1 CÂY CÂY Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 2 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a cây: a cây: ̊ ̊ Cây la Cây la ø ø đ đ o o à à thò liên thông va thò liên thông va ø ø không co không co ù ù chu tr chu tr ì ì nh nh ̊ ̊ Mo Mo ä ä t r t r ừ ừ ng p cây la ng p cây la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò go thò go à à m p tha m p tha ø ø nh pha nh pha à à n liên n liên thông, trong thông, trong đ đ o o ù ù mỗi tha mỗi tha ø ø nh pha nh pha à à n liên thông la n liên thông la ø ø mo mo ä ä t cây t cây ̈ ̈ Ghi chu Ghi chu ù ù : : Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a cây ha a cây ha ø ø m y m y ù ù ra ra è è ng mo ng mo ï ï i cây i cây đ đ e e à à u không u không ch ch ứ ứ a khuyên cũng không ch a khuyên cũng không ch ứ ứ a ca a ca ï ï nh song song. nh song song. 2 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 3 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ V V í í du du ï ï . . G va G va ø ø G G 1 1 không la không la ø ø cây cây (G 1 )(G) Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 4 (G 2 ) (G 3 ) Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ V V í í du du ï ï . . (G2) va (G2) va ø ø (G3) la (G3) la ø ø cây (chu cây (chu ù ù y y ù ù đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a chu tr a chu tr ì ì nh nh cu cu û û a a đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng trong ch ng trong ch ư ư ơng I) ơng I) ̈ ̈ V V í í du du ï ï . . G G 2 2 va va ø ø G G 3 3 la la ø ø cây (chu cây (chu ù ù y y ù ù đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a chu tr a chu tr ì ì nh cu nh cu û û a a đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng trong ch ng trong ch ư ư ơng I) ơng I) 3 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 5 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù ve ve à à s s ự ự to to à à n ta n ta ï ï i ca i ca ù ù c c đỉ đỉ nh treo nh treo ̈ ̈ Ne Ne á á u mo u mo ä ä t cây T go t cây T go à à m n m n đỉ đỉ nh vơ nh vơ ù ù i n i n ≥ ≥ 2 th 2 th ì ì T ch T ch ứ ứ a a í í t nha t nha á á t t hai hai đỉ đỉ nh treo nh treo ̈ ̈ Ch Ch ứ ứ ng minh: ng minh: Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 6 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù ve ve à à ca ca ù ù c c đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a t a t ư ư ơng ơng đư đư ơng ơng ̈ ̈ Xe Xe ù ù t mo t mo ä ä t t đ đ o o à à thò G go thò G go à à m n m n đỉ đỉ nh, ca nh, ca ù ù c kha c kha ú ú ng ng đ đ ònh sau ònh sau đ đ ây la ây la ø ø t t ư ư ơng ơng đư đư ơng: ơng: ̊ ̊ (a) (a) Đ Đ o o à à thò G la thò G la ø ø cây. cây. ̊ ̊ (b) Gi (b) Gi ư ư õa hai õa hai đỉ đỉ nh ba nh ba á á t ky t ky ø ø cu cu û û a G, to a G, to à à n ta n ta ï ï i duy nha i duy nha á á t mo t mo ä ä t t dây chuye dây chuye à à n no n no á á i chu i chu ù ù ng vơ ng vơ ù ù i nhau. i nhau. ̊ ̊ (c) G liên thông to (c) G liên thông to á á i tie i tie å å u (ngh u (ngh ó ó a la a la ø ø G liên thông va G liên thông va ø ø ne ne á á u u xo xo ù ù a a đ đ i ba i ba á á t ky t ky ø ø mo mo ä ä t ca t ca ï ï nh na nh na ø ø o cu o cu û û a G th a G th ì ì no no ù ù không co không co ø ø n n liên thông n liên thông n ư ư õa). õa). 