I HC À NNG TRNG I HC BÁCH KHOA KHOA S PHM K THUT B MÔN C K THUT À NNG 2005 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC CHNG I CÁC KHÁI NIM C BN - H TIÊN  TNH HC Tnh hc vt rn là phn c hc chuyên nghiên cu s cân bng ca vt rn di tác dng ca các lc. Trong phn tnh hc s gii quyt hai bài toán c bn : 1- Thu gn h thc v dng đn gin. 2- Tìm điu kin cân bng ca h lc.  gii quyt các bài toán trên, ta cn nm vng các khái nim sau đây : §1 . CÁC KHÁI NIM C BN 1.1 Vt rn tuyt đi : Vt rn tuyt đi là vt mà khong cách gia hai đim bt k ca vt luôn luôn không đi (hay nói cách khác dng hình hc ca vt đc gi nguyên) di tác dng ca các vt khác. Trong thc t các vt rn khi tng tác vi các vt th khác đu có bin dng. Nhng bin dng đó rt bé, nên ta có th b qua đc khi nghiên cu điu kin cân bng ca chúng. Ví d : Khi di tác dng ca trng lc P dm AB phi võng xung, thanh CD phi giãn ra. (hình 1) Nhng do đ võng ca dm và đ dãn ca thanh rt bé, ta có th b qua. Khi gii bài toán tnh hc ta coi nh dm không võng và thanh không dãn mà kt qu vn đm bo chính xác và bài toán đn gin hn. Trong trng hp ta coi vt rn là vt rn tuyt đi mà bài toán không gii đc, lúc đó ta cn phi k đn bin dng ca vt. Bài toán này s đc nghiên cu trong giáo trình sc bn vt liu. Hình 1 a ) P f b) D C A P f B Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 1 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC  đn gin, t nay v sau trong giáo trình này chúng ta coi vt rn là vt rn tuyt đi. ó là đi tng đ chúng ta nghiên cu trong giáo trình này. 1.2 Lc : Trong đi sng hng ngày, ta có khái nim v lc nh khi ta xách mt vt nng hay mt đu máy kéo các toa tàu. T đó ta đi đn đnh ngha lc nh sau : Lc là đi lng đc trng cho tác dng tng h c hc ca vt này đi vi vt khác mà kt qu làm thay đi chuyn đng hoc bin dng ca các vt. Qua thc nghim, tác dng lc lên vt đc xác đnh bi ba yu t : 1. im đt lc 2. Phng, chiu ca lc 3. Cng đ hay tr s ca lc. n v đo cng đ ca lc trong h SI là Newton (kí hiu N) Vì vy, ngi ta biu din lc bng véct. Ví d: Lc F f biu din bng véct A B (hình 2). Phng chiu ca véct A B biu din phng chiu ca lc F f , đ dài ca véct A B theo t l đã chn biu din tr s ca lc, gc véct biu din đim đt ca lc, giá ca véct biu din phng tác dng ca lc. 1.3 Trng thái cân bng ca vt : B F f A Hình 2 Mt vt rn  trng thái cân bng là vt đó nm yên hay chuyn đng đu đi vi vt khác “làm mc”.  thun tin cho vic nghiên cu ngi ta gn lên vt chun “làm mc” mt h trc to đ nào đó mà cùng vi nó to thành h quy chiu. Ví d nh h trc to đ -cát Oxyz chng hn. Trong tnh hc, ta xem vt cân bng là vt nm yên so vi trái đt. 1.4 Mt s đnh ngha : 1. H lc : H lc là tp hp nhiu lc cùng tác dng lên vt rn. Mt h lc đc kí hiu ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ). 2. H lc tng đng : Hai h lc tng đng nhau, nu nh tng h lc mt ln lt tác dng lên cùng mt vt rn có cùng trng thái c hc nh nhau. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 2 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC Ta biu din hai h lc tng đng nh sau : ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ) ~ ( m PPPP f f f f , ,,, 321 ) trong đó: du ~ là du tng đng. Nu hai h lc tng đng ta có th hoàn toàn thay th cho nhau đc. 3. H lc cân bng : H lc cân bng là h lc mà di tác dng ca nó, vt rn t do có th  trng thái cân bng. 4. Hp lc : Hp lc là mt lc tng đng vi h lc. Ví d : Lc R f là hp lc ca h lc ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ), ta kí hiu R f ~ ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ) §2. H