ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————————————– Nguyen NGQC Khanh Tính quy biên cho toán tE ∂¯ mien Q−gia loi LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2017 TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen NGQC Khanh Tính quy biên cua tốn tE ∂¯ mien Q−gia loi Chun ngành:Tốn giai tích Mã so:60460102 LU¾N V¾N THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC TS Nguyen Thac Dũng LèI CAM ƠN Trưóc tiên, tơi xin đưoc bày to lịng biet ơn tói thay giáo hưóng dan TS Nguyen Thac Dũng Thay t¾n tình chi bao, giúp đõ tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tiep theo tơi xin đưoc gui lịi cam ơn đen thay, cô cơng tác tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên Hà N®i, nhung ngưòi giang day cung cap nhung kien thúc khoa HQc quý báu suot nhung năm HQc vùa qua đe tơi có nen tang kien thúc đe thnc hi¾n lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn gia đình, ban bè giúp đõ, cő vũ đ®ng viờn tụi HQc v cuđc song Xin chỳc MQI ngưịi súc khoe, đat đưoc nhieu thành cơng cơng tác, HQ c t¾p nghiên cúu khoa HQc Mnc lnc LèI CAM ƠN LèI Me ĐAU Kien thÉc chuan b% 1.1 M®t so khái ni¾m ban đa tap phúc 1.2 M®t so tính chat ban cna tốn tu 10 ∂¯ 1.2.1 Phương trình ∂¯u = f 15 1.3 Mien Q−gia loi 18 2.1 2.2 2.3 Tính quy cho tốn tE ∂¯ 23 Tính quy đ%a phương cho ∂¯ biên .23 Ưóc lưong tiên nghi¾m có TRQNG biên cách xa .27 Tính quy tồn cuc cho ∂¯ biên 30 Tài li¾u tham khao 33 Tài li¾u tham khao 33 LèI Me ĐAU Toán tu ∂¯ phương trình ∂¯u = f, (1) u, f lan lưot dang vi phân kieu (k − 1, 0) kieu (k, 0) (vói k ∈ N, f = 0) l mđt nhung khỏi niắm v đoi tưong ban nhat giai tích phúc nhieu bien Vi¾c nghiên cúu tốn tu ∂¯, giai phương trình ∂¯ liên quan m¾t thiet đen tốn ton tai hàm chinh hình, tốn thác trien chinh hình, thác trien dang vi phân, xap xi dang vi phân Ngồi vi¾c giai phương trình ∂¯ cịn có nhieu úng dung hình HQc đai so, hình HQc phúc nghiên cúu t¾p kỳ d%, t¾p giai tích giai tích phúc nhieu bien Trong hưóng nghiên cúu ve chn đe này, khơng the khụng nhac en Hăormander vúi phng phỏp L2 ni tieng (xem [7, 8]) Vúi phng phỏp ny, Hăormander ó đưa lịi giai TRQN ven cho tốn ∂¯ khao sát tính quy cna nghi¾m Trên thnc te, Hăormander ó chi rang MQI nghiờm phng trỡnh trờn mđt mien b% chắn eu l trơn, vói du li¾u f trơn Bài tốn ton tai nghi¾m C ∞ (Ω¯ ) cho (1) đưoc Kohn thnc hi¾n [7] Gia su Ω xác đ%nh boi ρ < vói ρ hàm thoa mãn |∂ρ| = ∂Ω, T C ∂Ω phân thó tiep xúc phúc ∂Ω, xác