CHƯƠNG III: QUI HOẠCH TRỰC GIAO CẤP II 1. ĐẶT VẤN ĐỀ - Ở miền gần cực trị hay còn gọi là miền dừng, các mô tả tuyến tính hầu như không còn tương thích nữa bởi vì đó là miền phi tuyến thực sự ( tức là F tn > F b ). - Muốn có mô tả tương thích bằng những mặt phi tuyến, ngừơi ta phải tiến hành qui hoạch thực nghiệm cấp II nhằm giải quyết những vấn đề mà qui hoạch cấp I không giải quyết được và cung cấp thông tin tối đa để người nghiên cứu đạt được kết quả tốt nhất nhanh nhất và rẻ nhất. - Để mô tả tương thích miền phi tuyến người ta thường dùng những đa thức bậc hai có dạng như sau. Y ~ = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 +…+ b k x k + b 12 x 1 x 2 +…+b 11 x 1 2 +…+ b kk x 2 k (3.1) Số hệ số b trong đa thức bậc hai (3.1) được xác định theo công thức sau: 2 )2)(1( 2 13 )!2(!2 ! 121 2 2 +=++ = − ++=+++= kkkk k k kCkkL k 2 )2)(1( + + = kk L (3.2) Trong đó: L là số hệ số trong đa thức (3.1) k là số yếu tố ảnh hưởng C k 2 là tổ hợp chập 2 của k yếu tố ảnh hưởng 2. CÁC PHƯƠNG ÁN CẤU TRÚC CÓ TÂM. - Muốn xác định các hệ số trong đa thức bậc hai thì số thí nghiệm N trong mỗi phương án không nhỏ hơn số hệ cần xác định trong mỗi phương trình tương ứng (số phương trình ≥ số ẩn). - Để việc ước lượng các hệ số được đơn giản, mỗi ma trận thực nghiệm cấp II tương ứng phải có đầy đủ tính chất như ma trận trực giao cấp I, tức là: . Phải có tính đối xứng . Tính trực giao . Tính quay được Vì vậy qui hoạch cấp II không tồn tại ở 2 mức vì sẽ thiếu những thông tin về đối tượng nghiên cứu mà phải tồn tại từ 3 đến 5 mức. - Trong QHTN số thí nghiệm N tăng theo số yếu tố ảnh hưởng k (N = n k ), số thí nghiệm tăng nhanh so với số hệ số cần xác định khi k lớn. Giả sử một nghiên cứu tiến hành 3 mức, số thí nghiệm thực hiện N = 3 k . Số thí nghiệm N và số hệ số được tính ở bảng sau. k 2 3 4 5 6 N 9 27 81 243 729 L 6 10 15 21 28 - Để đơn giản Box và Wilson đưa ra phương án cấu trúc có tâm bằng cách đưa thêm vào nhân phương án một số thí nghiệm. Bằng cách làm như vậy sẽ nhận được những ước lượng không lẫn lộn giữa hiệu ứng tuyến tính và hiệu ứng tương tác đôi. Vậy số thí nghiệm trong phương án cấu trúc có tâm được xác định như sau. N = 2 k + 2.k + n 0 , khi k< 5 N = 2 k-p + 2.k + n 0 , khi k ≥ 5 (3.3) Trong đó: 2 k số thí nghiệm ở nhân phương án TYT 2 k 2 k-p số thí nghiệm ở nhân phương án TYT2 k-p n 0 số thí nghiệm ở tâm phương án 2.k số thí nghiệm bổ xung ở các điểm (*)đó là điểm nằm trên trục tọa độ của không gian các yếu tố và có các tọa độ như sau: ( ± α, 0,…0; 0), ( ± α , 0,…0);( …); (0,…0, ± α ). α là khoảng cách giữa tâm thực đên các điểm (*) và được gọi là cánh tay đòn. 2.1. Sơ đồ cấu trúc có tâm 2 yếu tố (k = 2) + Sơ đồ được mô tả như hình 3.1 + Số thí nghiệm cần thực hiện được tính theo công thức (3.3) N = 2 k + 2.k + n 0 - Trong đó: 2 k là số thí nghiệm ở nhân phương án (2 k = 4), tức là 4 điểm 1,2,3,4 trên hình chữ nhật. 2.k = 4 là số thí nghiệm ở các điểm (*) 5,6,7,8 có các tọa độ +α,0; -α,0; 0,+α; 0,-α