Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số mở rộng cách tự nhiên cần thiết phép tính vi phân hàm số biến số Các toán thực tế thường xuất phụ thuộc biến số vào hai biến số nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T chất lỏng biến đổi theo độ sâu z thời gian t theo công thức T  et z , nhiệt lượng toả dây dẫn phụ thuộc vào điện trở dây, cường độ dòng thời gian dẫn điện theo công thức Q  0, 24RI 2t ,v.v…Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn Để học tốt chương này, việc nắm vững phép tính đạo hàm hàm biến số, người học phải có kiến thức hình học khơng gian (xem  2 ) 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CHUNG 1.1.1 Không gian n chiều Ta biết điểm khơng gian chiều đặc trưng hồn toàn số (x, y, z) gọi tọa độ descartes nó: x hồnh độ, y tung độ z cao độ Tổng quát sau: Mỗi có thứ tự n số thực ( x1 , x2 , ,xn ) gọi điểm n chiều Kí hiệu M ( x1 , x2 , ,xn ) có nghĩa điểm n chiều M có toạ độ x1 , x2 , ,xn Tập điểm M ( x1 , x2 , ,xn ) gọi không gian Euclide n chiều kí hiệu Cho M ( x1 , x2 , ,xn )  n , N ( y1 , y2 , , yn )  n n Người ta gọi khoảng cách M N, kí hiệu d(M, N) tính theo công thức: d ( M , N )  ( x1  y1 )   ( xn  yn )  Tương tự , , với điểm A, B, C n n (x i 1 i  yi ) ta nhận bất đẳng thức tam giác n Tức ta có: d ( A, C )  d ( A, B)  d ( B, C )   Tập  (M )  M  n : d (M , M )    gọi  - lân cận lân cận bán kính  M0 hình cầu mở tâm M0 bán kính  Cho M ( x1 , x2 , ,xn )  0 n (H.1a) Cho E  n Điểm M  E gọi điểm E có  (M )  E, (  0) Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Điểm N  n gọi điểm biên E  (M ) chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập E gọi mở điểm điểm trong, gọi đóng chứa điểm biên Tập điểm biên E kí hiệu E Tập E đóng ( bao đóng E ) kí hiệu E có E  E  E (H.1a) Tập E gọi bị chặn hay giới nội R  : E  R (0) Tập E gọi liên thông cặp điểm M1, M2 E nối với đường cong liên tục nằm trọn E Tập liên thơng E gọi đơn liên bị giới hạn mặt kín (một đường cong kín ; mặt cong kín ) (H.1.1a) Tập liên thơng E gọi đa liên bị giới hạn từ hai mặt kín trở lên rời đôi (H.1.1b) Một tập mở liên thông D gọi miền liên thông D Tương ứng ta có miền đơn liên, miền đa liên, miền đóng tùy theo tập đơn liên, tập đa liên, tập đóng M2 M N M1 H.1.1.a H.1.1.b Ví dụ 1.1: Xét tính chất tập sau A  ( x, y) : x  y  4 B  (1, 2), (1,0), (0,0) Giải: A hình trịn tâm O, bán kính 2; A  ( x, y ) : x  y  4 đường tròn tâm O bán kính 2; A  ( x, y ) : x  y  4 hình trịn kể biên A, tập liên thông; B tập không liên thông (gồm điểm rời rạc) A, B tập giới nội; A miền đơn liên; 2 tập không giới nội (cả mặt phẳng 0xy) miền không giới nội Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến số Cho D  n Ta gọi ánh xạ: f : D M ( x1 , x2 , , xn )  D u  f (M )  f ( x1, x2 , , xn )  hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f; x1, x2 , , xn biến số độc lập, u gọi biến số phụ thuộc Với định nghĩa trên, hàm số cho hàm đơn trị Sau gặp hàm số đa trị, thường cho dạng ẩn 1.1.3 Miền xác định hàm nhiều biến số Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà khơng nói miền xác định D phải hiểu miền xác định D hàm số tập hợp điểm M cho biểu thức f(M) có nghĩa Miền xác định hàm số thường miền liên thông Sau số ví dụ miền xác định hàm số biến số, biến số Ví dụ 1.2: Tìm miền xác định hàm số sau mơ tả hình học miền đó: a z   x  y , b z  ln( x  y ) , c u  y  x  y2  z2 Giải: a .Miền xác định tập điểm ( x, y)  cho  x  y  