Đang tải... (xem toàn văn)
RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG LÀM TOÁN ĐẠT 9-10 ĐIỂM ĐẠI HOC
www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM ÔN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Bài 1 Chøng tá r»ng víi ,0ab th×: 2 ( )( ) ( ) (1)ax by bx ay a b xy Gi¶i 2 2 2 2 2 2 22 2 (1) 2 ( 2 ) 0 ( ) 0 abx a xy b yx bay a xy abxy b xy ab x y xy ab x y BÊt ®¼ng thøc lu«n ®óng v× ,0ab . Bài 2 Cho 0 abc Chøng minh r»ng: a b c b c a b c a a b c Gi¶i a b c b c a b c a a b c 2 2 2 2 2 2 1 ()a c b a c b b c c a a b abc 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b c a abc 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) 1 ( )( )( ) 0 c a b ab b a c b a abc b a ca cb ab c abc b a c b c a abc V× 0 abc . VËy a b c b c a b c a a b c Bài 3 www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Víi , , 0abc chøng minh: 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c Gi¶i 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 0) 2 2 2 0 a b c bc ac ba do abc a b c bc ac ab 2 ( ) 0a b c HiÓn nhiªn ®óng. VËy 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c . www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Bài 4 Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× : 2 2 2 2 1 (1)a b c d a b c d Gi¶i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d VËy : 2 2 2 2 1a b c d a b c d Bài 5 Chøng minh r»ng nÕu: 2ab th× 3 3 4 4 a b a b (1) Gi¶i 4 4 3 3 33 (1) 0 ( 1) ( 1) 0 a b a b a a b b 33 33 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0 a a b b a b a b a a b b a b a a a b b b a b Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. V×: 2 2 2 2 2 2 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 2 2 0 a a a a b b b b a b a b Bài 6 www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d-¬ng x,y,z ta cã: 2 2 2 2 2 2 ( 33 ( )( ) 9 xyz x y z x y z x y z xy yz zx Gi¶i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3( ) ( ) 3( 3 3 x y z x y z x y z x y z x y z xyz xy yz zx xyz Do ®ã ta cã: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) (( 3 1) ) ( )( ) ( )(3 3 1 3 1 1 3 3 3 3 9 3 xyz x y z x y z xyz x y z x y z xy yz zx x y z xyz xyz xyz DÊu “=” x¶y ra khi x=y=z www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Bài 7 Chøng minh r»ng: 2000 2000 2000 1994 1995 1996 (1) Gi¶i 2000 2000 2000 1994 1996 1 (1) ( ) 1 ( ) (1 ) 1995 1995 1995 Theo bÊt ®¼ng thøc Becnuli ta cã: 2000 2000 1 2000 1994 (1 ) 1 1 ( ) 1995 1995 1995 V×: 2000 2000 1994 1 ( ) 1995 1995 Bài 8 Cho a b 2 Chøng minh r»ng: 44 a b 2 Gi¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a,b ta cã: 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 (1.a 1.b) (1 1 )(a b ) (a b) 2(a b ) 4 2(a b ) 2 a b ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a 2 ,b 2 ta cã: 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 44 44 (1.a 1.b ) (1 1 )(a b ) 2 (a b ) 2(a b ) 4 2(a b ) a b 2 Bài 9 www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng: 1 1 1 9 a b c a b c Gi¶i Ta cã: 1 1 1 a a b b c c (a b c)( ) 1 1 1 a b c b c a c a b a b c a b c 3 ( ) ( ) ( ) 9 b a a c c b V× : ab 2 ba ca 2 ac bc 2 cb Nªn: a b c a b c 3 ( ) ( ) ( ) 9 b a a c c b www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Bài 10 Cho 4 sè d-¬ng a,b,c,d chøng minh r»ng: a b c d 2 b c c d a d a b Gi¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc phô: 2 11 (x,y>0) xy (x y) Ta cã: 22 2 a c a(d a) c(b c) a c ad bc 4 b c d a (b c)(d a) (a b c d) T-¬ng tù: 22 2 b d b d ab cd 4 c d a b (a b c d) Céng vÕ theo vÕ ta cã: 2 2 2 2 2 a b c d a b c d ad bc ab cd 4 b c c d a d a b (a b c d) Ta chøng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 a b c d ad bc ab cd 42 (a b c d) 4a b c d ad bc ab cd 2(a b c d) 2a 2b 2c 2d 4ac 4bd 0 (a c) (b d) 0 www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Bi 11 Cho 3 số d-ơng a,b,c chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a Giải Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 33 33 33 33 a a a 1 3 (1) b bb b b b 1 3 (2) c cc 33 33 c c c 1 3 (3) a aa Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c 2( ) 3 2( ) b c a b c a b c a a b c 2( ) 3 b c a Vậy: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a Bi 12 www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Cho a,b,c >0 tho¶ m·n 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c Chøng minh r»ng: 1 abc 8 Gi¶i Ta cã: 1 1 1 b c 11 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si: 1 bc 2 1 a (1 b)(1 c) 1 ac 2 1 a (1 a)(1 c) 1 ab 2 1 c (1 a)(1 b) Nh©n l¹i ta ®-îc: 1 8abc (1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc 8 www.nguoithay.org WWW.NGUOITHAY.COM Bi 13 Giả sử a,b,c d, là 4 số d-ơng thoã mãn: 1 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 1 d Chứng minh rằng: 1 abcd 81 Giải Từ giả thiết ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 a 1 b 1 c 1 d a b c d 1 1 a 1 a 1 a 1 a a(1 b) b(1 a) c(1 d) d(1 c) 1 (1 a)(1 b) (1 c)(1 d) a b 2ab c d 2cd 1 a b ab 1 c d cd áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 2 ab 2ab 2 cd 2cd 2 ab 2 cd 1 1 2 ab ab 1 2 cd cd 1 ab 1 cd 4 44 4 2 4 44 4 abcd abcd 1 2 2 4 1 ab cd abcd 1 ab cd abcd 4 abcd 4 abcd 1 1 2 abcd abcd (1 abcd) 1 abcd 4 abcd 1 3 abcd 1 abcd 8 Bi 14 [...]... Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(2 a) 1 b(2 b) 1 c(2 c) 1 Giải Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta đ-ợc a(2 a)b(2 c)c(2 c) 1 Mà 0 a(2 a) 2a a2 1 (a 1)2 1 T-ơng tự ta có: 0 b(2 b) 1 0 c(2 c) 1 Suy ra: abc(2 a)(2 b)(2 c) 1 Mâu thuẫn Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai Bi 16 Cho 6 số tự nhiên... a, b, c, d R và a b 2cd Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng c2 a, d2 b Giải Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta đ-ợc : c2 a và d2 b c2 a 0 và d2 b 0 c2 a d2 b 0 c2 d2 (a b) 0 c2 d2 2cd 0 Vì a+b =2cd (c d)2 0 Mâu thuẫn Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng WWW.NGUOITHAY.COM www.nguoithay.org www.nguoithay.org... số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bất đẳng thức: (1 x)n (1 x)n 2n Giải : Vì: x 1 nên ta đặt x cos t với t ; (1 x)n (1 x)n (1 cos t)n (1 cos t)n t t (2 cos2 )n (2 sin2 )n 2 2 t t 2n (cos2 )n (sin2 )n 2n (1) 2 2 0 cos2 t 1 cos2 t (cos2 t )n 2 2 2 t t t sin2 (sin2 )n Do 0 sin2 t 2 2 2 t t 1 (cos2 )n (sin2 )n 2 2 (1) đúng Vậy bất đẳng thức đã đ-ợc chứng minh WWW.NGUOITHAY.COM... trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a . một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng www .nguoithay. org WWW .NGUOITHAY. COM Bi 15 Cho 3 số d-ơng a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong. www .nguoithay. org WWW .NGUOITHAY. COM Bài 21 Chøng minh r»ng: )(a)a()a(a 122221111 2332 Gi¶i: Tõ ®k |a| 1 nªn §Æt a=cos víi [0 , ]