... = (n
2
+ 1)(n - 8) + n + 8 (n
2
+ 1) ⇔ n + 8 n
2
+ 1
NÕu n + 8 = 0 n = -8 (thoả m·n)
NÕu n + 8 ≠ 0 ⇒ n + 8 ≥ n
2
+ 1
⇒
2 2
2 2
n 8 -n 1 8 n 9 0 8
n 8 n 1 8 n 7 0 8
n n n
n n n
é é
+ ... abc
Nếu a, b, c đều không chiahết cho 3 a
2
, b
2
và c
2
chiahết cho 3 đều d 1
a
2
b
2
+ c
2
. Do đó có ít nhất 1 số chia hÕt cho 3. VËy M 3
NÕu a, b, c đều không chiahết cho 5 a
2
, ... 5: biến đổi biểu thức cần chứngminh về dạng tổng
Giả sử chứngminh A
(n)
k ta biến đổi A
(n)
về dạng tổng của nhiều hạng tử và
chứng minh mọi hạng tử đều chiahết cho k.
VÝ dô 1: CMR: n
3
...
... tiếp xúc (O) tại
M, N. Trên AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB. Chứngminh rằng: AD, BC,
NM đồng quy.
Vấn đề 2. CHỨNGMINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY2
... R, cùng
cắt nhau tại điểm O. Gọi giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn trên là A, B, C.
Chứng minh rằng:
a) Đường tròn qua A, B, C có bán kính R.
b) Ba đường thẳng xác định bởi tâm đường ... thang ABCD (AB > CD). Gọi E là giao điểm hai cạnh bên AD và
BC; F là trung điểm của AB.
a) Chứngminh rằng: AC, BD, CF đồng quy.
b) Biết diện tích hình thang bằng 1. Đường chéo hình thang có...
... thực hiện thầy giáo Hà Tiến Khởi
Chuyên đề: Rèn kỹ năng vận dụng tam giác đồng dạng để
chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp8
A.Đặt vấn đề
I.Lí do chọn đề tài
Trong chơng trình THCS ... thấy đểchứngminh hệ thức hình có nhiều bài toán ta phải biết
thay đổi góc và đọc thẳng đểchứngminh hệ thức .
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC phân giác AE .Chứng minh r»ng AE
2
= AB.AC- BE.CE
8
Ngời ... 2: ( Bài 48 SBT T8 _ 2 tr 75)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Chứngminh rằng : AH
2
= BH.CH
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
- GV yêu cầu học sinh đọc đề
- GV đọc đề
- HÃy...
... tiếp chiahết cho 6
Tích của n số tự nhiên liên tiếp chiahết cho n với n khác 0
7
II. Một số dạng toán
II. Một số dạng toán
1. Dạng toán 1: Chứngminh tính chất chia hết
Ví dụ 4: Chứngminh ... các dấu hiệu chiahết cho 4; 8; và 125 ta cũng cm tương tự còn dấu
hiệu chiahết cho 11 thì cm tương tự như dấu hiệu chiahết cho 3 và 9
12
VÝ dô 8: Chøng minh r»ng
210 +
n
chia hÕt cho 3 ... của 2 số chẵn đó chiahết cho 8
8A
Vì
3A
; 5 và 8
mà 3; 5 và 8 là các số nguyên tố cùng nhau
)8. 5.3(A
120A
hay
*Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chiahết cho 120
13
*Chøng minh:
9210 +
n
Ta...
... điều gì ?
Muốn chứngminh AD = CE ta làm nh thế nào ?
Nh vậy ta phải đi chứngminh hai tam giác
vuông bằng nhau
Muốn chứngminh AD = CE ta phải chứng
minh đièu gì ?
Muốn chứngminh hai tam ... thực hiện chuyênđề giáo viên Hà Tiến Khởi
Điều này gợi ý cho ta đợc gì ?
Muốn chứng minhAH = CK ,ta phải chứng
minh điều gì ?
Muốn chứngminh hai tam giác này bằng nhau
ta phải chứngminh các ...
Ta phải chứngminh những điều kiện gì ?
Yêu cầu học sinh lên bảng chứngminh
Từ hai tam giác này bằng nhau ta có thể chứng
minh đợc AE = BD không ?
Nh vậy ta có điều phải chứngminh
HS:...
... chiahết cho m ,a chiahết cho n và (m,n)= 1 thì a chiahết cho m.n
b. a.b chiahết cho c và (b,c) = 1 thì a chiahết cho c
c. p nguyên tố ,nếu a.b chiahết chop thì a chiahết cho p hoặc b chia ... a chia hÕt cho c
b. a chia hÕt cho m, b chiahết cho m thì (a+b) chiahết cho m ; (a-b) chia hÕt cho m,
(ax +by ) chia hÕt cho m (x,y Z)
c. a chiahết cho m.n thì a chiahết cho m và a chiahết ... :
* Hoặc n chiahết cho 2 bài toán đợc chứng minh.
* Hoặc n không chiahết cho 2⇒ n chia cho 2 d 1 ⇒ n = 2k +1 ( k ∈ N) ⇒ n+ 1 =
2k+2 vậy n+1 chiahết cho 2 Bài toán đợc chứng minh.
b. Tơng...
... 1)(n - 8) + n + 8 (n
2
+ 1) ⇔ n + 8 n
2
+ 1
NÕu n + 8 = 0 n = -8 (thoả mÃn)
Nếu n + 8 ≠ 0 ⇒ n + 8 ≥ n
2
+ 1
⇒
−≥≤−−
−≤≤++
⇒
−≥+≥+
−≤−≤+
80 7n
80 9n
81 n8n
81 -n8n
2
2
2
2
nn
nn
n
n
Với
Với
Với
Với
... pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứngminh về dạng
tổng
Giả sử chứngminh A
(n)
k ta biến đổi A
(n)
về dạng tổng của nhiều hạng tử và
chứng minh mọi hạng tử đều chiahết cho k.