hay x  y  Đó hình trịn đóng tâm O bán kính (H.1.2a) Hình trịn đóng mơ tả hệ bất phương trình:   x    2    x  y   x b Miền xác định tập điểm ( x, y)  thoả mãn: x  y  hay y   x Đó nửa mặt phẳng có biên đường y   x (H.1.2b) Nửa mặt phẳng mô tả hệ bất phương trình:    x     x  y   c Miền xác định tập điểm ( x, y, z )  thoả mãn x  y  z  Đó hình cầu mở tâm O bán kính (H.1.2c) Hình cầu mở mơ tả hệ bất phương trình:   x   2   x  y   x    x  y  z   x  y Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số y y y  x y  1 x2 x -1 -1 x y   1 x2 H.1.2b H.1.2a z 3 y x H.1.2c 1.1.4 Ý nghĩa hình học hàm hai biến số Cho hàm biến z = f(x,y) với ( x, y )  D Tập điểm ( x, y, z )  với z = f(x,y) gọi đồ thị hàm số cho Như đồ thị hàm biến thường mặt cong không gian chiều Oxyz Đồ thị hàm số mô tả cách trực quan hàm số, thể ý nghĩa hình học hàm số Dưới ta xét mặt cong đặc biệt đơn giản, thơng dụng tốn học ứng dụng A Mặt phẳng: Mặt phẳng đồ thị hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, A2  B  C  Chẳng hạn C  có z   ( D  Ax  By ) , hàm số xác định C (1.1) (1.1)’ B Ellipsoid Ellipsoid mặt cong, phương trình tắc có dạng (H.1.3) x2 y2 z2   1 a b2 c (1.2) Đây hàm hai biến cho dạng không tường minh (dạng ẩn) Hàm số đa trị Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số ( miền xác định hàm ẩn hình ellipse) Chẳng hạn, coi z biến phụ thuộc vào x y miền xác định ellipse có bán trục a b: x2 y2  1 a2 b Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ bán kính R: x  y  z  R z z c y a y b x x H.1.3 H.1.4 C Paraboloid elliptic Phương trình tắc paraboloid elliptic có dạng (H.1.4) x2 y2  z a b2 (1.3) Miền xác định hàm số Khi a = b tức phương trình có dạng: x2  y2  a2 z (1.3)’ Mặt cong có phương trình (1.3)’ gọi paraboloid tròn xoay D Mặt trụ bậc Mặt trụ elliptic (H.1.5) có phương trình tắc: x2 y2  1 a b2 (1.4) Mặt trụ hyperbolic (H.1.6) có phương trình tắc: x2 a2  y2 b2  1 (1.5) Mặt trụ parabolic (H.1.7) có phương trình tắc: y  px (1.6) Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số z z b b y y b a x H.1.5 H.1.6 x z z y y x x H.1.7 H.1.8 E Mặt nón bậc Phương trình tắc mặt nón có dạng (H.1.8) x2 y2 z2   0 a b2 c (1.7) 1.1.5 Giới hạn hàm số nhiều biến số Khái niệm giới hạn hàm số nhiều biến số đưa khái niệm giới hạn hàm biến số Ở biến số đóng vai trị khoảng cách d(M 0, M) hai điểm M0 M không gian n Để đơn giản cách viết xét không gian chiều Nói dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0), kí hiệu M n  M n   lim x n  x0 n  lim d ( M , M n )  ,  n yn  y0 lim n  (1.8) Cho hàm z  f ( x, y) xác định lân cận M0(x0, y0) trừ M0 Ta nói hàm f ( M ) có giới hạn l M(x,y) dần đến M0(x0, y0) dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận M0(x0, y0) dần đến M0 ta có: lim f ( xn , y n )  l n 10 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Người ta thường kí hiệu lim f ( M )  l hay M M lim  x , y  x0 , y0  f  x, y   l (1.9) Chú ý: Sử dụng ngôn ngữ " ,  " ta có định nghĩa sau: Hàm số f(M) có giới hạn l M  M nếu: (  0) (  0) :  d ( M , M )    f ( M )  l   ) (1.10) Chú ý: a Trong định nghĩa trên, M  M phải hiểu tọa độ M đồng thời dần đến tọa độ M Vì người ta cịn có tên gọi giới hạn bội hàm nhiều biến b Tất khái niệm giới hạn vơ hạn, q trình M   ; tính chất hàm có giới hạn; định lí giới hạn tổng, tích, thương tương tự hàm số biến số Giới hạn lặp: Cho hàm z = f(x,y) xác định lân cận M0(x0, y0), trừ M Ta cố định giá trị y  y0 f  x, y  hàm biến