4 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 7 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù ve ve à à ca ca ù ù c c đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a t a t ư ư ơng ơng đư đư ơng ơng ̈ ̈ Xe Xe ù ù t mo t mo ä ä t t đ đ o o à à thò G go thò G go à à m n m n đỉ đỉ nh, ca nh, ca ù ù c kha c kha ú ú ng ng đ đ ònh sau ònh sau đ đ ây la ây la ø ø t t ư ư ơng ơng đư đư ơng (tt): ơng (tt): ̊ ̊ (d) Thêm mo (d) Thêm mo ä ä t ca t ca ï ï nh no nh no á á i 2 i 2 đỉ đỉ nh ba nh ba á á t ky t ky ø ø cu cu û û a G th a G th ì ì G sẽ G sẽ ch ch ứ ứ a mo a mo ä ä t chu tr t chu tr ì ì nh duy nha nh duy nha á á t. t. ̊ ̊ (e) G liên thông va (e) G liên thông va ø ø co co ù ù n n - - 1 ca 1 ca ï ï nh. nh. ̊ ̊ (f) G không co (f) G không co ù ù chu tr chu tr ì ì nh va nh va ø ø co co ù ù n n - - 1 ca 1 ca ï ï nh. nh. Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 8 Cây to Cây to á á i i đ đ a a ï ï i i (cây phu (cây phu û û , cây bao tru , cây bao tru ø ø m, cây khung) m, cây khung) ̈ ̈ Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a : : ̊ ̊ Cho G=(X, E) la Cho G=(X, E) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò liên thông va thò liên thông va ø ø T=(X, F) la T=(X, F) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò bo thò bo ä ä pha pha ä ä n cu n cu û û a G. Ne a G. Ne á á u T la u T la ø ø cây th cây th ì ì T T đư đư ơ ơ ï ï c c go go ï ï i la i la ø ø mo mo ä ä t cây to t cây to á á i i đ đ a a ï ï i cu i cu û û a G. a G. ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù (s (s ự ự to to à à n ta n ta ï ï i cây to i cây to á á i i đ đ a a ï ï i) i) ̊ ̊ Mo Mo ï ï i i đ đ o o à à thò liên thông thò liên thông đ đ e e à à u co u co ù ù ch ch ứ ứ a a í í t nha t nha á á t mo t mo ä ä t cây to t cây to á á i i đ đ a a ï ï i i 5 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 9 Cây to Cây to á á i i đ đ a a ï ï i i (cây phu (cây phu û û , cây bao tru , cây bao tru ø ø m, cây khung) m, cây khung) ̈ ̈ Thua Thua ä ä t toa t toa ù ù n PRIM (t n PRIM (t ì ì m mo m mo ä ä t cây to t cây to á á i i đ đ a a ï ï i cu i cu û û a a đ đ o o à à thò G) thò G) Cho G=(X, E) la Cho G=(X, E) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò liên thông go thò liên thông go à à m n m n đỉ đỉ nh. nh. Thua Thua ä ä t toa t toa ù ù n sau n sau đ đ ây cho phe ây cho phe ù ù p t p t ì ì m ra m ra đư đư ơ ơ ï ï c mo c mo ä ä t cây to t cây to á á i i đ đ a a ï ï i cu i cu û û a G. a G. ̊ ̊ B B ư ư ơ ơ ù ù c1 c1 . Cho . Cho ï ï n tu n tu ø ø y y y y ù ù v v ∈ ∈ X va X va ø ø khơ khơ û û i ta i ta ï ï o V := { v }; T := o V := { v }; T := ∅ ∅ ̊ ̊ B B ư ư ơ ơ ù ù c 2 c 2 . Cho . Cho ï ï n w n w ∈ ∈ X X \ \ V sao cho co V sao cho co ù ù mo mo ä ä t ca t ca ï ï nh e na nh e na ø ø o o đ đ o o ù ù cu cu û û a G no a G no á á i w vơ i w vơ ù ù i mo i mo ä ä t t đỉ đỉ nh trong V nh trong V ̊ ̊ B B ư ư ơ ơ ù ù c 3 c 3 . Ga . Ga ù ù n V := V n V := V ∪ ∪ {w} va {w} va ø ø T := T T := T ∪ ∪ {e} {e} ̊ ̊ B B ư ư ơ ơ ù ù c 4 c 4 . Ne . Ne á á u T u T đ đ u u û û n n - - 1 pha 1 pha à à n t n t ử ử th th ì ì d d ừ ừ ng, ng ng, ng ư ư ơ ơ ï ï c la c la ï ï i la i la ø ø m m tie tie á á p tu p tu ï ï c b c b ư ư ơ ơ ù ù c 2. c 2. Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 10 Cây to Cây to á á i i đ đ a a ï ï i nga i nga é é n nha n nha á á t t ̈ ̈ Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a : Cho : Cho đ đ o o à à thò G=(X, E). thò G=(X, E). ̊ ̊ (a) (a) Đ Đ o o à à thò G thò G đư đư ơ ơ ï ï c go c go ï ï i la i la ø ø co co ù ù tro tro ï ï ng ne ng ne á á u mỗi ca u mỗi ca ï ï nh cu nh cu û û a G a G đư đư ơ ơ ï ï c t c t ư ư ơng ơng ứ ứ ng vơ ng vơ ù ù i mo i mo ä ä t so t so á á th th ự ự c d c d ư ư ơng, ngh ơng, ngh ó ó a la a la ø ø co co ù ù mo mo ä ä t a t a ù ù nh xa nh xa ï ï nh nh ư ư sau: sau: L: E L: E ⎯⎯→ ⎯⎯→ |R |R + + e | e | ⎯⎯→ ⎯⎯→ L(e) L(e) ̊ ̊ Thua Thua ä ä t ng t ng ư ư õ th õ th ư ư ơ ơ ø ø ng du ng du ø ø ng: ng: tro tro ï ï ng, tro ng, tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng, chie ng, chie à à u u da da ø ø i, chi ph i, chi ph í í , , … … 6 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 11 Cây to Cây to á á i i đ đ a a ï ï i nga i nga é é n nha n nha á á t t ̈ ̈ Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a : Cho : Cho đ đ o o à à thò G=(X, E). thò G=(X, E). ̊ ̊ (b) Tro (b) Tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng (hay gia ng (hay gia ù ù ) cu ) cu û û a mo a mo ä ä t cây to t cây to á á i i đ đ a a ï ï i T trong i T trong đ đ o o à à thò liên thông co thò liên thông co ù ù tro tro ï ï ng ba ng ba è è ng vơ ng vơ ù ù i to i to å å ng tro ng tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng ng ca ca ù ù c ca c ca ï ï nh trong cây: nh trong cây: L(T) = L(T) = ∑ ∑ (e (e ∈ ∈ T) T) L(e) L(e) ̊ ̊ (c) Gia (c) Gia û û s s ử ử G liên thông co G liên thông co ù ù tro tro ï ï ng. Cây to ng. Cây to á á i i đ đ a a ï ï i nga i nga é é n n nha nha á á t cu t cu û û a G la a G la ø ø cây to cây to á á i i đ đ a a ï ï i co i co ù ù tro tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng nho ng nho û û nha nha á á t khi t khi xe xe ù ù t trong ta t trong ta ä ä p hơ p hơ ï ï p ta p ta á á t ca t ca û û ca ca ù ù c cây to c cây to á á i i đ đ a a ï ï i co i co ù ù the the å å co co ù ù cu cu û û a a G. G. Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 12 Thua Thua ä ä t toa t toa ù ù n Prim n Prim ̈ ̈ Cho G=(X, E) la Cho G=(X, E) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò liên thông co thò liên thông co ù ù tro tro ï ï ng go ng go à à m n m n đỉ đỉ nh. Thua nh. Thua ä ä t toa t toa ù ù n Prim n Prim đư đư ơ ơ ï ï c du c du ø ø ng ng đ đ e e å å t t ì ì m ra cây to m ra cây to á á i i đ đ a a ï ï i i nga nga é é n nha n nha á á t cu t cu û û a G. a G. ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 1 c 1 . Cho . Cho ï ï n tu n tu ø ø y y y y ù ù v v ∈ ∈ X va X va ø ø khơ khơ û û i ta i ta ï ï o Y := { v }; T := o Y := { v }; T := ∅ ∅ ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 2 c 2 . Trong so . Trong so á á nh nh ư ư õng ca õng ca ï ï nh e no nh e no á á i i đỉ đỉ nh w vơ nh w vơ ù ù i v ma i v ma ø ø w w ∈ ∈ X X \ \ V va V va ø ø v v ∈ ∈ Y ta cho Y ta cho ï ï n ca n ca ï ï nh co nh co ù ù tro tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng nho ng nho û û nha nha á á t. t. ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 3 c 3 . Ga . Ga ù ù n Y := Y n Y := Y ∪ ∪ {w} va {w} va ø ø T := T T := T ∪ ∪ {e} {e} ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 4 c 4 . Ne . Ne á á u T u T đ đ u u û û n n - - 1 pha 1 pha à à n t n t ử ử th th ì ì d d ừ ừ ng, ng ng, ng ư ư ơ ơ ï ï c la c la ï ï i la i la ø ø m m tie tie á á p tu p tu ï ï c b c b ư ư ơ ơ ù ù c 2. c 2. 7 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 13 Thua Thua ä ä t toa t toa ù ù n Prim n Prim ̈ ̈ Ca Ca ø ø i i đ đ a a ë ë t thua t thua ä ä t toa t toa ù ù n Prim n Prim ̈ ̈ Trong ca Trong ca ù ù c thua c thua ä ä t toa t toa ù ù n t n t ì ì m cây to m cây to á á i i đ đ a a ï ï i nga i nga é é n nha n nha á á t chu t chu ù ù ng ta ng ta co co ù ù the the å å bo bo û û đ đ i h i h ư ư ơ ơ ù ù ng ca ng ca ù ù c ca c ca ï ï nh va nh va ø ø ca ca ù ù c khuyên; c khuyên; đ đ o o á á i vơ i vơ ù ù i ca i ca ù ù c c ca ca ï ï nh song song th nh song song th ì ì co co ù ù the the å å bo bo û û đ đ i va i va ø ø ch ch ỉ ỉ đ đ e e å å la la ï ï i mo i mo ä ä t ca t ca ï ï nh nh tro tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng nho ng nho û û nha nha á á t trong chu t trong chu ù ù ng. V ng. V ì ì va va ä ä y d y d ư ư õ lie õ lie ä ä u nha u nha ä ä p p cho thua cho thua ä ä t toa t toa ù ù n th n th ư ư ơ ơ ø ø ng la ng la ø ø ma tra ma tra ä ä n tro n tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng ng đư đư ơ ơ ï ï c qui c qui ư ư ơ ơ ù ù c nh c nh ư ư sau: sau: tro tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng ca ng ca ï ï nh nho nh nho û û nha nha á á t no t no á á i i i i đ đ e e á á n j ne n j ne á á u co u co ù ù ̈ ̈ L L ij ij = = 0 ne 0 ne á á u không co u không co ù ù ca ca ï ï nh no nh no á á i i i i đ đ e e á á n j n j Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 14 Thua Thua ä ä t toa t toa ù ù n Kruskal n Kruskal ̈ ̈ Cho Cho đ đ o o à à thò G=(X, E). thò G=(X, E). ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 1 c 1 . Sa . Sa é é p xe p xe á á p ca p ca ù ù c ca c ca ï ï nh theo th nh theo th ứ ứ t t ự ự tro tro ï ï ng l ng l ư ư ơ ơ ï ï ng tăng ng tăng da da à à n va n va ø ø khơ khơ û û i ta i ta ï ï o T := o T := ∅ ∅ . . ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 2 c 2 . La . La à à n l n l ư ư ơ ơ ï ï t la t la á á y t y t ừ ừ ng ca ng ca ï ï nh e thuo nh e thuo ä ä c danh sa c danh sa ù ù ch ch đ đ ã sa ã sa é é p p xe xe á á p. Ne p. Ne á á u T+{e} không ch u T+{e} không ch ứ ứ a chu tr a chu tr ì ì nh th nh th ì ì ga ga ù ù n n T := T+{e}. T := T+{e}. ̈ ̈ B B ư ư ơ ơ ù ù c 3 c 3 . Ne . Ne á á u T u T đ đ u u û û n n - - 1 pha 1 pha à à n t n t ử ử th th ì ì d d ừ ừ ng, ng ng, ng ư ư ơ ơ ï ï c la c la ï ï i la i la ø ø m m tie tie á á p tu p tu ï ï c b c b ư ư ơ ơ ù ù c 2. c 2. 8 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 15 Cây co Cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng (cây ngoa ng (cây ngoa ø ø i) i) Đ Đ o o à à thò co thò co ù ù go go á á c c ̈ ̈ Đ Đ o o à à thò co thò co ù ù go go á á c c ̊ ̊ Cho G=(X, E) la Cho G=(X, E) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng. Ta no ng. Ta no ù ù i G la i G la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò co thò co ù ù go go á á c ne c ne á á u to u to à à n ta n ta ï ï i i đỉ đỉ nh r nh r ∈ ∈ X sao cho t X sao cho t ừ ừ r r co co ù ù đư đư ơ ơ ø ø ng ng đ đ i i đ đ e e á á n ta n ta á á t ca t ca û û ca ca ù ù c c đỉ đỉ nh kha nh kha ù ù c cu c cu û û a a đ đ o o à à thò. thò. ̊ ̊ Chu Chu ù ù y y ù ù đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a trong ch a trong ch ư ư ơng 1 ve ơng 1 ve à à đư đư ơ ơ ø ø ng ng đ đ i trong i trong đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng ng Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 16 Cây co Cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng (cây ngoa ng (cây ngoa ø ø i) i) Đ Đ o o à à thò co thò co ù ù go go á á c c ̈ ̈ Đ Đ o o à à thò (G1): ca thò (G1): ca ù ù c c đỉ đỉ nh b, c, d nh b, c, d đ đ e e à à u la u la ø ø go go á á c; c; đỉ đỉ nh a không nh a không pha pha û û i la i la ø ø go go á á c. c. ̈ ̈ Đ Đ o o à à thò (G2) không pha thò (G2) không pha û û i la i la ø ø đ đ o o à à thò co thò co ù ù go go á á c. c. c a (G 2 ) (G 1 ) b d 9 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 17 Cây co Cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng (cây ngoa ng (cây ngoa ø ø i) i) Đ Đ o o à à thò t thò t ự ự a liên thông ma a liên thông ma ï ï nh nh ̈ ̈ Cho G=(X, E) la Cho G=(X, E) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng. Ta no ng. Ta no ù ù i G la i G la ø ø đ đ o o à à thò thò t t ự ự a liên thông ma a liên thông ma ï ï nh ne nh ne á á u: vơ u: vơ ù ù i mo i mo ï ï i i đỉ đỉ nh i, j nh i, j ∈ ∈ X luôn to X luôn to à à n n ta ta ï ï i mo i mo ä ä t t đỉ đỉ nh k nh k ∈ ∈ X sao cho co X sao cho co ù ù đư đư ơ ơ ø ø ng ng đ đ i t i t ừ ừ k k đ đ e e á á n i va n i va ø ø co co ù ù đư đư ơ ơ ø ø ng ng đ đ i t i t ừ ừ k k đ đ e e á á n j. n j. Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 18 Cây co Cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng (cây ngoa ng (cây ngoa ø ø i) i) Đ Đ o o à à thò t thò t ự ự a liên thông ma a liên thông ma ï ï nh nh ̈ ̈ Nha Nha ä ä n xe n xe ù ù t: t: ̊ ̊ T T ừ ừ ca ca ù ù c c đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a ta suy ra ngay t a ta suy ra ngay t í í nh cha nh cha á á t sau t sau đ đ o o á á i vơ i vơ ù ù i i mo mo ä ä t mo t mo ä ä t t đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng: ng: Co Co ù ù go go á á c c ⇒ ⇒ T T ự ự a liên thông ma a liên thông ma ï ï nh nh ⇒ ⇒ Liên thông. Liên thông. ̊ ̊ Do t Do t í í nh cha nh cha á á t t h h ư ư õu ha õu ha ï ï n n cu cu û û a ca a ca ù ù c c đ đ o o à à thò trong gia thò trong gia ù ù o tr o tr ì ì nh nh na na à à y, chu y, chu ù ù ng ta cũng co ng ta cũng co ù ù đ đ ònh ly ònh ly ù ù sau sau đ đ ây. ây. ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù . . G la G la ø ø đ đ o o à à thò co thò co ù ù go go á á c c ⇔ ⇔ G la G la ø ø đ đ o o à à thò t thò t ự ự a liên thông ma a liên thông ma ï ï nh nh 10 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 19 Cây co Cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng (cây ngoa ng (cây ngoa ø ø i) i) Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a cây co a cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng ng ̈ ̈ Cho G=(X, E) la Cho G=(X, E) la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò co thò co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng. G ng. G đư đư ơ ơ ï ï c go c go ï ï i la i la ø ø cây cây co co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng ne ng ne á á u: u: ̊ ̊ (a) G không co (a) G không co ù ù chu tr chu tr ì ì nh, nh, ̊ ̊ (b) G co (b) G co ù ù go go á á c. c. Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 20 Cây co Cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng (cây ngoa ng (cây ngoa ø ø i) i) Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a cây co a cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng ng ̈ ̈ Ghi chu Ghi chu ù ù . . ̊ ̊ Theo Theo đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a trong ch a trong ch ư ư ơng 1, mo ơng 1, mo ä ä t chu tr t chu tr ì ì nh co nh co ù ù the the å å không ke không ke å å đ đ e e á á n h n h ư ư ơ ơ ù ù ng cu ng cu û û a ca a ca ù ù c ca c ca ï ï nh. nh. ̊ ̊ T T ừ ừ đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a ta suy ra cây co a ta suy ra cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng cũng la ng cũng la ø ø cây. cây. ̊ ̊ Kha Kha ù ù i nie i nie ä ä m cây co m cây co ù ù h h ư ư ơ ơ ù ù ng trong ng trong đ đ ònh ngh ònh ngh ó ó a trên vẫn a trên vẫn co co ø ø n to n to å å ng qua ng qua ù ù t hơn kha t hơn kha ù ù i nie i nie ä ä m cây trong ca m cây trong ca ù ù c gia c gia ù ù o tr o tr ì ì nh nh tin ho tin ho ï ï c (cha c (cha ú ú ng ha ng ha ï ï n nh n nh ư ư gia gia ù ù o tr o tr ì ì nh ca nh ca á á u tru u tru ù ù c d c d ư ư õ lie õ lie ä ä u). u). Ca Ca ù ù c cây trong ca c cây trong ca ù ù c gia c gia ù ù o tr o tr ì ì nh tin ho nh tin ho ï ï c c đư đư ơ ơ ï ï c vẽ ra gia c vẽ ra gia á á y y vơ vơ ù ù i nu i nu ù ù t go t go á á c c đư đư ơ ơ ï ï c vẽ trên cu c vẽ trên cu ø ø ng, nu ng, nu ù ù t cha luôn ơ t cha luôn ơ û û ph ph í í a a trên, ngoa trên, ngoa ø ø i ra pha i ra pha û û i co i co ù ù s s ự ự phân bie phân bie ä ä t gi t gi ư ư õa cây con bên õa cây con bên tra tra ù ù i va i va ø ø cây con bên pha cây con bên pha û û i. i. [...]... mộät cây cóù hướng làø Ne tự ma nh, la mo co ng la đồ thò bộä phậän G thì T cũng được gọïi làø cây cóù hướng bo pha thì đươ go la co ng tốái đại củûa G to cu Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 25 Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Ma trận Kirchoff Đònh nghóa nghó ̈ Cho G=(X, E) làø mộät đồ thò cóù hướng Ta đònh nghóa ma la mo co ng nghó trậän K như sau: tra như d-(i) nếáu i=j ne ̈ Kij = -Bij... thông mạïnh) ma nh) Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 22 11 Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Đònh lý về các điều kiện tương đương với đònh nghóa của cây có hướng ng ̈ Cho G=(X, E) làø mộät đồ thò cóù hướng gồàm n đỉnh Cáùc la mo co ng go đỉnh Ca điềàu sau đây tương đương vớùi nhau ie tư đương vơ ̊ (d) G liên thông vàø cóù đỉnh r sao cho: va co đỉnh d-(r)=0 vàø d-(i)=1, i X\{r} va ̊ (e)... trình vàø cóù đỉnh r sao cho: co trì va co đỉnh -( r)=0 vàø d-(i)=1, i X\{r} d va ̊ (f) G tựa liên thông mạïnh vàø không cóù chu trình tự ma nh va co trì ̊ (g) G tựa liên thông mạïnh vàø cóù n-1 cạïnh tự ma nh va co ca nh Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 23 Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Đònh lý về các điều kiện tương đương với đònh nghóa của cây có hướng ng ̈ Ghi chúù: chu ̊ Đỉnh r trong.. .Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Đònh nghóa cây có hướng ng ̈ Hai cây cóù hướng (T1) vàø (T2) xem như đẳng cấáu nhau co ng va như ng ca trong giáùo trình lýù thuyếát đồ thò nhưng chúùng làø hai cây gia trì ly thuye như chu ng la hoàøn toàøn kháùc nhau trong giáùo trình cấáu trúùc dữ liệäu hoa toa kha gia trì ca tru dư lie u (T1) A B (T2) A C B C D E F E F D Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại... ne (Trong đó Bij làøphầàn tử ở dòøng i cộät j củûa ma trậän kềà) la pha tử do ng co cu tra ke Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 26 13 Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Ma trận Kirchoff ̈ Đònh lýù (Kirchoff) ly ̊ Giảû sử G làø đồ thò cóù hướng đơn, n đỉnh, n-1 cạïnh cóù Gia la co ng đỉnh, n- ca nh co ma trậän Kirchoff làø K tra la ̊ Gọïi K(1, 1) làø ma trậän cóù được từ ma trậän K bằèng... củûa cây cóù hướng go cu co ng ̊ Mỗi đỉnh i X, i r do d-(i)=1 nên cóù duy nhấát mộät đỉnh co nha mo đỉnh j màø cạïnh liên kếát vớùi (j, i) hướng vàøo i, đỉnh j đỉnh ma ca nh ke vơ hư ng va đỉnh được gọïi đỉnh cha củûa I đươ go đỉnh cu ̊ Nếáu đỉnh x X thỏûa điềàu kiệän d+(x)=0 thì x được gọïi Ne đỉnh tho ie kie thì đươ go làø láù củûa cây cóù hướng la la cu co ng Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại... Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 24 12 Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Sự tồn tại cây có hướng ng ̈ ̈ Cho G làø đồ thò cóù hướng la co ng ̊ (a) Nếáu G cóù chứa mộät đồ thò bộä phậän làø cây cóù Ne co chứ mo bo pha la co hướng thì G tựa liên thông mạïnh ì tự ng th ma nh ̊ (b) Nếáu G tựa liên thông mạïnh thì G cóù chứa mộät đồ Ne tự ma nh thì co chứ mo thò bộä phậän làø cây cóù hướng bo pha la co ng Ghi chúù... ma trậän cóù được từ ma trậän K bằèng Go la tra co đươ từ tra ba ng cáùch bỏû đi dòøng 1 vàø cộät 1, ca ch bo do ng va co ̊ khi đó G làø cây ngoàøi cóù gốác tạïi đỉnh 1 X khi vàø chỉ la ngoa co go ta đỉnh va chỉ khi det K(1, 1)=1 Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 27 14 ... (T2) A C B C D E F E F D Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 21 Cây có hướng (cây ngoài) ng i) Đònh lý về các điều kiện tương đương với đònh nghóa của cây có hướng ng ̈ Cho G=(X, E) làø mộät đồ thò cóù hướng gồàm n đỉnh Cáùc la mo co ng go đỉnh Ca điềàu sau đây tương đương vớùi nhau ie tư đương vơ ̊ (a) G làø mộät cây cóù hướng la mo co ng ̊ (b) G cóù mộät đỉnh r vàø từ r tồàn tạïi mộät đường . 1 CÂY CÂY Lý Thuyết Đồ Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 2 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a cây: a cây: ̊ ̊ Cây la Cây. Thò - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 8 Cây to Cây to á á i i đ đ a a ï ï i i (cây phu (cây phu û û , cây bao tru , cây bao tru ø ø m, cây khung) m, cây