Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ số bị ràng buộc. Bài toán 1: Chứng minh rằng phơng trình 0 2 =++ cbxax ( 0 a ) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn: i) ( ) 042 <++ cbaa ii) 0235 =++ cba Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm 011924)12(44 22 =++++ abcaxax (1) 01964)12(44 22 =++++ abcbxbx (2) Bài toán 3: a) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện b>a+c và a>0. Chứng minh rằng phơng trình 0 2 =++ cbxax có hai nghiệm phân biệt b) Chứng minh rằng phơng trình 0 2 =++ cbxax ( ) 0 a có nghiệm nếu 4 2 a cb c) Cho cbxaxxf ++= 2 )( ( 0 a ). Chứng minh rằng nếu tồn tại Rm để 0)(. mfa thì ph- ơng trình f(x)=0 có nghiệm. Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu 2 >+ ba thì phơng trình 012 2 =++ abxax có nghiệm. Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện 0 ++ cba thì phơng trình sau luôn có nghiệm 0))(())(())(( =++ bxaxcaxcxbcxbxa Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện 14a+6b+3c=0. Chứng minh rằng phơng trình 0 2 =++ cbxax có nghiệm. Bài toán 7: Giả sử abcp = là số nguyên tố. Chứng minh rằng phơng trình 0 2 =++ cbxax không có nghiệm hữu tỉ Bài toán 8: Chứng minh rằng: a) Nếu phơng trình 0 2 =++ baxx ( Zba , ) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là những số nguyên. b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phơng trình 0 2 =++ cbxax không có nghiệm hữu tỉ. Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0. Chứng minh rằng phơng trình sau vô nghiệm 0)1(2)(2 2 =+++ cabcabxcbax Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng12, Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm. 0 2 =++ baxx (1) 0 2 =++ cbxx (2) và 0 2 =++ acxx (3) Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số khác 0 còn p, q là hai số tuỳ ý.Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm c qx b px a = + 22 Chuyên đề: Phơng trình bậc hai một ẩn và áp dụng xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai có một nghiệm chung. Bài toán 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 1 012)23(2 2 =++ xmx (1) 036)29(4 2 =+ xmx (2) Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó. 019)17(6 09)13(2 2 2 =+ =++ xmx xmx Bài toán 3: Xét các phơng trình 0 2 =++ cbxax (1) 0 2 =++ abxcx (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất. Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung 012 2 =+ mxx (1) 02 2 =+ xmx (2) Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 012 2 =++ mmxx (1) 01)12( 2 =+ xmmx (2) Bài toán 6: Cho hai phơng trình 042 2 =+ mmxx (1) 010 2 =+ mmxx (2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1). Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng có một nghiệm chung và chỉ một mà thôi. 0)2(2)1(2 2 =++ aaxax (1) 0)2(2)1(2 2 =++ bbxbx (2) Bài toán 8: Cho hai phơng trình 0 2 =++ axx (1) và 01 2 =++ axx (2) a) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng. Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung. 01 2 =++ xax (1) 01 2 =++ axx (2) Bài toán 10: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình 0 2 =++ baxx (1) 0 2 =++ dcxx (2) Có nghiệm chung thì 0))(()( 2 =++ bcadcadb Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng. Bài toán 1: Cho phơng trình 2 ( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ + = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia. c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 1 1 7 4x x + = ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 2 Bài toán 2: Cho phơng trình 2 2( 1) 3 0x m x m + = a) CMR: với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m. Bài toán 3: Cho phơng trình 2 2 6 0x x m + = a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng. b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 2 1 3 x x x x + = Bài toán 4: Cho phơng trình 2 ( 1) 2(1 ) 2 0.m x m x m+ + + = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia. c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 1 2 3( ) 5x x x x+ = Bài toán 5: Cho phơng trình 2 2( 1) 2 10 0x m x m + + + = (m là tham số). a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Cho biểu thức 2 2 1 2 1 2 6P x x x x= + + trong đó 1 2 ;x x là nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm m để P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ nhất ấy. Bài toán 6: Cho phơng trình bậc hai ẩn x 2 ( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + = a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 1 2 . 