... 1
33 . 3
3333 3
a b a b ab ab
.
Tương tự:
333 3
11
3 , 3 .
333 3
b c bc c a ca
Cộng vế với vế các bấtđẳngthức trên, ta được:
333333333
1 ... 3 thích hợp
nhất cho bài toán này. Đổi biến
,,abc
lần lượt bởi
,,
b c a
a b c
(vì bấtđẳngthứccho thuần nhất nên ta
không cần có hệ số k), ta được:
6 6 6
6 3333 6 3333 6 333 3
1
b ... SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY
HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤTĐẲNGTHỨC CÔ SI VÀ BẤTĐẲNGTHỨC
BUNHIACOPXKI.
2.1. BấtđẳngthứcCôsi
2.1.1. Bấtđẳngthức Côsi: Với n sốkhôngâm
12
,...
... , ta có:
a b c
abc
+ +
≥
3
3
Đẳng thức xẩy ra
Đẳng thức xẩy ra
⇔
⇔
a = b = c
a = b = c
Cho 3 số:
Cho 3 số:
•
Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số
Ứng dụng để tìm giá trị ...
a b
ab
+
≥
2
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b
Củng cố
Củng cố
•
Bất đẳngthức trung bình cộng và trung bình nhân
Bất đẳngthức trung bình ... a=b=c
•
Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất
Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất
⇔
⇔
a=b=c
a=b=c
Hệ quả
Hệ quả
:
:
3.BẤTĐẲNGTHỨC GIỮA
3.BẤTĐẲNGTHỨC GIỮA
TRUNG...
... 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải
Chọn điểm rơi trong BấtĐẳngThức Cô-Si
Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bấtđẳngthức thì bấtđẳng
thức Cô-Si là một trong những bấtđẳngthức cơ ... tập để dùng được bấtđẳngthức này một cách linh
hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp
chọn điểm rơi trong bấtđẳngthức Cô-Si.
Khi áp dụng bđt côsi trong các bài ... bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng
quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy
nhiên đều là số nguyên)
Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1....
...
cba
abc
cab
bca
c
ba
b
ac
b
ac
a
cb
a
cb
c
ba
23
23
23
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
==
=
=
=
=
=
=
.
3) áp dụng bấtđẳngthức Cô-si cho ba số dơng, ta có:
)1(
c
ab
3
b
ca
a
bc
c
ba
5
33
++
;
3 3
5
3 . (2)
b c ca ...
b
d
d
b
a
c
c
a
b
d
d
b
a
c
c
a
2222
6
3
6
3
6
3
6
3
++++++
;
2)
3
2
3
2
3
2
3
2
13
45
13
45
13
45
13
45
b
da
a
cd
d
bc
c
ab
b
ad
a
dc
d
cb
c
ba
++++++
.
Giải
1) áp dụng bấtđẳngthức Cô-si cho ba số dơng, ta có:
3333 ...
d
b
a
c
c
a
6
3
6
3
6
3
6
3
99
99
99
99
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
====
=
===
=
=
=
=
=
==
==
==
==
.
2) áp dụng bấtđẳngthức Cô-si cho ba số dơng,...
... CMR:
12. Cho hai sốthực , thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
13. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
14.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
15. Cho3số dương . Chứng...
...
≥
1 +3
3
333
1
a b c
+ 3
3
33333 3
1
a b c a b c
+
333
1
a b c
= 1 + 3
1
abc
+ 3
2 2 2
1
a b c
+
333
1
a b c
= ( 1 +
1
abc
)
3
Mặt khác: abc
≤
(
a b c
3
+ +
)
3
= (
3
2
3
)
3
=
1
8
... (1)
Tương tự: y
6
+
33333 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2y
4
xz (2)
z
6
+
33333 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2z
4
xy (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+
33333 3
x y y z x z+ +
≥
2x
4
yz ...
1
3
Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =
3
2
. CMR: B = (1+
3
1
a
)(1+
3
b
1
)(1+
3
c
1
)
≥
729
Bài giải:
Ta có: B = 1 +
3
1
a
+
3
b
1
+
3
c
1
+
3 3
1
a b
+
3 3
c
1
a
+
3 3
b c
1
+
333
1
a...
... )
0
0
0
0
33 41
2
22
22
2 233
2 233 33
+
+
++++
cbcb
cbcb
cbccbb
bccbcb
bccbcbcb
Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự:
( )
2
33
4
1
caca
++
( )
2
33
4
1
baba
++
Do đó:
)3( 4
3
3
22
3
22
3
22
+
+
+
+
+
<
+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Mà:
Một ... dùng bấtđẳngthức Côsi.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bấtđẳngthứcCôsicho các bộ số a, b, c và
1 1 1
, ,
a b c
ta có:
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
+ +
+ +
Nhân từng vế của hai bấtđẳng ... GTNN cña c¸c biÓu thøc sau:
Một số ứng dụng của bấtđẳngthức Côsi.