số x Giả sử tồn giới hạn đơn lim f  x, y   g  y  x  x0 Nếu tồn lim g  y   l ta nói l giới hạn lặp hàm số theo thứ tự y  y0 x  x0 , y  y0 kí hiệu lim lim f  x, y   l (1.11) y  y0 x  x0 Sau ta đưa điều kiện đủ cho tồn giới hạn lặp Định lí 1.1: Cho hàm z = f(x,y) xác định lân cận M0(x0, y0) trừ M , thỏa mãn điều kiện: a Tồn giới hạn bội lim  x , y  x0 , y0  f  x, y   l ( hữu hạn vô cùng) b Tồn giới hạn đơn lim f  x, y   g  y  x  x0 Khi tồn giới hạn lặp lim lim f  x, y   l y  y0 x  x0 Ví dụ 1.3: Tìm giới hạn x2 y a lim , ( x , y ) ( , ) x  y Giải : a Ta có b lim ( x , y )( 0, ) xy , x  y2 c lim ( x , y )( 0, ) xy x  y2 x2 y   y , d ( M , O)  x  y 2 x y (  0) (   :  x  y   ) ( y   2 11 x2 y  0  y   ) x  y2 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Vậy x2 y 0 ( x , y ) ( , ) x  y lim b Cho M ( x, y )  O(0,0) theo đường y = Cx, C = const ( hằngsố ) xy Cx xy C   lim  2 2 x 0 x  y 1 C2 x y (1  C ) x Điều chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác phụ thuộc vào C Vậy hàm khơng có giới hạn c xy x2  y 0  x x2  y y  y Tương tự a suy lim ( x , y )( 0, ) xy x2  y2 0 Ví dụ 1.4: Tìm giới hạn lặp  x, y    0,0  hàm số sau a f  x, y   xy , x  y2 b f  x, y   x  y  x2  y , x y c f  x, y   x sin Giải: a lim lim f  x, y   lim lim xy  lim  y 0 y x y lim lim f  x, y   lim lim xy  lim  x 0 x x y y 0 x 0 x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 y 0 2 Tuy nhiên không tồn giới hạn bội b lim lim f  x, y   lim lim y 0 x 0 y 0 x 0 xy , ( Xem ví dụ 1.3.c ) ( x , y ) (0,0) x  y lim x  y  x2  y  y  y2  lim  1 , y 0 x y y x  y  x2  y x  x2  lim  1, x 0 y 0 x 0 x y x lim lim f  x, y   lim lim x 0 y 0 Từ định lí 1.1 suy khơng có giới han bội c lim lim f  x, y   lim lim x sin y 0 x 0 y 0 x 0 lim lim f  x, y   lim lim x sin x 0 y 0 x 0 y 0  lim  y y 0 không tồn y Tuy nhiên có giới hạn bội x sin 1.1.6 Sự liên tục hàm số nhiều biến số 12  x   x, y    0,0  y y Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số A Định nghĩa Hàm số f(M1) xác định miền D M  D Ta nói hàm số f(M) liên tục M lim f ( M )  f ( M ) M M Hàm số f(M) xác định miền D Nói hàm số liên tục miền D liên tục điểm M  D Hàm số f(M) liên tục miền đóng D liên tục miền D liên tục điểm N  D theo nghĩa lim f (M )  f ( N ), M  D M N Ta đặt f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) , gọi số gia tồn phần hàm số (x0,y0) Vậy hàm số f(x,y) liên tục (x0, y0) f ( x0 , y0 )  x  y  Tương tự hàm số biến số, có phép tính: tổng, tích, thương, hợp hàm số liên tục Ví dụ 1.5: Xét liên tục hàm số sau:  xy  x, y    0,   2 a f  x, y    x  y , 0  x, y  =  0,0    x2 y  x, y    0,   b f  x, y    x  y 0  x, y  =  0,0   c Giải: f  x, y   cos  x  e2 x  xy  a Hàm số liên tục \  0,  ( xem ví dụ 1.3.b ), b Hàm số liên tục ( xem ví dụ 1.3.a ), c Hàm số liên tục hợp hai hàm số liên tục : cos u u  x  e2x  xy B Tính chất Hồn tồn tương tự hàm biến số ta có tính chất quan trọng sau đây: Định lý 1.2: ( Weierstrass ) Nếu f(x,y) liên tục miền đóng D giới nội đạt giá trị lớn giá trị bé miền D tức là: M1  D, M  D để có bất đẳng thức kép: 13 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số f ( M )  f ( M )  f ( M ), M  D Định lý 1.3: ( Bolzano - Cauchy ) Nếu f(x,y) liên tục miền liên thơng với M1  D, M  D đạt giá trị trung gian f  M1  f  M  Nói riêng f  M1  f  M   phương trình f  M   ln có nghiệm D 1.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1.2.