đ%nh dang Levi L∂Ω(z) := (∂zi2,z¯j ρ(z))|T C ∂Ω Khi đó, Ω đưoc GQI gia loi neu L∂Ω (z) ≥ vói MQI z ∈ ∂Ω Ket qua cna Kohn ó chỳng minh rang giai nghiắm thuđc C ( ) cna (1.3) cho dang b¾c k ≥ tương đương vói tính gia loi cna Ω giai nghi¾m đ %a phương biên se tương đương vói tính gia loi đ%a phương Ke tù sau cụng trỡnh MUC LUC cna Hăormander v Kohn, nhieu dang mo r®ng khác nhau, nhieu úng dung khác cna toán ∂¯ đưoc chi đưoc nghiên cúu Đ¾c bi¾t so rat nhieu nghiên cúu đó, Baracco Zampieri nghiên cúu tốn quy cho nghi¾m đ%a phương tồn cuc cho phương trình ∂¯ mien Q-gia loi Đieu đ¾c bi¾t đáng lưu ý đieu ki¾n ve tính Q-gia loi yeu tính gia loi, v¾y tác gia chi rang, trỏi vúi ket qua cna Hăormander, chỳng ta khụng the chúng minh đưoc rang MQI nghi¾m cna tốn ∂¯ quy mà chi có the ton tai nghiắm chớnh quy riờng le Nđi dung chớnh cna khúa lu¾n đe tìm hieu ket qua báo cna Baracco Zampieri nói o Ton bđ khúa luắn trung e Qc hieu v trình bày lai ket qua báo Vói muc tiêu v¾y, khóa lu¾n đưoc chia làm hai chương Trong chương m®t, chúng tơi trình bày lai m®t vài kien thúc ban giai tích phúc nhieu bien Đ¾c bi¾t, chúng tơi giói thi¾u tốn tu ∂¯ tính chat quan TRQNG cna chúng M®t vài phân tích ve phương trình (1) đưoc chúng tơi nhan manh Tiep theo, chúng tơi giói thi¾u khái ni¾m ve tính Q− gia loi, đ¾c bi¾t ta có mien gia loi trùng vói mien 0−gia loi Đây khái ni¾m TRQNG tâm báo cna Baracco Zampieri Trong chương hai, su dung khái ni¾m mien Q-gia loi, chúng minh đưoc rang neu Ω ⊂⊂ Cn l mien Q gia loi thỡ cú mđt nghiắm u ∈ C ∞ (Ω¯ )k−1 cna (1) vói gia thiet MQI f ∈ C ∞ (Ω¯ )k , k ≥ q + 1, tương tn mien Q−gia loi đ%a phương se kéo theo nghi¾m đ%a phương biên Ky thu¾t chúng minh chn yeu cho khang đ%nh L2 −ưóc lưong đe su dung gia thiet cna mien Q−gia loi Bên canh vi¾c chúng minh sn ton tai nghi¾m, chương hai này, chúng tơi se chi tính quy tồn cuc biên Gia su rang ϕ h®i tu tói (t + c)|z|2 t¾p compact Ω t đn lón Khi đó, ta có mQI ưóc lưong h®i tu tói ưóc lưong tiên nghi¾m sau se thoa mãn đieu ki¾n ∂¯−Neumann t ǁ u ǁ2 ≤ǁ ∂¯u ǁ2 MUC LUC + ǁ ∂¯ ∗ u ǁ 2 (t+c)|z| (t+c)|z| (t+c)|z|2 Đe chúng minh ket qua này, trưóc tiên, mien Q−gia loi, chúng tơi có ưóc lưong cho (∂¯, ∂¯∗ ) L2 (Ω) vói TRQNG e−ϕ , ϕ hàm Q−đa đieu hịa dưói Ω Điem mau chot nhat ky thu¾t chúng minh ưóc lưong L2 đe su dung gia thiet Q−gia loi Khó khăn lón nhat ky thu¾t chúng minh vi¾c phai lm viắc trờn cỏc hắ TQA đ %a phng tn (có so trnc chuan gom dang vi phân trnc