... về việc sử dụng bấtđẳngthức hàm lồi và định lí Roll trong
việc giải phương trình và chứng minh bấtđẳng thức. Từ đó chúng ta có thêm công cụ
hữu hiệu để giải các bài toán về bất phương trình ... 2008-2009
I. Sử dụng tính lồi lõm của hàm số để chứng minh bấtđẳngthức giả sử:
0M ≤
Ta thực hiện các bước sau
+ Bước 1: Biến đổi bấtđẳngthức về dạng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
... 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
+ + ≥
• Bài toán này cần sử dụng nhiều hàm lồi để chứng minh bấtđẳng thức.
Giải: Xét
( )
2
f x x=
Ta có:
( ) ( )
' ''
2 ; 2 0f x x f x x= = >...
... ñiều kiện
2 2 2
3a b c+ + =
.
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2 2 2
2
ab bc ca
M
ab bc ca
+ +
=
+ +
.
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang
14
( )
2 2 2
1 2 1 2
2
1 ... Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang
33
301. Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho với các số thực
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
x x x y y y
, ta
luôn có b
ất ñẳng thức
2 2 ... b c
a b c a b c
+ + +
+ + + + ≥ + +
.
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang
12
( )
2 10a b c abc+ + − ≤
.
Vietnam, 2002
94. [ Vasile...
...
Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi a
i
b
j
=a
j
b
i
với mọi i≠j. Để sử dụng
thật tốt bấtđẳngthức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bấtđẳng
thức trên. Nói chung thì bấtđẳng ... bấtđẳngthứcdạng chính tắc.
Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bấtđẳngthức
cauchy-schwarz.
Cauchy-Schwarz inequality. 2
Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bấtđẳngthức ... bấtđẳngthức
cauchy-schwarz
`
Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz. Với hai
bộ số thựcbất kì a
1
, a
2
, …, a
n
và b
1
, b
2
, …, b
n
ta có bất...
... của x+y.
Áp dụng bấtđẳngthức BunhiaCopxkia ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy
74. Cho . Chứng minh:
22
Có: ; ; .
Cộng vế ba bấtđẳngthức ta có:
Dấu đẳngthức khi :
90. ... BĐT được:
19
Chuyên đề bấtdẳng thúc
1. Cho . Chứng minh rằng
( đúng theo Côsi).
Đẳng thức xảy ra đều.
2. Chứng minh với mọi ta có
( đẳngthức xảy ra )
Lại có
Đẳng thức xảy ra hoặc .
3. ... Chứng minh
Nhận xét:
Ta có
Dấu xảy ra
33. Cho . Chứng minh rằng:
Bất đẳngthức
Do nên ( luôn đúng do áp dụng bấtđẳngthức Côsi ) (đpcm).
34. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm...
... các bấtđẳngthức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số không âm, đối với ba
số không âm, và của bốn số không âm ( chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào?)
-Bài đọc thêm về Bấtđẳngthức ... các dạng toán của bài.
-Bài tập 20 có thể làm theo Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki với bốn số thực. Em hãy làm lại bài 20 với áp
dụng Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki.
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng
Tiết ... làm thao cách khác
là áp dụng :
Bất đẳngthức Bunhiacốpxki với
bốn số thực.
Với bốn số thực a, b, c, d ta có
(ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
).
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
d
c
b
a
=
.
(...
... đổi - rút ra kết luận
* Đẳngthức xảy ra khi a = b
HĐ 4:
0,0 ≥≥ ba
( )
2
ba −
Khai triển rút ra kết luận
* Đẳngthức xảy ra khi nào?
Bất đẳngthức bên gọi là bấtđẳngthức Côsi
( )
ab
ba
abbaba
≥
+
⇔
≥−+=−
2
02
2
Định ... ta có bấtđẳng
thức khi nào?
HĐ 10:
b) Đối với 3 số không âm
3
3
0,0,0
abc
cba
cba
≥
++
≥≥≥
b) Đối với 3 số không âm
3
3
0,0,0
abc
cba
cba
≥
++
≥≥≥
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Đẳng thức xảy ... ĐẲNGTHỨC (TT)
Tiết : 43
10 - Nâng cao 3- BẤTĐẲNGTHỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
I- Mục tiêu: Qua bài học học sinh cần nắm được:
* Bấtđẳngthức giữa trung bình cộng và trung bình nhân...
... GTNN của tổng
hai số này ?
Hoạt động 6 . Hướng đẫn học sinh
nắm vững các bấtđẳngthức chứa
giá trị tuyệt đối. Bấtđẳngthức trung
bình cộng và trung bình nhân, đồng
thời biết áp dụng và giải ... thức trung bình cộng vã trung bình
nhân.
<H> Với a
≥
0 và
≥
0 chứng minh
rằng
ab
ba
≥
+
2
.
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
gọi là bấtđẳngthức Côsi.
Hoạt động 5.Vận ... xảy ra
⇔
x = 0.
* |x|
≥
x, dấu “=” xảy ra
⇔
x
≥
0.
* |x|
≥
0, dấu “=”
⇔
x
≤
0
* Bấtđẳngthức Cô Si:
Nếu a
≥
0 và
≥
0 thì
ab
ba
≥
+
2
.
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b.
x + y
≥
xy
⇔
...
