Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQGHN. Email: nguyendunghus@gmail.com Một phương pháp thay đổi biến số Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số a,b,c có tích bằng 1, đó là đặt 222 yz ,, zxxy abc xyz ===, với a,b,c dương thì x,y,z cũng dương. Tư tưởng chủ đạo của phép thế này là xuất hiện đại lượng bình phương ở tử phân thức, sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng Svác: () 2 222 ;,,,,,0 ABC ABC ABCXYZ XYZXYZ ++ ++³> ++ Một số kí hiệu dùng trong bài viết: sym å : tổng đối xứng. Ví dụ: 2222222 sym ababbccaabbcca =+++++ å cyc å : tổng hoán vị. Ví dụ: ,,, 222222222 ; abcd cyccyc ababbccaacacacbdbd =++=+++ åå Các bạn hãy theo dõi một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: ()()()()()() 1111 1212122 aabbcc ++³ ++++++ Giải. Các bạn có thể đặt ,, xyz abc yzx === nhưng bất đẳng thức mới không dễ dàng chứng minh được! Xét phép đổi biến 222 yz ,, zxxy abc xyz === với x,y,z là các số thực dương. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: ()()()()()() 444 222222 1 2 222 xyz xyzxyzyzxyzxzxyzxy ++³ ++++++ Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có: ()() ( ) ()() 2 222 4 2222 22 cyc cyc xyz x xyzxyzxyzxyz ++ ³ ++++ å å Ta có ( ) ( ) ( ) () ()()() () 2 22222222222 222 222 22 1 0 2 cyc xyzxyzxyzxyyzzxxyzxyz xyzyzxzxy ++-++=++-++ =-+-+-³ å Bất đẳng thức trên luôn đúng, suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 11 xyzabc ===Û=== Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 222 111 1 111 aabbbb ++³ ++++++ Giải. Đặt 222 yz ,, zxxy abc xyz === với x,y,z là các số thực dương, bất đẳng thức trên trở thành: 444 422242224222 1 xyz xxyzyzyyzxzxzzxyxy ++³ ++++++ Sử dụng bất đẳng thức Svác: ( ) () 2 222 4 4222444222222 cyc xyz x xxyzyzxyzxyyzzxxyzxyz ++ ³ ++++++++++ å Vậy ta chỉ cần chứng minh: ( ) () () ()()() 2 222444222222 222222 222 222 0 xyzxyzxyyzzxxyzxyz xyyzzxxyzxyz xyzyzxzxy ++³++++++++ Û++³++ Û-+-+-³ Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 11 xyzabc ===Û=== . Qua hai ví dụ trên các bạn có thể thấy đây là một phương pháp hoàn toàn tự nhiên và dễ sử dụng. Tuy nhiên đối với một số bài toán cần sử dụng cả hai cách thay đổi biến số. Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: () () () 222 222 222 1 3 222 abc aabbbccca ++³ ++++++ Giải: Đặt ,, bca xyz abc === thì bất đẳng thức trở thành () () () 222 111 0 121121121xyz ++³ ++++++ Do 1 xyz = nên ta tồn tại các số thực dương m,n,p sao cho 222 ,, npmpmn xyz mnp === Bất đẳng thức trên trở thành: () 4 2 42 1 3 2 cyc m mmnp ³ ++ å Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có () ( ) () 2 222 4 22 424442 22 cyc cyc mnp m mmnpmnpmnp ++ ³ ++++++ å å Mà () () 2 2 2 2422 320 cyccyccyccyc mmmnpmnp æö +=-³ ç÷ èø åååå Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 mnpxyzabc ==Û===Û== Cách thế trên không những phát huy tác dụng với bài toán 3 biến mà còn có thể sử dụng cho những bài toán nhiều biến hơn nhưng khối lượng tính toán hơi phức tạp. Ví dụ 4. (Thi chọn đội tuyển Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: ()()()() 2222 1111 1 1111abcd +++³ ++++ Giải: Vì ở đây có 4 biến nên ta đặt 3333 ,,, yztztxtxyxyz abcd xyzt ==== với x,y,z,t là các số thực dương. Bất đẳng thức trên trở thành: () 6 2 3 1 cyc x xyzt ³ + å Áp dụng bất đẳng thức Svác: () ( ) () 2 3333 6 22 33 cyc cyc xyzt x xyztxyzt +++ ³ ++ å å Vì vậy ta chỉ cần chứng minh: ( ) ( ) ( ) 22 3333333332223 2 cyccyccyccyc xyztxyztxyzxxyzxyzt +++³+Û++³+ åååå Đến đây các bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si: ( ) ()() 33333 3333333333222 3 3 cyccyc cyccyccyc xyztxyzt xyztxyyzzxxyz ++³ ++=++³ åå ååå Suy ra đpcm. Nhận xét: Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau Cho 12 ,, , n aaa là các số thực dương có tích bằng 1. Với 1 kn =- chứng minh rằng: () 2 1 1 1 1 n i i ka = ³ + å Kết thúc bài viết, mời các bạn làm một số bài tập vận dụng sau: Bài tập 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích là 1. Chứng minh rằng: 2222 1111 1 12121212 aabcccdd +++³ ++++++++ Bài tập 2. Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 222 111 3 111 aabbcc ++£ -+-+-+ Lời giải cho bài tập vận dụng: Bài tập 1: Đặt 3333 ,,, yztztxtxyxyz abcd xyzt ==== với x,y,z,t là các số thực dương. Bất đẳng thức trên trở thành: 6 63222 1 2 cyc x xxyztyzt ³ ++ å Áp dụng bất đẳng thức Svác, ta được: 2 3 6 6322263222 2 cyc cyc cyccyccyc x x xxyztyztxxyztyzt æö ç÷ èø ³ ++++ å å ååå Vì vậy ta chỉ cần chứng minh () 2 3622223333332223 22 cyccyccyccyccyccyccyccyc xxxyztxxyzxyxyzxxyzxyzt æö ³++Û³++³+ ç÷ èø åååååååå Chứng minh điều này tương tự chứng minh trong ví dụ 4. Bài tập 2. Áp dụng kết quả ví dụ 2 ta được: 442 2 424242 22 11 1322 111 11 1 cyccyccyccyc aaa aaaaaa aa + =³Þ-³-Þ£ ++++++ æöæö ++ ç÷ç÷ èøèø åååå Suy ra: 2 2242 111 24 111 cyccyccyc a aaaaaa + +=£ ++-+++ ååå Mà 22 11 13 11 cyccyc aaaa ³Þ£ ++-+ åå . phương pháp hoàn toàn tự nhiên và dễ sử dụng. Tuy nhiên đối với một số bài toán cần sử dụng cả hai cách thay đổi biến số. Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số. nguyendunghus@gmail.com Một phương pháp thay đổi biến số Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số a,b,c có tích