TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC (HỮU TỶ)

26 1K 4
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC (HỮU TỶ)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

www.facebook.com/hocthemtoan

Bài số 5: TÍCH PHÂN ( TIẾT ) I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong • Giới thiệu cho học sinh cách tính diện tích hình thang cong • Từ suy công thức : xlim →x S ( x ) − S ( x0 ) = f ( x0 ) x − x0 Định nghĩa tích phân • Cho hàm f liên túc khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số : F(b)-F(a) gọi tích phân b f từ a đến b , ký hiệu : ∫ f ( x)dx a b • Có nghĩa : ∫ f ( x)dx = F ( b ) − F ( a ) a b • Gọi F(x) nguyên hàm f(x) F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) : b b ∫ f ( x)dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a • Trong : - a : cận , b cận - f(x) gọi hàm số dấu tích phân - dx : gọi vi phân đối số -f(x)dx : Gọi biểu thức dấu tích phân II Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f g liên tục K , a,b,c ba số thuộc K Khi ta có : a ∫ f ( x)dx = a b a ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ( Gọi tích chất đổi cận ) a b ∫ a b ∫[ a b c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b b a a f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx ( Tích phân củ tổng hiệu hai tích phân tổng hiệu hai tích phân ) b a b a ∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx ( Hằng số k dấu tích phân , đưa ngồi dấu tích phân ) Ngồi tính chất , người ta cịn chứng minh số tính chất khác : Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] : b ∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] a Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) b b a a Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx ( Bất đẳng thức tích phân ) Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] với hai số M,N ta ln có : M ≤ f ( x) ≤ N Thì : b M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ N ( b − a ) ( Tính chất giá trị trung bình tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp , cẩn : • Kỹ : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương nhiều hàm số khác , mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng • Kiến thức : Như trình bày phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc kiến thức Vi phân , cơng thức phép tốn lũy thừa , phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ x +1 c/ ∫ a/ ∫ ( b/ ( x 1+ x ( ) dx = x x4 −1 + x2 ∫ ( x + 1) dx x x − x + ln + x Giải ) dx ( x x4 −1 + ) ) dx ∫ d/ x3 + x − x + dx x4 − 2x2 +  x x2 −1 x2 +  x  x  + ÷dx = ∫  x x − + ÷dx ∫ 2 2  x +1 x +1 x +1 ÷ x +1  1 1  2 2 x − 1d x − + ∫ d x + = x2 −1 + x2 + = + − 1 2 1 ) ( ⇒∫ ) ( ( ) b/ ( x + − 1) dx =  ( x + 1) − x + +  dx =  − +  dx dx = ∫ ∫ ( x + 1) ∫  ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)  ∫  x + ( x + 1) ( x + 1)  ( x + 1)   0       1 1 d ( x + 1) d ( x + 1) d ( x + 1) 1 1 ⇒I =∫ − 2∫ +∫ = ln x + + − = ln + x +1 x + ( x + 1) 0 ( x + 1) ( x + 1) c/ ∫ x2 ( x x − x + ln + x ( x 1+ x ⇒I =∫ ( ) dx = ( ln + x )   ln + x   x −1 +  dx =  ∫  1+ x ∫ 1+ x x  1    ( ) ( ( ) d 1+ x =  x ) ( ) 3 ( ) 1+ x  ( + ) − ln x − dx + ∫ = − + ln Trang ) ) ( ( Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 )   dx x −1 + 1+ x x   ) ) 3 − x  + ln + x = 1 ( ( ln + x ) Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) ∫ d/ 2 =  ( x − x ) dx  ∫  x4 − x2 +  +  2   x3 + x − x + dx = x4 − 2x2 + ∫ d ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = ln ( x − 1) 2 ∫ ( x − 1) dx + 2 ∫ (x 2dx − 1) 2  1 1   ∫  x − − x + ÷dx + ∫  x − − x + ÷ dx    2 2 x −1  1 x −1  + ln + − − − ln = x +1  2 x +1 2  x −1 x +1  Ví dụ Tính tích phân sau a/ π ∫ 2sin x ( sin x − 1) + cosx c/ ∫ 4− x −1 b/ dx π ∫ 2sin π  2+ x ln  ÷dx  2− x  sin x dx x + 3cos x d/ ∫ s inx+ 1+tanx dx cos x Ví dụ Tính tích phân sau x2 −1 b/ ∫ x x + dx ( ) e2 ln x + dx a/ ∫ x ln x e π π + sin x dx c/ ∫ sin 2 x π d/ ∫ sin x.cosxdx B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng , ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt v (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = ∫ a g (t )dt = G (t ) v (a) v(b) v(a ) v (b) • Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(a) 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu Cách chọn a −x π π   x = a sin t ↔ − ≤ t ≤   x = a cost ↔ ≤ t ≤ π  2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) x2 − a2  a  π π ↔ t ∈ − ;  x = sin t  2   a π  ↔ t ∈ [ 0; π ] \   x = cost 2  a2 + x2   π π  x = a tan t ↔ t ∈  − ; ÷     x = a cot t ↔ t ∈ ( 0; π )  a+x a−x ∨ a−x a+x x=a.cos2t x=a+ ( b − a ) sin t ( x − a) ( b − x) b Quan trọng em phải nhận dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : β β β 1 1 dx = ∫ du ∫ ax + bx + c dx ( ∆ < ) = α  ∫ 2 aα u +k b   −∆   *α  a  x+ ÷ +  ÷  2a   2a       b −∆ , du = dx ÷ Với :  u = x+ , k =  ÷ 2a 2a   β dx ∫ 2 2k +1 ( k ∈ Z ) * áp dụng để giải toán tổng quát : α (a +x ) β * β ∫ + 2x − x2 α dx = ∫ α ( 3) − ( x − 1) dx Từ suy cách đặt : x − = sin t 3/ Một số ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ − x dx b/ ∫ Giải 1 − 2x c/ dx ∫ π π   a/ Đặt x=sint với : t ∈  − ;   2  x = ↔ sin t = → t =  π • Suy : dx=costdt :   x = ↔ sin t = → t =  2 2 • Do : f(x)dx= − x dx = − sin tcostdt=cos tdt = ( + cos2t ) dt b/ Đặt : x = Trang π • Vậy : ∫ f ( x)dx = ∫ π  π  π −1 ÷ =  − ÷=  2 2 ( + cos2t ) dt =  t + sin 2t   2  π π sin t t ∈  − ;   2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 + x − x2 dx Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )  x=0 ↔ sint=0 → t=0  • Suy : dx = costdt ⇒  x= ↔ = sin t → t = π  2 2  • Do : 2 ∫ − 2x2 dx = ∫    ÷− x  2 dx = π π π 1 π costdt = ∫ dt = t = 2 20 − sin t ∫ c/ Vì : + x − x = − ( x − 1) Cho nên : π π x −1   • Đặt : x − = 2sin t t ∈  − ;  ↔ sin t = ( *)   −1   x = ↔ sin t = = → t =   π ⇒ t ∈ 0;  → cost>0 • Suy : dx= costdt :   6  x = ↔ sin t = − = → t = π  2  1 dx = dx = cos tdt = dt • Do : f(x)dx= + x − x ( − sin t ) − ( x − 1) • Vậy : ∫ π π π f ( x)dx = ∫ dt = t = 0 Ví dụ 2: Tính tích phân sau a/ ∫ b a − x2 b/ ∫ x + x + dx 12 x − x − 5dx dx c/ ∫ x − 4x + d/ * Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa ( ∫ ( a + x2 ) dx ) x + a , a − x , ta sử dụng phương pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t) Ví dụ : Tính tích phân sau ∫ x2 + dx Giải : • Đặt : x + = x − t ⇒ x = t −1 2t  x = → t = −1; x = → t = −  • Khi :  t2 +1  dx = 2t  • Do : ∫ x2 + dx = 1− ∫ −1 −2t t + dt = t + 2t 1− ∫ −1 dt 1− = ln t = − ln t −1 ( ) −1 2 Ví dụ 2: Tính tích phân : I = ∫ x − x dx Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) π  − cos4t  2 2 2 • Do : f(x)dx= x − x dx = sin t − sin tcostdt=sin t cos tdt =  ÷dt   π π 12 1 1π π  = • Vậy : I= ∫ f ( x)dx = ∫ ( − cos4t ) dt =  t − sin 4t ÷ = 80 8  16 • Đặt : t=sinx , suy dt=cosxdx x=0,t=0 ; Khi x=1 , t= II Đổi biến số dạng Quy tắc : ( Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt u (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = a ∫ g (t ) dt = G (t ) u(a) u (b) u (a ) u (b) • Kết luận : I= G (t ) u (a) Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ β A DẠNG : I= ∫ α P ( x) dx ax+b ( a ≠ 0) β * Chú ý đến công thức : β m m dx = ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc ∫ α a α ax+b ta chia tử cho mẫu dẫn đến β β β β P ( x) m ∫ ax+b dx = α Q( x) + ax+b dx = α Q( x)dx + mα ax+b dx ∫ ∫ ∫ α x3 dx Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ 2x + Giải Ta có : f ( x) = Do : x 27 = x2 − x + − 2x + 8 2x + 2 x3 27  27 13 27 1 1 3 2 dx = ∫  x − x + − ∫ x +  8 x + ÷dx =  x − x + x − 16 ln x + ÷ = − − 16 ln 35    Ví dụ 2: Tính tích phân : I= ∫ x2 − dx x +1 Giải Ta có : f(x)= Trang x −5 = x −1− x +1 x +1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) ∫ Do : x2 − dx = x +1 β B DẠNG : ∫ ax α   1 ∫  x − − x + ÷dx =  x     +1   − x − ln x + ÷ = − + ln   ÷ ÷    P( x) dx + bx + c Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt β Công thức cần lưu ý : β u '( x ) ∫ u ( x) dx = ln u( x) α α Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) x + 11 Ví dụ 3: Tính tích phân : I= ∫ x + x + dx Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 3) + B ( x + ) x + 11 x + 11 A B = = + = x + x + ( x + 2)( x + 3) x + x + ( x + 2)( x + 3) Ta có : f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy B=1 + x+2 x+3 1 x + 11   dx = ∫  + Vậy : ∫ x + x + ÷dx = ( 3ln x + + ln x + ) = ln − ln x+2 x+3 0 Do : f(x)= Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) ( x + 5) + 2x + 2x + 1 Ta có : f(x)= x + x + = x + x + + x + x + = x + x + + x + − x + ( )( ) Do : I= ∫ 2x + 1   x+2  f ( x)dx = ∫  2 + − ÷dx =  ln x + x + + ln x + 5x + x + x +  x+3  0 1 ÷ = ln − ln  Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm kép β Cơng thức cần ý : β u '( x )dx = ln ( u ( x) ) ∫ u ( x) α α Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t x3 Ví dụ : Tính tích phân sau : I= ∫ x + x + dx Giải x 3 x dx Ta có : ∫ x + x + dx = ∫ 0 ( x + 1) Đặt : t=x+1 suy : dx=dt ; x=t-1 : x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do : ∫ ( x + 1) x3 dx = ∫ ( t − 1) t2 1 1  1 dt = ∫  t − + − ÷dt =  t − 3t + ln t + ÷ = ln − t t  t1 2 1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 4x Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I= ∫ x − x + dx Giải 4x 4x Ta có : x − x + = x − ( )  x = ↔ t = −1 x = ↔ t = 1 1 ( t + 1) 4x 4x 1 1   Do : ∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 dt = ∫  + ÷dt =  ln t − ÷ = −2 4x − 4x +1 t t t  t  −1  0 ( x − 1) −1 −1  Đặt : t= 2x-1 suy : dt = 2dx → dx = dt ;  Tam thức : f ( x) = ax + bx + c vô nghiệm : b  u = x + 2a P( x) P ( x)  = ; 2 2 Ta viết : f(x)=  b   −∆   a ( u + k ) k = −∆  a  x + ÷ +  ÷  2a  2a   2a      Khi : Đặt u= ktant x Ví dụ 6: Tính tích phân : I= ∫ x + x + dx Giải x x • Ta có : ∫ x + x + dx = ∫ x + 2 + dx ) 0 (  x = ↔ tan t = • Đặt : x+2=tant , suy : dx= cos 2t dt ; ⇒  x = ↔ tan t =  t2 t tan t − dt  sin t  dx = ∫ = ∫ − ÷dt = ( − ln cost − 2t ) ( 1) • Do : ∫ 2 t1 + tan t cos t t1  cost  ( x + 2) + t1 x t2 1  2  tan t = ↔ + tan t = ↔ cos t = → cost1 = Từ :  1  tan t = ↔ + tan t = 17 ↔ cos 2t = → cost =  17 17  t2 cost • Vậy : ( − ln cost − 2t ) t = − ( ln cost − 2t2 ) − ( ln cos t1 − 2t1 )  = − ln cost2 + ( t2 − t1 )   1 cost 1 = ( arctan4-arctan2 ) − ln • ⇔ − ln cost2 + ( t2 − t1 ) = ( arctan4-arctan2 ) − ln 17 17 Ví dụ 7: Tính tích phân sau : I= x3 + x + x + dx ∫ x2 + Giải x + 2x + 4x + = x+2+ 2 x +4 x +4 2 x + 2x + 4x +  dx  1 2 dx = ∫  x + + = + J (1) ã Do ú : ữdx = x + x ÷ + ∫ 2 x +4 x +4 x +4 2  0 • Ta có : Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Tính tích phân J= ∫ x + dx x = → t =   π π ↔ t ∈ 0;  → cost>0 • Đặt : x=2tant suy : dx = cos 2t dt ;   4 x = → t =  π π π 1 14 π dt = ∫ dt = t = • Khi : ∫ dx = ∫ 2 x +4 + tan t cos t 20 0 π • Thay vào (1) : I = + β P( x) dx C DẠNG : ∫ α ax + bx + cx + d Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có nghiệm bội ba β Cơng thức cần ý : ∫x m dx = α 1 β m −1 1− m x α Ví dụ 8: Tính tích phân : I= x ∫ ( x + 1) dx Giải Cách 1: • Đặt : x+1=t , suy x=t-1 : x=0 t=1 ; x=1 t=2 • Do : x ∫ ( x + 1) 2 t −1 1 1  1 12 dt = ∫  − ÷dt =  − + ÷ = t t t   t 2t 1 1 dx = ∫ Cách 2: ( x + 1) − x 1 • Ta có : x + = x + = x + − x + ( ) ( ) ( ) ( )   1  1 1 dx = ∫  − dx =  − + = • Do : ∫ 3 2 ( x + 1) ( x + 1)   x + ( x + 1)   ( x + 1) 0     x dx Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ −1 ( x − 1) x Giải • Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 : x=-1 t=-2 x=0 t=-1 • Do : x4 ∫ ( x − 1) −1 dx = −1 ∫ −2 ( t + 1) t3 −1 −1 t + 4t + 6t + 4t + 1  dt = ∫ dt = ∫  t + + + + ÷dt t t t t  −2 −2  −1 1 1  −1 33  1 ⇔ ∫  t + + + + ÷dt =  t + 4t + ln t − − ÷ = − ln • t t t  t t  −2 2 −2  2 Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I= ∫ ( x − 1) ( x + 1) dx Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định ) • Ta có : A ( x + 1) + B ( x − 1) ( x + 1) + C ( x − 1) A B C = + + = x − ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)  A = 1 = A  • Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số : 1 = −2C ⇔  Khi (1)  C = −   2 ( A + B) x + ( A + C ) x + A − B − C ⇒ A − B − C = ⇔ B = A − C −1 = + −1 = − ⇔ 4 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 1  dx = ∫  + − ÷dx ∫ ( x − 1) ( x + 1)  x − ( x + 1) ( x + 1) ÷ 2  1 1 3 ⇔ I =  ln ( x − 1) ( x + 1) +  = ln = ln 2 ( x + 1)  4 4 3 • Do : Cách 2: • Đặt : t=x+1, suy : x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4 • Khi : I= ∫ 4 dt t − ( t − 2) 1 1  = ∫ dt =  ∫ dt − ∫ dt ÷ t ( t − 2) t ( t − 2)  t ( t − 2) t ÷ 3   ( x − 1) ( x + 1) dx = ∫ 4 11  1  1 t−2 4 ⇔ I =  ∫ − ÷dt − ∫ dt ÷ =  ln − ln t ÷ = ln 22 2t −2 t  t  4 t 3 ( 3t − 4t ) −  3t − 4t −  =  3t − 4t − ( 3t + )  = 3t − 4t −  +  = Hoặc :  ÷    ÷ t − 2t t − 2t  t − 2t   t − 2t t  t − 2t  t t   3t − 4t     1  3 • Do : I= ∫  t − 2t −  t + t ÷÷dt =  ln t − 2t −  3ln t − t ÷÷ = ln      3 2 1  t − ( t − 4) =  Hoặc : t ( t − 2)  t ( t − 2)  • Do : I=  1 t+2 1 1 2 ÷=  − ÷=  − − 2÷ ÷ 4t −2 t  4t −2 t t    1 2 1 t −2 2 1 1 2 1 1 ∫  t − − t − t ÷dt =  ln t + t ÷ =  ln + − ln − ÷ =  ln − ln − ÷ 3        Ví dụ 11: Tính tích phân sau : I= x2 ∫ ( x − 1) ( x + ) dx 2 Giải Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 , dx=dt : x=2 t=1 ; x=3 t=2 ( t + 1) dt = t + 2t + dt dx = ∫ Do : ∫ ∫ t ( t + 3) t ( t + 3) ( x − 1) ( x + ) 1 x2 Cách 1; ( Hệ số bất định ) ( At + B ) ( t + 3) + Ct = ( A + C ) t + ( A + B ) t + 3B t + 2t + At + B C = + = Ta có : 2 t ( t + 3) t t +3 t ( t + 3) t ( t + 3) Trang 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 3 1 xdx 1 3 Do : ∫ x x − dx = ∫ x − − ∫ x dx =  ln ( x − 1) − ln x ÷ = ln − ln   ( ) 2 x +1 Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I= ∫ x x − dx ( ) Cách 1: A ( x − ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − ) x +1 x +1 A B C = = + + = Ta có : x ( x2 − 4) x ( x − 2) ( x + 2) x x − x + x ( x2 − 4) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Khi x=0 : 1= -4A suy : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy : B=3/8       Do : f(x) = −  ÷−  ÷+  ÷ 4 x  8 x−2 8 x+2 Vậy : 1 1 3 x +1 1 1 1  3 dx = − ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx =  − ln x − ln x − + ln x + ÷ = ∫ x ( x2 − 4) 42x x−2 x+2 8  2 = ln − ln − ln 8 Cách 2: Ta có : 2 x +1 1 1 1   x − ( x − 4) = + =  − ÷+  x ( x2 − 4) ( x2 − 4) x ( x2 − 4)  x − x +   x ( x2 − )   1 1 2x 1 ÷=  − + − ÷ ÷ 4 x−2 x+2 x −4 x  4 x +1  1 2x 1 1 x − 4 Do : ∫ x x − dx = ∫  x − − x + + x − − x ÷dx =  ln x + + ln ( x − ) − ln x   ( )   3 x2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau : ∫ x − x + dx )( ) ( Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 1) ( x + ) + B ( x − 1) ( x + ) + C ( x − 1) x2 x2 A B C = = + + = ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x − x + x + ( x − 1) ( x + ) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy : A=1/2 Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy : B=-1/2 Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy : C=-5/4 Do : 3 x2 1   x −1 3 1 dx = ∫  − − dx − ln x +  = ln ÷ =  ln I= ∫ x − x + 2 x −1 x +1 x +  )( )  x +1 2 2 ( 2 Cách 2.( Nhẩy tầng lầu ) Trang 12 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Ta có : x2 x2 −1 + 1 1 x ( x + 1) − ( x − 1) ( x + ) = = + = + ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) x + ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x + 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) 1 x  1  1 1   +  − + 1 +  − = ÷− x + 2  ( x − 1) ( x + ) x +  x + 2   x − x +  x +   = Từ suy kết β D DẠNG ∫ ax α R ( x) dx + bx + c Những dạng , gần đề thi đại học cho ( Nhưng khơng khơng cho ) , đưa số đề thi thi năm trường đề thi riêng , mong em học sinh ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho thân Sau tơi lấy số ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân sau : a 1 ∫ ( x + 3x + ) + x2 b ∫ + x3 dx dx Giải 1 a ∫ ( x + 3x + ) dx Ta có :  1  x + x + = ( x + 1) ( x + ) ⇒ f ( x) = = = −  2 ( x + 3x + ) ( x + 1) ( x + )   ( x + 1) ( x + )    1 1   = + − = + − 2 − ÷ Vậy : 2 2  x +1 x +  ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ∫ (x + 3x + ) 2  1   1 x +1  dx = ∫  + − 2 − − − ln ÷ dx =  − 2 x+2  x + x +   x +1 x + ( x + 2)  ( x + 1)   1 1 ÷0 = + ln  1 + x2 b ∫ + x3 dx + x2 − x + x2 + x − x + x2 x f ( x) = = = + Ta có : 1+ x ( + x ) ( − x + x2 ) ( + x ) ( − x + x2 ) ( + x ) ( − x + x2 ) ⇔ f ( x) = x 2x   + ⇒ ∫ + dx ÷ 1+ x 1+ x + x3   x +1 Ví dụ Tính tích phân sau a ∫ 1 x2 −1 dx x4 − x2 + x4 + b ∫ x + dx Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 13 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) a ∫ x2 −1 dx Chia tử mẫu cho x ≠ , ta có : x − x +1 x2 ⇒ f ( x) = x2 + −1 x 1− ∫ f ( x)dx = ∫ 1   1 − ÷dx  x     x + ÷− x   ( 1) x =1 → t = 1   2 Đặt : t = x + ⇒ x + = t − 2, dt = 1 − ÷dx ↔  x = → t =  x x  x    Vậy : 3 ∫ ∫t f ( x)dx = dt = −3 ∫ ( t − 3) ( t + 3) dt =   ∫ t− −  ÷dt t+ 3  7−4  3=  ln − ln ÷=  ÷ ln + )  3 t− I= ln t+ ( 1 x4 + b ∫ x + dx Vì : )  x − = ( x ) − = ( x − 1) ( x + x + 1)   2  x − = ( x ) − = t − 1( t = x )  Cho nên :  1  x4 + x4 − x2 + x2  − 3x dx f ( x) = = − ⇒ f ( x)dx = ∫  x + ( x3 ) + 1 x + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x ) + ∫ 0   1 1 Vậy : I = arctan x − arctan ( 3x ) = arctan1- arctan3 = π − arctan3 Ví dụ Tính tích phân sau 1 x2 + x2 −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx 0 b ∫x 1 dx +1 Giải 1 x +1 x −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx Ta có : 0 1 1− 2 x +1 x , g ( x) = x − = x f ( x) = = Cho nên x + x2 + x + x2 + x2 x2  1   2 t = x + x ⇒ dt =  − x ÷dx, x + x = t − 2, x = → t = 2, x = → t =   Đặt :   1   2 t = x − ⇒ dt =  + ÷dx, x + = t + 2, x = → t = 0, x = → t = x x  x   1+ 2 ⇔∫ 5 5 Vậy : 1  1  t−  dt  f ( x) dx = ∫  dt = − ln ÷=  ÷dt = t −2 ∫ t− t+ 2 ∫ t − t +  2 t+ 2 2 2 Trang 14 ( )( ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 2 dt t +2 ⇔ ∫ g ( x)dx = ∫ ( 1) 3 du ↔ t = → u = 0, t = → u = arctan = u1 cos u u1 u1 2du 2 u1 Do (1) ⇔ ∫ cos 2u + tan u = ∫ du = u = u1 ( ) 0 Đặt : t = tan u → dt = 2 1 b ∫ dx Ta có : F ( x) = = x +1 x +1 1  + x2 + − x2   ÷= 2 x4 +1   x2 + x2 −1  −  ÷ = ( f ( x) − g ( x) )  x4 +1 x4 +1  Đã tính ( phần a) Ví dụ Tính tích phân sau a ∫(x c 1− ∫ x −1 dx − x + 1) ( x − x + 1) b ∫x dx − 4x2 + x7 dx d I = ∫ + x − 2x x2 + dx x4 − x2 + Giải a ∫(x x −1 dx Ta có : − x + 1) ( x − x + 1)   2  − ÷dx x −1  x  x f ( x) = = ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ 1   ( x − 5x + 1) ( x − 3x + 1)  x + −  x +  1 x+ − ÷ x + − ÷  ÷ ÷  x x −3 x x      1   Đặt : t = x + → dt = 1 − ÷dx , x = → t = 2, x = → t = x  x  1− ( 1) Vậy (1) trở thành : 5 2 1  t −5 1 ∫ ( t − 5) ( t − 3) = ∫  t − − t − ÷dt = ln t − = ( ln − ln 3) = ln  2 dt b ∫x 1 1 1  dx Ta có : f ( x) = x − x + = x − x − =  x − − x − ÷  − 4x + ( )( )  Do :  ∫ f ( x)dx = ∫  x  3 2 1  − ÷dx = I − J − x −1  ( 1) Với : 5 1 2 1  x− 37 − 20 I =∫ dx = ∫ dx = ∫  x − − x + ÷dx = ln x + 3 = ln 65 − 3 3 x+  x −3 x− 2 2 ( )( ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( ) Trang 15 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 5 1 1 2 1  x −1   15 J =∫ dx = ∫ dx = ∫  − =  ln − ln ÷ = ln ÷dx = ln x −1 x − 1) ( x + 1)  x −1 x +1  x +1  5 0 ( 2 c 1− ∫ x2 + dx x − x +1 x Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a Chỉ khác đặt : t = x − , kết x7 x4 x 3dx d I = ∫ + x − 2x dx = ∫ 2 x −1 ( ) ( 1) dt = 3x dx, x = → t = 15; x = → t = 80  Đặt : t = x − ⇒  f ( x)dx = x 3x3dx = ( t + 1) dt =  +  dt  ÷  ( x − 1) t2  t t2   80 1  1  80 16 13 I = ∫  + ÷dt =  ln t − ÷ = ln + Vậy : t t  3 t  15 3 720 15  β E TRƯỜNG HỢP : R ( x) ∫ Q( x) dx ( Với Q(x) có bậc cao ) α Ở lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp bậc mẫu tới hai bậc tinh ý nhận tính chất đặc biệt hàm số dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn Phương pháp chung , khéo léo cách giải hay Sau đay minh họa số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x x + ( ) b x2 + ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Giải dx a ∫ x x + Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có : ( ) A Bx + Cx + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E ) f ( x) = = + = = x4 + x ( x + 1) x x ( x + 1) A + B = A =1 C = 0, D =  B = −1 ( A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A ⇒  x3  ⇔ f ( x) = ⇔ ⇒ f ( x) = −  x x +1 x ( x + 1) E = C = 0, D = 0, A =1 E =   Nhưng ta tinh ý cách