Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết và ôn tập cho bộ môn Giải tích2
ch-ơng trình giáo dục đại học ngành tất cả các ngành của ĐHXD, trừ ngành kiến trúc đề c-ơng chi tiết học phần học phần: Giải tích II 1. Tên học phần : Giải tích II 2. Số tín chỉ : 4 tín chỉ 3. Trình độ : Sinh viên năm thứ nhất tất cả các ngành của ĐHXD, trừ ngành kiến trúc. 4. Phân bố thời gian: Lí thuyết: 37 tiết Thực hành, thảo luận: 38 tiết Tiểu luận, bài tập lớn: không 5. Điều kiện tiên quyết : Đại số và Giải tích I 6. Mô tả vắn tắt nội dung học phần: Hàm nhiều biến, hàm véc tơ. Tích phân hàm nhiều biến. Ph-ơng trình vi phân và chuỗi. 7. Nhiệm vụ của sinh viên : Dự lớp: Có mặt ít nhất 80% số giờ quy định Chăm chỉ làm bài tập, hoàn thành ít nhất 75% các bài tập giảng viên yêu cầu 8. Tài liệu học tập : 1. N.N.cừ, N.V.Nghị, N.T.Thuần, T.Đ.Trọng Đại số. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2005. 2. Nguyễn Đình Trí Toán cao cấp, tập I,II,III. NXB Giáo dục, Hà Nội 2001. 9. Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên : Chuyên cần: có Thực hành, thảo luận: có Thi kết thúc học phần: có Tiểu luận, bài tập lớn: không Khác: không 10. Thang điểm : Điểm học phần là điểm thi kết thúc học phần. Việc chuyển thành điểm chữ theo quy định của Tr-ờng. Cụ thể hơn: Loại đạt: A (loại giỏi) t-ơng ứng với điểm thi 9 10. B (loại khá) t-ơng ứng với điểm thi 7 8. C (trung bình) t-ơng ứng với điểm thi 6. D (trung bình yếu) ứng với điểm thi 4 5. Loại không đạt: F (loại kém) t-ơng ứng với điểm thi < 4. 1 Đề c-ơng chi tiết môn học tên môn học: Giải tích II (4 tín chỉ - 75 tiết) Mục đích yêu cầu Trang bị các kiến thức cơ bản về giải tích hàm nhiều biến, hàm véc tơ cho học sinh để học sinh học tiếp các môn cơ sở và chuyên ngành. Những kiến thức đó cũng là nền tảng cơ bản giúp học sinh làm tốt công tác nghiên cứu khoa học sau này. Rèn luyện khả năng t- duy logic, kĩ năng tính toán và tác phong làm việc khoa học, chính xác, khả năng áp dụng toán học vào giải quyết các bài toán kĩ thuật, các vấn đề của thực tiễn. Ch-ơng I. Hàm nhiều biến, hàm véc tơ (17 tiết) I.1 ánh xạ R n R m và giới hạn, liên tục của ánh xạ (6 tiết) 1. Giới thiệu về chuẩn, chuẩn ơclit |x| = n i=1 x 2 i và khoảng cách trong R n d(x, y)=|x y|. Mở rộng các khái niệm tôpô đã biết của tập số thực trong giải tích I: Lân cận bán kính >0 của điểm a R n (còn gọi là hình cầu tâm a bán kính ) U (a)={y R n / |y a| <} hoặc {y R n /d(y, a) <} Điểm trong, điểm tụ, điểm biên và điểm cô lập của một tập hợp trong R n . Khái niệm về tập đóng: tập chứa mọi điểm tụ (nếu có), tập mở: mọi điểm của tập đó đều là điểm trong. Tập bị chặn (tập giới nội) trong R n nếu tập đó đ-ợc chứa trong hình cầu nào đó. Tập compắc trong không gian R n là tập đóng và giới nội. Hình hộp n chiều trong R n . 2. Giới hạn của dãy điểm trong R n . Phát biểu và chứng minh dãy {x (k) } k=1 hội tụ đến a R n khi và chỉ khi các dãy thành phần cũng hội tụ lim k x (k) = a lim k |x (k) a| =0 lim k x (k) i = a i i =1, 2, , n 3. ánh xạ f : A R m trong đó A R n là một tập gồm m ánh xạ f =(f 1 ,f 2 , , f m ),f i : A R,i=1, 2, , m ánh xạ f : A R m còn đ-ợc gọi là hàm véc tơ. Các ánh xạ thành phần f i : A R, trong đó A R n , đ-ợc gọi là hàm số n biến. 4. Định nghĩa giới hạn ánh xạ f =(f 1 ,f 2 , , f n ) tại điểm tụ a lim xa f (x)=b R m >0, U (a):|f(x) b| <x U (a) \{a} Định nghĩa đó