Các nguyên tử phân tử dao động nào? Lý Lê Ngày tháng năm 2009 Tóm tắt nội dung Sự dao động phân tử hai nguyên tử giống với dao động điều hòa lắc lò xo cực nhỏ Trong phần này, chỳng ta s gii phng trỡnh Schrădinger cho h dao động điều hịa để tìm hàm sóng o mức lượng phép, từ áp dụng vào phân tử Đây phương trình vi phân phức tạp, thường giải phương pháp chuỗi lũy thừa Vì vậy, trước hết, ta bàn phương pháp chuỗi lũy thừa cho phương trình vi phân Nghiệm chuỗi lũy thừa phương trình vi phân Cho đến thời điểm này, xét đến trường hợp mà hàm V (x) s; ngha l phng trỡnh Schrădinger l mt phng o trình vi phân tuyến tính bậc hai với hệ số không đổi Tuy nhiên, thực tế ta gặp trường hợp mà V thay đổi theo ta Khi ú, phng trỡnh Schrădinger s tr nên khó tìm nghiệm dạng tổ o hợp hàm số sơ cấp xác định Điều xảy phương trình vi phân có dạng đơn giản Chẳng hạn phương trình sau y − 3xy + 2y = Đây phương trình vi phân cấp hai, hệ số hàm ta khơng thể tìm nghiệm riêng dạng hàm số sơ cấp tiến hành cho hạt hộp chiều Một phương pháp thông dụng để giải phương trình vi phân dạng ứng dụng lí thuyết chuỗi để tìm nghiệm phương trình dạng chuỗi lũy thừa y = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn (1) Sau đây, minh họa cách giải phương trình vi phân đơn giản sau (2) y (x) = y(x) với điều kiện biên y(0) = 1 Đây phương trình vi phân tuyến tính bậc với hệ số khơng đổi Ta có phương trình bổ trợ (2) s−1=0 ⇒s=1 Vậy nghiệm (2) y(x) = ex (3) Bây giờ, ta giải (2) phương pháp chuỗi lũy thừa Giả sử nghiệm có dạng ∞ y(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · + cn xn = cn xn (4) ncn xn−1 (5) n=0 Lấy đạo hàm bậc (4) ta y (x) = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + · · · + ncn xn−1 = ∞ n=1 Thế (4) (5) vào (2), ta c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + · · · + ncn xn−1 = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn (6) Phương trình (6) hệ số hai vế với lũy thừa x Nghĩa là, ta có c1 = c0 2c2 = c1 3c3 = c2 ncn = cn−1 Từ đó, ta có c1 = c0 c0 c0 c0 c1 = = = c2 = 2 1·2 2! c0 c0 c0 c2 = = = c3 = 1·2·3 3! c0 c0 cn−1 = = cn = n · · 3···n n! Thế hệ số tìm vào phương trình y(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · + cn xn Ta y(x) = c0 + x + xn x2 x3 + + ··· + 2! 3! n! Áp dụng điều kiện y(0) = 1, ta suy c0 = nghiệm (2) y(x) = + x + xn x2 x3 + + ··· + 2! 3! n! (7) Từ (3) (7) ta thấy ex = + x + xn x2 x3 + + ··· + 2! 3! n! (8) Đây cơng thức khai triển Taylor cho hàm ex theo lũy thừa xn Kết khai triển xác n lớn 2.1 Dao động điều hịa khơng gian chiều Quan điểm học cổ điển Một hạt khối lượng m chuyển động trường V (x) = chịu lực tác dụng xác định sau Fx = − kx dV = −kx dx (9) với k số lực Theo định luật thứ hai Newton, F = ma, ta có −kx = m dx2 (t) dt2 (10) k , phương trình (10), trở thành m với t thời gian Đặt ω = x (t) + ω x(t) = (11) Phương trình bổ trợ (11) s2 + ω = ⇒ s2 = −ω = i2 ω ⇒ s = ±iω Như vậy, nghiệm (11) x(t) = c1 eiωt + c2 e−iωt (12) Áp dụng phương trình dạng mũ số phức, ta biến đổi (12) thành x(t) = (c1 + c2 ) cos(ωt) + i(c1 − c2 ) sin(ωt) hay x(t) = C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt) (13) Mặt khác, ta có sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b Do đó, ta viết lại (13) sau x(t) = A sin(ωt + ϕ0 ) (14) Trong đó, A gọi biên độ dao động cực đại x; ϕ0 hệ số góc Hai 2π số xác định từ điều kiện ban đầu Đại lượng T = ω gọi tần số (s−1 ) gọi chu kì dao động (Hz) Đại lượng ν = T ν= ω 1 = = T 2π 2π k m (15) Như tần số dao động điều hòa tỉ lệ thuận với số lực k tỉ lệ nghịch với khối lượng m Vận tốc dao động xác định sau v(t) = dx(t) = Aω cos(ωt + ϕ0 ) dt Năng lượng hạt tổng động 1 E = T + V = mv + kx2 2 E= Thế ω = (16) 1 mA2 ω cos2 (ωt + ϕ0 ) + kA2 sin2 (ωt + ϕ0 ) 2 k/m áp dụng sin2 x + cos2 x = 1, ta 1 E = kA2 [cos2 (ωt + ϕ0 ) + sin2 (ωt + ϕ0 )] = kA2 2 2.2 2.2.1 (17) (18) Quan điểm hc lng t Phng trỡnh Schrădinger ca dao ng iu hịa o Các tốn tử động dao động điều hịa khơng gian chiều sau T =− d2 ; 2m dx2 V = V (x) = kx (19) Hamiltonian dao động điều hòa H =T +V =− d2 + kx2 2m dx2 (20) Nh vy, phng trỡnh Schrădinger khụng ph thuc thi gian trường o hợp viết sau d2 + kx2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2m Đơn giản phương trình cách nhân với − , ta − (21) 2mE d2 ψ(x) mkx2 − ψ(x) = − ψ(x) 2 dx (22) hay mkx2 2mE d2 ψ(x) = − ψ(x) (23) dx2 Đây phương trình vi phân khơng tuyến tính Nó tương tự phương trình vi phân giải Charles Hermite, nhà tốn học Pháp 2.2.2 Hàm sóng dao động điều hòa trạng thái Giả sử số điểm nghiệm (23) có dạng ψ(x) = ce−bx (24) với b, c số Như vậy, ta có dψ(x) = −2bcxe−bx dx (25) d2 ψ(x) 2 = −2bce−bx + 4b2 cx2 e−bx dx2 Thế (24) (26) vào (23), ta 2 −2bce−bx + 4b2 cx2 e−bx = mkx2 (26) 2mE ce−bx − ce−bx (27) Chia hai vế (27) cho ce−bx ta 4b2 x2 − 2b = mk x2 − 2mE (28) Từ ta suy 4b2 = ⇒b= √ mk/2 mk − 2b = − E=b m = 2mE 2 k m Mặt khác, ta có tần số dao động điều hịa tính ν= 2π k ⇒ m k = 2πν m Do h k = 2πν = πν = hν m 2π √ Tóm lại, với b = mk/2 E = hν, hàm E= ψ(x) = ce−bx (29) thỏa mãn phương trỡnh Schrădinger cho h dao ng iu hũa S dng giá o trị b tìm được, ta viết lại nghiệm ψ(x) sau √ ψ(x) = ce−( mk)x2 /2 (30) Trong c số chuẩn hóa Đây hàm sóng dao động điều hịa trạng thái Năng lượng dao động điều hòa trạng thái E = hν 2.2.3 Các mức lượng dao động điều hịa Sau đây, giải phương trình Schrădinger ca dao ng iu hũa o mt cỏch cú hệ thống so với cách tiến hành Ta viết lại phương trình sóng (23) sau 2mE mk d2 ψ + − x ψ=0 2 dx Đặt α= 2mE β2 = ; mk (31) (32) Phương trình (31) trở thành d2 ψ + (α − β x2 )ψ = dx2 (33) Thực đổi biến phương trình (33) cách đặt d2 d2 =β dx2 dz (34) d2 ψ + (α − βz )ψ = dz (35) z= βx ⇒ Do đó, (33) tương đương với β hay α d2 ψ + ( − z )ψ = dz β (36) Nghiệm ψ(z) (36) viết dạng tích