Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 02. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất ( ) ( ) : : +  =  +   = +  ax b C y cx d d y mx n Ta có phương trình hoành độ giao điểm ( ) 2 0 ( ) 0, 1 + = + ⇔ + + = ⇔ = + ax b mx n Ax Bx C g x cx d Trong đ ó g(x) = 0 là m ộ t ph ươ ng trình b ậ c hai. S ố giao đ i ể m c ủ a hai đồ th ị là s ố nghi ệ m d x c ≠ − c ủ a ph ươ ng trình (1). Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm Ví dụ 1: Cho hàm s ố x y x 2 1 2 + = + có đồ th ị là (C). 1) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố . 2) Ch ứ ng minh r ằ ng đườ ng th ẳ ng d: y x m = − + luôn c ắ t đồ th ị (C) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B. Tìm m để đ o ạ n AB có độ dài nh ỏ nh ấ t. H ướ ng d ẫ n gi ả i: • PT hoành độ giao đ i ể m c ủ a (C) và d: x x m x 2 1 2 + = − + + ⇔ x f x x m x m 2 2 ( ) (4 ) 1 2 0 (1)  ≠ −  = + − + − =  Do (1) có m 2 12 0 ∆ = + > và f m m m 2 ( 2) ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0, − = − + − − + − = − ≠ ∀ nên đườ ng th ẳ ng d luôn luôn c ắ t đồ th ị (C ) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B. Ta có: A A B B y m x y m x ; = − = − nên B A B A AB x x y y m 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( 12) = − + − = + Suy ra AB ng ắ n nh ấ t ⇔ AB 2 nh ỏ nh ấ t ⇔ m 0 = . Khi đ ó: AB 24 = . Ví dụ 2: Cho hàm s ố x y x 3 1 − = + . 1) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố . 2) Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d qua đ i ể m I ( 1;1) − và c ắ t đồ th ị (C) t ạ i hai đ i ể m M, N sao cho I là trung đ i ể m c ủ a đ o ạ n MN. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d y k x : ( 1) 1 = + + d c ắ t (C) t ạ i 2 đ i ể m phân bi ệ t M, N x kx k x 3 1 1 − ⇔ = + + + có 2 nghi ệ m phân bi ệ t khác 1 − . ⇔ f x kx kx k 2 ( ) 2 4 0 = + + + = có 2 nghi ệ m phân bi ệ t khác 1 − ⇔ k k k f 0 4 0 0 ( 1) 4 0 ∆  ≠  = − > ⇔ <   − = ≠  M ặ t khác: M N I x x x2 2 + = − = ⇔ I là trung đ i ể m MN v ớ i k 0 ∀ < . K ế t lu ậ n: Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng c ầ n tìm là y kx k 1 = + + v ớ i k 0 < . Ví dụ 3: Cho hàm s ố x y x 2 2 1 − = + (C). 1) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố . 2) Tìm m để đườ ng th ẳ ng (d): y x m 2 = + c ắ t (C) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B sao cho AB 5 = . H ướ ng d ẫ n gi ả i: PT hoành độ giao đ i ể m: x x m x 2 2 2 1 − = + + ⇔ x mx m x 2 2  2 0 ( 1) + + + = ≠ − (1) d c ắ t (C) t ạ i 2 đ i ể m phân bi ệ t A, B ⇔ (1) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x x 1 2 , khác –1 Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn ⇔ m m 2 8 16 0 − − > (2) Khi đó ta có: m x x m x x 1 2 1 2 2 2 2  + = −    +  =   . Gọi ( ) ( ) A x x m B x x m 1 1 2 2 ;2 , ;2+ + . AB 2 = 5 ⇔ x x x x 2 2 1 2 1 2 ( ) 4( ) 5 − + − = ⇔ x x x x 2 1 2 1 2 ( ) 4 1 + − = ⇔ m m 2 8 20 0 − − = ⇔ m m 10 2  =  = −  (thoả (2)) Vậy: m m 10; 2 = = − là các giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Cho hàm số x y x m 1 − = + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 = . 2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2 = + cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB 2 2 = . Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm: x m x x x m x m x m 2 1 2 ( 1) 2 1 0 (*)  ≠ − − = + ⇔  + + + + + =  d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác m − m m m m x m m m 2 0 3 2 3 3 2 3 6 3 0 1 1 ∆    > < − ∨ > + − − > ⇔ ⇔ ⇔    ≠ − ≠ − ≠ −    (**) Khi đó gọi x x 1 2 , là các nghiệm của (*), ta có x x m x x m 1 2 1 2 ( 1) . 2 1  + = − +  = +  Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A x x B x x 1 1 2 2 ( ; 2), ( ; 2) + + . Suy ra AB x x x x x x m m 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2 ( ) 4 2( 6 3)   = − = + − = − −   Theo giả thiết ta được m m m m m m 2 2 1 2( 6 3) 8 6 7 0 7  = − − − = ⇔ − − = ⇔  =  Kết hợp với điều kiện (**) ta được m 7 = là giá trị cần tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 3 1 + = − x y x và đườ ng th ẳ ng : 2. = − + d y mx Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Ví dụ 6: Cho hai đồ thị hàm số ( ) ( ) 2 : 2 , : . 2 1 + = − + = − x d y x m C y x Tìm giá trị của tham số m để a) hai đồ thị không cắt nhau. b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Ví dụ 7: Cho hai đồ thị hàm số ( ) ( ) 3 1 : ; : 2 . 4 + = = + − x C y d y x m x Tìm giá trị của tham số m để a) hai đồ thị không cắt nhau. b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1. Ví dụ 8: Cho hai đồ thị hàm số ( ) ( ) 4 1 : ; : . 2 − = = − + − x C y d y x m x Tìm giá trị của tham số m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 2 2 1 2 37. + =x x