làm sau hay Vì x x3 cách bậc , mặt khác x ∈ [ 1; 2] ⇒ x ≠ Cho nên ta nhân tử mẫu với x ≠ Khi f ( x ) = Trang 16 x3 3 Mặt khác d ( x ) = x dx ⇔ dt = x dx 4 x ( x + 1) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( t = x ) , : Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) f ( x) dx = x 3dx dt 1  = =  − ÷ = f (t ) Bài toán trở nên đơn giản 4 x ( x + 1) t ( t + 1)  t t +  nhiều ( Các em giải tiếp ) b x2 ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Nhận xét : * Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm sau : - f ( x) = x2 + A = ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) 3 + B ( x − 1) + C D + x −1 x + 3 - Sau quy đồng mẫu số , đồng hệ số hai tử số , ta có : A = , B = , C = − D =  Do : I = ∫   ( x − 1)  + ( x − 1) + 5 − 32 ( x − 1) 32 ( x + 3) 32  ÷dx ÷   1 5 = − − + ln x − − ln x +  = ln ( x − 1) 32 32  ( x − 1)  32 28   Ví dụ Tính tích phân sau : d ∫ x2 + b ∫ dx x +1 1 x3 (1+ x ) 2 x4 − a ∫ dx x −1 dx e ∫ x + 3x + ( 1+ x ) dx c ∫ x + x ( ) dx f ∫ 3 ( x−x ) x4 dx Giải a     3 x4 − x4 + x2 + x2 + ÷ x2 1 ÷   ∫ x6 − dx = ∫  ( x − 1) ( x + x + 1) −   ÷dx = ∫ x − dx + ∫    + x3 − − x3 + ÷dx 1 2  ( x ) −1 ÷ ( x ) − 1 ÷         Tính J : J= artanx = artan3-artan2 2 dt = x dx, x = → t = 8; x = → t = 27  Tính K Đặt t = x ⇒  g ( x)dx = x dx = dt = 1  −  dt  ÷  x3 − ( t − 1)  t − t +   27 27 t − 27 117  1  − = ln Do : K= ∫ g ( x)dx = ∫  ÷dt = ( ln t − − ln t + ) = ln  t −1 t +1  6 t + 98 3 1 Tính E= ∫ x3 − dx = ∫ x − x + x + dx )( ) 2 ( Ta có : h( x) = x − ( x − 1) x2 x2 − = = − ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x − ( x − 1) ( x + x + 1) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 17 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) = ( x − 1) ( x + 1) = x − x + = x −  x + +  x2 −  ÷ x − ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − x + x + x3 −  x + x + x + x +  3x ( x + 1) I = ∫ dx − ∫ dx − ∫ dx 2 x −1 2 x + x +1  Vậy : 1  3 ÷ x+ ÷ + 2    3 1 28 13 = ln ( x − 1) − ln ( x + x + 1) − F = ln − ln − F ( ) 2 3 3  dt dx =  cos 2t Tính F : Đặt : x + = tan t ⇒  2  x = → tan t = → t = a; x = → tan t = 10 → t = b  3  b Do F= ∫ a dt b b 5 10   cos 2t = ∫ dt = t = b − a  t ant= → t = a = artan ; b = artan ÷ a 3 3  + tan t ) a ( Thay vào (2) ta có kết 2 x2 + x2 + 1 b ∫ x + dx = ∫ ( x + 1) ( x − x + 1) dx = ∫ 2 dx = ∫ ( x + x + 1) ( x − x + 1) dx 1 ( x − 1) − x 1 Ax+B Cx + D Ta có : ( x + x + 1) ( x − x + 1) = x + x + + x − x + ( A + C ) x3 + ( B − A + C + D ) x + ( A − B + C + D ) x + ( B + D ) = x4 − x2 + 1  A = −  A + C =  A = −C C = B − A + C + D = 1 − 2C =    ⇔ ⇔ Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  A − B + C + D = − B + D = D = B + D = B + D =     B =  2  1 1− x x +1 dx + ∫ dx ÷ = ( J + K ) ( 1) Vậy : I =  ∫ 2  x + x +1 x − x +1  Tính J= 2 2 −x +1 2x +1− 2x +1 1 dx = − ln x + x + + E ∫ x + x + dx = − ∫ x2 + x + dx = − ∫ x + x + dx + ∫ 2 1 1  1  3 x+ ÷ + ÷  2    dx ∫ Tính E =     , học sinh tự tính cách đặt : x + = tan t ÷ 2 x+ ÷ + 2    Tính K Trang 18 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( 2) Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) K =∫ 2 x +1 2x −1+ 2x −1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ln x − x + + F 2 x − x +1 x − x +1 x − x +1 20 1  3 x− ÷ + ÷  2    ( 2) dx ∫ 21  3 Tính F= , học sinh tự tính cách đặt : x − = tan t 1 ÷ 2 x− ÷ + 2    4 2 dx 3x  d ( x ) d ( x )   x  32 ÷ = ln  = ∫ dx = ∫  − c ∫ ÷ = ln x ( + x4 ) 31 x + x ÷  + x  17 x (1+ x )   1 2 x x dx = ∫ xdx ( 1) Đặt : t = + x ⇒  x = t − 1; dt = xdx 3 d ∫  2 ( + x2 ) (1+ x )  x = → t = 1, x = → t = 2 t −1 1 1  1  13 Do I = ∫ dt = ∫  − ÷dt =  − + ÷ = t t t   t 4t  16 1 e ∫ x + 3x2 + (1+ x )  ( + x2 )  1 x2 ÷ x2 dx = ∫  + dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K ( 1)  ( + x2 ) ( + x2 ) ÷ + x2 0 ( 1+ x )   Tính J : Bằng cách đặt x = tan t ⇒ J = π   1  ÷dx = E + F ( ) − Tính K= ∫  2 ÷ ( 1+ x ) (1+ x )     dx = cos 2t dt  x = tan t ↔  Tính E : Bằng cách đặt  x = → t = 0; x = → t = π   1 π π π     Vậy : E = ∫  + x ÷ dx = ∫  + tan t ÷ cos 