Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 01. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét bài toán tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng : ( ) ( ) 3 2 : : C y ax bx cx d d y mx n  = + + +   = +   Xét ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m ( ) 3 2 0 1 y ax bx cx d mx n h( x ) , . = + + + = + ⇔ = trong đ ó h(x) là hàm s ố b ậ c 3. DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ TỒN TẠI CÁC GIAO ĐIỂM  Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm S ố giao đ i ể m c ủ a đồ th ị hàm s ố ( C ) v ớ i đườ ng th ẳ ng ( d ) chính là s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình h(x) = 0. Thông th ườ ng trong bài thi Đạ i h ọ c thì th ườ ng s ẽ nh ẩ m đượ c nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình. Các nghi ệ m th ườ ng g ặ p là ± 1; ± 2; ± 3; ±m ; ± 2 m … K ĩ thu ậ t nh ẩ m nghi ệ m ở đ ây là cô lập tham số m , cho h ệ s ố ch ứ a m b ằ ng 0. N ế u ta nh ẩ m đượ c m ộ t nghi ệ m x = x o thì ta có ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 Ax 0 ( ) 0 =  = ⇔ − + + = ⇔  =   o o g x x x h x x x Bx C g x Thí dụ: V ớ i ph ươ ng trình ( ) ( ) 3 3 ( ) 2 1 0 2 1 1 0. = + − + − = ⇔ − − + + = h x x m x m x x m x Cho x = –1 ta th ấ y th ỏ a mãn ph ươ ng trình, chia theo l ượ c đồ Hoorne ta đượ c ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 0. = + − + − = h x x x x m Ta xét một số trường hợp thường gặp: TH 1 : (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi 0 ( ) 0 ∆ >    ≠   g o g x TH 2 : (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép khác x o hoặc phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng x o Ta có điều kiện: 0 ( ) 0 0 ( ) 0  ∆ =     ≠     ∆ >      =    g o g o g x g x TH 3 : (d) cắt (C) tại 1 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt. Phương trình h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép chính là x o . Điều đó tương đương với 0 0 2 ∆ <   ∆ =      −  =     g g o B x A  Chú ý: Trong trường hợp mà ta không thể nhẩm được nghiệm của h(x) = 0 thì ta phải cô lập tham số để đưa về bài toán biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị hoặc dựa vào bảng biến thiên. Để cô lập được m thì hàm số y = h(x) phải là hàm bậc nhất của m, còn trong trường hợp h(x) chứa lũy thừa của m bậc cao hơn (ví dụ m 2 , m 3 ) thì dùng y C Đ .y CT cực trị. Thí dụ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 1 2 1 0 1 1 0 1 0 1 2 1 0 2 1 1 2 1 = −  = + − + − = ⇔ + − + − = ⇔  = − + − =  − − = + + + + = ⇔ + = − − ⇔ = = + x h( x ) x m x m x x x m g( x ) x x m x h( x ) x m x m m x x m g( x ) x Trên đây là hai ví dụ cho thể loại nhẩm được nghiệm và không nhẩm được nghiệm phải sử dụng cô lập tham số. Ví dụ 1. Cho hàm số = − + − 3 2 6 9 6 y x x x , có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng = − − : 2 4 d y mx m c ắ t (C) t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t. Hướng dẫn giải: Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): 3 2 2 6 9 6 2 4 ( 2)( 4 1 ) 0 − + − = − − ⇔ − − + − = x x x mx m x x x m 2 2 ( ) 4 1 0 =  ⇔  = − + − =  x g x x x m (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ( ) 0 3. 2 0 ∆ >   ⇔ ⇔ > −  ≠   m g Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 – (m + 1)x 2 + (m – 1)x + 1, (1). CMR khi m ≠ ≠≠ ≠ 0 đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a đồ th ị (1) và tr ụ c Ox là x 3 – (m +1)x 2 + (m – 1)x + 1 = 0, (*) // Gi ờ chúng ta th ử đ i nh ẩ m xem (*) có nghi ệ m nào nhé Để x = α là m ộ t nghi ệ m c ủ a (*) thì các bi ể u th ứ c có nhân th ử chung là tham s ố m ph ả i tri ệ t triêu nhau, ở đ ây ta tách ra đượ c m ộ t nhân t ử có ch ứ a m là m(–x 2 + x). Cho –x 2 + x = 0 ta đượ c x = 0 ho ặ c x = 1 Thay vào ph ươ ng trình ch ỉ có x = 1 là nghi ệ m. V ậ y (*) có 1 nghi ệ m là x = 1 // 2 2 1 0 (*) ( 1)( 1) 0 ( ) 1 0 x x x mx g x x mx − =  ⇔ − − − = ⇔  = − − =  Do g(x) = x 2 – mx – 1 = 0 có ∆ = m 2 + 4 > 0 ∀ m và g(1) = m ≠ 0 (theo gi ả thiêt), khi đ ó g(x) = 0 luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t và khác 1. Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2, có đồ thị là (C) Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ góc là k. Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. H ướ ng d ẫ n gi ả i: d là đườ ng th ẳ ng qua A(3 ; 20) và có h ệ s ố góc là k nên d có ph ươ ng trình d : y = k(x – 3) + 20 Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m: x 3 – 3x + 2 = k(x – 3) + 20 ⇔ x 3 – (k + 3)x + 3k – 18 = 0, (*) // Để nh ẩ m nghi ệ m c ủ a (*) ta cho tri ệ t tiêu đ i h ệ s ố ch ứ a k : k(x – 3) = 0 ⇒ x = 3, thay x = 3 vào th ấ y th ỏ a mãn (*). V ậ y (*) có 1 nghi ệ m là x = 3 // ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 * 3 3 6 0 ( ) 3 6 0 x x x x k g x x x k − =  ⇔ − + − + = ⇔  = − − + =  Để (*) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t thì ph ươ ng trình g(x) = 0 ph ả i có 2 nghi ệ m phân bi ệ t và khác 3 Đ i ề u đ ó x ả y ra khi ( ) 15 0 9 4 6 0 4 (3) 0 6 0 6  ∆ >  − − >  >    ⇔ ⇔    ≠ − ≠      ≠  g k k g k k V ậ y v ớ i 15 4 6  >    ≠  k k thì đườ ng th ẳ ng d c ắ t đồ th ị đ ã cho t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t. Ví dụ 4. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 1, có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng ( ) = − − − : 2 1 4 1 d y m x m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a hai đồ th ị : 3 2 2 – 3 – (2 –1) 4 2 0 ( 2)( – – 2 –1) 0 + + = ⇔ − = x x m x m x x x m 2 2 ( ) 2 1 0, (1) =  ⇔  = − − − =  x g x x x m Đề (d) c ắ t (C) t ạ i đ úng 2 đ i ể m phân bi ệ t khi ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m kép khác x = 2 ho ặ c có hai nghi ệ m phân bi ệ t trong đ ó có m ộ t nghi ệ m là x = 2. Ta có các đ i ề u ki ệ n t ươ ng ứ ng { { 0 8 5 0 5 1 2 2 8 2 2 1 8 5 0 0 2 2 1 0 (2) 0  ∆ =  + =        = −    − ≠ ≠     ⇔ ⇔      = + > ∆ >      − + = =   m b m a m m m g V ậ y 5 1 ; 8 2 = − = m m là các giá trị cần tìm.  Phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Nếu h(x) = 0 không nhẩm được nghiệm thì ta sử dụng phương pháp cô lập tham số, phân tích h(x) = 0 thành dạng ( ) ( ) ( ) , 0 h x m g x k m = ⇔ = , trong đ ó đ ó g(x) là hàm s ố ch ỉ ch ứ a x, còn k(m) là hàm ch ỉ ch ứ a m (hay còn g ọ i là hàm h ằ ng v ớ i x). Khi đ ó, s ố nghi ệ m c ủ a (1) chính là s ố giao đ i ể m c ủ a hai đồ th ị ( ) ( ) // Ox =   =  y g x y k m Ta lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x). Khi đó, (1) có 3 nghiệm phân biệt khi g CT < k(m) < g CĐ Khi đó, (1) có 1 nghiệm khi k(m) < g CT hoặc k(m) > g CĐ Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 – 9x + m. Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Hướng dẫn giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : x 3 – 3x 2 – 9x + m = 0, (1) Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. Để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 3 nghiệm phân biệt. (1) ⇔ x 3 – 3x 2 – 9x = –m, (2). Số nghiệm của (2) lại chính là số giao điểm của hai đồ thị 3 2 ( ) 3 9 y g x x x x y m  = = − −   = −   Ta có 2 1 ( ) 3 6 9 0 3 x g x x x x = −  ′ = − − = ⇔  =  B ả ng bi ế n thiên: x −∞ −1 3 +∞ g’ + 0 − 0 + g 5 +∞ −∞ −27 T ừ b ả ng bi ế n thiên ta th ấ y, (2) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t khi –27 < –m < 5 ⇔ –5 < m < 27. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 2m, (C m ) Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại đúng 2 điểm phân biệt. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Để đồ th ị c ắ t tr ụ c hoành t ạ i đ úng hai đ i ể m phân bi ệ t thì (C m ) ph ả i có 2 đ i ể m c ự c tr ị . ⇒ y′ = 0 có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 2 2 2 2 3 3 0 0 ⇔ − = ⇔ = ⇒ ≠ x m x m m V ậ y hàm s ố có hai đ i ể m c ự c tr ị khi m ≠ 0. Khi đ ó ' 0 = ⇔ = ± y x m . (C m ) c ắ t Ox t ạ i đ úng 2 đ i ể m phân bi ệ t ⇔ y CĐ = 0 ho ặ c y CT = 0 Ta có 3 3 ( ) 0 2 2 0 0 ( ) 0 2 2 0 0; 1  − = ⇔ + = ⇔ =  = ⇔ − + = ⇔ = = ±   y m m m m y m m m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c m = ± 1 là giá tr ị c ầ n tim. Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 ( 1) 2 1 = + − + + y x m x mx và đường thẳng : 5 1. = − d y x Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) a) tại ba điểm phân biệt b) tại hai điểm phân biệt c) tại một điểm Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2 3 2 = − + + − y x x x . Gọi d là đường thẳng đi qua A(2 ; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để d c ắt (C) tại ba điểm phân biệt. Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 3 9 3 1 = + − + − y x x x m Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 = + + y x mx có đồ thị (C m ) Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Đ/s: 3 > − m Ví dụ 7: Cho hàm s ố 3 2 2 3( 1) 6 2 = − + + − y x m x mx có đồ th ị (C m ) Tìm m để đồ th ị (C m ) c ắ t tr ụ c hoành t ạ i m ộ t đ i ể m duy nh ấ t. Đ /s: 1 3 1 3 − < < + m Ví dụ 8: Cho hàm s ố 3 2 3 2 = − + y x m x m có đồ th ị (C m ). Tìm m để đồ th ị (C m ) c ắ t tr ụ c hoành t ạ i đ úng hai đ i ể m phân bi ệ t. Đ /s: 1 = ± m Ví dụ 9: Cho hàm s ố 3 2 3 1 = − + y x x . Tìm m để đườ ng th ẳ ng ( ∆ ): (2 1) 4 1 = − − − y m x m cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt. Đ/s: 1 5 ; 2 8 = = − m m