MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu xếp đối tượng.Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán cần nghiên cứu Chủ đề nghiên cứu từ kỷ 17 câu hỏi tổ hợp nêu cơng trình nghiên cứu trị chơi may rủi Liệt kê, đếm, xếp đối tượng có tính chất phần quan trọng lý thuyết tổ hợp Một toán khác lý thuyết tổ hợp việc tạo cách xếp theo kiểu Vấn đề quan trọng mơ máy tính Chúng ta đưa thuật toán tạo cách xếp theo nhiều kiểu khác Các toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng địi hỏi khối lượng tính tốn khổng lồ (có trường hợp hàng chục năm) Vì thời gian dài, mà ngành toán học phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển vũ bảo, nằm ngồi phát triển ứng dụng tốn học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học, tin học… Khi hai cơng việc làm đồng thời, dùng quy tắc cộng để tính số cách thực nhiệm vụ gồm việc cộng số cách làm việc dẫn đến trùng lập, cách làm hai việc tính lần Để tính số cách thực nhiệm vụ cộng số cách làm việc trừ số cách làm đồng thời việc Đó nguyên lý bù trừ Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP I Sơ lược toán học tổ hợp 1.1 Một số nguyên lý 1.1.1 Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực n1 cách, bước thực n cách, …, bước k thực n k cách Khi số cấu hình tổ hợp n1 n2… nk 1.1.2 Nguyên lý cộng Giả sử {X1, X2,…,Xn} phân hoạch tập S Khi S = X1 + X + + X n 1.2 Các cấu hình tổ hợp đơn giản Những cấu hình thường làm sở cho phép đếm 1.2.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập k n xem phần tử tích Đề-Các X k, với X tập n phần tử Như số tất chỉnh hợp lặp chập k n nk 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa: Một chỉnh lợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần không lặp lại Một chỉnh hợp không lặp chập k n xây dựng qua k bước sau: Chọn thành phần đầu tiên: có n khả Chọn thành phần thứ hai: có n -1 khả … Chọn thành phần thứ k: có n – k + khả Như theo nguyên lý nhân, số tất chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử A(n,k) = n(n - 1)… (n – k + 1) = n! (n − k)! 1.2.3 Hoán vị Định nghĩa: Một hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Hốn vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp khơng lặp chập k n k = n Ta có số hốn vị P(n) = n! 1.2.4 Tổ hợp Định nghĩa: Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có k phần tử từ n phần tử cho Ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử C(n, k) Ta có A(n, k) = C(n, k).k! Suy C(n, k) = n! k!(n − k)! 1.2.5 Hoán vị lặp Định nghĩa: Hoán vị lặp hoán vị phần tử ấn định số lần lặp cho trước Định lí Số hốn vị lặp k phần tử khác số phần tử thứ lặp n lần, số phần tử thứ lặp n2 lần, , số phần tử thứ k lặp nk lần P( n; n1, n2, nk ) = n! n1 ! n2 ! nk ! Hệ Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, có n phần tử kiểu 1, n2 phần tử kiểu 2, , nk phần tử kiểu k Khi số hốn vị n phần tử tập S P( n; n1, n2, , nk ) = n! n1 ! n2 ! nk ! 