2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt   0 0 0 1 1 1 1 cos 4t π = ∫ ( + cos2t ) dt = 40 π 1 1π 1 π +2   t + sin 2t ÷ =  + ÷ = 4 16  4 2 Tính F Tương tự tính E ;   dx = cos 2t dt  x = tan t ↔  Bằng cách đặt  x = → t = 0; x = → t = π   π π π     Vậy : F = ∫  + x ÷ dx = ∫  + tan t ÷ cos2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt   0 0 0 1 1 1 1 cos 6t Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 19 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) π π π 1  + cos4t  = ∫ ( + cos2t ) dt = ∫  + 2cos2t + dt ÷ 4= 80 0  π π 1 1 π   3π +  ÷ ∫ ( + cos 2t + cos4t ) dt = 16  3t + 2sin 2t + sin 4t ÷ = 16  +  = 64 16   f ∫ 3 ( x−x ) x4 1  x − x3    dx dx = ∫  ÷ dx = ∫  − 1÷ x  x  x x 1 1 x 3 dx   dt = − x 1    Đặt : t =  − 1÷⇒ t + = ⇔  x x   x = → t = 8; x = → t =     3 48 3  24  468 I = − ∫ t ( t + 1) dt = ∫  t + t ÷dt =  t + t ÷ = 27 + = 16  + ÷ = Khi 0 7  4  7 0 * Chú ý : Cịn có cách khác  1 3  − 3÷ 1  x ∈  ;1 → x ≠ Đặt x = ⇒ dx = − dt ; f ( x )dx =  t t  Vì : 3  t t2 1  ÷ t  = −t ( t − t ) 3 1 1 3  dt = dt = −t  − ÷ dt (2) Đặt : u = − ⇔ = − u; du = dt t t t  t  Ví dụ Tính tích phân sau a ∫ 1 a p e p +2 x2 x p+2 +1 ∫ b dx x dx ( x2 + a2 ) 2a x+e c ∫ e dx x d ∫x 2ax − x dx Giải p a e p +2 ∫ x x p p+2 +1 dx ( ĐHTNguyên-98) : Ta có : f ( x )dx = x dx +  p2  x ÷ +1    p  e dt = x dx dt  t=x =x ⇒ ⇔I= ∫ - Đặt : t +1  x = → t = 1; x = e p + → t = e  du  u1 u1  dt = cos 2u du π ⇔I=∫ = ∫ du = − u1 - Đặt : t = tan u ⇒  2 π  π cos u ( + tan u ) π t = → u = , t = e → u = u1 4   π - Từ : tan u = e ⇒ u = u1 = artan e ⇔ I = − artan e p+2 Trang 20 t ( t −t)  1 dt  − ÷dt = − t  t  p +1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) a b ∫ x dx (x +a 2 ) a Vậy : I = ∫ dt π  dx=a cos 2t ; x = → t = 0, x = a → t =  3  Đặt : x = atant ⇒  f ( x) = x dx = a tan t a dt = a cos t.tan tdt  cos 2t x2 + a2 ) a3   (   ÷   cos t   π π π π ( − cos t ) sin t dt = sin t sin t f ( x)dx = ∫ a cos t.tan tdt = ∫ a cos t dt = ∫ a dt =a ∫ cos t cos t cos 2t 0 0 3 π   du = − s intdt;t= → u = ; t = → u =  - Đặt : cost=u ⇒   f (t )dt = ( − u ) − du = 1 −  du ( )  2÷  u2  u   Vậy : I = 2 ∫  1 2 3 −4   + −2= −2= −2=  − ÷du =  u + ÷ = u 2 2  u   1  dt = e x dx; x = → t = 1; x = → t = e x x  e x + e dx = ∫ e x e e dx Đặt : t = e x ⇒  c ∫ x ex t 0  f ( x)dx = e e dx = e dt  e e I = ∫ f ( x)dx = ∫ et dt = et = ee − e Vậy : 1 2a d 2a ∫x 2ax − x dx = ∫x a − ( x − a ) dx π π  dx = a.costdt,x=0 → t=- ;x=2a → t= Đặt : x − a = a.sin t ⇒   f ( x)dx = ( a + a.sin t ) a 2cos 2t a.costdt  Vậy : π π π  π  2 2 + cos2t   3  2  I = a ∫ ( + sin t ) cos tdt = a  ∫ cos tdt + ∫ cos t sin tdt  = a  ∫ dt − ∫ cos td ( cost )  π π π − − − −π   −π   2   2   π π  1     π π  π  = a   t + sin 2t ÷ − cos3t  = a   + ÷ = a π 2   −π   2  −   2  π Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x −x c ∫ b x3 − x (x + 1) ∫ dx d ∫ x dx (1+ x ) + x3 dx x4 Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 21 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 3 dx a ∫ x5 − x = ∫ x x − x + x + dx ( )( ) 2 ( 1) A B Cx + D E Xét : f ( x) = x ( x − 1) ( x + x + 1) = x + x + x + x + + x − = A ( x + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x + x + 1) + ( Cx + D ) x ( x − 1) + E ( x + x + 1) x x ( x − 1) ( x + x + 1) ( B + C + E ) x + ( A + D − C + E ) x + ( E − D ) x − Bx − A = x ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  D =  B + C + E = C = − E A + D −C + E =  E + E + E = C = − 1  − x+      3+ ⇔ B = ⇔  B = ⇒ f ( x) = − + 23 E − D = x x + x +1 x −1 B = E = D    E =  A = −1  A = −1     A = −1   1   3  −3x+3 ÷dx =  − −  x −  + 1  dx + Vậy : I = ∫  − + ÷ ∫  x  x + x + ÷ ( x − 1) ÷  ÷ x x + x +1 x −1 ÷   2 2    1 ( x − 1) + arctan 2x+1  dx 1 3 =  − ln x + x + + ln x − ÷ − ∫ =  + ln ÷ 2  3 ÷2 x 2 2     x x + x +1  ÷ x+ ÷ + 2    1   + − arctan  arctan ÷ 3 3 1 x dx x4 = ∫ 3x dx ( 1) 2 b ∫ ( + x4 ) (1+ x ) = dt = 3x dx, x = → t = 1; x = → t =  Đặt : t = + x ⇒   t −1  1   f ( x) dx =  t ÷dt =  t − t ÷dt      1  1 1  1 Vậy : I = ∫  t − t ÷dt =  ln t + t ÷ =  ln − ÷       1 ( x − 