t-ơng đ-ơng với giới hạn của tất cả các hàm thành phần lim xa f i (x)=b i với mọi i =1, 2, , m Cũng nh- hàm một biến, định nghĩa trên t-ơng đ-ơng với cách phát biểu định nghĩa giới hạn theo dãy điểm: lim xa f (x)=b khi và chỉ khi với mọi dãy {x (k) } k=1 hội tụ đến a, dãy ảnh t-ơng ứng {f (x (k) )} k=1 cũng hội tụ đến b. Tính chất của giới hạn lim xa (f + g)(x) = lim xa f (x) + lim xa g(x) , lim xa (f )(x)= lim xa f (x) 2 Với hàm nhiều biến, kí hiệu lim xa f(x)=u, lim xa g(x)=v, khi đó lim xa (f ã g)(x)=u ã v, lim xa f(x) g(x) = u v (v =0) Nguyên lí kẹp vẫn đúng với hàm nhiều biến: u(x) f(x) v(x), lim xa v(x) = lim xa v(x)=L lim xa f(x)=L Đặc biệt tích của một VCB và hàm giới nội cũng là VCB trong cùng một quá trình x a nào đó. Các ví dụ về giới hạn hàm véc tơ, hàm nhiều biến. 5. Định nghĩa ánh xạ liên tục tại một điểm, liên tục trên một miền. Sự t-ơng đ-ơng của ánh xạ liên tục với sự liên tục của tất cả các hàm thành phần. Tính chất của ánh xạ liên tục: Nếu f , g liên tục tại a khi đó f + g,f cũng liên tục tại a Phép hợp thành các ánh xạ liên tục cũng là ánh xạ liên tục. Đối với hàm nhiều biến, ngoài các phép tóan trên, phép nhân, chia các hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Hàm nhiều biến liên tục trên tập compắc, khi đó hàm đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (phát biểu không chứng minh). I.2 Đạo hàm ánh xạ (6 tiết) 1. Cho hàm nhiều biến f : U R,U R n là tập mở trong R n . Đạo hàm riêng hàm f(x 1 ,x 2 , , x n ) tại a U theo biến x i , kí hiệu f x i (a) hoặc f x i (a). Các ví dụ về các đạo hàm riêng. Các đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến 2 f x 2 i (a), 2 f x i x j (a), Phát biểu định lí Svác về tính đối xứng của các hàm riêng cấp hai. 2. Định nghĩa ánh xạ khả vi và đạo hàm ánh xạ Cho hàm véc tơ f =(f 1 ,f 2 , , f m ): U R m ,U R n là tập mở trong R n . Kí hiệu A là ma trận kiểu m ì n các đạo hàm riêng tại a U A = f 1 x 1 (a) f 1 x 2 (a) ããã f 1 x n (a) f 2 x 1 (a) f 2 x 2 (a) ããã f 2 x n (a) ãã ãã ãã ãã f m x 1 (a) f m x 2 (a) ããã f m x n (a) Ta cũng kí hiệu ánh xạ tuyến tính từ R n vào R m với ma trận A ở trên là A : R n R m . Hàm véc tơ f đ-ợc gọi là khả vi tại a U nếu f (x) f (a)=A(x a)+o(|x a|) hay lim xa f (x) f(a) A(x a) |x a| = 0 ánh xạ tuyến tính A : R n R m đ-ợc gọi là đạo hàm ánh xạ f tại a và kí hiệu f (a)=A hoặc Df (a)=A. Ma trận A đ-ợc gọi là ma trận Jacobi của đạo hàm f (a). Biểu thức A(x a) đ-ợc gọi là vi phân của f tại a, kí hiệu df (a). Xét các tr-ờng hợp đặc biệt khi f : R R cũng nh- f : R n R. Các ví dụ về ánh xạ khả vi và đạo hàm ánh xạ. Cho ví dụ về ánh xạ tồn tại các đạo hàm riêng nh-ng không khả vi. 3. Các tính chất của ánh xạ khả vi Chứng minh nếu hàm khả vi tại a thì liên tục tại a. Phát biểu không chứng minh mệnh đề: nếu các đạo hàm riêng liên tục tại a thì hàm khả vi tại a. Chứng minh tính tuyến tính của đạo hàm (f + g) (a)=f (a)+g (a), ( ã f) (a)= ã f (a). 3 Nêu quy tắc Leibnitz để tính đạo hàm của tích hai hàm nhiều biến f,g : R n R (f ã g) (a)=f (a)g( a)+f(a)g (a) Phát biểu và chứng minh quy tắc đạo hàm hàm hợp (f g) (a)=f (g( a)) ã g (a). 4. Định nghĩa đạo hàm theo h-ớng và chứng minh hàm khả vi thì tồn tại đạo hàm theo h-ớng, đồng thời f e (a)=f (a) ã e, e là véc tơ đơn vị chỉ h-ớng đạo hàm. Véc tơ građiên của hàm nhiều biến grad u =(u x 1 ,u x 2 , , u x n ). 