hai hàm u(z) e−z /2 sau1 ψ(z) = u(z)e−z /2 (37) Từ đó, ta có đạo hàm bậc ψ (z) đạo hàm bậc hai ψ (z) ψ = u e−z ψ = u e−z /2 − u ze−z /2 /2 − uze−z − u ze−z /2 /2 (38) − ue−z /2 + uz e−z /2 (39) Đơn giản (39), ta ψ = u e−z /2 − 2u ze−z /2 − ue−z /2 + uz e−z /2 (40) Thế (37) (40) vào (36), sau rút gọn, ta d2 u α du + −1 u=0 − 2z dz dz β Nếu ta đặt (41) α − = 2n, (41) trở thành β du d2 u + 2nu = − 2z dz dz (42) Phương trình vi phân có dạng (42) gọi phương trình Hermite Nghiệm phương trình Hermite gọi đa thức Hermite (Hermite polynomials) Trước giải (42), xét mức lượng dao động điều hịa Ta có α α − = 2n ⇒ = 2n + (43) β β Với α= ⇒ 2mE ; mk β= 2E α = 2n + = β m k (44) Từ đó, ta tính E = (n + ) Nghiệm e−z /2 k m gọi nghiệm tiệm cận, z → ∞ (45) Vì = h ν = 2π 2π k nên (45) trở thành m E = (n + )hν (46) Phương trình (46) biểu thức tính lượng dao động điều hịa Chúng ta lưu ý lượng lượng tử hóa nên số lượng tử n dao động điều hịa nhận giá trị ngun khơng âm Khi n = 0, ta có E = hν gọi lượng điểm không (zero-point energy) Năng lượng điểm khơng xem lượng dao động điều hịa khơng độ tuyệt đối Nếu lượng điểm khơng zero động zero Động zero nghĩa Δpx = Thế zero nghĩa hạt đứng yên điểm, hay Δx = Tuy nhiên, theo ngun lí bất định Δpx Δx đồng thời zero Như vậy, tồn lượng điểm không phù hợp với ngun lí bất định Heisenberg 2.2.4 Hàm sóng dao động điều hịa Bây giải phương trình du d2 u + 2nu = − 2z dz dz (47) phương pháp chuỗi lũy thừa Nghiệm u(z) viết dạng chuỗi lũy thừa sau ∞ ak z k u(z) = a0 + a1 z + a2 z + · · · = (48) k=0 Lần lượt lấy đạo hàm bậc đạo hàm bậc hai (48), ta ∞ u (z) = a1 + 2a2 z + 3a3 z + · · · = kak z k−1 (49) k=1 ∞ u (z) = 2a2 + 6a3 z + 12a4 z + · · · = k(k − 1)ak z k−2 (50) k=2 Thế (49) (50) vào phương trình (47), ta ∞ k(k − 1)ak z k−2 − 2z k=2 kak z k−1 + 2n k=1 ∞ k(k − 1)ak z k=2 ∞ k−2 ∞ ∞ 2kak z + k=1 ak z k = (51) k=0 k − ∞ k=0 2nak z k = (52) Đặt υ = k − 2, suy k = υ + Khi đó, ta có ∞ k(k − 1)ak z k−2 = ∞ (υ + 2)(υ + 1)aυ+2 z υ (53) υ=0 k=2 Theo lí thuyết chuỗi, ta có ∞ ∞ (υ + 2)(υ + 1)aυ+2 z υ = υ=0 (k + 2)(k + 1)ak+2 z k (54) k=0 υ k biến số giả (dummy variables) Ví dụ, ta so sánh hai chuỗi 2 ci xi = c1 x1 + c2 x2 = i=0 Mặt khác, ta có cj xj = c1 x1 + c2 x2 j=0 ∞ ∞ 2kak z k = k=1 2kak z k (55) k=0 k = số hạng chuỗi × × a0 × t0 = Do đó, phương trình (52) viết lại sau ∞ (k + 2)(k + 1)ak+2 z k − k=0 ∞ 2kak z k + k=0 ∞ 2nak z k = (56) k=0 Từ đó, ta có ∞ (k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + 2nak z k = (57) k=0 Để (57) với giá trị z biểu thức dấu móc vng phải zero (58) (k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + 2nak = 2n − 2k ak (k = 0, 1, 2, ) (59) ak+2 = − (k + 2)(k + 1) Phương trình (59) gọi cơng thức hồi qui (recursion formula) Dựa vào công thức hồi qui, biết a0 ta tính giá trị a2k ; biết a1 ta tính giá trị a2k+1 Ví dụ 2n − a0 = −na0 (0 + 2)(0 + 1) 2n − n−1 