LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho ( ) + min MA MB hoặc − max MA MB Phương pháp giải: + Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P). + Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán min phải lấy đối xứng A qua (P), bài toán tìm max là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P). + Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán max phải lấy đối xứng A qua (P), bài toán tìm min là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P). Ví dụ 1. Cho hai điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9) và (P): x + y + z + 3 = 0. a) Tìm điểm M∈(P) sao cho +   MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA 2 + NB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(0; –3; 0) Ví dụ 2. Cho ba điểm A(4; –1; 2), B(3; 5; –1),vC(2; 5; –1) và (P): x + 2y – z – 3 = 0 a) Tìm điểm M∈(P) sao cho + +    MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm N∈(P) sao cho NA 2 + NB 2 + NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(2; 1; 1). Ví dụ 3. Cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–9; 4; 9) và (P): 2x – y + z + 1 = 0. a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A, B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó. b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất. Đ/s: a) I(7; 2; –13) b) M(–1; 2; 3) Ví dụ 4. Cho hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) và mặt phẳng (P): x – y + z – 1 = 0. a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A, B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó . b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |MA – MB| lớn nhất. Đ/s: 4 7 0; ; 3 3       I , M trùng I. Ví dụ 5. Cho hai đ i ể m A(1; 0; 2), B(2; 1; 3) và (P): x – 2y + z – 4 = 0. Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho AM + BM nh ỏ nh ấ t. Ví dụ 6. Cho hai đ i ể m A(–4; 1; 2), B(–3; 1; 3) và (P): x – y + z + 2 = 0. Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho AM + BM nh ỏ nh ấ t. Ví dụ 7. Cho m ặ t ph ẳ ng (P): x + y + z – 1 = 0 và hai đ i ể m A(1, –3, 0), B(5, –1, –2). a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng đườ ng th ẳ ng đ i qua A, B c ắ t m ặ t ph ẳ ng (P) t ạ i m ộ t đ i ể m I, tìm to ạ độ đ i ể m đ ó . 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất. II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1; 1; 2), B(-1; 0; 1) và 1 1 : 2 1 1 − + = = x y z d . Tim đ i ể m M trên d sao cho a) di ệ n tích tam giác MAB nh ỏ nh ấ t. b) MA + MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: b) 1 . 6 = t Ví dụ 2. Cho hai đ i ể m A(0; 1; -1), B(3; 0; 1) và 1 2 : 1 1 1 − + = = − x y z d . Tim đ i ể m M trên d sao cho MA + MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: 1 . 3 = − t Ví dụ 3. Cho hai đ i ể m A(0; 1; -1), B(2; 0; 1) và 1 : 1 1 2 + = = − x y z d . Tim đ i ể m M trên d sao cho a) MA + MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. b) Di ệ n tích tam giác MAB nh ỏ nh ấ t. c) Kho ả ng cách t ừ M t ớ i (P) b ằ ng hai l ầ n kho ả ng cách t ừ M t ớ i (Q) bi ế t ( ): 2 2 1 0 ( ): 2 2 3 0 + + − =   − − + =  P x y z Q x y z Đ /s: a) 7 42 50 26 − =t b) 8 5 = − t c) 11 ; 5 5 = = − t t Ví dụ 4. Cho ba đ i ể m A(1; 0; –1), B(0; 2; 3), C(-1; 1; 1) và đườ ng th ẳ ng 1 1 : . 1 2 2 + − = = − x y z d Tìm đ i ể m M trên d sao cho a) 2 2 2 2 4+ − MA MB MC đạt giá trị lớn nhất? b) min +   AM BC Đ/s: a) 4 9 = − t b) 5 9 = t Ví dụ 5. Cho các điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 1), C(0; 0; 3) và 1 5 : 3 1 1 − − = = x y z d . Tìm điểm M thuộc d sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: 3 12 54 ; ; . 11 11 11   −     M Ví dụ 6. Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(2; –1; –4), C(3; 0; –2) và đường thẳng 1 3 1 : . 2 1 2 − − − = = − x y z d a) Tìm trên d một điểm M sao cho 2+ −    MA MB MC nhỏ nhất. b) Tìm điểm M thuộc d sao cho –MA 2 + MB 2 –MC 2 đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 7. Cho A(1; 1; 0), B(3; –1; 4) và 1 1 2 : . 1 1 2 + − + = = − x y z d Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(1; –1; 2)