5. Phát biểu không chứng minh định lí đạo hàm hàm ng-ợc det f (x) =0f 1 và (f 1 ) (x)= f f 1 (x) 1 Khái niệm về hàm ẩn y = f(x) từ hệ thức F(x, y)=0. Phát biểu không chứng minh định lí đạo hàm hàm ẩn f (x)=[F y ] 1 (x, y) F x (x, y) Nêu một vài tr-ờng hợp riêng của định lí đạo hàm hàm ẩn và các ví dụ Hệ thức F (x, y)=0kéo theo y (x)=F y 1 F x = F x F y Hệ thức F (x, y, z)=0kéo theo hàm ẩn (hàm thực 2 biến) z = f(x, y) và đạo hàm hàm ẩn z x = F x F z ,z y = F y F z Hệ thức F(x, y)=0, với F(x, y, u, v)= P (x, y, u, v),Q(x, y, u, v) xác định hàm ẩn là hàm véc tơ 2 biến f =(u, v)= (u(x, y),v(x, y) . Từ định lí đạo hàm hàm ẩn f = u x u y v x v y = P u P v Q u Q v 1 P x P y Q x Q y 6. Vi phân hàm số nhiều biến số. Vi phân toàn phần hàm số n biến và các ví dụ df (a)= n i=1 f x i (a)dx i = f x 1 (a)dx 1 + f x 2 (a)dx 2 + ããã+ f x n (a)dx n . Tính bất biến của vi phân cấp một. ứng dụng vi phân để tính gần đúng và các ví dụ. Vi phân cấp cao hàm số nhiều biến số. Đặc biệt vi phân cấp hai là dạng toàn ph-ơng của các biến dx i d 2 f(a)= n i=1 n j=1 f x i x j (a)dx i dx j . I.3 Cực trị hàm nhiều biến (5 tiết) 1. Định nghĩa cực trị tự do (cực trị địa ph-ơng). Phát biểu và chứng minh định lí về điều kiện cần để hàm đạt cực trị. 2. Phát biểu không chứng minh định lí về điều kiện đủ để hàm đạt cực trị (dựa vào dấu của dạng toàn ph-ơng d 2 f tại các điểm dừng). Các ví dụ áp dụng. 3. Khái niệm về cực trị có điều kiện (hay cực trị v-ớng). Phát biểu không chứng minh điều kiện cần để hàm đạt cực trị có điều kiện. Nêu các b-ớc trong quy tắc tìm cực trị có điều kiện. Các ví dụ áp dụng. 4. Nêu quy tắc tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm nhiều biến trên tập đóng và bị chặn (tập compắc). Các ví dụ. 4 Ch-ơng II. Tích phân bội (11 tiết) 1. Định nghĩa tích phân trên hình hộp n chiều. Phép chia l-ới hình hộp n chiều H và định nghĩa tích phân trên hình hộp H f(x)dx. Phát biểu không chứng minh điều kiện cần để hàm khả tích là f bị chặn trên hình hộp H. 2. Tổng Darboux trên, tổng Darboux d-ới S (F ) S (F ), phát biểu định lí Darboux. Điều kiện cần và đủ để hàm f khả tích trên hình hộp H : sup S (F ) = inf S (F ). Phát biểu điều kiện đủ để hàm khả tích trên hình hộp. 3. Tích phân bội trên tập giới nội. Tập M R n là tập đo đ-ợc (có diện tích, thể tích), gọi M là hàm đặc tr-ng. Định nghĩa hàm f : M R khả tích trên tập bị chặn và đo đ-ợc M M f(x)dx = H f(x) M (x) dx,M H đ-ợc chứa trong hình hộp H nào đó Tính chất của tích phân bội. Phát biểu định lí về giá trị trung bình của tích phân. Tích phân các hàm chẵn, lẻ trên các miền đối xứng đặc biệt. ý nghĩa hình học của tích phân bội. 4. Cách tính tích phân bội Phát biểu định lí Fubini và nêu ứng dụng định lí Fubini để tính tích phân bội V f(x, y, z) dxdydz = b a y 2 (x) y 1 (x) z 2 (x,y) z 1 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx = M z 2 (x,y) z 1 (x,y) f(x, y, z)dz dxdy = b a dx S(x) f(x, y, z) dydz. 5. Công thức đổi biến trong tích phân bội (không chứng minh) M f(x) dx = M f(g(y))|g (y) | dy. Các ví dụ áp dụng công thức đổi biến trên để tính tích phân. 6. Các kiểu đổi biến th-ờng gặp trong tích phân kép, tích phân bội ba (hệ tọa độ cực, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu). Các ví dụ. 7. Nêu các ứng dụng của tích phân để tính diện tích miền phẳng, thể tích, khối l-ợng vật thể. (Học sinh tự đọc phần ứng dụng tích phân để tính