TIÊN  TNH HC Trên c s thc nghim và nhn xét thc t, ngi ta đã đi đn phát biu thành mnh đ có tính cht hin nhiên không cn chng minh làm c s cho môn hc gi là tiên đ này. 2.1 Tiên đ 1: (Hai lc cân bng) iu kin cn và đ đ hai lc tác dng lên mt vt rn cân bng là chúng có cùng phng tác dng, ngc chiu nhau và cùng tr s. Trên hình 3, vt rn chu tác dng bi hai lc 1 F f và 2 F f cân bng nhau. Ta kí hiu : ( 1 F f , 2 F f ) ~ 0. ó là điu kin cân bng đn gin cho mt h lc có 2 lc. 2.2 Tiên đ 2 : (Thêm hoc bt mt h lc cân bng) Hình 3 2 F f A B 1 F f Tác dng ca mt h lc lên mt vt rn không thay đi nu ta thêm vào hay bt đi hai lc cân bng nhau. Theo tiên đ này, hai h lc ch khác nhau mt h lc cân bng thì chúng hoàn toàn tng đng nhau. T hai tiên đ trên, ta có h qu : H qu trt lc : Tác dng ca mt h lc lên mt vt rn không thay đi khi ta di đim đt ca lc trên phng tác dng ca nó. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 3 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC Chng minh : Gi s ta có lc F f tác dng lên vt rn đt ti đim A (hình 4). Trên phng tác dng ca lc F f ta ly mt đim B và đt vào đó hai lc và cân bng nhau, có véct nh trên hình v và tr s bng F. 1 F f 2 F f Theo tiên đ 2 thì : F f ~ ( F f , 1 F f , 2 F f ) Nhng theo tiên đ 1 thì : ( 1 F f , 2 F f ) ~ 0, do đó ta có th b đi. Nh vy, ta có : F f 1 F f 2 F f F , , ) ~ 1 f F f ~ ( iu đó chng t lc F f đã trt t A đn B mà tác dng ca lc không đi. H qu đã đc chng minh Chú ý : Hai tiên đ trên và h qu ch đúng cho vt rn tuyt đi. Còn đi vi vt rn bin dng các tiên đ 1, 2 và h qu trt lc không còn đúng na. Ví d : Trên hình 5, thanh mm AB chu hai lc 1 F f , tác dng s không cân bng vì do thanh bin dng, còn khi trt lc thì thanh t trng thái b kéo sang b nén. 2 F f 2.3 Tiên đ 3 : (Hp hai lc) Hai lc tác dng lên vt rn đt ti cùng mt đim có hp lc đt ti đim đó xác đnh bng đng chéo ca hình bình hành mà các cnh chính là các lc đó (hình 6). Tiên đ 3 khng đnh hai lc có cùng đim đt thì có hp lc R f . V phng din véct ta có : R f 1 F f 2 F = + f ngha là véct R f bng tng hình hc ca các véct 1 F f , 2 F f . T giác OACB gi là hình bình hành lc. V tr s : α cos2 21 2 2 1 2 FFFFR ++= 1 F f 2 F f F f Hình 4 1 F f 2 F f 1 F f 2 F f Hình 6 C 2 F f F f A 1 F f B O Hình 5 B A B A A B (trong đó  là góc hp bi hai véct 1 F f , 2 F f ) Tiên đ trên, áp dng cho h lc đng quy ti O, ta có các đnh lý sau. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 4 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC nh lý I : Mt h lc đng quy tác dng lên vt rn có hp lc đt ti đim đng quy và véct hp lc bng tng hình hc véct các lc thành phn. Chng minh : Gi s ta có mt h lc ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ) tác dng lên vt rn đt ti cùng đim O (hình 7). Áp dng tiên đ 3, ta hp , đc lc : 1 F f 2 F f 1 R f 1 F f 2 F = + f bng cách v véct 2 FAB f = ni OB đc lc 1 R f . Bây gi ta hp và 1 R f 3 F f ta đc 2 R f = 1 R f + 3 F f = 1 F f + 2 F f + 3 F f bng cách v véct 3 FBC f = , ni OC đc 2 R f . Tin hành tng t nh vy đn lc n F f , ta đc hp lc R f ca h lc : 1 F f 2 F f 3 F f n F f R f Hình 7 2 R f = 1 F f + 2 F f + 3 F f + + n F f hay : ∑ = = n k k FR 1 f f nh lý II : Nu ba lc tác dng lên mt vt rn cân bng cùng nm trong mt phng và không song song nhau thì ba lc phi đng qui. Chng minh : Gi s, mt vt rn chu tác dng ca ba lc 1 F f , , 2 F f 3 F f cân bng. Theo gi thuyt hai lc 1 F f , 2 F f cùng nm trong mt phng và không song song nên phng tác dng ca chúng giao nhau ti mt đim O chng hn. Ta s chng minh 3 F f cng qua O. Tht vây, theo tiên đ 3 hai lc 1 F f , 2 F f có hp lc R f đt ti O : R f = F 1 f + 2 F f vì (F , F 1 f 2 f , 3 F f ) ~ 0 nên ( R f , 3 F f ) ~ 0. 