Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
www.VNMATH.com 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z k i O j y x O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ . Các trục tọa độ: Ox : trục hoành. Oy : trục tung. Oz : trục cao. Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau. , , i j k là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz. i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1). 1i j k và 2 2 2 1i j k . i j , j k , k i . . 0i j , . 0j k , . 0k i . ,i j k , ,j k i , ,k i j CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ M Ox M(x;0;0) M Oy M(0;y;0) M Oz M(0;0;z) M (Oxy) M(x;y;0) M (Oyz) M(0;y;z) M (Oxz) M(x;0;z) Tọa độ của điểm: . . . ( ; ; ) OM xi y j zk M x y z Tọa độ của vectở: 1 2 3 1 2 3 . . . ( ; ; ) a a i a j a k a a a a CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ. Cho 1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ; a x y z b x y z và số k tuỳ ý, ta có: 1. Tổng hai vectơ là một vectơ. 1 2 1 2 1 2 ; ; a b x x y y z z 2. Hiệu hai vectơ là một vectơ. 1 2 1 2 1 2 ; ; a b x x y y z z 3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ. 1 1 1 1 1 1 . . ; ; ; ; k a k x y z kx ky kz 4. Độ dài vectơ. Bằng 2 2 2 hoaønh tung cao 2 2 2 1 1 1 a x y z . 5. Vectơ không có tọa độ là: www.VNMATH.com 2 0 0;0;0 . 6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau. 1 2 1 2 1 2 x x a b y y z z 7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao. 1 2 1 2 1 2 . . . . a b x x y y z z . 0 a b a b 8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài. . os a, . a b c b a b 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . . . . x x y y z z x y z x y z CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x A ; y A ; z A ) , B( x B , y B , z B ). Khi đó: 1) Tọa độ vectơ AB là: ; ; B A B A B A AB x x y y z z . 2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài AB : 2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z . Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B. 3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A B I A B I A B I x x x 2 y y y 2 z z z 2 ; ; I I I I x y z 4) Tọa độ trọng tâm của tam giác: Cho ABC với A(x A ; y A ; z A ),B( x B , y B , z B ), C( x C , y C , z C ). Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là: 3 ; ; 3 3 A B C G A B C G G G G A B C G x x x x y y y y G x y z z z z z 5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng: Cho 1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ; a x y z b x y z . Khi đó: www.VNMATH.com 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , ; ; y z z x x y a b y z z x x y Hai vectơ a , b cùng phương , 0 a b . Hai vectơ a , b không cùng phương , 0 a b Ba vectơ , ,c a b đồng phẳng , .c 0 a b . Ba vectơ , ,c a b không đồng phẳng , .c 0 a b . 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương. Cách 1: a và b cùng phương . a k b . a và b cùng phương 1 1 1 2 2 2 x y z x y z với 2 2 3 x ,y ,z 0 Cách 2: a và b cùng phương 2 2 2 1 1 1 x y z x y z với 1 1 1 x ,y ,z 0 Cách 3: a và b cùng phương a,b 0 . CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng. Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp C BA Ba điểm A, B, C thẳng hàng hai vectơ , AB AC cùng phương , 0 AB AC . Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng. Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính .; .; . .; .; . AB AC . Bước 2: Tính , 0;0;0 0 AB AC . Bước 3: Kết luận hai vectơ , AB AC cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp C B A Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính .; .; . .; .; . AB AC . Bước 2: Tính , ; ; 0 AB AC . Bước 3: Vậy hai vectơ , AB AC không cùng www.VNMATH.com 4 Ba điểm A, B, C không thẳng hàng hai vectơ , AB AC không cùng phương , 0 AB AC phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác. Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng. Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng. Cần nhớ Phương pháp D C B A Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng , , AB AC AD đồng phẳng , . 0 AB AC AD . Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính .; .; . .; .; . ; ; . AB AC AD . Bước 2: Tính , ; ; . , . 0 AB AC AB AC AD . Bước 3: Vậy ba vectơ , , AB AC AD không đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Chú ý: A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD. Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Cần nhớ Phương pháp D C B A Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng , , AB AC AD đồng phẳng , . 0 AB AC AD . Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính .; .; . .; .; . ; ; . AB AC AD . Bước 2: Tính , .; .; . , . 0 AB AC AB AC AD . www.VNMATH.com 5 phẳng là bốn điểm thuộc một mp. Bước 3: Vậy ba vectơ , , AB AC AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc. Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các trục tọa độ. Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên trục Ox là: M(x 0 ;0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên trục Oy là: M(0;y 0 ;0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên trục Oz là: M(0;0;z 0 ) 2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các phẳng tọa độ. Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên (Oxy) là: M(x 0 ;y 0 ;0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên (Oyz) là: M(0;y 0 ;z 0 ) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên (Oxz) là: M(x 0 ;0;z 0 ) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện. Cần nhớ Phương pháp Thể tích của khối tứ diện ABCD A 1 V = AB, AC .AD 6 D B C Bước 1: Tính .; .; . .; .; . ; ; . AB AC AD . Bước 2: Tính , .; .; . , . AB AC AB AC AD Bước 3: 1 V = AB, AC .AD 6 Chú ý: Thể tích không âm. Vấn đề 5: Diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC ABC 1 S = AB, AC 2 A B C Chú ý: Diện tích không âm. Bước 1: Tính .; .; . .; .; . AB AC . Bước 2: Tính , ; ; AB AC . Bước 3: Tính 2 2 2 AB ,AC h t c . Bước 4: ADCT ABC 1 S = AB, AC 2 MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Dạng 1 Dạng 2 MC (S): 2 2 2 2 x a y b z c R Mặt cầu (S): 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0 www.VNMATH.com 6 Có tâm I(a;b;c) và bán kính R Có tâm I(a;b;c) với he ä soá x a -2 he ä soá y b -2 he ä soá z c -2 Bán kính: 2 2 2 R a b c d Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu. Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng 2 2 2 2 x a y b z c R Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực). Phương pháp: Pt mặt cầu (S): 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m. Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực). Phương pháp: Pt mặt cầu (S): 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R= n 2 . Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A. Phương pháp: Pt mặt cầu (S): 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c) Bán kính R= IA IA . Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính R. Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB. Phương pháp: Pt mặt cầu (S): 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Gọi I trung điểm AB I ; .; . Mặt cầu có tâm I(a;b;c) Bán kính R= IA IA . Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Chú ý: Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính. www.VNMATH.com 7 Ta cú th tớnh R theo 2 cỏch sau: R= IB IB hoc R= AB AB 2 2 . Loi 5: Mt cu cú tõm I(a;b;c) v tip xỳc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phng phỏp: Pt mt cu (S): 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Mt cu cú tõm I(a;b;c). Do mt cu tip xỳc mp(P) nờn: 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D R d I,(P) A B C Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*). Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng: 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0 . Loi 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D. Phng phỏp. Pt mt cu (S) cú dng: 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0 (*) Vỡ A, B, C, D thuc (S): theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*) theỏ toùa ủoọ ủieồm D vaứo pt (*) Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th, ta tỡm c a, b, c, d. Sau ú th a, ,b , c, d vo pt (*). Chỳ ý: bi cú th hi thờm xỏc nh tõm, tớnh bỏn kớnh, tớnh din tớch xung quanh v th tớch khi cu ngoi tip hỡnh chúp. Loi 2: Lp Pt mt cu qua ba im A, B, C v cú tõm thuc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phng phỏp. Pt mt cu (S) cú dng: 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0 (*) Vỡ A, B, C thuc (S): theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*) Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng trỡnh th t. Ta gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d. VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn. Loi 1: Mt phng (P) qua im 0 0 0 M x ;y ;z v cú vect phỏp tuyn n A;B;C . Phng phỏp: M n P) www.VNMATH.com 8 Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 M x ;y ;z . Mặt phẳng (P) có VTPT n A;B;C . Ptmp (P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 . Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 M x ;y ;z và song song hoặc chứa giá của hai vectơ a , b . Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 M x ;y ;z . Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là a= . , b Mặt phẳng (P) có VTPT n a,b . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 . Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Phương pháp: Mặt phẳng (P) đi qua M. Mặt phẳng (P) có VTPT: P d 1 2 3 n a a ;a ;a . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Phương pháp: Mặt phẳng (P) đi qua A. Mặt phẳng (P) có VTPT: n AB,AC . Pt(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q). Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm A. Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q). Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 M x ;y ;z . Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có VTPT P Q n n . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 . Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến. a b ,n a b P) Q) M Q n M d a d P) ,n AB AC A B C B Q n P ) Q ) A www.VNMATH.com 9 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: Q AB .n . Nên mp(P) có VTPT: Q n AB,n . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Dạng 6: Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’. Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’. Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm M d . Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: d d' a .a . Mp(P) có VTPT: d d ' n a ,a . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d. Phương pháp: Chọn điểm M thuộc đt d. Mặt phẳng (P) qua điểm A. Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: d AM .a . Nên mp(P) có VTPT: d n AM,a . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp: Gọi I là trung điểm AB I . Mặt phẳng (P) qua điểm I. Mặt phẳng (P) có VTPT n AB . Ptmp (P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 . Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R). Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm M. Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: Q R n .,n . Nên mp(P) có VTPT: Q R n n ,n . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A. P) A I B www.VNMATH.com 10 Phương pháp: Xác định tâm I của mc(S). Mặt phẳng (P) qua điểm A. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IA . Ptmp(P): 0 0 0 A x x B y y C z z 0 Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n m;n; p và tiếp xúc mặt cầu (S). Phương pháp: Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Vì mp(P) có VTPT n m;n; p mx ny pz 0 D . Do mp(P) tiếp xúc mc(S) d I; P R Chú ý: A B A B A B . Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) ( ,( ))d I P R Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) ( , )d I d R Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là 0 0 0 2 2 2 A ( ,( )) x By Cz D d M P A B C VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B. Phương pháp: Đường thẳng d đi qua điểm A. Đường thẳng d có VTCP: a AB . Pt tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct . Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Phương pháp: Đường thẳng d đi qua điểm M. Đường thẳng d có VTCP: d d' a a . Pt tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct . Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương. r = d(I,(P)) I P) . TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z k. Chng minh: a,a' .MM' 0 . VN 15: KHONG CCH GIA HAI MT PHNG SONG SONG. Cỏch tớnh: tớnh khong cỏch gia hai mp song song (P) v (Q) ta lm nh