GSTT Group – Sharing the value Bài giảng ngày 13/01/2013: Phương trình chứa căn thức Phần 1: Kiến thức tối thiểu 1. Dạng cơ bản: A = B  B 0 A = B 2  Vi  trình A =B , ta chn mt trong 2 cách bin i   sau: A =B  A 0 A = B  hocA =B  B 0 A = B  2. Các dạng khác - Thông thường ta bình phương hai vế của phương trình đã cho để khử dấu căn, đưaphương trình đó về phương mới đơn giản hơn. Cần nêu các điều kiện cần thiết sao cho trong hệ điều kiện này, phương trình mới tương đương phương trình đã cho - Đôi khi, phép bình phương có thể dẫn đến phương trình bậc cao phức tạp. Trong trường hợp này, ta nghĩ cách biến phương trình đã cho thành phương trình tích số hoặc dung ẩn phụ 3. Chú ý: Một số phương trình chứa căn bậc ba có thể được giải bằng phương pháp đặt một ẩn phụ, chuyển về phương trình vô tỉ đơn giản hoặc đặt 2 ẩn phụ chuyển về hệ phương trình với biểu thức không chứa căn . Phần 2: Tổng hợp một số phương pháp giải Trước hết, anh tổng hợp một số phương pháp giải phương trình chưá căn: 1. Biến đổi tương đương 2. Giải phương trình hệ quả và thử lại nghiệm 3. Sử dụng hằng đăng thức, tính chất của lũy thừa 4. Sử dụng phương trình tích 5. Sử dụng đại lương liên hợp 6. Đặt 1 ẩn phụ, lập phương trình của ẩn phụ 7. Đặt 1 ẩn phụ, lập hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn ban đầu ( một số trương hợp có thể xuất hiện hệ đặc biệt như đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, 8. Đặt 1 ẩn phụ ,lập phương trình gồm ẩn phụ và ẩn ban đầu, có thể coi 1 ẩn lả tham số, sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc phương trình tích 9. Đặt 2 ẩn phụ , lập phương trình của 2 ẩn phụ , có thể coi 1 ẩn phụ là tham số , sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc phương trình tích 10. Đặt 2 ẩn phụ, lập hệ phương trình của 2 ẩn phụ 11. Sử dụng bất đăng thức đại số, bất đẳng thức hình học hoặc lượng giác 12. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Trên đây là tóm tắt 12 tư duy chính để giải phương trình căn. Tiếp theo các em luyện một số bài tập sau: Phần 3: Bài tập rèn luyện Bài 1:   + =   + Trước hết và không thể thiếu là đặt điều kiện nhé:  x + 9 0 2x + 4 0    x9 x2   x2 Khi đó ta chuyển 5 sang bên phải và bình phương hai vế ta đươc:   x + 9  2x + 4  + x + 2x + 4 + 9 = 25 GSTT Group – Sharing the value  2  2x 2 + 22x + 36 = 12 3x   12 3x 0 4  2x 2 + 22x + 36  =  12 3x  2    2 x 4 x 2  160x = 0   x = 0 Với bài này không khó, tuy nhiên có 2 vấn đề các em cần lưu ý, đó là hệ điều kiện và cách kết hợp với bất phương trình để đưa ra nghiệm cuối cùng.  x 3  x 2 + 4 +  x 3  x 2 + 1 = 3 Ta đặt: t =x 3  x 2 + 1  0 phương trình trở thành:  t 2 + 3 = 3 t Pt trên tương đương với:  0 t 3 t 2 + 3 =  3 t  2  t = 1  Vậy: x 3  x 2 + 1 = 1 x 3  x 2 + 1 = 1 x = 0 hoc x = 1  x 3  x 2 + 4 +  x 3  x 2 + 1 = 3 Bài 3:     +     + =        GSTT Group – Sharing the value Bài 4.   +   =   u kin:  3x 0 15 3x 0 8x 5 0   5 x 5 8 Bình phương 2 vế ta có: 15 + 23x  15 3x  = 8x 5   45x 9x 2 = 4x () Ta để ý với điều kiện ban đầu thì 45x 9x 2 luôn lớn hơn 0. Ta tiến hành bình phương 2 vế:     45x 9x 2 = 16x 2  x  9 5x  = 0 x = 0 và x = 9 5 Ta thấy 2 nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy pt có 2 nghiệm :x = 0 và x = 9 5 Bài 5:   +   (   =   Sử dụng phương trình hệ quả (biến đổi và thử lại phương trình) Điều kiện: 4 x 0 x 4 Nhận xét, với x =1 thì 2 vế của phuowng trình bằng nhau, x =1 là nghiệm của phương trình. Xét x 1,  x + 1  2  4 x = 2x 2  2   x + 1  2 4 x = 2  x + 1  x 1    x + 1  4 x = 2  x 1  (2)   x + 1  2  4 x  = 4  x 1  2   x 2 + 2x + 1  4 x  = 4(x 2  2x + 1)  4x 2 + 8x + 4 x 3  2x 2  x = 4x 2  8x + 4x 3  2x 2 + 15x = 0  3 + 2 2  15 = 0   2 + 2 15  = 0    3   5  = 0 Ta có trường hợp:   = 0, không thỏa mãn phương trình (2)   3 = 0 = 3, thỏa mãn phương trình (2)   + 5 = 0 =5, thỏa mãn phương trình (2) Vậy tập nghiệm của phương trình là  = {5;1; 3} Bài 6:   + +    +    +   = Điều kiện 4  1   3  5 2  + 4 + 8   + 4   4    + 4  3 = 0   + 4 =   0  Ta có phương trình: x 3  5x 2 y + 8xy 2  4y 3 = 0  x y  x 2y  2 = 0 x = y hoc x = 2y Xét x = y x =x + 4  x 0 x 2 = x + 4   x = 1 +  17 2 Xét x = 2y x = 2x + 4  x 0 x 2 = 4x + 16   x = 2 +  5. Vy S =  1 +  17 2 ; 2 +  5  GSTT Group – Sharing the value à :  +  +    = Đặt hai ẩn phụ,chuyển phương trình về hệ phương trình Điều kiện xác định x1 t a =x + 1 4 , b =  x 3 ,  a 0    a b = 1 a 4  b 3 = 1   a 4   a 1  3 = 1 a 4  a 3 + 3a 2  3a = 0  a  a 3  a 2 + 3a 3  = 0 a  a 1  a 2 + 3  = 0 a = 0 hoc a = 1 x =1 hoc x = 0 . à :   + =   +  Đặt ẩn phụ,chuyển phương trình về hệ đối xứng loại II.  1  x + 1 2  2 = 1 14  4x + 9 7 + 1 4   2x + 1  2 = 2 7  4x + 9 7 + 1 t  4x + 9 7 = 2y + 1 thì y > 0  do x > 0  Ta có hệ phương trình   2x + 1  2 = 2 7  2y + 1  + 1  2y + 1  2 = 4x + 9 7    2x + 1  2 = 4x + 9 7  2y + 1  2 = 4x + 9 7  Trừ các vế tương ứng ,ta có:  2x 2y  2x + 2y + 2  = 4y 4x 7   x y  x + y + 8 7  = 0 x = y. suy ra 4a + 9 = 28x 2 + 28x + 7 28x 2 + 24x 2 = 0 x = 6 + 5  2 14 . à :   =       Biến đổi và đặt ẩn phụ. Nhận xét: x=0 không là nghiệm của phương trình .Với x≠0 ta có: 4x 2  2x 3 = 3  4x 4  3x 2 3  4x 2  2x 3 x = 3 4x 4  3x 2 3 x  4x 2  2x 3 x = 3 4x 4  3x 2 3 x  4x 3 x  2 = 3  4x 3 x 3 t y =  4x 3 x 3  y 3  2 = 3y  y + 1  2  y 2  = 0 y =1 hoc y = 2 GSTT Group – Sharing the value Xét y=-1, ta có:  4x 3 x 3 =1 4x 3 x =1 4x 2 + x 3 = 0 x =1 hoc x = 3 4 Xét y=2, ta có:  4x 3 x 3 = 2 4x 3 x = 8 4x 2  8x 3 = 0 x = 2 ±  7 2 Vy , tp nghim ca  trình là  1; 3 4 ; 2 ±  7 2  Chú ý: Có thể đặt hai ẩn phụ sau khi biến đổi : 4x 2  3 2x 3   4x 2  3  x 2 3 = 0 Đặt 4x 2  3 3 = a,  x 3 = b a 3  2b 3  3ab 2 = 0  a + b  2  a 2b  = 0. Một số đúc kết cuối bài - Các em lưu ý, nếu thấy bài cồng kềnh như bài 3, chúng ta phải tư duy ngay đến việc đơn giản hóa đi, bằng cách đặt ẩn phụ. - Với những bài có dấu hiệu tổng 2 căn bậc 2 hoặc hiệu 2 căn bậc 2 phải tư duy ngay đến phương pháp liên hợp - Trong quá trình biến đổi, cứ bình phương 2 về thì nhớ phải đặt điều kiện cho căn bậc 2(bình phương đến đâu điều kiện đến đó) - Kiểm tra lại nghiệm khi làm xong - Cố gắng diễn giải bằng lời thay vì các ký tự ( bí quyết của anh Chinh 2 điểm 10 toán trong GSTT Group ) CHÚC CÁC EM THI ĐỖ ĐẠI HỌC! . the value Bài giảng ngày 13/01/2013: Phương trình chứa căn thức Phần 1: Kiến thức tối thiểu 1. Dạng cơ bản: A = B  B 0 A = B 2  Vi  trình A. cách biến phương trình đã cho thành phương trình tích số hoặc dung ẩn phụ 3. Chú ý: Một số phương trình chứa căn bậc ba có thể được giải bằng phương pháp