Một Số ứNG DụNG CủA BấTĐẳNGTHứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bấtđẳng thức
Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng...
... : Cho3số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
333333
333
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
= + + + + + + + +
÷
Giải:
( )
333333
333
2 2 2
33333
3
333 ... y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +
Giải:
2 3
3 2 2
3333333 3
2 2 2 2 2 2 2 2
33333 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
33333 3
2 2 2 2 2 2
ì :
à : 0
2 .
x x
V
x y y z x xy y
x y x y y ... + + + + ≥
Bài 4 : Cho3số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
333333
333
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
= + + + + + + + +
÷
Bài 5 : Cho3số dương tùy ý x,y,z.
...
... giải :
Đặt
3333
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
P
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
Áp dụng bấtđẳngthứcCôsi
3333
3
3333
3
3
3333
1 x y 3 x y 3xy
1 y z 3 y z 3yz
1 z x 3 z x 3zx
+ + ≥ =
+ + ≥ ... :
( )
33 3
444
2
1
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++≥
+
+
+
+
+
với a,b,c > 0
Bài toán 22 : Cho các sốthực dương
a, b,c,d
thỏa :
1
33 33
=+++ dcba
. Chứng minh :
3
44
3
333
2
33 3
2
33 3
2
33 3
2
≥
++
+
++
+
++
+
++ ... b c 4. 3
4
+ + = + + = =
.
Bất đẳngthức cần chứng minh
x y z 3 + + ≤
.
Ta có :
3
33
x 1 1 3 x .1.1 3x+ + ≥ =
33
3
y 1 1 3 y .1.1 3y+ + ≥ =
3
33
z 1 1 3 z .1.1 3z+ + ≥ =
⇒
( )
9 3 x y...
... giải :
Đặt
3333
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
P
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
Áp dụng bấtđẳngthứcCôsi
3333
3
3333
3
3
3333
1 x y 3 x y 3xy
1 y z 3 y z 3yz
1 z x 3 z x 3zx
+ + ≥ =
+ + ≥ ... :
( )
33 3
444
2
1
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++≥
+
+
+
+
+
với a,b,c > 0
Bài toán 22 : Cho các sốthực dương
a, b,c,d
thỏa :
1
33 33
=+++ dcba
. Chứng minh :
3
44
3
333
2
33 3
2
33 3
2
33 3
2
≥
++
+
++
+
++
+
++ ... =
3
4
. Chứng minh rằng :
333
333 3a b b c c a+ + + + + ≤
.
Khi nào đẳngthức xảy ra ?
Lời giải :
Cách 1:
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3
3
a 3b 1 1 1
a 3b 1.1 a 3b 2
3 3
b 3c 1...
...
33333 3
.A a x b y c z= + +
HD:
m>0, n>0, p>0
333333333 2
3 3a x m m m m a x m ax+ + ≥ =
;
33333333 2
3
3 3b y n n n n b y n by+ + ≥ =
33333333 2
3
3 ... =
6. Cho
, ,x y z
là 3số dương thỏa
1x y z+ + =
. Tìm GTNN của
333
A x y z= + +
.
HD:
m>0
3333333 2
3 3x m m m m x m x+ + ≥ =
;
333333 2
3
3 3y m m m m y m y+ + ≥ =
3 ... 2
3
3 3c z p p p p c z p cz+ + ≥ =
Suy ra
333333333 2 2 2
a x y z 2m 2 2 3m 3 3b c n p ax n by p cz+ + + + + ≥ + +
Chọn
2 2 2
, , m n p sao cho m a n b p c= =
Suy ra:
2 333
A...
... bấtđẳngthức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán
Lời giải : giả sử M(x; y), ta có :
() ()( )
22
2
3; 1 3
2
A
Mx yBM x y=++ =−+−
JJJJG JJJJG
, Do đó :
() ()( )
22
2
31 3AM BM x ... kiến thức mà mấy ổng ngoài đó khôngcho thì chứng minh
luôn hoặc cứ phết 1câu “ dễ dàng chứng minh…cái này” – Không phải ngày xưa Fermat cũng thế mà
nổi tiếng sao ?????
Bất đẳngthức ... phẳng Oxy cho các véctơ
AB
J
JJG
và
A
C
J
JJG
lần lượt có các toạ độ sau đây :
2
2
33
;
22 2 2
yy
A
Bx y AB x y
⎛⎞ ⎛
⎛⎞
=+ ⇒ = + +
⎜⎟ ⎜
⎜⎟
⎜⎟ ⎜
⎝⎠
⎝⎠ ⎝
JJJGJJJG
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
33
;
22 2 2
zz
A
Cx...