0x x > và 1 2 2x x= Bài toán 7: Cho phơng trình 2 2 1 0x x = . Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức a) 7 7 1 2 x x+ b) 1 2 x x Bài toán 8: Cho phơng trình 2 ( 4) 2( 2) 1 0m x m x m + = . Xác định m để phơng trình a) Có hai nghiệm cùng dấu. b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn. c) Có một nghiệm dơng. Bài toán 9: Cho phơng trình 2 2(1 2 ) 3 4 0x m x m + + + = a. Xác định m để phơng trình có nghiệm 1 2 ;x x b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m. c. Tính theo m biểu thức 3 3 1 2 A x x= + d) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia. Bài toán 10: Cho phơng trình 2 2 2 0x x = . Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức 2 2 1 2 2 1 1 1 x x A x x = + + + Bài toán 11: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): 2 1 0x mx m + = 1. CMR phơng trình có nghiệm 1 2 ;x x m . Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình và giá trị tơng ứng của m 2. Đặt 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + a) CMR: A=m 2 +8m+8 b) Tìm m sao cho A=8. c) Tìm GTNN của A và giá trị tơng ứng của m. Bài toán 12: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): 2 2 2 1 0x mx m + = 1. CMR phơng trình có nghiệm 1 2 ;x x m . ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 3 2. Đặt 2 2 1 2 1 2 2( ) 5A x x x x= + a) CMR: A=8m 2 -18m+9 b) Tìm m sao cho A=27. c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Bài toán 13: Cho phơng trình: 2 2( 1) 2 4 0x m x m + = a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm GTNN của 2 2 1 2 M x x= + Bài toán 14: Cho phơng trình ẩn x: 2 2( 2) 0mx m x m + + = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm. Bài toán 15: Cho phơng trình ẩn x: 2 5 28 0x mx+ = . Xác định mđể phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 5 2 1x x+ = Bài toán 16: Cho phơng trình: 2 2 2( 1) 6 0x m x m m + + + = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 3 3 1 2 50x x = Bài toán 17: Cho phơng trình ẩn x: 2 2 (2 1) 4 5 0x m x m m + + + = có ẩn là x. a) Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng. Bài toán 18: Cho phơng trình 2 ( 2)( ) ( 2)(2 ) 0x x x x x m = (1) a) Giải phơng trình (1) khi m=1 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt Bài toán 19: Cho phơng trình: 2 2( 1) 2 0x m x m + + = a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. CMR: giá trị của biểu thức B= 1 2 1 2 .x x x x+ không phụ thuộc vào tham số m. Bài toán 20: Cho phơng trình: 2 2( 1) 3 0x m x m + = a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Bài toán 21: Cho phơng trình Bài toán 21: Cho phơng trình 2 ( 1) 2(1 ) 2 0m x m x m+ + + = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơnmg trình có nghiệm bằng 2, tính nghiệm kia. c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn điều kiện 1 2 1 2 3( ) 5x x x x+ = Bài toán 22: Cho phơng trình bậc hai 2 2( 1) 2 10 0x m x m + + + = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Cho biểu thức P= 2 2 1 2 1 2 6x x x x+ + trong đó x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình đã cho Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất ấy Bài toán 23: Cho phơng trình bậc hai ẩn x 2 ( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + = a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 1 2 0x x > và 1 2 2x x= ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 4 Bài toán 24: Cho 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình 2 2 1 0x mx m = Tìm GTNN của biểu trhức 4 4 1 2 x x+ Bài toán 25: Cho phơng trình ẩn x: 2 2( 2) 1 0x m x m + + + = a) Giải phơng trình khi m= 3 2 b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c)Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để 2 1 2 2 1 (1 2 ) (1 2 )x x x x m + = Bài toán 26: 1) Cho phơng trình 2 1 0.x ax a + + = a) Giải phơng trình khi a=-1. b) Xác định a biết rằng phơng trình đã cho có một nghiệm là 1 3 2 x = . Với giá trị tìm đợc của a hãy tính nghiệm thứ hai của phơng trình. 