1.2.6 Tổ hợp lặp: Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử lặp lại Định lý: Giả sử X có n phần tử khác Khi số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử X, ký hiệu CR(n, k) là: CR(n, k) = C(k+n–1,n-1) = C(k+n-1, k) Chương II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Công thức 1: Cho tập hợp A,B Theo nguyên lý cộng ta có: A∪ B = A + B - A∩ B Công thức 2: Cho tập hợp X n tập X1, X2 , … , Xn, ta có: n X ∪ X ∪ ∪ X n = ∑ (−1) k −1 X (n, k ) k =1 Trong đó: X(n,k)= ∑x i1 1≤i1 < < ik ≤ n ∩ xi2 ∩ ∩ xik Trong tổng X(n,k), (i1,i2, … ,ik) lấy tất tổ hợp chập k n X(n,k) tổng C(n,k) số hạng Nói riêng ta có X(n,1) = X + X +……+ X n X(n,n) = X ∩ X ∩ ∩ X n Từ cơng thức 2,sử dụng tính chất: X ∩ X ∩ ∩ X n = X ∪ X ∪ ∪ X n = X − X ∪ X ∪ ∪ X n Ta nhận công thức sau: n Công thức (Sieve): X ∩ X ∩ ∩ X n = ∑ (−1) k X (n, k ) k =0 Trong đó: X(n,0) = X X(n,k)= ∑X 1≤i1 < < ik ≤ n i1 ∩ X i2 ∩ ∩ X ik ∀k = , n Bây giờ: ta cho tính chất α1 , ,α n tập X Xét toán: * Bài toán đếm số phần tử X khơng thỏa mãn tính chất α k Giải: Xk= { x ∈ X x thỏa mãn α k } Với k =1,….,n ta có ký hiệu: Như phần bù Xk là: X k = { x ∈ X x không thỏa mãn α k } Ký hiệu N số cần đếm, theo cơng thức ta có: N= X ∩ X ∩ ∩ X n = X + X(n,k)= ∑X 1≤i1 < < ik ≤ n i1 n ∑ (−1) k X (n, k ) k =1 ∩ X i2 ∩ ∩ X ik ∀k = , n Chương III: MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TỐN ỨNG DỤNG 3.1 Các ví dụ : Ví dụ 1: Lớp 10A có 40 học sinh Nhà trường bắt buộc học sinh lớp phải học hai mơn học tự chọn Tin học Ngoại ngữ Có 30 học sinh đăng kí học tin học, 20 học sinh đăng kí học Ngoại ngữ Hỏi có học sinh đăng kí học hai mơn Tin học Ngoại ngữ ? Giải: Gọi A tập học sinh đăng kí học mơn Tin học, B tập học sinh đăng kí học mơn Ngoại ngữ Khi đó, tổng số học sinh lớp 10A A ∪ B số học sinh đăng kí học hai môn Tin học Ngoại ngữ A ∩ B Vì vậy: A ∪ B = A + B - A ∩ B ⇒ A ∩ B = A + B − A ∪ B = 30 + 20 − 40 = 10 Vậy có 10 học sinh đăng kí học hai mơn Tin học Ngoại ngữ Ví dụ 2: Đề thi học sinh giỏi tốn trường phổ thơng gồm bài: hình học , đại số tổ hợp Có 100 em tham gia dự thi Kết cho thấy có 80 em giải hình học, 70 em giải đại số, 50 em giải tổ hợp, 60 em giải hình học đại số, 50 em giải hình học tổ hợp, 40 em giải đại số tổ hợp, 30 em giải ba Hỏi có em giải thi Giải : Gọi A tập học sinh giỏi toán trường A1 tập học sinh giải hình học A2 tập học sinh giải đại số A3 tập học sinh giải tổ hợp Khi đó: A1 ∩ A2 tập học sinh giải hình học đại số A2 ∩ A3 tập học sinh giải đại số tổ hợp A1 ∩ A3 tập học sinh giải hình học tổ hợp Số học sinh giải thi : A1 ∪ A2 ∪ A3 = A1 + A2 + A3 − ( A1 ∩ A2 + A2 ∩ A3 + A1 ∩ A3 ) + A1 ∩ A2 ∩ A3 = 80 + 70 + 50 - 60 - 50 - 40 + 30 = 80 Ví dụ : Trong tập hợp X = {1; 2; 3; …;10000} có số không chia hết cho số số 3;4;7? Giải : Gọi A1 tập hợp số thuộc tập X chia hết cho A2 tập hợp số thuộc tập X chia hết cho A3 tập hợp số thuộc tập X chia hết cho Khi đó: A1 ∩ A2 tập số thuộc tập X chia hết cho A2 ∩ A3 tập số thuộc tập X chia hết cho A1 ∩ A3 tập số thuộc tập X chia hết cho Khi đó: A1 ∪ A2 ∪ A3 số phần tử thuộc tập X chia hết cho 3, hoặc Vậy số phần tử thuộc tập X không chia hết cho số số 3;4;7 là: A1 ∪ A2 ∪ A3 = A \ ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = A1 ∩ A2 ∩ A3 10000  10000  10000  = 3333, A2 =  = 2500, A3 =  = 1428 Ta có: A1 =           10000  10000  10000  A1 ∩ A2 =   = 833, A1 ∩ A3 =  ×  = 476, A2 ∩ A3 =  ×  = 357  3×       10000  A1 ∩ A2 ∩ A3 =  = 119  3× ×   Áp dụng cơng thức (Sieve), ta có: A1 ∩ A2 ∩ A3 = A − ( A1 + A2 + A3 ) + A1 ∩ A2 + A1 ∩ A3 + A2 ∩ A3 − A1 ∩ A2 ∩ A3 = 10000 - ( 3333 + 2500 +1428 ) + 833 + 476 + 357 - 119 = 4286 Vậy số phần tử thuộc tập X không chia hết cho số số 3;4;7 4286 Ví dụ : Một hội thao cấp Tỉnh có mơn thi gồm : cầu lơng, bóng bàn, chạy cờ tướng Đồn A có 100 người bao gồm vận động viên cổ động viên tham gia đó: mơn cầu lơng có 18 vận động viên, mơn bóng