và n o là số thí nghiệm ở tâm phương án và phụ thuộc vào tiêu chuẩn tối ưu là tiêu chuẩn tối ưu là trực giao hay là quay - Với phương án trực giao n o = 1: N = 2 k + 2.k + n 0 =9 - Với phương án quay n o = 5: N = N = 2 k + 2.k + n 0 =13 + Ma trận thực nghiệm được xây dựng theo bảng 3.1 Bảng 3.1 : Ma trận thực nghiệm trong phương án cấu trúc có tâm k=2 Nội dung phương án S.T. N x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 Y S. T.N nhân P.A 2 k 1 2 3 4 + + + + + - + - + + - - + - - + + + + + + + + + Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 S.T.N điểm (*) 2.k 5 6 7 8 + + + + +α -α 0 0 0 0 +α -α 0 0 0 0 α 2 α 2 0 0 0 0 α 2 α 2 y 5 y 6 y 7 y 8 S.T.N tâm n 0 9 “ + “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ y 9 + Mô hình thống kê thực nghiệm được biểu diễn như sau Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 12 x 1 x 2 + b 11 x 1 2 + b 22 x 2 2 (3.4) 2.1. Sơ đồ cấu trúc có tâm 2 yếu tố (k = 3) + Sơ đồ được biểu diễn như hình 3.2 + Số thí nghiệm cần thực hiện được tính theo công thức (3.3):N = 2 k + 2.k + n 0 - Trong đó: Số thí nghiệm ở nhân phương án là 2 k = 8, tức là 8 điểm 1,2,3,4,5,6,7,8 của hình lập phương. 2.k = 6, số thí nghiệm ở các điểm (*) 9,10,11,12,13,14, có các tọa độ +α,0,0; -α,0,0; 0,+α,0; 0,-α,0; 0,0,+α; -0,0,-α; và n o là thí nghiệm ở tâm phương án. - Phương án trực giao n o =1: N = 2 k + 2.k + n 0 =15 - Phương án quay n o = 6: N = 2 k + 2.k + n 0 = 20 + Ma trận thực nghiệm được xây dụng theo bảng 3.2 Bảng 3.2 : Ma trận thực nghiệm trong phương án cấu trúc có tâm k=3 Nội dung phương án ST N x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 Y S.T.N nhân P.A 2 k 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + - + - + - + - + + - - + + - - + + + + - - - - + - - + + - - + + + - - - - + + + - + - - + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 S.T.N điểm (*) 2.k 9 10 11 12 13 14 + + + + + + +α -α 0 0 0 0 0 0 +α -α 0 0 0 0 0 0 +α -α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 α 2 0 0 0 0 0 0 α 2 α 2 0 0 0 0 0 0 α 2 α 2 Y 9 Y 10 Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 S.T.N tâm n 0 15 “ + “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ 0 “ Y 15 “ Tương tự ta có thể lập phương án qui hoạch với k= 4, k=5… Qua bảng ma trân bảng 3.1; 3.2 ta thấy ma trận cấp II cấu trúc có tâm là không trực giao, tức là: () 0 1 2 0 ≠ ∑ = N u juu xx i≠j = 1,2…k; u = 1,2,…N () 0 1 22 ≠ ∑ = N u iuiu xx (3.5) - Như vậy việc tính hệ số b 0, b jj rất phức tạp vì chúng ảnh hưởng lẫn nhau (các hiệu ứng sẽ hỗn hợp nhau). Vì vậy chúng ta phải chuyển sang phương án trực giao. 3. QUI HOẠNH TRỰC GIAO CẤP II 3.1. Điều kiện để ma trận cấp II trực giao • Có thể trực giao hóa những phương án cấu trúc có tâm khi biểu thức (3.5) bằng không, tức là () 0 1 2 0 = ∑ = N u juu xx i≠j = 1,2…k; u = 1,2,…N () 0 1 22 = ∑ = N u iuiu xx (3.6) • Để có được biểu thức (3.6) ta tiến hành đổi biến các cột của ma trân cấp II cấu trúc có tâm k =2.3, - Đổi cột có