Ví dụ 1: CMR: n
3
... abc
Nếu a, b, c đều không chiahết cho 3 a
2
, b
2
và c
2
chiahết cho 3 ®Òu d 1
⇒ a
2
≠ b
2
+ c
2
. Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 3. VËy M 3
Nếu a, b, c đều không chiahết cho 5 a
2
,...
... Vấn đề 1. CHỨNGMINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1. Chứngminh các góc đối đỉnh:
Chú ý: Đểchứngminh hai góc là đối đỉnh, ta cn chng minh chỳng:
ã cú chung ... Chứngminh rằng: ∆BDI là tam giác cân.
b) Gọi P là giao điểm của AB và DF, Q là giao điểm của của AC và DE. Chứng
minh rằng: P, I, Q thằng hàng.
4. Áp dụng định lí Menélaus:
Vấn đề 1. CHỨNGMINH ... cắt AB tại E. Chứngminh rằng: D,
N, E thẳng hàng.
3. Sử dụng tiên đề Euclide:
Chú ý: Đểchứngminh A, B, C thẳng hàng ta chứngminh AB, AC cùng song song
với một đường thẳng khác.
Ví dụ 3. Cho...
... mỗi số hạng đều chiahết cho 6
nên A(n)
6 #
d/ Để c/m một tổng không chiahết cho m, có thể c/m một số hạng nào đó không
chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chiahết cho m
VD ...
Giảng: Chuyên đề:
Phép chiahết và phép chia có d
trên tập số nguyên Z
I/ kiến thức cơ bản:
1/ Phép chiahết và phép chia còn d
Cho hai số nguyên a và b ( b>0) .Chia a cho b ta cã : a chia ... + 8) + 2
= 4k. ( k +1) + 8. (k +1) + 2
DÔ thấy 4k.(k+1)
8 ; 8. ( k+1)
8 và 2 không chiahết cho 8
Vậy n
2
+ 4n + 5 không chia hÕt cho 8 #
=> n
3
n
3 (2)
Từ (1) và(2) => A=
15
7
35
35
nnn
++
...
... c
+ + + +
ữ ÷
11
Chứngminh Bất đẳng thức bằng
phơng pháp khác
Ph ơng pháp 1 :
Dùng phép chứngminh phản chứng:
* Giả sử cần phải chứngminh BĐT nào đó đúng. Ta hÃy giả sử ... toán
*Dạng 1: Chứngminh BĐT
*Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số hoặc biểu thức.
*Dạng 3: Giải phơng trình, bất và hệ phơng trình
Dạng 1: Chứngminh BĐT
I, Các bài tập cơ bản:
Bài 1: Chứngminh rằng ... toán
*Dạng 1: Chứngminh BĐT
*Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số hoặc biểu thức.
*Dạng 3: Giải phơng trình, bất và hệ phơng trình
Dạng 1: Chứngminh BĐT
I, Các bài tập cơ bản:
Bài 1: Chứngminh r»ng...
... CHUYÊN ĐỀ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
A, Trong chương trình toán THCS cũng như trong bồi dưỡng học sinh giỏi
cấp II, chứngminh đẳng thức là một trong những chuyênđề quan trọng. Thông
qua chứng ... i 1:à Chứngminh rằng:
S
n
= 1 + 3 + 5 + …. + (2n-1) = n
2
Chứng minh:
Thử trực tiếp: Ta thấy S
1
= 1
Bài 3: Cho
1
=−
a
b
c
d
(1). Chứngminh rằng:
d
c
b
a
d
c
b
a
−=
.
Chứng minh:
Ta ...
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
= 1.
Chứng minh :
Vì x, y, z, a, b, c
≠
0 ta có (
c
z
b
y
a
x
++
)
2
= 1
2
I. Các phương pháp chứng minh:
1. Chứngminh bằng cách biến đổi đồng nhất.
2. Chứngminh bằng cách sử...
... Cho x
2;2
y
Chứng minh r»ng: (x + y) (x
2
+ y
2
) ≤ x
5
+ y
5
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứngminh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a
c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
3
111
222
Bài 3: Chứngminh rằng:
4006
2001
)20022001(4003
1
... thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một
bất đẳng thức
3. Một số ph ơng pháp chứngminh bất đẳng thức :
3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thøc
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thøc ... + c = 6. Chứngminh rằng:
512
72911
1
1
1
333
+
+
+
c
a
ba
Bài 5: Cho abc = 1; a
3
> 36,
Chøng minh r»ng:
3
2
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
Bài 6 : Chứngminh rằng...
... 193 82 4 có chiahết cho 8 không?
Số 353 056 có chiahết cho 8 không?
Số 195 241 có chiahết cho 8 không?
Theo nhận xét m u:
ã S 193 82 4 = 193 000 + 82 4 = (Số chiahết cho ) +82 4
Số 193 82 4 chia ... 213 5 28 = 213 500 + 28 = (Số chiahết cho 4) + 28
Số 213 5 28 chiahết cho 4 vì tổng trên có các s hng u chia ht cho 4
ã S 245 80 4 = 245 80 0 + 4 = (Số chiahết cho 4) +4
Số 245 80 4 chiahết cho ... tạo thành
số không chiahết cho 8 thì không chiahết cho
8.
Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chiahết cho 8 thì chiahết cho 8 và
chỉ những số đó mới chiahết cho 8.
Chú ý: Khi nói...