giao vói h¾ so bien thiên) khơng phai lm viắc trờn cỏc hắ TQA đ chuan tac dz1 , dz2 , dzn thông thũng Tuy nhiờn, viắc a vo cỏc hắ TQA đ tn v¾y lai có tác dung rat lón đe áp dung tính chat cna mien Q-gia loi Do thịi gian làm lu¾n văn có han hieu biet cịn han hep nên m¾c dù có nhieu co gang đe hồn thành lu¾n văn q trình làm khơng the trách khoi mac phai nhung sai sót Chúng tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp q báu tù phía ngưịi ĐQc đe lu¾n văn đưoc hồn chinh MQI đóng góp ý kien xin gui ve e-mail: khanh.mimhus@gmail.com Chúng xin chân thành cam ơn Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 M®t so khái ni¾m ban đa tap phÉc Chúng tơi se giúi thiắu mđt so khỏi niắm c ban đa tap phúc dna theo Chương cuon [5] Trong phan này, chúng tơi se nêu khái ni¾m ve đa tap phúc, không gian tiep xúc phúc tốn tu ∂¯ Trưóc tiên, đen vói đ%nh nghĩa đa tap phúc Đ%nh nghĩa 1.1 Cho M a tap topo vỏi hắ TQa đ %a phng l {(Uα , ϕα )}α∈Λ , ϕα (Uα ) = Vα má Cn Khi đó, M đưac GQI đa tap phúc có so chieu n neu ánh xa chuyen fβα := ϕβ ◦ ϕ−α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) hàm chsnh hình vái MQI α, β Ví dn 1.2 1.Ví dn đơn gian nhat cho đa tap phúc Cn, vái ánh xa chuyen ánh xa đong nhat 2.Ví dn tiêu bieu khác cho đa tap phúc không gian xa anh CPn đưac đ%nh nghĩa sau Xét quan h¾ tương đương ∼ t¾p Cn+1 \ {0}, hai điem x, y Cn+1 \ {0} đưac GQI có quan h¾ ∼ neu ton tai m®t so phúc λ khác cho x = λy Khi CPn := C \ {0}/ ∼ Ta se chs ta ánh xa chuyen cho đa tap CPn Xét phu má {Uj } vái Uj = {[x1 : · · · : xj : · · · : xn+1] : xj 0} x = [x1 : x2 : · · · : xn+1] ∈ CPn Ω |K|=k−1 ji ij h ijh + ΣΣ j (d.∂w h j h j |J|=k h ij h (uJ )u¯J + eh δw h h (uJ )u¯J )dV j (2.14) Kí hi¾u A, B, C, D, E lan lưot dòng tù (2.10) đen (2.14) Rõ ràng MQI h¾ so D + E, chang han h¾ so ch thoa mãn i ∫ e−ϕ ∂w (ch )uiK u¯jK dV j (uiK )u¯jK dV = − e−ϕ ch uiK ∂w¯ ujK e−ϕch Ω −∫ ∫ δw ji h Ω ji j ji j Ω (2.15) Chúng ta có thúc tương tn cho h¾ so c¯h , dh, eh Khi đó, ij j j nh¾n đưoc ưóc lưong sau vói σ1 mói hang so σ2 phu thu®c vào B + (σ2 + σ2) ǁ u + σ2 ǁ u ǁ2 ϕ ǁ2 ≤ chuan C2, (2.16) B D + E ≤ σ1 ǁ u ǁϕ Σ1/2 ϕ +(σ2 + σ2) ǁ u ǁ2 ) Túc là, (2.17) A ≤ 2(ǁ ∂¯∗ u ǁ2 + ǁ ∂¯u ǁ2 ) + ǁ |∂ψ| u ǁ2 ϕ ϕ−2ψ ϕ ϕ Bây giò, ta chi can cHQN ϕ = ϕa xác đ%nh boi χa (− log(−ρ) + λ|z|2 ) + c|z|2 , vói χa thoa mãn (2.2) c = (σ + σ2 + 2/λJ ) Nh¾n xét 2.2 Chúng ta gia su rang Ω Q−gia loi, {Uj } phu cua ∂Ω cho Uj Q−gia loi Lay {ηj } phân hoach đơn