... IV: BẤTĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§ 1. BẤTĐẲNG THỨC
Số tiết : 2
1.Mục tiêu:
a/Kiến thức :-Biết khái niệm và các tính chất của bấtđẳng thức
-Hiểu bấtđẳngthức cô-si
-Biết được một số bất ... là số đã cho
I/ Ôn tập bấtđẳng
thức
1.Khái niệm bất
đẳng thức: sgk tr74
2 .Bất đẳngthức
hệ quả và bấtđẳng
thức tương
đương:sgk tr74
3.Tính chất của
bất đẳng thức: sgk
tr75
Chú ý :sgk ... bấtđẳngthức chứa giá trị tuyệt đối
b/Kỹ năng: -Vận dụng được tính chất của bấtđẳngthức hoặc dùng phép biến đổi tương đương
để chứng minh một số bấtđẳngthức đơn giản
-Biết vận dụng bất đẳng...
... trường hợp dấu đẳngthức xảy ra, tôi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải toán bấtđẳngthức .
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bấtđẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bấtđẳng thức
Định nghĩa: ... – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học
thì bài toán bấtđẳngthức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất
đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn ... rơi trong bấtđẳngthức BCS.
Bài 1. Cho
, ,x y z
là ba số dương và
1x y z+ + ≤
, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bấtđẳngthức Cauchy...
... 1
Bất đẳngthức xoay vòng
1.1 Bấtđẳngthức Schurs
1.1.1 Bấtđẳngthức Schurs và hệ quả
Bài 1 (Bất đẳngthức Schurs)
Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thựcbất kì, chứng minh rằng:
x
λ
(x ... hai bấtđẳngthức trên chúng ta thu được bấtđẳngthức cần
chứng minh.
Bài 8
Với a, b, c > 1, chứng minh rằng
1
(1 + a)
3
+
1
(1 + b)
3
+
1
(1 + c)
3
≥
3
(1 +
3
√
abc)
3
Chứng minh
Bất đẳngthức ... 3 bấtđẳngthức trên ta thu được bấtđẳngthức cần chứng minh.
Bài 19
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
2
b
3
+
b
2
c
3
+
c
2
a
3
≥
9
a + b + c
Chứng minh
Ta có bấtđẳng thức
b
3
a
2
+
c
3
b
2
+
a
3
c
2
≥...
... bấtđẳngthức đã cho tương đương với bấtđẳngthức sau:
6
2 2 2
y z x z x y x y z y x z x y z
x y z x y x z z y
Bất đẳngthức ... 665
c x y z
y z
2
1. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤTĐẲNGTHỨC SỬ
DỤNG BẤTĐẲNGTHỨC CÔ SI
Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử ... CỦA BẤTĐẲNG THỨC
Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình
Bài 1: Giải phương trình
1
1 2 ( )
2
x y z x y z
Giải
Điều kiện : x 0, y 1, z 2. Áp dụng bấtđẳng thức...
... BĐT đúng. Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
hoặc (a, b, c) là một hoán vị bất kỳ của (1, 0, 0).
Nhận xét cách giải: Đây là bài toán rất khó và đặc biệt là đẳngthức xảy ra ... f(b) + f(c) 4(a + b + c) + 12 = 24.
BĐT (2.2) đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra ở (2.2) a = b = c = 1. Từ đó BĐT
(2.1) đúng và đẳngthức xảy ra a = b = c.
Bài toán 3. (Mở rộng bài toán thi Olympic ...
f(a) + f(b) + f(c) + f(d)
5
8
.(a + b + c + d) 4.
1
8
=
1
8
.
Vậy BĐT đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra a = b = c = d =
1
4
.
Bài toán 2. (Mỹ, 2003). Cho các số thực dơng a, b, c. Chứng...
... 2
55
ac c ca a
⎛⎞
++≤+ −
⎜⎟
⎝⎠
.
Cộng vế ba bấtđẳngthức này ta được
43
lnS ( ) ln 2 ( )
55
ab bc ca a b c
⎛⎞
≤+++−++
⎜⎟
⎝⎠
.
Cuối cùng sử dụng bấtđẳngthức
2
1
()(
3
ab bc ca a b c++ ≤ ++
)
... x
α
==
≥
∑∑
α
đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
n
x xx= ==
"
b)
Chứng minh tương tự.
Xét hàm số
2
22
(1)
() , (0;1)
2(1)
x
fx x
xx
+
=
+−
∈
. Vì rằng đẳngthức xảy ra khi
1
3
xyz= ... ;;
ab
xyz
abc abc abc
===
++ ++ ++
c
. Khi đó , ,
x yz
là những số dương
và thoả mãn
1
x yz++=
, và bấtđẳngthức cần chứng minh trở thành
22
222222
(2 ) (2 ) (2 )
8
2()2()2( )
xyz yzx zxy
xyz yzx zxy
++...
... với
nhau bởi bấtđẳngthức nào?
(bất đẳngthức Côsi cho 3 số không âm:
3
3a b c abc
)
Từ đó suy ra bấtđẳngthức cần chứng minh.
Trong ví dụ này, học sinh đã học bấtđẳngthức Côsi và ... đó cần chứng minh bấtđẳngthức trung gian nào?
33
3
2 4 4
x y x
x y z
Bất đẳngthức này đúng theo bấtđẳngthức Côsi ( vì
1xyz
), suy ra bấtđẳng
thức cần chứng minh. ... gợi cho ta nghĩ tới bấtđẳngthức nào?
Bất đẳngthức Côsi cho 3 số dương
,,x y z
.
3
3
x y z
xyz
- Đẳngthức xảy ra khi nào? chọn hai số đó là số nào?
Đẳng thức xảy ra khi
1
4
abc...