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số u = f(x,y) xác định miền D M ( x0 , y0 )  D Thay y = y0 vào hàm số cho nhận hàm số biến số u = f(x, y0) Nếu hàm số có đạo hàm x0 đạo hàm gọi đạo hàm riêng f(x, y) x M0(x0, y0) kí hiệu sau: u x ( x0 , y0 ) , u  x0 , y0  u f ( x0 , y0 ), , f x( x0 , y0 ) , ( x0 , y ) x x x Đặt  x f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) gọi số gia riêng hàm f(x, y) theo biến x (x0, y0), ta có:  f ( x0 , y ) f ( x0 , y0 )  lim x x 0 x x (1.12) Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng hàm số y M0(x0, y0)  y f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )  lim y 0 y y (1.12)’ có ký hiệu: u y ( x0 , y0 ) , u  x0 , y0  u f ( x0 , y0 ), , f y ( x0 , y0 ) , ( x0 , y ) y y y Chú ý: a Có thể chuyển tồn phép tính đạo hàm hàm biến số: cộng, trừ, nhân, chia, sang phép tính đạo hàm riêng b Sự tồn đạo hàm riêng chưa đảm bảo tính liên tục hàm số Thật ta xét hàm số sau đây: 0 xy  f  x, y    1 xy  Ta có lim x 0 f  x,   f  0,   lim   f x/  0,  , f y/  0,    x  x x 14 Chương Phương trình vi phân  dx 2t  dt  y  e   dy   x  2e 2t  dt Giải: Sau lấy đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất, ta nhận x ''  y ' 2e2t Để ý đến phương trình thứ hai hệ, ta nhận PTVP tuyến tính cấp hai hàm số x(t ) : x '' x  4e2t Nghiệm tìm dễ dàng có dạng: x  C1 cos t  C2 sin t  e2t Từ phương trình thứ hệ, ta có y  x ' e2t  C1 sin t  C2 cos t  e 2t Vậy nghiệm hệ phương trình cho 2t   x  C1 cos t  C2 sin t  e   x  C sin t  C cost  e 2t  Phƣơng pháp tổ hợp tích phân Người ta tổ hợp PTVP hệ (5.60) để nhận PTVP Tích phân PTVP nhận hàm số mô tả quan hệ biến, người ta gọi tích phân đầu Nếu tìm n tích phân đầu độc lập tốn coi giải quyết, vấn đề cịn lại giải hệ phương trình đại số Ví dụ 5.30: Tìm phương trình họ đường dịng trường điện từ F  q ( xi  y j  zk ) r3 r  x  y  z Giải: Theo công thức (4.4), ta có hệ phương trình họ đường dịng dx dy dz   x y z  dy y  dx  x   dz  z  dx x Dễ dàng ta nhận hai tích phân đầu hệ 207 Chương Phương trình vi phân y  C1 x, z  C2 x Vậy họ đường dòng đường thẳng, giao họ hai mặt phẳng  y  C1 x   z  C2 x C1 , C2 số tùy ý y  / x  x  y  Ví dụ 5.31: Giải hệ phương trình   y/  x  x y Giải: Cộng vế với vế hai phương trình ta có: d  x  y   dt  x  y  t  C1 Chia vế với vế hai phương trình ta có: dx y   xdx  ydy   x  y  C2 dy x Ta có hệ phương trình đại số  x  y  t  C1  x  y  t  C1   C2  2  x  y  C2 x  y  t  C  Sau giải hệ phương trình này, nhận nghiệm tổng quát hệ PTVP 1 C2   x   t  C1   t  C    y   t  C   C2  2 t  C1  x /  x  xy Ví dụ 5.32: Giải hệ phương trình  /  y  xy  y Giải: Chia hai phương trình vế với vế, ta dx x   x  C1 y dy y Trừ hai phương trình vế với vế, ta d ( x  y)  ( x  y)2 dt Từ ta tìm tích phân đầu thứ hai   t  C2 x y 208 Chương Phương trình vi phân Từ hai tích phân đầu, ta có nghiệm tổng qt C1   x  (1  C )(t  C )   y   (1  C1 )(t  C2 ) 5.6 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT THUẦN NHẤT CĨ HỆ SỐ HẰNG SỐ 5.6.1 Định nghĩa n  / y  a1i yi   i 1  n  / y  a y Hệ PTVP cấp dạng  i 1 2i i   n  / y  ani yi   n i 1  (5.61) aij , i, j  1, 2, , n số thực gọi hệ PTVP tuyến tính có hệ số số dạng tắc 5.6.2 Phƣơng pháp tìm nghiệm Chúng ta tìm nghiệm khơng tầm thường hệ PTVP (5.50) dạng:  e x ,  2e x , ,  n e x  , n  i 1 i 0 (5.62) Sau thay (5.62) vào (5.61) nhận hệ phương trình đại số tuyến tính có n  ẩn số:  , 1 , ,  n  a11    1  a12   a1n n   a211  (a22   )   a2 n n    a   a    (a   )  nn n  n1 n 2 (5.63) a11   