biến 2 ju x thành cột có biến mới là x’ được tính theo công thức ju N x xxxx N u ju jujujuju ∑ = −=−= 1 2 222, (3.7) Thay (3.7) vào biểu thức (3.6) ta được = ∑ = )( , 1 ju N u ou xx [ ] 0)( 1 22 =− ∑ = N u jujuou xxx (3.8) Theo ma trận cấu trúc có tâm k= 2,3,…ta có )22( 1 2 1 2 2 α +== ∑ = k N u ju ju NN x x N k 2 22 α + = N xx k juju 2 2' 22 α + −= (3.9) Từ biểu thức (3.8) ta thấy 2 ju x phải bằng bao nhiêu để (3.8) bằng không. Theo (3.9) 2 ju x luôn phụ thuộc k và α , nhưng k là yếu tố ảnh hưởng do người nghiên cứu tự chọn. vậy α phải bằng bao nhiêu để ma trận cấp II cấu trúc có tâm trực giao. Trong thực tế người ta đã chứng minh được α phụ thuộc vào số yếu tố (k) và số thí nghiệm ở tâm (n o ). Giá trị được t ính theo k và n 2 α o được cho ở bẳng 3.3. Bảng 3.3 k 2 α n o 2 3 4 5* 1 1,000 1,476 2,000 2,390 2 1,160 1,650 2,164 2,580 3 1,317 1,831 2,390 2,770 4 1,475 2,000 2,580 2,95 (*) x 5 = x 1 x 2 x 3 x 4 Nếu sự trực giao của phưong án được xem là là tiêu chuẩn tối ưu hóa , thì số thí nghiệm ở tâm không chịu ràng buộc và thường n o = 1. Từ bảng 3.3 ta có k = 2, α 2 = 1, α = 1 k = 3, α 2 = 1,476, α = 1,213 k = 4 α 2 = 2, α = 1,414 3.2. Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp II a) số thí nghiệm cần thực hiện trong phương án. Số thí nghiệm thực hiện được tính theo công thức (3.3) N = 2 k + 2.k + n o k = 2, n o = 9 k = 3, n o = 15 k = 4, n o = 25, … b) Các bước thực hiện thí nghiệm trực giao cấp II • Xét trường hợp có 2 yếu tố ảnh hưởng (k = 2) Bước1 Lập ma trận thực nghiệm cấp II cấu trúc có tâm k =2 ( Bảng 3.1) để xuất hiện cột 2 2 2 1 , xx Bước 2 Đổi biến: Theo công thức (3.9) ta có N xxxx k 2 2 1 2 1 2 1 ' 1 22 α + −=−= N xxxx k 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 22 α + −=−= (3.10) Thay = 1, k = 2 vào công thức (3.10) ta tìm được biến mới x 2 α 1 ’và x 2 ’ 3 2 2 1 ' 1 −= xx (3.11) 3 2 2 2 ' 2 −= xx Bước3 Lập ma trận thực nghiệm cấp II, k =2 với biến mới bảng 3.4 Bảng3.4 Nội dung phương án S.T.N x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2 -2/3 x 2 2 -2/3 Y S. T.N nhân P.A 2 k 1 2 3 4 + + + + + - + - + + - - + - - + 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 S.T.N điểm (*) 2.k 5 6 7 8 + + + + + α - α 0 0 0 0 + α - α 0 0 0 0 1/3 1/3 -2/3 -2/3 -2/3 -2/3 1/3 1/3 y 5 y 6 y 7 y 8 S.T.N tâm n 0 9 + 0 0 0 -2/3 -2/3 y 9 Bước 4 Tiến hành thực nghiệm theo ma trận ở bảng 3.4 và ghi kết quả vào cột có giá trị Y. Bước 5 Sử dụng kết quả bảng 3.4 để xác định hệ số b trong PTHQ • Xét trường hợp có 3 yếu tố ảnh hưởng (k =3) Bước1: Lập ma trận thực nghiệm trực giao cấp II cấu trúc có tâm k =3 ( Bảng 3.2) để xuất hiện cột , 2 2 2 1 , xx 2 3 x Bước2 Đổi biến: Theo công thức (3.9) ta có N xxxx k 2 2 1 2 1 2 1 ' 1 22 α + −=−= (3.12) N xxxx k 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 22 α + −=−= N xxxx k 2 2 3 2 3 2 3 ' 3 22 α + −=−= Thay = 1,476, k = 3 vào công thức (3.12) ta tìm được biến mới x 2 α 1 ’và x 2 ’x 3 ’ 73,0 2 1 ' 1 −= xx (3.13) 73,0 2 2 ' 2 −= xx 73,0 2 3 ' 3 −= xx Bước3 Lập ma trận thực nghiệm cấp II, k =3 với biến mới bảng 3.5 Bảng 3.5 N D TN x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 2 -0,73 x 2 2 -0,73 x 3 2 -0,73 Y 2 k 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + - + - + - + - + + - - + + - - + + + + - - - - + - - + + - - + + + - - - - + + + - + - - + - + 0,27 0,27 0.27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0.27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0.27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 2.k 9 10 11 12 13 14 + + + + + + +α -α 0 0 0 0 0 0 +α -α 0 0 0 0 0 0 +α -α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,476 0,476 -0,73 -0,73 -0,73 -0,73 -0.73 -0,73 0,476 0,476 -0.73 -0.73 -0,73 -0,73 -0,73 -0,73 0,476 0,476 Y 9 Y 10 Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 n 0 15 + 0 0 0 0 0 0 -0.73 -0.73 -0,73 Y 15 Bước 4 Tiến hành thực nghiệm theo ma trận và ghi kết quả vào cột Y Bước 5 Sử dụng kết quả bảng 3.5 để xác định hệ số b trong PTHQ • Xét trường hợp có 4 yếu tố ảnh hưởng (k = 4) Bước1: Lập ma trận thực nghiệm trực giao cấp II cấu trúc có tâm k = 4 ( Bảng 3.6) để xuất hiện cột , , x 2 2 2 1 , xx 2 3 x 4 2 Bảng 3.6 TN x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 Y 1 + + + + + + + + + + + + + + + y 1 2 + - + + + - - - + + + + + + + y 2 3 + + - + + - + + - - + + + + + y 3 4 + - - + + + - - - - + + + + + y 4 5 + + + - + + - + - + - + + + + y 5 6 + - + - + - + - - + - + + + + y 6 7 + + - - + - - + + - - + + + + y 7 8 + - - - + + + - + - - + + + + y 8 9 + + + + - + + - + - - + + + + y 9 10 + - + + - - - + + - - + + + + y 10 11 + + - + - - + - - + - + + + + y 11 12 + - - + - + - + - + - + + + + y 12 13 + + + - - + - - - - + + + + + y 13 14 + - + - - - + + - - + + + + + y 14 15 + + - - - - - - + + + + + + + y 15 16 + - - - - + + + + + + + + + y 16 17 + α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 0 0 0 y 17 18 + - α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 0 0 0 y 18 19 + 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 0 0 y 19 20 + 0 - α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 0 0 y 20 21 + 0 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 0 y 21 22 + 0 0 - α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 0 y 22 23 + 0 0 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 y 23 24 + 0 0 0 - α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α 2 y 24 25 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y 25 Ghi chú: Số thí nghiệm ở nhân phương án từ 1 đến 16. Số thí nghiệm ở các điểm (*) từ 17 đến 24, và 25 là thí nghiệm ở tâm. Bước2 Đổi biến: Yheo công thức (3,9) ta có N xxxx k 2 2 1 2 1 2 1 ' 1 22 α + −=−= N xxxx k 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 22 α + −=−= N xxxx k 2 2 3 2 3 2 3 ' 3 22 α + −=−= N xxxx k 2 2 4 2 4 2 4 ' 4 22 α + −=−= Thay = 2, k = 4 vào công thức (3.14) ta tìm được biến mới x 2 α 1 ’,x 2 ’,x 3 ’,x 4 ’ (3.15) (3.14) 8,0 2 1 ' 1 −= xx 8,0 2 2 ' 2 −= xx 