1 F f 2 F f 3 F f R f Hình 8 Theo tiên đ 1, hai lc cân bng nhau thì chúng có cùng phng tác dng. Vy đng tác dng ca lc 3 F f phi qua O (hình 8). Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 5 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC 2.4 Tiên đ 4 : ( Tiên đ tác dng và phn tác dng) ng vi mi lc tác dng ca vt này lên vt khác, bao gi cng có phn lc tác dng cùng tr s, cùng phng tác dng, nhng ngc chiu nhau. Gi s mt vt B tác dng lên vt A mt lc F f thì ngc li vt A tác dng lên vt B lc F f = - F f . Hai lc này có tr s bng nhau, ngc chiu nhau, nhng không cân bng vì chúng đt lên hai vt khác nhau ( hình 9 ). 1 F f 3 F f B A Hình 9 2.5 Tiên đ 5 : (Nguyên lý hoá rn) Nu di tác dng ca h lc nào đó mt vt bin dng. Nh tiên đ này khi mt vt bin dng đã cân bng di tác dng ca mt h lc đã cho, ta có th xem vt đó nh vt rn đ kho sát điu kin cân bng. 2.6 Tiên đ 6 : (Tiên đ gii phóng liên kt) Mt vt rn t v trí này đn v trí đang xét có th thc hin di chuyn v mi phía gi là vt t do. Ví d mt qu bóng đang bay. Nhng thc t, phn ln các vt kho sát đu  trng thái không t do ngha là mt s di chuyn ca vt b vt khác cn li. Nhng vt nh vy gi là vt không t do hay vt chu liên kt. Tt c nhng đi tng ngn cn di chuyn ca vt kho sát gi là các liên kt. Ví d : Hp phn đ trên mt bàn, mt bàn ngn cn hp phn di chuyn xung phía di. (Hình 10) Hp phn là vt chu liên kt còn mt bàn là vt gây liên kt. Theo tiên đ 4 thì vt chu liên kt tác dng lên vt gây liên kt mt lc, ngc li vt gây liên kt tác dng lên vt chu liên kt mt lc. Chính lc này ngn cn chuyn đng ca vt, ta gi phn lc liên kt. Ví d trên hình 10, lc N j là phn lc liên kt ca mt bàn tác dng lên hp phn nhm ngn cn hp phn di chuyn xung phía di. N f P f Hình 10 Ta nhn thy, phn lc liên kt là lc th đng, s có chiu ngc vi chiu mà vt kho sát mun di chuyn b liên kt ngn cn li. Theo mt phng nào đó, không b liên kt ngn cn thì theo phng đó thành phn phn lc liên kt bng không. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 6 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC 2. Mt s liên kt thng gp : a) Liên kt ta : t nhn (hình 11a) hay giá ta con ln (hình 11b) theo phng phá Vt ta trên m p tuyn mt tr, vt kho sát b cn tr bi phn lc N j theo hng đó. Còn thanh ta lên đim nhn C (hình 11c) thì phn lc N f s vuông góc vi thanh. b) Liên kt bn l : N f Hình 11 a ) b) N f N f c ) - Bn l tr : (Hình 12) V ng nào vuông góc vi trc u b ngn cn, nên ph u t di chuyn theo ph bn l đ n lc A R f có phng vuông góc vi trc bn l. - Bn l c : (Hình 13)Phn lc R f có phng bt k và qua tâm O ca bn l vì hng dây kéo cng thì vt b cn tr, nên hng dc dây ra phía chuyn đng ca vt theo hng nào cng b ngn cn. c) Liên kt dây mm : Theo phn lc ca dây là 1 T f , 2 T f ngoài vt. (Hình 14) Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 7 Hình 12 Hình 13 Hình 14 2 T f 1 T f R f A R f GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC d) Liên kt thanh : Dm AB chu liên kt thanh CD vi bn c tác d l C và D. Trên thanh CD không có l ng và b qua trng lng thanh thì phn lc R f ca thanh hng dc thanh (hình 15).  