a21 an1 a12 a1n a22   a2 n 0 an ann   209 (5.64) Chương Phương trình vi phân Phương trình (5.64) gọi phương trình đặc trưng hệ PTVP (5.61), nghiệm  gọi số đặc trưng PTVP Ta cần nhớ rằng: phương trình bậc n với hệ số thực ln có n nghiệm nghiệm bội k tính k nghiệm có nghiệm phức có nghiệm phức liên hợp với (Xem Ch.1, Giải tích 1) Ngun tắc chung là: Trước tiên, ta tìm số đặc trưng từ phương trình đặc trưng (5.64), sau ta thay vào hệ phương trình đại số tuyến tính (5.63) để tìm nghiệm khơng tầm thường 1 ,  , ,  n  Mục đích cuối tìm n nghiệm riêng độc lập tuyến tính hệ (5.61) nghiệm tổng quát hệ PTVP tổ hợp tuyến tính qua n nghiệm riêng độc lập tuyến tính Tuy nhiên ta dùng phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm tổng quát hệ PTVP (5.61) sau: Nếu phương trình (5.64) có n nghiệm thực khác 1 , 2 , , n nghiệm tổng quát hệ PTVP (5.61) tìm dạng:  y1  A11e1x  A12 e2 x   A1n en x   x x  x  y2  A21e  A22e   A2 n e n    y  A e1x  A e2 x   A en x n1 n2 nn  n (5.65) n hệ số bất định Aij , i, j  1, 2, , n xác định cách thay (5.65) vào hệ PTVP (5.61) hệ số bất định Aij , i, j  1, 2, , n phụ thuộc vào n số tùy ý K1 , K2 , , Kn Nếu phương trình (5.64) có nghiệm thực k bội l l số hạng dạng (5.65) thay tổng  A   A  x   A ik l 1 l 1 ik ik x e k x , i  1, , n (5.66) Các hệ số bất định Aik  , i  1, 2, , n; m  0, 1, 2, , l 1 phụ thuộc vào n số tùy ý m K1 , K2 , , Kn Nếu phương trình (5.64) có nghiệm phức đơn k   k  ik tổng hai số hạng dạng (5.65) thay tổng  Aik cosk x  Bik sin k x  e x , i  1, , n (5.67) k Các hệ số bất định Aik , Bik , i  1, 2, , n phụ thuộc vào n số tùy ý K1 , K2 , , Kn Nếu phương trình (5.64) có nghiệm phức k   k  ik bội l tổng 2l số hạng dạng (5.65) thay tổng     ek x  Aik   Aik  x   Aik  xl 1 cosk x  Bik   Bik  x   Bik  xl 1 sin k x  , i  1, , n   l 1 210 l 1 Chương Phương trình vi phân (5.68) Các hệ số bất định Aik m , Bik m , i  1, 2, , n, m  0, 1, , l  phụ thuộc vào n số tùy ý K1 , K2 , , Kn Ví dụ 5.33: Tìm nghiệm tốn Cauchy  x /  3x  y  /  y  x  5y  x  0, y       Giải: Trước tiên ta tìm nghiệm tổng quát hệ PTVP, sau ta xác định số nghiệm tổng quát từ điều kiện ban đầu Phương trình đặc trưng hệ: 3  0,   8  16  1   Phương trình đặc trưng có nghiệm bội hai   Theo công thức (5.55), nghiệm tổng quát hệ PTVP viết dạng 4t / 4t   x   A1  B1t  e , x   B1  A1  B1t  e  4t / 4t   y   A2  B2t  e , y   B2  A2  B2t  e Thay vào hệ PTVP ta có:  B1  A1  B1t  A1  A2   3B1  B2  t   B2  A2  B2t   A1  A2    B1  5B2  t  B1  A1  A1  A2 , B2  A2   A1  A2  4 B1   3B1  B2  , B2    B1  5B2  B1  B2  K1 , A1  K2 , A2  K1  K2 4t   x   K  K1t  e , x    K   4t   y   K1  K  K1t  e , y    K1  K   K1   x  te4t Nghiệm toán Cauchy PTVP cho có dạng  4t  y  1  t  e Ví dụ 5.34: Tìm nghiệm tổng quát hệ PTVP 211 x/  y  z  / y  z  x z/  x  y  Chương Phương trình vi phân Giải:  1 Phương trình đặc trưng hệ: 1   hay   3  1  Nghiệm phương trình đặc trưng 1  0, 2  i Theo công thức (5.65) (5.67), nghiệm tổng quát tìm dạng  x  A1  B1cos 3t  C1 sin 3t   y  A2  B2cos 3t  C2 sin 3t   z  A3  B3cos 3t  C3 sin 3t Ta thay nghiệm vào hệ PTVP cho, dùng phương pháp đồng hệ số dẫn đến hệ phương trình số bất định:  A1  A2  0, A2  A3  0, A3  A1    B1  B2  3C3 , B2  B3  3C1 , B3  B1  3C2  C2  C1  3B3 , C1  C3  3B2 , C3  C2  3B1 Giải hệ phương trình này, ta nhận được: A1  A2  A3  K1 , K1 số tùy ý , B1  K2 , B2  K3 , K2 , K3 số tùy ý B3    K  K3  , C1  1  2K3  K2  , C2    2K2  K3  , C3   