trọng tâm vật thể.) Ch-ơng III. Tích phân đ-ờng, tích phân mặt (17 tiết) III.1 Đ-ờng cong, mặt cong và biểu diễn tham số của cung trơn, mặt cong trơn (4 tiết) 1. Cung trơn L và biểu diễn tham số của cung trơn: g :[a, b] R 3 , ánh xạ g khả vi liên tục trên [a, b]. Đ-ờng cong định h-ớng. 2. Tiếp tuyến, ph-ơng trình tiếp tuyến và độ dài đ-ờng cong. 3. Mặt cong và biểu diễn tham số của mặt cong trơn g(u)=(x(u),y(u),z(u)) trong đó u =(u 1 ,u 2 ) D R 2 . Mặt cong định h-ớng. 4. Véc tơ pháp, ph-ơng trình tiếp diện của mặt cong: mặt cong cho d-ới dạng tham số g(u, v) véc tơ pháp có dạng n = g u g v và mặt cong cho d-ới dạng hệ thức F (x, y, z)=0, véc tơ pháp n =(F x ,F y ,F z ). 5. Nêu công thức tính diện tích mặt cong S = D | g u g v | dudv và D 1+f 2 x + f 2 y dxdy. 5 III.2 Tích phân đ-ờng (8 tiết) 1. Định nghĩa tích phân đ-ờng loại một trên cung trơn. Phát biểu và chứng minh công thức tính tích phân đ-ờng loại một L fds= b a f(g(t)) ã|g (t)|dt = b a f(g(t)) ã x 2 (t)+y 2 (t)+z 2 (t) dt Nhấn mạnh tính chất tích phân đ-ờng loại một giống nh- tích phân xác định và giá trị tích phân không phụ thuộc vào biểu diễn tham số của đ-ờng cong. 2. Định nghĩa tích phân đ-ờng loại hai trên cung trơn I = L F(x)dx hay I = L Pdx+ Qdy+ Rdz Nêu ý nghĩa cơ học của tích phân đ-ờng loại hai. Các tính chất và chứng minh công thức tính tích phân đ-ờng loại hai (nhấn mạnh tích phân đ-ờng loại hai không phụ thuộc vào biểu diễn tham số của L nh-ng phụ thuộc vào h-ớng đ-ờng cong L), L F(x)dx = b a F(g(t )) ã g (t) dt 3. Phát biểu và nêu các hệ quả của định lí Green (về tích phân trên đ-ờng cong kín, phẳng). Điều kiện để tích phân đ-ờng loại hai L F(x)dx không phụ thuộc đ-ờng lấy tích phân là ma trận đạo hàm F (x) đối xứng trên miền D. Nguyên hàm của hàm véc tơ F(x)=(P(x),Q(x),R(x)) bằng (khi tích phân đ-ờng loại hai không phụ thuộc đ-ờng lấy tích phân) u(x, y, z)= AM F(x)dx = x x 0 P (x, y 0 ,z 0 )dx + y y 0 Q(x, y, z 0 )dy + z z 0 R(x, y, z)dz. (Ta nói u là nguyên hàm của hàm véc tơ F =(P,Q, R) nếu du = Pdx+ Qdy + Rdz). III.3 Tích phân mặt (5 tiết) 1. Học sinh tự đọc tích phân mặt loại một. 2. Định nghĩa tích phân mặt loại hai trên mặt cong trơn. Nêu ý nghĩa, tính chất và chứng minh công thức tính tích phân mặt loại hai S FdS = D F(g(u )) ã n( u) du. (L-u ý tích phân mặt loại hai không phụ thuộc vào biểu diễn tham số của mặt cong nh-ng phụ thuộc vào cách định h-ớng mặt cong). 3. Phát biểu không chứng minh các định lí Stokes, định lí ôxtrôgradxki. Nêu ý nghĩa và các ví dụ áp dụng. S rot(F) dS = L F(x) dx, V divF dxdydz = S F dS. Ch-ơng IV. Ph-ơng trình vi phân (15 tiết) IV.1 Ph-ơng trình vi phân cấp I (7 tiết) 1. Khái niệm mở đầu về ph-ơng trình vi phân và ph-ơng trình vi phân cấp I Các khái niệm cơ bản về ph-ơng trình vi phân, cấp của ph-ơng trình vi phân. Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, bài toán Cauchy của ph-ơng trình vi phân cấp I. Phát biểu định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm. 2. Ph-ơng trình vi phân với biến phân li, ph-ơng trình đẳng cấp. 3. Ph-ơng trình vi phân toàn phần. Thừa số tích phân. 4. Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp I: y + p(x)y = q(x). 5. Ph-ơng trình Bernoulli: y + p(x)y = q(x)y . 