v% lân c¾n cua ∂Ω tương úng vái phu {Uj } Khi (2.3) thu đưac úng vái mői ηj u M¾nh đe 2.3 (Bő đe 4.4.1, [9]) Cho Ω Q−gia loi Khi đó, neu f ∈ L2(Ω) thóa mãn ∂¯f = 0, ton tai u ∈ L2(Ω) cho ∂¯u = f ǁ u ǁL2(Ω)≤ǁ f ǁL2(Ω) Chúng minh Chúng minh de dàng đưoc suy tù (2.3) Trưóc tiên, boi tính trù m¾t cna C∞(Ω¯ )−dang vi phân D∂¯∗ ∩ D∂¯ (là mien xác đ%nh cna toán tu (2.1)), túc ưóc lưong (2.3) thu đưoc vói u ∈ D∂¯∗ ∩ D∂¯ De dàng kiem tra rang, neu ϕ(χ)− 2ψ≥ f L2 vói f 2 ≤ ∂¯f = 0, |(f, g)|2 ǁ χϕ+c|z| −ψ ¯∗ ≤ǁ ∂¯∗ g c|z| c|z| ∈ ¯∗ g ›→ (f, g)χϕ+c|z|2 −ψ đưoc bieu Vì the ∂ χϕ+c|z| dien boi ∂ g ›→ (u, ∂¯∗ g)χϕ+c|z|2 , the u nghi¾m cna ∂¯u = f Chúng minh cua Đ%nh lý 1.15 Cho ν lón, xét Bν hình cau Bν := ν ν B(z0, σ + η2 /2) Ω ν mien xác đ%nh boi Ων = {z : ρ(z) > η /2} ∩ B ν , the {Ων } lan c¾n mo cna Ω ∩ B(z0 , σ) Cho f ∈ C ∞ (Ω¯ ∩ Bν )k thoa mãn ǁ ǁ2 ∂¯f = Trưóc tiên, mo r®ng f thành f¯ ∈ C ∞ (Ω ν ) vói ∂¯f¯ nho vói chuan Sobolev Hs Khi đó, ϕ := − log(η ν /2−ρ)+λ|z|2 −log((σ+ η2 /2−|z−z0 |2)) ν hàm Q−đa đieu hịa dưói exhaustion Ωnu ∩ Bnu Do đó, tù Đ%nh lý 2.1 Tính chat 2.3 có the su dung đưoc Trong trưòng hop này, có the giai ∂¯hν = ∂¯f¯ Ων ∂¯uν+1 = hν − hν+1 Ων+1 Boi tính quy cna ∂, ∂ ∗ , ket hop vói vói lưong Tính chat 2.3, thu đưoc Hs+1(Ων+1)−ưóc lưong cho hν Hs+2(Ων+2)−ưóc lưong cho uv+1 Tù đó, de Σ dàng thay rang chuoi ν uν h®i tu tói u ∈ C ∞ (Ω¯ ∩ B(z0 , σ)) 2.2Ưác lưang tiên nghi¾m có TRQNG biên cách xa Chúng ta van su dung (2.1) vói vi¾c cHQN ψ cho Cc∞ (Ω) trù m¾t C ∞ (Ω¯ )−dang vi phân Chúng ta su dung kí hiắu , v ữ l chi cỏc úc long chi sai khác hang so Chú ý rang, ψ = ψa có the chQn hàm log(|ρ|−1 ) − a vói |ρ|−1 ≥ cna | ρ|   a, ψ ÷ (2.18)  vói |ρ|−1 ≤ a Chúng ta can thay đői đe GQI có TRQNG sau Trưóc tiên, thay đői c|z|2 boi (c + t)|z|2 vói t đn lón Dưói sn thay đői này, phân so t/2 tham gia vào ve trái cna (2.3) Lay  ex/2 − ea/2 vói x ≥ a,   vói x ≤ a, đ%nh nghĩa cna hàm χ này, ta kí hi¾u χa, thay the công thúc χ = cna ϕ boi ϕ = χ(log(|ρ|−1) + λ|z|2) + (c + t)|z|2, đ%nh nghĩa ta coi ϕ = ϕat Chú ý rang cho Ka := {log(|ρ|−1) + λ|z|2 ≤ a}, ta có ψa|Ka ≡ 0, ϕat|Ka = (c + t)|z| Chúng ta nói rang dang u vói h¾ so trơn thoa mãn đieu ki¾n ∂¯−Neumann (vói tat ∂¯ − N ), Σ uiK ∂z ρ|∂Ω = 0, vói moi K (2.19) i i=1 Nói cách khác, đong nhat (uiK )i vói vecto tiep xúc cho MQI K , có (uiK)i ∈ T C∂Ω Đ%nh lý 2.4 Vái MQI dang vi phân u thóa mãn đieu ki¾n ∂¯-Neumann, ta có t ǁ u ǁ2(c+t)| 22 z| ¯ ∗ 2z| ≤ǁ ∂u ǁ (c+t)| + ǁ ¯∂u ǁ(c+t)| 2 (2.20) z| Chúng minh Trong chúng minh này, kí hi¾u ∂¯∗ tốn tu liên hop L2 boi ∂¯∗, kí hi¾u tốn tu liên hop cna toán tu ∂¯ : L2 (c+t)| ϕat−2ψa → z| at− L2ϕ ψa boi ∂¯a∗ Chúng ta su dung đ%nh nghĩa phan trưóc Chú ý trưóc tiên t A ≥ (c + t) ǁ u ǁ2 ϕ (2.21) Tương tn chúng minh Tính chat 2.1 vói c ≥ σ21 + σ2 ta có t ǁ u ǁ2 ≤ǁ ∂¯∗ u ǁ2 + ǁ ∂¯u +ε, ǁ2 ϕ at (2.22) ϕ ϕ−2ψ ε đieu ki¾n sai so Đieu ki¾n đưoc ưóc lưong boi (2.17) Rõ ràng, vói u thoa mãn ∂¯ − N ta có Σ Σ Σ Σ eψ ∂¯∗ u = j δw (u ) + j ∂ (ψ)u + R , (2.23) a t j |K|=k−1 j=1,··· ,n jK wj j=1,··· ,n |K|=k−1 jK u o δwj = ∂wj − ∂wj (ϕ) Ru sai so phan trưóc Vì the, đieu Σ ki¾n R ∂ψu := J ∂wj (ψ)ujK thoa mãn |K|=k−1 Σ Σ Σj=1,··· ,n ǁ ǁ2 ≤ j ∂wj (ρ) Σ J 2 Σ R∂ψu ϕ |K| j=1,··· ,n =k−1 Thay the s := |ρ|−1/2, ta có ∂wj (ψ)ujK ϕ = |K| =k−1 j=1,··· ,n ρ ujK ϕ (2.24) uj ∫ ε€ Σ e e−a j −χ(log(−|ρ|)) Σ |K|=k−1 = ∫e −a e−ρ ≤ cue −1/2 +ea/2 u ∂w j (ρ) j=1,··· ,n ρ c dρ ∫ a/ +∞ e−ss−3ds → a → +∞ K dρ (2.25) o đây, cu hang so có the ưóc lưong đưoc boi chuan C1 cna u Vì the ε → a → +∞ Bây giò, ta se chúng minh rang ǁ ∂¯ ∗ u ǁ at z| ∗ → ǁ¯ u ǁ2 ϕ−2ψ t δjt(ujK ) + Ru, Σ |K| =k−1 δjt := ∂wj − (c + t)z¯j , ta cóΣ Σ eψ ∂¯∗ (u) − ∂¯∗ (u) = j (2.26) , (c+t)| vói sai so kieu Ru Th¾t v¾y, ΣJ Tù công thúc (2.23) ∂¯∗ u = t j=1,··· ,n ∂w (−χa (log(|ρ|−1 + λ|z|2 ) + ψa ))(ujK ) + Ru at (2.27) j |K|=k−1 j=1,··· ,n t Đ¾c biet, ∂¯∗ ∂¯∗ chi sai khác Ru Ka , nên ta có ǁ ∂¯∗ u ǁ2 at (Ω) a t t − ǁ ∂¯ ∗ u ǁ2 Lϕ−2ψ t (Ω) =ǁ ∂¯∗ u ǁ2 L − ǁ ∂¯∗ u ǁ2 t at (c+t)|z|2 +Ru L (c+t)|z|2 (2.28) Lϕ−2ψ(Ω\Ka) (Ω\Ka)→ Rõ ràng, a → +∞ ta có (Ω\Ka) (2.29) ǁ ∂¯∗ u ǁL2 t (c+t)|z|2 Hơn nua, su dung (2.23) đ¾t s := |ρ|−1/2, ta có ∫e−a ¯∗ ǁ2∂ u ǁ at e−χ(− log(|ρ|)−(c+t)|z| )at |∂¯∗ u|2 dρ −(|ρ| e € ∫e Lϕ−2ψ(Ω\Ka) −1/2 −a € −e1/2 ) −1 u|ρ| dρ ∫ =ee a/2 Mà c e−scus2s−3ds → a → +∞ +∞ ea/2 ΣJ Σ ∂wj ρujK (2.30) |K|=k−1 −1 )| = |ρ| j=1,··· , n |∂¯∗ u|2 ÷ |χJ log(|ρ| (2.31) −1 cu ρ Tiep theo, neu thay the x/2 boi αx đ%nh nghĩa χ s2s−1/α−1 van tien tói dưói đieu ki¾n < α < Tù (2.31) thu đưoc (2.26) Nói cách khác, ǁ u ǁ2 →ǁ u ǁ ϕ (c+t)|z| ǁ ∂¯u ǁ2 →ǁ ∂¯u ǁ2 ϕ (c+t)|z| Do đó, chúng minh đưoc rang ε → Cho tien qua giói han (2.22), ta thu đưoc (2.20), đieu phai chúng minh 2.3Tính quy tồn cnc cho ∂¯ biên Ky thu¾t chúng minh chương tương tn ky thu¾t cna Kohn Chúng ta gia su TRQNG giong e−(c+t)|z| 2Ký hi¾u L2 liên hop vói TRQNG e−(c+t)|z| 2là ∂¯∗ khơng gian Sobolev vói TRQNG e−(c+t)|z| H s Đ%nh lý 2.5 Cho ∂Ω trơn Khi đó, vái MQI s se có t = ts thóa mãn 2 €ǁ ∂¯∗u ǁ2H + ǁ ¯∂ ǁHs(c+t)|z| ǁ u ǁH(c+t)|z| s (c+t)|z| (2.32) s 2 vái MQI u thóa mãn đieu ki¾n ∂¯ − N Đe thu¾n ti¾n, ta viet H s thay phai viet đay đn H s (c+t)|z|2 Chúng minh Ký hi¾u N đao hàm pháp tuyen cna ∂Ω Tj , j = 1, · · · , 2n−1 hắ cna cỏc ao hm tiep tuyen đc lắp tuyen tính Lay so nguyên i ≥ đa chi so α = α1 , · · · , α2n−1 vói i + |α| = s Chúng ta có khang đ%nh sau, vói MQI u có h¾ so H s i ≥ ǁ N i T αu ǁ2 €ǁ ∂¯u ǁ2 s−1 + ǁ ∂¯∗ u ǁ2 s−1 + Σ H H H ǁ Tβ u ǁ2 H + ǁ u2Hǁ s−1 (2.33) |β| =s Đe chúng minh (2.33), trưóc tiên theo [10, 11] ta có H H H H H j ǁ N u ǁ2 €ǁ ∂¯u ǁ2 + ǁ ∂¯∗ u ǁ2 + Σ ǁ Tj u ǁ2 + ǁ u ǁ2 (2.34) Neu su dung (2.34) bang vi¾c thay the u boi N i−1 T N i−1 T α ] [∂¯, N i−1 T α u ý [∂¯∗ , α ] tốn tu b¾c s − ta thu đưoc (2.33) Tiep theo, ta se chúng minh (2.32) bang phương pháp quy nap theo s Neu s = (2.32) giong (2.20) Gia su (2.32) vói s − 1, ta se chúng minh (2.32) vói s Th¾t v¾y, neu đao hàm có dang N i T αu vói i ≥ su dung (2.33) gia thiet quy nap xong Vì the ta chi can ưóc lưong đao hàm có dang T αu vói |α| = s Chúng ta ý rang T αu thoa mãn ∂¯ − N Tiep , As At tốn tu theo, ta có cơng thúc [∂¯∗ , T α ] = As + At s− s−1 b¾c s b¾c s − tương úng, As đc lắp vúi t Chỳng ta cng cú [, T α ] tốn tu b¾c ≤ s, khơng phu thu®c vào t Do đó, t ǁ T αu ǁH0 ≤ ǁ ∂¯T αu + ǁ ∂¯ ∗ T α u (2.35) ǁ H ǁ H α ¯ ≤ ǁ T ∂ u ǁ + ǁ T α ∂¯∗ u ǁ2 + ǁ As u ǁ2 + ǁ At H u ǁ2 s−1 H H H Neu As có dang N i vói i ≥ ta có the bo qua ve trái cna (2.35), su dung (2.33) ta thu đưoc ǁ As ǁ2 s €ǁ ∂¯u ǁ2 s−1 + ǁ ∂¯∗ u ǁ2 s−1 H H + Σ H ǁ Tβ u ǁ2 H + ǁ u2 ǁ H s−1 (2.36) |β| ≤s Tiep theo, ta có the bo qua T βu o ve phai cna (2.35) thu đưoc ǁT α u ǁH2 €ǁ ∂¯uH ǁ2 s + ǁ ∂¯H∗ u ǁ2 s +Hǁ u ǁ2 s−1 , (2.37) ket hop vói gia thiet quy nap ta thu đưoc ǁT α u ǁH2 €ǁ ∂¯uH ǁ2 s + ǁ ∂¯H∗ u ǁ2 s (2.38) Chúng minh Đ%nh lý 1.16 Đ¾t Qts = ∂t¯∗s ∂¯ +t∂¯∂¯∗s , su dung (2.32) có the đ%nh nghĩa tốn tu ∂¯ − Neumann sNt : H s →tsDQ ngh%ch đao cna s Qt thoa mãn ǁ N t f ǁ2 s € ǁ f Ht Ht s ǁ2 s s s (2.39) vói MQI f ∈ C ∞ (Ω¯ ) b¾c k cho Nts f ∈ C ∞ (Ω¯ ) Chúng ta có the su dung thu¾t tốn "elliptic regularization" đ%nh nghĩa toán tu NG t s : Hs → DQ ∩ Hs+1 thoa mãn t s ǁNf ǁ G ts +s ǁ N G f ǁ2 s+1 €ǁ f ǁ s ch MQI f ∈ H s b¾c k o s (2.40) Ht s ts H H ts Cho f ∈ H s , theo (2.40), có h®i tu H s −yeu Nt G f → g Do đó, s G hien nhiên Nt f = g s ts N f → Nt f s → (trong H ) Đ¾c bi¾t, s Nts f ∈ Hs neu f ∈ Hs Khi đó, tương tn phan chúng minh cuoi [10], cho f ∈ H s b¾c k thoa mãn ∂¯f = 0, u :=t ∂¯∗ Nts f ta có s ∂¯u = f, ǁHs (2.41) u ∈ Hs, ǁ u ǁHs €ǁ f Cuoi cùng, m®t biet phương trình ∂¯u = f có the giai đưoc H s vói ưóc lưong (2.41) theo l¾p lu¾n cna Hormander [11] ta se thu đưoc lòi giai C ∞ (Ω¯ ) Tài li¾u tham khao [1]K Adachi, Several complex variables and integral formulas, World Scientific, 2007 [2]D Barrett, Behavior of the Bergman projection on the Diederich- Fornaess worm, Acta Math., 168(1992), 1–10 [3]S Bell and E Ligocka, A simplification and extension of Fefferman’s theorem on biholomorphic mappings, Invent Math., 57(1980), 285–289 [4]L Baracco, G Zampieri, Regularity at the boundary for ∂¯ on qpseudo- convex domains, Jour D’Anal Math., 95(2005), 45– 61 [5]S.C Chen, M.C Shaw, Partial Differential Equations in Several Complex Variables, Amer Math Soci., 19 (2001) [6]M Christ, Global Cn irregularity of the ∂¯Neumann problem for worm domains, J Amer Math Soc, 9(1996), 1171–1185 [7]G M Henkin, H Lewy’s equation and analysis on pseudoconvex manifolds, Uspehi Mat Nauk, 32(1977), 57–118 [8]L Hormander, L2 estimates and existence theorems for the Acta Math., 113(1965), 89–152 ∂¯ operator, [9]L Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Complex Variables, Van Nostrand, Princeton, N.J., 1966 [10]J.J Kohn, Global regularity for ∂¯ on weakly pseudo-convex manifolds, Trans Amer Math Soc., 181(1973), 273–292 53 TÀI LIfiU THAM KHÁO [11]J J Kohn, Methods of partial differential equations in complex analysis, Proc Sympos Pure Math., 30(1977), 215–237 [12]L Rothschild and E M Stein, Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups, Acta Math., 137(1976), 257–320 [13]G Zampieri, q-pseudoconvexity and regularity at the boundary for solutions of the ∂¯-problem, Compositio Math., 121(2000), 155–162 54 ... (Cn) = {0}, nua 0,1 p ∂z ∂z p T 1,0 ∂ (Cn) = span p n ∂ Σ, · · · , ΣΣ, ∂ ∂ (Cn) = span ∂z Σ , · · · ∂z , p ΣΣ ¯1 ¯n 2 (∂/ ∂zj )p = (∂/ ∂xj − i∂/∂yj )p , 2 (∂/ ∂z¯j ) = (∂/ ∂xj + i∂/∂yj )p vói T p 0,1... trình ∂? ?u = f 15 1.3 Mien Q? ??gia loi 18 2.1 2.2 2.3 Tính quy cho tốn tE ∂? ? 23 Tính quy đ%a phương cho ∂? ? biên .23 Ưóc lưong tiên nghi¾m có TRQNG biên cách xa .27 Tính quy toàn... 1, q) (p, q + 1) tương úng Do d = ∂ + ∂? ?, ta thay rang MQI dang vi phân trơn f kieu (p, q) M se thoa mãn = d2 f = (∂ + ∂? ?) (∂ + ∂? ?)f = ∂ f + (∂? ??¯ + ∂? ?∂) f + ∂? ?2 f, đong nhat hai ve ta đưoc ∂ =