K2  K3  3 Cuối ta có nghiệm tổng quát hệ PTVP   K  2K  sin 3t  x  K1  K 2cos 3t     K  2K  sin 3t  y  K1  K 3cos 3t     K  K  sin 3t  z  K1  ( K  K )cos 3t   TĨM TẮT NỘI DUNG CHƢƠNG V  Phƣơng trình có biến số phân ly Dạng phương trình: Tích phân tổng quát: f1 ( x)dx  f ( y)dy   f1 ( x)dx   f ( y)dy  C y x  Phƣơng trình đẳng cấp cấp Dạng phương trình: y ,  f ( ), hay y ,  f (t ), t  212 y x Chương Phương trình vi phân Phương pháp tích phân: Coi t hàm số x, thay vào dx dt phương trình nhận PTVP dạng biến số phân ly  x f (t )  t  Phƣơng trình tuyến tính cấp Dạng phương trình: y' p( x) y  q( x) Nghiệm tổng quát:  p ( x ) dx  p ( x ) dx p ( x ) dx y  Ce  e  dx  q( x)e   Phƣơng trình Bernoulli Dạng phương trình: y' p( x) y  y  q( x) Phương pháp tích phân: Đặt u ( x)  y  1 , Thay vào phương trình nhận PTVP tuyến tính cấp hàm u (x) : u'(1   ) p( x)u  (1   )q( x)  Phƣơng trình vi phân tồn phần Dạng phương trình: P( x, y)dx  Q( x, y)dy  Q P  , ( x, y)  D x y y x Tích phân tổng qt: hoặc:  P( x, y )dx   Q( x0 , y)dy  C x0 y0 x y x0 y0  P( x, y)dx   Q( x0 , y)dy  C  Các PTVP cấp hai giảm cấp đƣợc A Phƣơng trình khuyết y, y / Dạng phương trình: F ( x, y // )  Cách giải: Ta đặt y /  p( x) hàm số phải tìm p( x) : F ( x, p / )  Nếu tìm p( x) ta nhận phương trình với biến số phân li để tìm y  y( x) Tuy nhiên, việc tìm p( x) thường phức tap nên thơng thường biểu diễn nghiệm dạng tham số: x  x(t ), y  y(t ) B Phƣơng trình khuyết y Dạng Phương trình: F ( x, y / , y // )  213 Chương Phương trình vi phân Cách giải: Ta đặt y /  p( x) Vậy phương trình cho đưa PTVP cấp hàm số phải tìm p( x) : F ( x, p, p / )  Nếu tìm p( x) ta nhận phương trình với biến số phân li để tìm y  y( x) C Phƣơng trình khuyết x Dạng phương trình : F ( y, y / , y // )  Cách giải: Ta đặt y /  p( y) Từ suy y //  dp dp dy dp   p dx dy dx dy Vậy phương trình đưa PTVP cấp hàm số p( y ) : F ( y, p, p dp )  Nếu dy tìm p( y) ta nhận phương trình với biến số phân li để tìm x  x( y)  Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai nhất: y   a1 ( x) y   a2 ( x) y  Tính chất nghiệm: (*) Nếu y1 y2 nghiệm PTVP (*) C1 y1  C2 y2 với C1 , C2 số tuỳ ý, nghiệm (*) Nếu y1, y2 hai nghiệm độc lập tuyến tính (*) nghiệm tổng y  C1 y1  C2 y quát có dạng : ( C1 , C2 số tuỳ ý ) Nếu biết y1  nghiệm (*) tìm nghiệm y2 độc lập tuyến tính với y1 dạng : y ( x)  y1 ( x)  y12 ( x)  a ( x ) dx e  dx Chú ý : Trong tích phân số cộng tích phân bất định ln lấy  Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng y  a1 ( x) y  a2 ( x) y  f ( x) (**) Tính chất nghiệm : Nghiệm tổng quát PTVP (**) tổng nghiệm tổng quát PTVP (*) cộng với nghiệm riêng phương trình (**) y  y  y* Ở người ta dùng ký hiệu : y nghiệm tổng quát PTVP (*) 214 Chương Phương trình vi phân y * nghiệm riêng PTVP (**) * * (Nguyên lý chồng chất nghiệm): Nếu y1 , y2 nghiệm riêng phương trình khơng y" a1 ( x) y ' a ( x) y  f1 ( x) y" a1 ( x) y ' a ( x) y  f ( x) y *  y1*  y 2* nghiệm riêng phương trình (**) với vế phải f ( x)  f1 ( x)  f ( x) Nếu biết hai nghiệm riêng y1 , y2 độc lập tuyến tính (*) nghiệm riêng (**) tìm phương pháp biến thiên số Lagrange Nghiệm có dạng: y *  C1 ( x) y1 ( x)  C ( x) y ( x) đó: C1/ y1  C2/ y2   / / / / C1 y1  C2 y2  f ( x) Nếu biết hai nghiệm riêng PTVP (**): y1* , y2* hàm số y  y1*  y 2* nghiệm PTVP (*)  Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp có hệ số khơng đổi y " a1 y ' a2 y  (1) k  a1k  a2  a1 , a2 số thực (2) gọi phương trình đặc trưng (1) Dạng nghiệm tổng quát: Nếu (2) có nghiệm thực khác k1 , k nghiệm tổng quát (1) là: y  C1e k1x  C2 e k2 x Nếu (2) có nghiệm thực trùng k nghiệm tổng quát (1) y  (C1  C2 x)e kx Nếu (2) có nghiệm phức k    i nghiệm tổng quát (1) y  ex (C1 cos x  C2 sin x)  Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp khơng có hệ số khơng đổi y"a1 y'a2 y  f ( x) , (3) Trƣờng hợp 1: a1,,a2 số thực f ( x)  ex Pn ( x)  ex ( An x n  An1 x n1   A0 )  , Ai  , i  0, n, An  215 Chương Phương trình vi phân Nếu  khơng phải nghiệm phương trình đặc trưng phương trình tương ứng với (3) nghiệm riêng (3) tìm dạng y *  ex Qn (n)  ex ( Bn x n  Bn1 x n1   B0 ) Nếu  nghiệm đơn phương trình đặc trưng phương trình tương ứng với (3) nghiệm riêng (3) tìm dạng y*  xe xQn (n)  xe x ( Bn x n  Bn1x n1   B0 ) Nếu  nghiệm kép phương trình đặc trưng phương trình tương ứng với (3) nghiệm riêng (3) tìm dạng y*  x2e xQn (n)  x2e x ( Bn x n  Bn1x n1   B0 ) Trƣờng hợp 2: f ( x)  ex Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x  ,   R, Pn ( x), Qn ( x) đa thức bậc n, m cho trước với hệ số thực Nếu   i khơng phải nghiệm (2) nghiệm riêng (3) tìm dạng: y *  e x Rl ( x) cos x  S l ( x) sin x Rl ( x), Sl ( x) đa thức bậc l  Max(n, m) có hệ số tìm phương pháp hệ số bất định với hệ hàm: 1, x, x2 , ; sin  x, cos  x Nếu   i nghiệm (2) nghiệm riêng tìm dạng: y *  ex xRl ( x) cos x  S l ( x) sin x  Hê phƣơng trình vi phân cấp tuyến tính có hệ số số n  / y  a1i yi   i 1  n  /  y2   a2i yi  i 1   n  / y  ani yi   n i 1  a11   Phương trình đặc trưng a21 an1 a12 a1n a22   a2 n  (*) an ann   216 Chương Phương trình vi phân Nếu phương trình (*) có n nghiệm thực khác 1 , 2 , , n nghiệm tổng quát hệ PTVP tìm dạng:  y1  A11e1x  A12 e2 x   A1n en x   x x  x  y2  A21e  A22e   A2 n e n    y  A e1x  A e2 x   A en x n1 n2 nn  n (1) n hệ số bất định Aij , i, j  1, 2, , n phụ thuộc vào n số tùy ý K1 , K2 , , Kn Nếu phương trình (*) có nghiệm thực k bội l l số hạng dạng ( )sẽ thay tổng  A   A  x   A ik ik l 1 l 1 ik x e k x , i  1, , n Các hệ số bất định Aik m , i  1, 2, , n; m  0, 1, 2, , l 1 phụ thuộc vào n số tùy ý K1 , K2 , , Kn Nếu phương trình (*) có nghiệm phức đơn k   k  ik tổng hai số hạng dạng ( ) thay tổng  Aik cosk x  Bik sin k x  e x , i  1, , n k Các hệ số bất định Aik , Bik , i  1, 2, , n phụ thuộc vào n số tùy ý K1 , K2 , , Kn Nếu phương trình (*) có nghiệm phức k   k  ik bội l tổng 2l số hạng dạng ( ) thay tổng     ek x  Aik   Aik  x   Aik  xl 1 cosk x  Bik   Bik  x   Bik  xl 1 sin k x  , i  1, , n   l 1 l 1 Các hệ số bất định Aik  , Bik  , i  1, 2, , n, m  0, 1, , l  phụ thuộc vào n số m m tùy ý K1 , K2 , , Kn 217 Chương Phương trình vi phân BÀI TẬP CHƢƠNG V 5.1 Giải phương trình: a y   , 1 x y c y ' cos x  , ln y b y'  x e x , d e y' sin( x  y)  sin( x  y) , xdy 1 y2  ydx 1 x2  0, f y   cos( x  y) 5.2 Giải toán Cauchy: dx dy a   0, y(1)  1, x( y  1) y ( x  z ) b (1  e2 x ) y dy  e x dx, y(0)  0, c sin xdy  y ln ydx  0, y(0)  1, d ( x2  1) y  y  4, y(1)  5.3 Giải phương trình: a xdy  ydx  x  y dx , b xyy ' x  y  , y  ydx  xdy   y sin y xdy  ydx  , x x d ( y  x)dx  ( y  x)dy  c x cos 5.