a1 = − a1 k = : a3 = − (1 + 2)(1 + 1) 2n − n−2 n(n − 2) a2 = − a2 = a0 k = : a4 = − (2 + 2)(2 + 1) 6 2n − n−3 (n − 3)(n − 1) a3 = − a3 = a1 k = : a5 = − (3 + 2)(3 + 1) 10 30 k = : a2 = − Sau đây, ta trình bày lại kết a2 = −na0 n−1 n−1 2(n − 1) a3 = − a1 = −2 a1 = − a1 2·3 3! n(n − 2) n(n − 2) 22 n(n − 2) a0 = a0 = a0 a4 = 2·3·4 4! (n − 3)(n − 1) (n − 3)(n − 1) 22 (n − 3)(n − 1) a5 = a1 = a1 = a1 30 2·3·4·5 5! Do đó, nghiệm u(z) viết sau u(z) = a0 + a1 z + a2 z + a3 z + +a4 z · · · 2(n − 1) 22 n(n − 2) a1 z + a0 z + · · · = a0 + a1 z − na0 z − 3! 4! 22 n(n − 2) 2(n − 1) = a0 (1 − nz + z + · · · ) + a1 (z − z + ···) 4! 3! Đặt 22 n(n − 2) z + ··· 4! 2(n − 1) z + ··· u2 (z) = z − 3! u1 (z) = − nz + ⇒ u(z) = a0 u1 (z) + a1 u2 (z) (60) Như vậy, n số nguyên khơng âm nghiệm phương trình Hermite đa thức, gọi đa thức Hermite viết sau n d e−z (61) Hn (z) = (−1)n ez n dz Sau số đa thức Hermite H0 (z) = H1 (z) = 2z H2 (z) = 4z − H3 (z) = 8z − 12z H4 (z) = 16z − 48z + 12 Hàm sóng dao động điều hịa có dạng ψn = Nn Hn (z)e−z /2 (n = 0, 1, 2, ) (62) với Nn số chuẩn hóa hàm sóng Ta thấy, hàm sóng zero Hn (z) = Ví dụ, với n = H1 (z) = z = hàm sóng có 10 node Với n = H2 (z) = z = ± √ hàm sóng có hai nodes Một cách tổng quát, số nodes hàm sóng dao động iu hũa l n Túm li, phng trỡnh Schrădinger cho dao động điều hòa giải o cách xác, dù vất vả Kết quả, lượng hàm sóng xác định sau E = (n + )hν −z /2 ψn (z) = Nn Hn (z)e (n = 0, 1, 2, ) (n = 0, 1, 2, ) Trong đó, Nn số chuẩn hóa; Hn (z) đa thức Hermite bậc n; βx = z= mk x Như vậy, hàm sóng dao động điều hịa viết theo biến x có dạng ψn (x) = Nn Hn (x)e−βx Ta thấy e−βx /2 /2 (n = 0, 1, 2, ) (63) hàm chẵn /2 e−β(−x) = e−βx /2 Do đó, tính chẵn lẻ hàm sóng phụ thuộc vào Hn (x) Nếu Hn (x) hàm chẵn ψn (x) hàm chẵn ngược lại Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục y Vì vậy, f (x) hàm số chẵn +a −a f (x)dx = a f (x)dx (64) Hàm g(x) thỏa điều kiện g(−x) = −g(x) gọi hàm số lẻ Những hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Vì , g(x) hàm số lẻ +a −a g(x)dx = (65) Phổ dao động phân tử hai nguyên tử Một phân tử thơng thường có kiểu chuyển động chuyển động tịnh tiến (translational motion), chuyển động quay (rotational motion) chuyển động dao động (vibrational motion) Sự tịnh tiến phân tử dạng khí lý tưởng mơ tả giống chuyển động hạt hộp ba chiều 11 Trong chuyển động quay, phân tử quay quanh trọng tâm ln giữ khoảng cách nguyên tử không thay đổi Kiểu chuyển động xét sau Trong chuyển động dao động, nguyên tử dao động gần điều hòa dọc theo trục liên kết góc liên kết Vì vậy, lượng dao động phân tử mức lượng thấp xem lượng dao động điều hòa 3.1 Sự dao động phân tử H 35 Cl Phân tử H 35 Cl gồm nguyên tử Cl (chứa 17 proton 18 notron) nguyên tử H (chỉ chứa proton) Khoảng cách cân hai nguyên tử 1, 27 · 10−10 m Khối lượng proton notron theo đơn vị khối lượng nguyên