chng minh điu này, ta tách thanh CD ra kho sát và áp dng tiên đ mt thì p n lc C R h f phi qua bn l D. i vi thanh c Trong tnh hc, bài toán xác đnh phn l chiu, tr s phn lc đc xác đnh c th tu theo tng bài toán nh có tiên đ ong ta cng chng minh nh vy. c là bài toán quan trng. Ph ng  t cân bng có th xem nh mt vt t do cân bng, nu các liên kt và thay vào đó các phn lc liên kt tng ng ca §3. LÝ THUYT V MÔMEN LC 3.1 Mômen ca lc đi vi mt đim : Thc t ch  gii phóng liên kt sau. 3. Tiên đ 6 : Mt vt chu liên k tng tng b chúng. o ta thy có mt đim c đnh O, chu tác dng lc F f thì vt s quay quanh đim đó . Tác dng ca lc F f slàm vt quay đc xác đnh b i ba yu t :  - Phng mt phng cha lc F f và đim O - Chiu quay ca vt quanh c đi qua O và vuông góc vi mt phng này. tr - Tích s, tr s lc F f và chiu dài cánh tay F f đòn d ca lc đi vi đim O (d là đon thng vuông góc k t đim O đn đng tác dng ca lc F f ). T đó ta suy ra đnh ngha sau : 1. nh ngha : Mômen lc F f đi vi đim O là mt véct t đ ti đim O có ph ha lc ng vuông góc vi mt phng c F f và đim O, có chiu sao ta nhìn t mút đn thy lc F f hng quanh O ngc chiu kim đng h, có đ dài bng tích tr s lc F f vi cánh tay đòn ca lc F f đi v i đim O (hình 16).  C R f P f Hình 15 B D A Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 8 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC 2. Biu thc véct ômen ca lc : m T đnh ngha trên, ta có tr s mômen ca lc đi vi đim O là : OABdtdFFM O ∆== 2.)( ff (Trong đó F.d bng hai ln din tích tam giác OAB, ch tính tr s mà không k đn v). Nu ta gi véct OAr = f là véc t bán kính đim đt A ca lc F f cà xác đnh véct F r f f ∧ ri so sánh vi véct mômen lc F f đói vi đim O là FrFM O f f f f ∧) (1.4) m đ Chn h trc Oxyz, ta gi các hình chiu l =( Véct mômen ca lc đi vi mt đi bng tích véct gia véct bán kính đim đt ca lc vi lc ó. c F f là X, Y, Z và hình chiu ca véct r f là x, y, z (x, y, z cng là to đ đim A). Do đó ta có : ZYX zyFrFM O x kji f f f fff Trong đó , f =∧=)( i f j f , k f là véct đn v trên các trc to đ x, y, z. T đó, ta suy ra hình chiu véct mômen ca lc F f là : ZyyZFM Ox −=)( f f xZzXFM −=)( Oy f f yXxYFM −=)( Oz f f Nu bit các hình chiu này, véct mômen )(FM O f f hoàn toàn xác đnh. Trong trng hp các lc tác dng lên vt cùng trong m ng, ta coi mt phng cha lc t mt ph F f và đim O đã đc xác đnh. Vì vy ômen lc m F f đi vi đim O (1.5) x y z O B A d F f )(FM O f f Hình 16 Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 9 [...]... t nh h c Trang 16 GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C f thu n ti n cho vi c tính toán, véct mômen ng u l c t ng c ng M có th tìm b ng ph ng pháp gi i tích nh nh lý hình chi u véct lên m t tr c là: mkx , My mky , f ó là các hình chi u c a véct M lên các tr c to Mx M Ch M 2x ng I Các khái ni m c b n-H tiên M 2y Mz mkz x, y, z Tr s c a M là: M 2z t nh h c Trang 17 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T... RCx = RCsin , RCz = RCcos , RCy = 0 Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 29 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I Ta thi t l p h ph PH N T NH H C ng trình cân b ng : XA Z f mx (F ) XB RC sin Y X YA F ZA ZB P 0 0 RC cos (1) (2) 0 (3) b 0 P bZ B bRC cos 2 f a 0 my (F ) P aRC cos 2 f mz (F ) bX B bRC sin aF 0 Gi i h sáu ph Ph ng trình trên ta (4) (5) (6) c các k t qu sau : ng trình (5) cho ta : RC Thay giá tr R vào ph... các ng trình 4, 5 t tho mãn và f mz (F ) f mO ( F ) ng trình cân b ng c a h l c ph ng ch có 3 ph D ng I : ng trình là: 0 Xk Th c t ng Yk 0 f mO ( Fk ) 0 Yk i ta còn dùng các h ph (2.13) ng trình cân b ng khác t ng ng v i (2.13) nh sau : D ng II : Xk 0 f m A ( Fk ) 0 f mO ( Fk ) 0 trong ó o n AB không (2.13’) c vuông góc v i tr c x