọi x thuộc tập xác định của Q
(x)
và tồn tại giá trị t
0
...