tử (atomic mass units - amu) mp = amu; với mn = amu amu = 1, 66 · 10−27 kg Như mH = amu; mCl = 35 amu Sự dao động hai nguyên tử H Cl phân tử HCl giống với dao động lắc lò xo cực nhỏ với hai đầu nguyên tử H Cl Giá trị thực nghiệm số đàn hồi (hằng số lực) k phân tử H 35 Cl 513 kg s−2 Theo học cổ điển, chuyển động tương đối hai hạt có khối lượng m1 m2 dọc theo trục nối tương đương với chuyển động hạt có khối lượng rút gọn (reduced mass) m1 m2 (66) μ= m1 + m2 Trong trường hợp phân tử HCl, ta có khối lượng rút gọn μ= · 35 + 35 0, 97 amu Tần số dao động tính sau ν= 2π k = 8, · 1013 s−1 μ Năng lượng điểm không phân tử HCl E0 = hν = 0, 18 eV Và lượng trạng thái kích thích thứ E1 = (1 + )hν = E0 + hν = 0, 55 eV 12 Khi phân tử HCl trạng thái kích thích thứ trạng thái điểm khơng, phát photon γ có lượng Eγ = E1 − E0 = 0, 36 eV Photon có tần số ν= Eγ = 8, · 1013 s−1 h tương ứng với xạ vùng hồng ngoại (Infra-Red − IR) Phổ dao động phân tử gọi phổ IR hay phổ hồng ngoại Ngược lại, để kích thích phân tử HCl từ trạng thái điểm khơng lên trạng thái kích thích thứ nhất, ta cần cung cấp lượng 0, 36 eV 3.2 Xác định số lực 12 C 16 O Phổ hồng ngoại phân tử 12 C 16 O có mũi cực đại ν = 2143 cm−1 ¯ Chúng ta thử xác định số lực k 12 C 16 O, xem dao động hai nguyên tử C O dọc theo trục liên kết dao động điều hòa Cũng giống nhiều phân tử hai nguyên tử khác, điều kiện thường phân tử CO chủ yếu nằm trạng thái điểm khơng Khi bị kích thích lên trạng thái thứ nhất, ứng với dịch chuyển từ mức lượng E0 → E1 Như vậy, mũi cực đại tương ứng với dịch chuyển từ n = → n = Năng lượng cần cung cấp cho dịch chuyển tính sau E = E1 − E0 = hν = hc = hc¯ ν λ Do ν = c¯ = (2143 cm−1 )(2, 998 · 10−10 cm/s) = 6, 424 · 1013 s−1 ν Khối lượng rút gọn CO μ= 12 · 16 m1 m2 = 6, 857 amu = 11, 383 · 10−27 kg = m1 + m2 12 + 16 Để tính số lực k, ta dựa vào biểu thức ν= 2π k m với m khối lượng rút gọn CO Như k = 4π ν μ = 4π (6, 424 · 1013 s−1 )2 (11, 383 · 10−27 kg) = 1855 N/m 13 Phương trình Hermite đa thức Hermite Kí hiệu đa thức Hermite bậc n Hn (x) Xét hàm g gồm hai biến x, t +2tx g(x, t) = e−t (67) Giả sử g(x, t) khai triển theo lũy thừa tn với hệ số phụ thuộc vào Hn (x) sau ∞ Hn (x) n (68) t g(x, t) = e−t +2tx = n! n=0 Lấy đạo hàm bậc theo t, ta ∂ g(x, t) = (−2t + 2x)e−t +2tx = ∂t ∞ Hn (x)n n=1 tn−1 n! (69) Ta có +2tx (−2t + 2x)e−t +2tx = −2te−t ∞ = −2t +2tx + 2xe−t Hn (x) n=0 ∞ Hn (x) = −2 n=0 tn + 2x n! tn+1 n! ∞ Hn (x) n=0 ∞ + 2x tn n! Hn (x) n=0 tn n! Do (69) trở thành ∞ Hn (x) −2 n=0 tn+1 + 2x n! ∞ Hn (x) n=0 tn = n! ∞ Hn (x)n n=1 tn−1 n! (70) Vì n biến số giả nên ta có ∞ ∞ ∞ tn−1 tn−1 tn = = Hn (x)n Hn (x) Hn+1 (x) n! (n − 1)! n=0 n! n=1 n=1 ∞ ∞ Hn (x) n=0 ∞ tn+1 tn+1 tn = = Hn (x)n Hn−1 (x) n! (n + 1)! n=1 n! n=0 Như vậy, (70) tương đương với ∞ Hn−1 (x) −2 n=1 tn + 2x n! ∞ Hn (x) n=0 tn = n! ∞ Hn+1 (x) n=0 tn n! (71) Cho hệ số (71) với số