6 IV.2 Ph-ơng trình vi phân cấp II (8 tiết) 1. Ph-ơng trình vi phân cấp II, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, bài toán Cauchy của ph-ơng trình vi phân cấp II. Phát biểu định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm. 2. Ph-ơng trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp: khuyết y và y , khuyết y, khuyết x. 3. Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất y +p(x)y +q(x)y =0và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất. Nghiệm riêng, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II không thuần nhất. Nguyên lí chồng chất nghiệm. Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange. 4. Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II hệ số hằng. Ph-ơng trình đặc tr-ng và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất hệ số hằng. Cách giải ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II không thuần nhất hệ số hằng khi vế phải có dạng đặc biệt. Ch-ơng V. Chuỗi (15 tiết) V.1 Chuỗi số (7 tiết) 1. Chuỗi số hội tụ, phân kì, tổng của chuỗi số. Chuỗi cấp số nhân n=0 q n và chuỗi điều hoà n=1 1 n . 2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ. áp dụng để chứng minh chuỗi phân kì. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ: dãy các tổng riêng lập thành dãy Cauchy (tiêu chuẩn Cauchy). 3. Các phép toán với chuỗi hội tụ n=0 (a n + b n )= n=0 a n + n=0 b n , n=0 a n = n=0 a n . 4. Chuỗi số d-ơng: Các tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số d-ơng. Chứng minh các tiêu chuẩn D'Alambert, Cauchy, tích phân. Xét ví dụ n=1 1 n s . 5. Chuỗi đan dấu, phát biểu và chứng minh định lí Leibnitz. Chuỗi hội tụ tuyệt đối, chuỗi bán hội tụ. V.2 Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa (8 tiết) 1. Khái niệm dãy hàm và chuỗi hàm. Sự hội tụ của dãy hàm, chuỗi hàm (hội tụ điểm và hội tụ đều). Miền hội tụ và tổng của chuỗi hàm. 2. Về sự hội tụ đều của dãy hàm và các tính chất đổi chỗ của giới hạn, đạo hàm, tích phân với các số hạng của dãy, chúng ta chỉ giới thiệu, không chứng minh. 3. Về sự hội tụ đều của chuỗi hàm: phát biểu không chứng minh tiêu chuẩn Cauchy, chứng minh định lí Weierstrass. Nêu rõ các tính chất đổi chỗ của giới hạn, đạo hàm, tích phân với các số hạng của chuỗi đ-ợc suy ra từ các tính chất t-ơng tự của dãy hàm. 4. Định nghĩa chuỗi lũy thừa. Phát biểu và chứng minh định lí Abel. Bán kính hội tụ, khoảng và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Phát biểu và chứng minh các quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. 5. Tính chất của chuỗi lũy thừa: hội tụ đều, tổng là hàm liên tục, đạo hàm, tích phân tổng của chuỗi lũy thừa chuyển qua đạo hàm, tích phân từng số hạng. áp dụng để tính tổng của chuỗi. 6. Chuỗi Taylor và khai triển hàm thành chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin. Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ để hàm khai triển đ-ợc thành chuỗi Taylor. Các khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp e x , cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x) , ch x, shx. áp dụng để tính gần đúng giá trị hàm, tính gần đúng tích phân xác định. Tài liệu tham khảo 1. N.N.cừ, L.H.Đạm, T.D.Đằng Giải tích II. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. 2. Nguyễn Đình Trí Toán cao cấp, tập I,II,III. NXB Giáo dục, Hà Nội 2001. Tr-ởng bộ môn: TS. Nguyễn Ngọc Cừ 7 . x 2 , , u x n ). 5. Phát biểu không chứng minh định lí đạo hàm hàm ng-ợc det f (x) =0f 1 và (f 1 ) (x)= f f 1 (x) 1 Khái niệm về hàm ẩn y = f(x)