2) c ∫ 2 dx = ∫ 2 xdx ( x + 1) ( x + 1) x3 − x Trang 22 ( 1) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )  dt = xdx; x = → t = 1; x = → t =  Đặt : t = + x ⇔ x − = t − ⇒  f ( x)dx =  t −  dt =  −  dt  ÷  ÷   t2   t t2   1  1 3 1 3 I = ∫  − ÷dt =  ln t + ÷ =  ln − ÷ Vậy : 2t t  2 t  2 2 2 d ∫ 2 + x3 + x3 dx = ∫ x dx x4 x6 ( 1)  2tdt = x dx; x = → t = 2, x = → t =   3 Đặt : t = + x ↔ t = + x ↔  f ( x)dx = 1 + x3 3x dx = t 2tdt = t dt  x6 ( t − 1) ( t − 1)   Vậy : I= = 2  1 1  2 1 1   ∫  t + +  t − − t + ÷÷ dt =  ∫  t + − t − ÷  =       2    1   + − −  ÷÷ ∫  ( t + 1) ( t − 1)  t − t +  ÷dt 2  1 1 t −   −2t t −1  − ÷ − − − ln =  − ln = + ln 2 −  t +1 t −1 t +   ( t − 1) t +1 ÷ 24     ( Ví dụ Tính tích phân sau : ∫x a ∫ c dx x2 + x5 − x3 x2 + ∫ b d dx (x ) − x ) dx x2 + ∫ (1− x ) dx Giải a ∫x dx x +9 = ∫x xdx x2 + ( 1) 5 t = x + ↔ tdt = xdx, x = t − dt dt  Đặt : t = x + ⇒  Do : I = ∫ t t − = ∫ t ( t − 3) ( t + 3) ) 4 (  x = → t = 4, x = → t =  A ( t − ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t A B C = + + = Ta có : f (t ) = t ( t − 3) ( t + 3) t t − t + t ( t − 9) Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm vào hai tử số ta có : - Với x=0 : -9A=1 → A = − 9 - Với x=3 : 9B=1 → B = 5 t − 144 1  1   I = ∫  − + + dt  =  ln ( t − ) − ln t  = ln = ln Vậy : ÷ 4 9 4  t t −3 t +3   t 35 - Với x=-3 : 9C=1 → C = * Chú ý : Nếu theo phương pháp chung đặt : x = 3sin t → dx = 3cos tdt Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 23 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )   x = → = 3sin t ↔ sin t =  Khi :  Như ta không sử dụng phương pháp  x = → = 3sin t ↔ sin t = >   b ∫ (x − x ) dx x +1 1 x2 =∫ x +1 dx − ∫ x x +1 dx = J − K ( 1) * Để tính J : π  dx = cos 2t dt , x = → t = 0; x = → t =  Đặt : x = tan t ⇒  Tính tích phân khơng đơn tan t dt  tan t cos t = dt  f ( x)dx = cost + tan t  giản , ta phải có cách khác x2 - Từ : g ( x) = x2 + = x2 + −1 x2 + = x2 + − 1 x2 + 1 ⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x + 1dx − ∫ 0 x2 + - Hai tích phân tính 1  1 x2 +/ Tính : E = ∫ x + 1dx =x x + − ∫ dx = −  ∫ x + 1dx − ∫ dx ÷ 0 x +1 x +1  0 0 = − E + ln x + x + ⇒ E = + ln + ⇔ E = + ln + 2 1 1 x dx = x + = − ; ∫ dx = ln x + x + = ln + * Tính K= ∫ 0 x +1 x2 + 0 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2 + ln + + ln + = + ln + 2 2 3 x − x3 x5 x3 c ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = J − K ( 1) x +1 x +1 x +1 0 2  x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t =   2 - Tính J: Đặt t = x + ⇒  x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 2t + 1) dt  f ( x)dx = t  x +1  Do : I= 2 1   Suy : J= ∫ ( t − 2t + 1) dt =  t − t + t ÷ = 1 5 38 15  x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t =  2 - Tính K: Đặt t = x + ⇒  x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 1) dt  f ( x)dx = t x +1  1  Suy : K= ∫ ( t − 1) dt =  t − t ÷ = 3 1 28 48 16 Vậy : I= + = = 15 15 Trang 24 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ) dx Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) d ∫ (1− x ) π  dx = costdt x=0 → t=0;x=1 → t= dx Đặt : x = sin t →   f ( x )dx = ( − x ) dx = cos 6tcostdt=cos 4tdt  π 2 π π Do I= ∫  − cos2t  dt = ∫ 1 − cos 2t + + cos4t  dt = ∫  − cos2t+ cos4t  dt  ÷  ÷  ÷   0  4  π 3π 3  =  t − sin 2t + sin 4t ÷ = 32 4  Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 25 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Trang 26 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ... trung bình tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp , cẩn : • Kỹ : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương nhiều hàm số khác... mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng • Kiến thức : Như trình bày phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc kiến thức Vi phân , cơng thức phép tốn lũy thừa , phép toán bậc... Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u''(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx

Ngày đăng: 17/01/2014, 15:55

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan