Chuyên đề : HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: • n n thừa số a a.a .a=  (n Z ,n 1,a R) + ∈≥∈ • 1 aa= a∀ • 0 a1= a0∀≠ • n n 1 a a − = { } (n Z ,n 1,a R/ 0 ) + ∈≥∈ • m n m n aa= ( a0;m,nN >∈ ) • m n m n m n 11 a a a − == 2. Các tính chất : • mn mn a.a a + = • m mn n a a a − = • mn nm m.n (a ) (a ) a== • nnn (a.b) a .b= • n n n aa () b b = 3. Hàm số mũ : Dạng : x ya= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : DR= • Tập giá trò : TR + = ( x a0 xR>∀∈ ) • Tính đơn điệu: * a > 1 : x ya= đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x ya= nghòch biến trên R • Đồ thò hàm số mũ : Minh hoïa : a>1 y=a x y x 1 0<a<1 y=a x y x 1 f(x) =2^x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y f(x)=(1/2)^x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=2 x y= x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1 x y y x 1 O O II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 dn M a log N M a N = ⇔= Điều kiện có nghóa : N a log có nghóa khi ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≠ > 0 1 0 N a a 2. Các tính chất : • a log 1 0 = • a log a 1 = • M a log a M= • log N a aN= • a12 a1 a2 log (N .N ) log N log N=+ • 1 aa1a2 2 N log ( ) log N log N N =− • aa log N .log N α =α Đặc biệt : 2 aa log N 2.log N= 3. Công thức đổi cơ số : • aab log N log b.log N= • a b a log N log N log b = * Hệ quả: • a b 1 log b log a = và ka a 1 log N log N k = 4. Hàm số logarít: Dạng a ylogx= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : + =DR • Tập giá trò =TR • Tính đơn điệu: * a > 1 : a ylogx = đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a ylogx = nghòch biến trên + R • Đồ thò của hàm số lôgarít: Minh họa : 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN : 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5 : Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N ⇔ M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N ⇔ M < N (đồng biến) 0<a<1 y=log a x 1 x y O f(x)=ln(x)/ln(1/2) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=log 2 x x y x y f(x)=ln(x)/ln(2) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y xy 2 1 log = 1 O 1 O a>1 y=log a x 1 y x O III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: D ạng cơ bản: x am = (1) • m0 ≤ : phương trình (1) vơ nghiệm • m0 > : x a amxlogm=⇔= 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N (Phương pháp đưa về cùng cơ số) Ví du 1 : Giải các phương trình sau : 1) x1 2x1 927 ++ = 2) 2 x3x2 24 −+ = 3) xx2x1x1 11 3.4 .9 6.4 .9 32 +++ +=− Ví du 2ï : Giải các phương trình sau 1) x10 x5 x10 x15 16 0,125.8 ++ −− = 2) x5 x17 x7 x3 32 0,25.128 ++ −− = 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x 8 x 5 34.3270 ++ −+= 2) xxx 6.9 13.6 6.4 0 −+= 3) xxx 5.2 7. 10 2.5 =− 4) xx (2 3) (2 3) 4 −++= 5) ( ) ( ) xx 526 526 10++−= 6) 322 2 2 2 =− −+− xxxx 7) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 8) 07.714.92.2 22 =+− xxx 9) 22 xx2 x1x2 45.2 60 +− −+− −−= 10) 32cosx 1cosx 47.420 ++ −−= Bài tập rèn luyện: 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1 ± x ) 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 3) 13 250125 + =+ xxx (x=0) 4) 12 21025 + =+ xxx (x=0) 5) xx (3 8) (3 8) 6++−= ( )2 ±= x 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 3 Phương pháp 3: Bi ến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0, Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x 2) 0422.42 2 22 =+−− −+ xxxxx 3) 2x 1 x 1 x 5 7 175 35 0 ++ +− −= 4) x3 6 x3 4 2x1 2 x1 x.2 2 x.2 2 −+ −+ −+ += + 5) () 2 22 x1 xx 1x 422 1 + +− += + 4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó (Phương pháp lơgarít hóa) Ví dụ : Giải phương trình 1) 2 x1 x x2 3.2 8.4 − − = 2) 1 5.8 500 x x x − = 5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 x + 4 x = 5 x 2) 2 x = 1+ x 2 3 3) x 1 () 2x 1 3 =+ 4) 3x 2 2x8x14 − =− + − 5) () x2 x2 3.25 3x 10 .5 3 x 0 −− +− +−= Bài tập rèn luyện: 1) 163.32.2 −=+ xxx (x=2) 2) x x −= 32 (x=1) IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG : D ạng cơ bản: a log x m = (1) • m∀∈\ : m a log x m x a =⇔= 1. Phương pháp 1 : Biến đổi phương trình về dạng : aa log M log N = (đồng cơ số) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 21 2 1 log log (x x 1) x =−− 2) [ ] 2 log x(x 1) 1 −= 3) 22 log x log (x 1) 1 +−= Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) += x log (x 6) 3 2) xx1 21 2 log (4 4) x log (2 3) + +=− − 3) )3(log)4(log)1(log 2 1 2 2 1 2 2 xxx −=++− ( 141;11 +−=−= xx ) 4) () () () 8 42 2 11 log x 3 log x 1 log 4x 24 ++ − = ( ) x3; x 323 ==−+ 5) () () () 233 111 444 3 log x 2 3 log 4 x log x 6 2 +−= −+ + ( ) x2; x1 33 ==− 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 22 64 3 log 2x log x += 2) 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx 3) 42 24 log log x log log x 2 += 4) x3 3 x 1 log 3 log x log 3 log x 2 += + + 5) () 2 x25 log 125x .log x 1 = 6) xx x 16 64 log 2.log 2 log 2 = 7) 2 5x 5 5 log log x 1 x += 8) () () () 3 log 9 x 2 3 x2 9x2 − −=− 3 Phương pháp 3: Bi ến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0, Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2.log x 2 log x.log x 77 22 + =+ 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 22 log (x x 6) x log (x 2) 4 −− += + + 2) () 6 log x 26 log x 3 log x += 3) () 23 log 1 x log x += V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( ,,≤>≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 36x 4x 11 2 x6x8 1) 2 1 1 2) 2 2 − −− + + > ⎛⎞ > ⎜⎟ ⎝⎠ Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 xx1 x2x 1 3() 3 −− − ≥ 2) 2 x1 x2x 1 2 2 − − ≥ 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : xx 2x 1 x 1) 9 2.3 3 2) 5 5 4 + < + >+ Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x x 2 23.(2)320 + − +< 2) x3x 22 9 − +≤ 3) 2x 4 x x 2 345.69.20 ++ +− ≤ 4) 21 1 xx 11 () 3.() 12 33 + + > 5) 52428 11 >+−+ ++ xxx ( )20 ≤< x 6) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx ( 2 ≤ x ) VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aa log M log N< ( ,,≤>≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 22 log (x x 2) log (x 3)+ −> + 2) 2 0,5 0,5 log (4x 11) log (x 6x 8) + <++ 3) 2 13 3 log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0 − ++ −≥ 4) ( ) 11 2 24 log x 2log x 1 log 6 0 +−+≤ 5) 13 2 x1 log log 0 x1 + ≥ − Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x log (5x 8x 3) 2 − +> 2) − < 23 3 log log x 3 1 3) 2 3x x log (3 x) 1 − − > 4) x 9 x log (log (3 9)) 1 − ≤ 5) ( ) () x x3 log log 9 72 1 − ≤ 6) )12(log12log4)1444(log 2 555 ++<−+ −xx 7) () ( ) x2x1x 11 42 log 4 4 log 2 3.2 + +≥ − 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) 2 22 log x log x 2 0+−≤ 2) log x 4 2 x32 + < 3) 2 log x log x 66 6x12+≤ 4) 2 3 14 2 log x log x 2 0 + −> Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) x x 2 32 log (3 2) 2.log 2 3 0 + + +−> 2) 2 2x x log 64 log 16 3 + ≥ 3) 2 3log 3)(log 2 2 2 > + + x x ( 2 1 8 1 << x ) VII. HE PHệễNG TRèNH: Vớ duù : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh 1) 23 93 x1 2y 1 3lo g (9x ) logy 3 + = = 6) =+ = 4)(log)(log ) 3 1 ()3( 22 2 yxyx yxyx 2) =+ = 25 1 1 log)(log 22 4 4 1 yx y xy 7) y 3 34 x (x11)3 x ylogx1 + = += 3) = + + = + y yy x xx x 22 24 452 1 23 8) =+ = 2)(log 11522.3 5 yx yx 4) =+ = 3 644.2 yx yx 9) x4y 30 log x log y 0 42 += = 5) =+ =+ 4loglog2 5)(log 24 22 2 yx yx