LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐC CỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho = + +     u aMA bMB cMC có  u đạt min. Phương pháp giải: + Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức 0 aIA bIB cIC + + =     + Phân tích ( ) ( ) ( ) u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI = + + = + + + + + = + +          Khi đó min u a b c MI u = + + ⇒ ⇔   M là hình chiếu vuống góc của I lên (P). Tọa độ điểm ( ; ; ) M x y z thỏa mãn hệ phương trình ( ) ∈    =     P M P IM kn Ví dụ 1. Cho các đ i ể m A(2; 1; −1), B(0; 3; 1) và ( ): 3 0. P x y z + − + = Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho a) min +   MA MB b) min 2 MA MB −   Đ/s: a) (1;2;0), ( 1;0;2). I M − b) (4; 1; 3), (1; 4;0). I M − − − Ví dụ 2. Cho các điểm A (1; 0; −1), B (2; −2; 1), C (0; −1; 0) và ( ): 2 2 6 0. − + + = P x y z Tìm điểm M thuộc ( P ) sao cho a) min + +    MA MB MC b) min 2 4 3− +    MA MB MC Đ/s: a) (0;1; 2). ≡ − M G b) 32 89 10 ( 6;5; 6), ; . 9 9 9   − − − −     I M Ví dụ 3. Cho các đ i ể m A(1; 1; 2), B(−2; 1; −7) và ( ): 1 0. + − + = P x y z Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho a) min +   MA MB b) min 2 +   MA MB Đ/s: b) (0;1; 1) − I Ví dụ 4. Cho các đ i ể m A(0; 1; −1), B(2; 3; −2), C(6; 1; 14) và ( ): 2 1 0. + − + = P x y z Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho min 2 3+ −    MA MB MC Đ/s: ( ) (2;2;1), 1;0;2 . I M Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho = + + 2 2 2 T aMA bMB cMC đạt max hoặc min. Ph ươ ng pháp gi ả i: + Tìm đ i ể m I th ỏ a mãn h ệ th ứ c 0 aIA bIB cIC + + =     + Phân tích 2 2 2 2 ( )= + + + + + T a b c MI aIA bIB cIC + N ế u a + b + c > 0 thì T đặ t min; a + b + c < 0 thì T đặ t max 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Khi đó ax min min ; ⇔ → m T T MI M là hình chiếu vuống góc của I lên (P). Tọa độ điểm ( ; ; ) M x y z thỏa mãn hệ phương trình ( ) ∈    =     P M P IM kn Ví dụ 1. Cho các đ i ể m A( − 3; 5; − 5), B(5; − 3; 7) và ( ): 0. + + = P x y z Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho a) 2 2 = + T MA MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. b) 2 2 2 = − T MA MB đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. Đ/s: a) (1;1;1); (0;0;0) I M b) (13; 11;9), (6; 18;12). − − I M Ví dụ 2. Cho các đ i ể m A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; − 1; 0) và ( ):3 3 2 15 0. − − − = P x y z Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho a) 2 2 2 = + + T MA MB MC đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. b) 2 2 2 2 4 = + − T MA MB MC đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. Đ/s: a) (4; 1;0) ≡ − M G là tr ọ ng tâm tam giác b) 25 74 9 (7; 16; 7), ; . 11 11 11   − − − −     I M Ví dụ 3. Cho các đ i ể m A(1; 1; -1), B(2; 0; 1), C(1; −1; -1) và ( ): 2 0. + + + = P x y z Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho a) 2 2 2 = + T MA MB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. b) 2 2 2 2= + − T MA MB MC đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. Đ/s: b) ( ) (2;1;1), 0; 1; 1 . − − I M Ví dụ 4. Cho các đ i ể m A(0; 4; -2), B(1; 2; -1) và ( ): 1 0. − + + = P x y z Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho bi ể u th ứ c 2 2 2 − MA MB đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t? Đ/s: ( ) (2;0;0), 1;1; 1 . − I M Ví dụ 5. Cho các đ i ể m A(1; 1; 0), 5 ; 1;0 ,( ) : 2 0 3   − − + =     B P x y z . Tìm đ i ể m M thu ộ c (P) sao cho bi ể u th ứ c 2 2 3− MA MB đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t? Đ/s: ( ) (2; 2;0), 1;0; 1 . − − I M