f R B A x Hình 42 (hình 42) Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 32 GIÁO TRÌNH... u b ng y O f F1 0 ng trình t tho mãn, còn l i Hình 44 x ng trình cân b ng là: Zk 0 f m x ( Fk ) 0 f m y ( Fk ) 0 y (2.15) f F1 f F2 Nh v y h l c không gian song song ch có ba ph f Fn ng trình cân b ng f Fn x O Hình 45 b- H l c ph ng song song : f f f Là h l c ( F1 , F2 , , Fn ) song song cùng n m trong m t m t ph ng (hình 45) Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 34 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH... ng II Lý thuy t h l c i f m ( Fk ) is : (2.6) Trang 19 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I Véct mômen chính c xác M Ox M Oy M Oz PH N T NH H C nh b ng các hình chi u sau ây : HC x HC y HC z f mO f mO f mO f Fk f Fk f Fk mx my mz f Fk f Fk f Fk (2.7) Tr s mômen chính là : M 2 Ox MO M 2 Oy M 2 Oz §2 H L C THU G N 2.1 Thu g n h l c v m t tâm : thu g n h l c v m t tâm ta d a vào nh lý d i l c song song nh lý :... i m K trên hình 38 là i m t c a f h p l c R h ng song song v i tr c y có tr s : d R = R’O = 200 3 N §3 I U KI N CÂN B NG VÀ H PH NG TRÌNH CÂN B NG 3.1 i u ki n cân b ng và h ph Ch ng II Lý thuy t h l c ng trình cân b ng c a h l c không gian : Trang 27 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I 1 i u ki n cân b ng : PH N T NH H C i u ki n c n và m t h l c không gian cân b ng là véct l c chính và véct mômen chính... hình chi u c a chúng u b ng không Do ó, khi h l c cân b ng ta có : Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 28 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C 0 0 Xk Yk Zk 0 f m x ( Fk ) 0 f m y ( Fk ) 0 f m z ( Fk ) 0 (2.12) Nh v y, khi h l c không gian cân b ng thì có 6 ph áp d ng các ph ng trình cân b ng ó Ví d 1: Cho m t t m ch nh t ng trình cân b ng Ta s gi i bài toán cân b ng không gian ng ch t tr ng l ng P,... l c f Khi M O = 0 thì h p l c qua tâm f Khi M O f 0 h p l c không qua tâm O f vì R ' M O = 0 ngh a là véct mômen chính và véct chính vuông góc nhau (hình 33) Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 23 GIÁO TRÌNH C Áp d ng H C LÝ THUY T I nh lý PH N T NH H C o, d i l c song song, ta phân f j f f RO R' Bây gi h có ba l c nh ng hai f f l c RO và R" cân b ng nên ta b i ch còn l c f f R qua O’ L c R chính là h... S2 = -S4 = 4000 2 N Ph ng trình (5) ta có : S3 = -S4cos450 = 2 P 2 T ng t nh v y ta tìm 2 2 2P 4000 N c: S1 S5 S6 P 2000 N 2 P 2 4000 2 P 2000 N T k t qu trên ta th y S1, S4, S5 d ng nên thanh 1, 4, 5 ch u kéo, còn S2, S3, S6 âm nên thanh 2, 3, 6 ch u nén Do k t qu trên, ta có quy t c Ch ng II Lý thuy t h l c bi t thanh ch u nén hay ch u kéo nh sau: Trang 31 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H... n l c c a thanh âm thì thanh ch u nén Còn tr s n i l c b ng tr s c a ph n l c y T i u ki n và ph ki n và ph ng trình cân b ng c a h l c không gian ta suy ra i u ng trình cân b ng c a h l c ph ng 3.2 i u ki n cân b ng và h ph i u ki n và h ph nh lý : ng trình cân b ng c a h l c ph ng : ng trình cân b ng i u ki n c n và chính c a h l c ó Ph n ch ng minh t h l c ph ng cân b ng là véct chính và mômen . trong giáo trình sc bn vt liu. Hình 1 a ) P f b) D C A P f B Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 1 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT. O, ta có các đnh lý sau. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 4 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC nh lý I : Mt h lc đng