mũ tn nhau, ta công thức hồi qui (n > 0) (72) Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) 14 Tương tự, lấy đạo hàm (68) theo x, ta ∂ g(x, t) = 2te−t +2tx = ∂x hay ∞ n=0 tn+1 = Hn (x) n! ∞ Hn−1 (x) ⇒2 n=1 ∞ n=0 Hn (x) ∞ n=0 tn = (n − 1)! Hn (x) tn n! tn n! ∞ n=1 (73) Hn (x) (74) tn n! (75) Từ đó, ta có Hn (x) = 2nHn−1 (x) (n > 0) (76) Kết hợp (72) (76) ta Hn+1 (x) = 2xHn (x) − Hn (x) (77) Lấy đạo hàm (77) theo x Hn+1 (x) = 2Hn (x) + 2xHn (x) − Hn (x) 2(n + 1)Hn (x) = 2Hn (x) + 2xHn (x) − Hn (x) Suy Hn (x) − 2xHn (x) + 2nHn (x) = (78) Phương trình phương trình Hermite Nghiệm đa thức Hermite Hn (x) Sau đây, xác định số đa thức Hermite Ta có ∞ t2 Hn (x) n t = H0 (x) + H1 (x)t + H2 (x) + · · · (79) n! 2! n=0 +2tx Mặt khác, áp dụng công thức khai triển Taylor cho hàm e−t thừa (−t2 + 2tx)n ta +2tx e−t = + (−t2 + 2tx) + (−t2 + 2tx)2 + ··· 2! theo lũy (80) Do đó, ta có H0 (x) + H1 (x)t + H2 (x) t2 (−t2 + 2tx)2 + · · · = + (−t2 + 2tx) + + · · · (81) 2! 2! Để hai vế phương trình hệ số lũy thừa t phải Vì H0 (x) = 1; H1 (x) = 2x 15 (82) Dựa vào (82) công thức hồi qui Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1(x) ta xác định đa thức Hermite có bậc cao Ví dụ H2 (x) = 2xH1 (x) − × 2H0 (x) = 4x2 − H3 (x) = 2xH2 (x) − × 2H1 (x) = 2x(4x2 − 2) − 8x = 8x3 − 12x H4 (x) = 2xH3 (x) − × 2H2 (x) = 16x4 − 48x2 + 12 Một cách tổng quát, theo Rodrigues đa thức Hermite viết sau Hn (x) = (−1)n ex dn −x2 e dxn Áp dụng công thức kết hợp với số hiểu biết đạo hàm ta dễ dàng xác định đa thức Hermite bậc n 16 Bài tập Tìm mối liên hệ hồi qui cho hệ số cn , từ tìm biểu thức tính c4 theo c0 tính c5 theo c1 nghiệm chuỗi lũy thừa phương trình sau f (x) − 2xf (x) + f (x) = Chứng tỏ f (x) = e−x /2 nghiệm tiệm cận (nghiệm ứng với x → ∞) phương trình vi phân u (x) + (2 − x2 )u(x) = Hàm sóng dao động điều hòa trạng thái trạng thái kích thích thứ sau ψ0 (x) = c0 e−βx /2 ψ1 (x) = c1 xe−βx /2 a Xác định số c0 c1 b Chứng minh ψ0 (x) ψ1 (x) trực giao với Tính giá trị trung bình T V dao động điều hòa trạng thái điểm không T = V = +∞ −∞ +∞ −∞ ∗ ψ0 T ψ0 dx ∗ ψ0 V ψ0 dx Chứng tỏ T = V Xác định nodes hàm sóng dao động điều hịa ứng với trạng thái n = Phổ IR phân tử LiH có mũi cực đại ν = 1359 cm−1 Xác định ¯ số lực liên kết phân tử 17 ... sau Trong chuyển động dao động, nguyên tử dao động gần điều hịa dọc theo trục liên kết góc liên kết Vì vậy, lượng dao động phân tử mức lượng thấp xem lượng dao động điều hòa 3.1 Sự dao động phân. .. (65) Phổ dao động phân tử hai nguyên tử Một phân tử thơng thường có kiểu chuyển động chuyển động tịnh tiến (translational motion), chuyển động quay (rotational motion) chuyển động dao động (vibrational... tịnh tiến phân tử dạng khí lý tưởng mô tả giống chuyển động hạt hộp ba chiều 11 Trong chuyển động quay, phân tử quay quanh trọng tâm ln giữ khoảng cách nguyên tử không thay đổi Kiểu chuyển động xét