bàn có 26 vận động viên, mơn chạy có 19 vận động viên, mơn cờ tướng có 24 vận động viên, có người tham gia cầu lơng bóng bàn, người tham gia cầu lơng chạy, người tham gia cầu lông cờ tướng, người tham gia bóng bàn chạy,4 người tham gia bóng bàn cờ tướng, người tham gia cờ tướng chạy, người tham gia cầu lông, chạy cờ tướng, người tham gia bóng bàn, chạy cờ tướng, người tham gia bốn môn Hỏi đồn A có người cổ động viên Giải : Gọi A tập vận động viên cổ động viên tham gia hội thao A1 tập vận động viên cầu lông A2 tập vận động viên bóng bàn A3 tập vận động viên chạy A4 tập vận động viên cờ tướng Khi đó: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 số vận động viên tham gia môn A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = A \ ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 số cổ động viên Áp dụng công thức (Sieve): A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 = A − ( A1 + A2 + A3 + A4 ) + A1 ∩ A2 + A1 ∩ A3 + A1 ∩ A4 + A2 ∩ A3 + A2 ∩ A4 + A3 ∩ A4 − ( A1 ∩ A2 ∩ A3 + A1 ∩ A2 ∩ A4 + A1 ∩ A3 ∩ A4 + A2 ∩ A3 ∩ A4 ) + A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 = 100 − (18 + 26 + 19 + 24) + (5 + + + + + 3) − (2 + + + 4) + = 25 Vậy đồn A có 25 người cổ động viên Ví dụ : Đếm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x + y + z = 11, với 0≤ x≤3, 0≤ y≤4, 0≤ z≤6 Giải : Gọi A tập tất nghiệm khơng âm phương trình A1 tập nghiệm ngun khơng âm phương trình với x ≥ 4, A2 tập nghiệm ngun khơng âm phương trình với y ≥ 5, A3 tập nghiệm nguyên không âm phương trình với z ≥ 7, Vậy số nghiệm cần tìm A1 ∩ A2 ∩ A3 = A1 ∪ A2 ∪ A34 = A \ ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) A1 ∩ A2 ∩ A3 = A -|A |-|A |-|A | + |A ∩A | +|A ∩A | +|A ∩A |-|A ∩A ∩A | 10 3 Ta có A =C(13,2), |A1|+|A2|+|A3|=79, A1∩A2| +|A1∩A3| +|A2∩A3|=7 |A1∩A2∩A3| = Vậy A1 ∩ A2 ∩ A3 = 3.2.Bài toán ứng dụng : 3.2.1.Bài toán bỏ thư : Có n thư n phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì i) Hỏi xác suất để khơng thư địa ? ii) Hỏi xác suất để r thư địa ( r ≤ n) ? Giải: i) Gọi X tập hợp tất cách bỏ thư Ta có X = n! Gọi α k (k tính chất thư k gửi địa chỉ, Xk tập hợp cách bỏ thư cho thư k không gửi địa (k = 1,….,n) Ký hiệu N(n,r) só cách bỏ thư cho có r thư địa (r = 0, 1, …., n) Như theo nguyên lý bù trừ số cách bỏ thư cho khơng có thư gửi địa N ( n,0) = ∑ (−1) k X (n, k ) Trong N (n, 0) = X = n ! X (n, k ) = ∑X 1≤ik < n n k Và kéo theo U n = ∑ (−1) X (2n, k ) k =0 Gọi g(2n,k) số cách lấy k tính chất thỏa mãn khơng thể xảy đồng thời P i Qi đồng thời Pi+1và Qi (g(2n,0) = 1) Và với cách lấy k tính chất ta có (n-k)! cách phân bố tính chất cịn lại Như ta có: 13 n U n = ∑ (−1) k g (2n, k ).(n − k )! k =0 Bây ta cịn phải tính g(2n,k) Nếu xếp theo vịng trịn P , Q1 , P2 , Q2 ,…., Pn , Qn ta thấy g(2n,k) số cách lấy k phần tử cho khơng có hai phần tử kề Đây số cách xếp k số với (2n - k) số cho khơng có hai số kề Ta có: g(2n, k) = 2n C (2n - k, k) 2n - k Như số phân bố: n U n = ∑ (−1) k k =0 2n C (2n − k , k ).(n − k )! 2n − k 3.2.3 Bài tốn đếm số tồn ánh : Cho hai tập X, Y có X = n , Y = k , n ≥ k Hãy đếm số toàn ánh từ X vào Y Giải: Cho Y = {y1 , ….,yk} Ký hiệu tập hợp tất ánh xạ từ X vào Y, T tập n hợp tất toàn ánh từ X vào Y Hiển nhiên S = k Ký hiệu: S i = { f ∈ S / y i ∉ f ( X )} ∀i = 1, , k Theo nguyên lý bù trừ ta có: k T = ∑ (−1) r X (k , r ) r =0 Trong đó: X (k, 0) = S = kn Và X (k , r ) = ∑S i1 1≤i1 <