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: a x(1  x ) y'( x  1) y  x  , b y'2 xy  xe  x , c (1  x ) y'2 xy  (1  x ) , d ydx  ( y  x)dy  5.5 Giải toán Cauchy: 2y  ( x  1)3 , y(0)  , a y ' x 1 b (1  x2 ) y ' xy  1, y(0)  x 5.6 Chứng minh hàm số y  x  e t dt nghiệm phương trình xy ' y  x e x Hãy 2 tìm nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện y(1) = 218 Chương Phương trình vi phân 5.7 Giải phương trình: a y' xy  x y , dy ( x y  xy)  , dx c ( y ln x  2) ydx  xdy , b d ydx  ( x  x y)dy  5.8 Giải phương trình vi phân toàn phần:  y2 1 1 x2   dx   dy  , a    2  x  ( x  y)  y ( x  y)  xdx  (2 x  y)dy b 0, ( x  y) 1 1  y y y x x x  c  sin  cos  1dx   cos  sin  dy  , y x x x y y y  y  x  x3  d 3x (1  ln y )dx   y  dy  y   5.9 Giải phương trình sau cách tìm thừa số tích phân  a (2 y  xy)dx  xdy  0,  ( x) ,  y3  b  xy  x y   dx  ( x  y )dy  0,  ( x) ,   c y(1  xy)dx  xdy  0,  ( y) , d xdy  ydx  xy ln xdx  0,  ( xy) 5.10 Giải phương trình vi phân cấp hai có dạng khuyết a xy '' y '  x 2e x , b y ''2  y '2  a , y'  x( x  1)  0, y(2)  1, y '(2)  1 x 1 d y '' y '(1  y)  0, y(0)  0, y '(0)  c y '' 5.11 Giải phương trình vi phân sau:  a x (ln x  1) y   xy   y  , biết có nghiệm riêng dạng y1  x ,   x b (2 x  1) y   (4 x  2) y'8 y  , biết có nghiệm riêng dạng y1  e ,   c ( x  1) y   y  , biết có nghiệm riêng y1(x) có dạng đa thức, d (2 x  x ) y   2( x  1) y'2 y  2 biết có hai nghiệm riêng y1  1, y2  x 219 Chương Phương trình vi phân 5.12 Giải phương trình sau biết nghiệm riêng phương trình tương ứng a x2 y  xy ' y  x3 , y1  x, x y ' y  x  1, y1  e x , 1 x 1 x 2  c y  y  e x   ln x  , y1  ln x x ln x x  b y  d x( x  1) y(2  x) y ' y  x  , y1 có dạng đa thức x 5.13 Giải phương trình: a y   y  ex , ex 1 b y   y' y  3e  x x  , c y   y  tgx , d y   y  cos x cos x 5.14 Giải phương trình: a y   y'6 y  sin x , b y   y'   x , c y   y'3 y  e  x cos x , d y   y' y  4e  x , e y   y'20 y  x e x , f y   y  x cos x 5.15 Giải toán Cauchy a y  y  cos3 x, y(0)  y '(0)  , b y  y ' y  5cos x, y(0)  1, y(0)  5.16 Giải toán Cauchy x2 y '' xy ' y  x ln x, y(1)  1, y '(1)  5.17 Giải phương trình sau tương ứng với phép đổi biến a y '' y '  e2 x cos e x , t  e x , b ( x  1) y '' xy ' 4y 2x    , tgt  x,   t  , 2 x  ( x  1) 2 c ( x2  1) y '' xy ' y  0, sht  x, 220 Chương Phương trình vi phân d x y '' xy ' (2  x ) y  0, z  e x y '' xy ' (2  x ) y  y , x u , y cos x x 5.18 Giải hệ phương trình vi phân sau: ( Đối số x ) /   y  y  2z b  / z  y  z   /   y  y  2z a  / , z  y  z   5.19 Giải hệ phương trình vi phân sau: ( Đối số x ) / x   y  y  8z  e a  / , 3 x  z  y  z  e /  y  y  z 3 b  / , y    1, z    ,   z  2 y  3z  5.20 Giải hệ phương trình vi phân sau: ( Đối số x ) x  /  / y2 y  y    yz  z , a  b  , z/  y z/  x   y2 5.21 Giải hệ phương trình vi phân sau:  dx 3t  dt  e  y a   dy  2e3t  x,  dt  dx  dt  x  y  cos t b   dy  2sin t  x,  dt 5.22 Giải toán Cauchy sau:  dx  dt  x  y   dy   x  y  z a  dt  dz   xz  dt  x(0)  y (0)  0, z (0)  x  dx  dt  x  y  z  y  dy   b  dt x  y  z  dz z   2  dt x  y  z  x(0)  y (0)  z (0)   221 ... chất tích phân bội giống tích phân xác định Chính thế, để học tốt chương này, cần nắm vững phương pháp tính tích phân xác định kiến thức hình học giải tích 2.1 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 2.1.1 Tích. .. chất Cũng tích phân suy rộng xem xét chương IV GIẢI TÍCH 1, xét đến tính chất tích phân dạng (2.6) Các khái niệm kết trình bày chuyển sang cho tích phân dạng (2.7) Để có tính chất tương tự tích phân...  1.24 Phân tích số dương a thành tích bốn số dương có tổng bé 1.25 Hình hộp nội tiếp hình cầu bán kính R tích lớn ? 1.23 Tìm hình hộp chữ nhật với thể tích V cho trước có diện tích tồn phần