8,0 2 3 ' 3 −= xx 8,0 2 4 ' 4 −= xx Bước3 Lập ma trận thực nghiệm cấp II, k = 4 với biến mới bảng 3.7 Bước 4 Tiến hành thực nghiệm theo ma trận 3.7 và ghi kết quả vào cột Y Bước 5 Sử dụng kết quả bảng 3.7 để xác định hệ số b trong PTHQ 3.4 . Xây dựng mô hình thông kê thực nghiệm 3.4.1. Dạng phương trình hồi qui Với phương án thực nghiệm cấp II ta chọn dạng của phương trình hồi qui như sau 22 111211211 ~ kkkkko xbxbxxbxbxbbY ++++++++= (3.16) Sau khi đổi biến mới phương trình hồi qui có dạng ''' 1 ' 11211211 ' 0 ~ kkkkk xbxbxxbxbxbbY ++++++++= (3.17) [...]... nghĩa Viết phương trình hồi qui với các hệ số có nghĩa + Đổi biến trở lại bằng cách ta thay x ,ju = x 2 − x 2 vào PTHQ (3.16) hoặc ta có ju ju thể xác định bo theo công thức ' 2 bo = bo − b11 x 1 − − b kk x 2 k (3.22) 4.5.2 Kiểm tra sự tương thích của PTHQ với thực nghiệm + Việc kiểm tra sự tương thích của PTHQ (3.16) với thực nghiệm được tiến hành như qui hoạch trực giao cấp I S2 tt Ftn = 2 Sth (3.23)... trận thực nghiệm cấp II sau khi đổi biến là ma trận trực giao nên mỗi hệ số b trong phương trình 3.17 độc lập và xác định với độ chính xác được tính theo công thức sau Sb = ' o Sb = j Sb = ij Sb = ' jj Sth N Sth 2 k + 2α 2 (3.21) Sth 2k Sth 2 k (1 − x 2 ) 2 + 2(α 2 − x 2 ) 2 + (2k − 2 + n o )(x 2 ) 2 j j j 4.5 Kiểm định thống kê Sự kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong phương trình bậc II và sự tương... Sự kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong phương trình bậc II và sự tương thích của phương trình nhận được sau khi trực giao hóa phương án cấu trúc có tâm giống như ở trong mô hình tuyến tính 4.5.1 Kiểm tra ý nghĩa hệ của các hệ số trong PTHQ + Vì ma trận sau khi đổi biến là ma trận trực giao nên các hệ số b trong phương trình (3.17) được kiểm tra theo chuẩn student t tn = bj S (3.22) bj Trong đó hệ... trận 3.5, 3.6, 3.8 trực giao nên các hệ số trong phương trình (3.17) độc lập nhau và xác định theo công thức sau đây 1 N ∑ y 0 x 0u N u=1 b'0 = N ∑ y u x ju bj = u=1 N ∑ x 2ju u=1 (3.18) N ∑ y u x lu x ju b jl = u =1 N ∑ (x ju x lu ) 2 u =1 N b'jj = ∑ y u x 'ju u =1 N ∑ (x ju ) ' j ≠ l = 1,2,…,k; u =1,2,…,N 2 u =1 3.4.3 Công thức tính phương sai của các hệ số bj trong phương trình hồi qui đổi biến Phương... b'jj = ∑ y u x 'ju u =1 N ∑ (x ju ) ' j ≠ l = 1,2,…,k; u =1,2,…,N 2 u =1 3.4.3 Công thức tính phương sai của các hệ số bj trong phương trình hồi qui đổi biến Phương sai của hệ số bj trong phương tình hồi qui (3.17) không bằng nhau (vì tổng bình phương của các phần tủ trong các cột ma trận đổi biến là không bằng nhau) và được xác định như sau S2 ' = bo S2 = bj S2 th N S2 th N ∑ x 2ju u=1 2 b jl S = (3.19) . phải chuyển sang phương án trực giao. 3. QUI HOẠNH TRỰC GIAO CẤP II 3.1. Điều kiện để ma trận cấp II trực giao • Có thể trực giao hóa những phương án. ngừơi ta phải tiến hành qui hoạch thực nghiệm cấp II nhằm giải quyết những vấn đề mà qui hoạch cấp I không giải quyết được và cung cấp thông tin tối đa để