2) CMR: 2a b + thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm 2 2 0x ax b+ + = và 2 2 0x bx a+ + = Bài toán 27:Cho phơng trình bậc hai 2 2( 2) 2 5 0x k x k = a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình.Tìm giá trị của k sao cho 2 2 1 2 18x x+ = Bài toán 28: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m, n: 2 3 0x mx n+ + = 1) Cho n=0. a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1. 2) Tìm m và n để hai nghiệm 1 2 ;x x của phơng trình thoả mãn 2 2 1 2 1 2 1; 7x x x x = = Bài toán 29: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: 2 2 2 1 0x mx m + = a) Giải phơng trình khi m=1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép c)Với m=? phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp) Bài toán 30: Cho phơng trình 2 (2 5) 0x m x n+ = (x là ẩn) a) Giải phơng trình khi m=1; n=4. b) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là 2 và -3. c) Cho m=5. Tìm số nguyên n nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng. Bài toán 31: Cho phơng trình 2 2( 1) 2 10 0x m x m + + + = có hai nghiệm 1 2 ;x x .Tìm giá trị của m để 2 2 1 2 1 2 10x x x x+ + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán 32: Cho phơng trình 2 (2 1) 4 4 0m x mx + = (1) có ẩn là x. a) Giải phơng trình (1) với m=1. b) Giải phơng trình (1) với m bất kỳ. c) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng m. Bài toán 33: Chứng minh rằng nếu a, b là hai nghiệm của phơng trình 2 1 0x px+ + = và b, c là hai nghiệm của phơng trình 2 2 0x qx+ + = thì (b-a)(b-c)=pq-6 ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 5 Bài toán 34: Cho phơng trình 2 (2 3) 3 0x m x m + + = (ẩn x) a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m để 1 2 x x đạt GTNN, tìm GTNN ấy. Bài toán 35: Cho phơng trình 2 0x px q+ + = a) CMR: nếu 2 2 9 0p q = thì phơng trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. b) Cho p, q là các số nguyên. CMR: nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó phải là số nguyên Bài toán 36: Cho phơng trình 2 6 9 0x mx x = có ẩn là x. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để có 2 2 1 2 13x x+ = Bài toán 37: Tìm k để phơng trình 2 (12 5 ) 4(1 ) 0kx k x k + = có tổng bình phơng các nghiệm bằng 13. Bài toán 38: Cho phơng trình 2 2 2 3 3 0mx mx m m+ + + = có ẩn là x. a) Tìm m để phơng trình vô nghiệm . b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 1x x = Bài toán 39: CMR: phơng trình 2 2 2 3 3 4 4 ( ) 2( ) 0a b x a b x a b + + = luôn có nghiệm với mọi a, b. Bài toán 40: Cho phơng trình 2 ( 1) 2( 1) 0m x m x m + + = 1) Giải và biện luận phơng trình đã cho theo m. 2) Khi phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm 1 2 ;x x độc lập với m. b) Tìm m sao cho 1 2 2x x Bài toán 41: Cho phơng trình 2 2( 1) 0( 0)mx m x m m + = (1). CMR: nếu 1 2 ;x x là nghiệm của (1) và thoả mãn 2 2 1 2 2x x+ = thì phơng trình trên có nghiệm kép. Bài toán 42: Cho phơng trình 2 2 2 1 0x mx m + = a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm 1 2 ;x x với mọi m. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm 1 2 ;x x không phụ thuộc vào m. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 2 1 5 2 x x x x = Bài toán 43: Cho phơng trình 2 0x mx n+ + = ẩn x. a) Tìm m và n biết rằng phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 3 3 1 2 1 7 x x x x = = b) Cho biết n=m-2. Tìm m và n để 2 2 1 2 x x+ đạt GTNN Bài toán 44: Cho phơng trình 2 1 (2 3) 1 0x m x m + = (ẩn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 2 4x x+ = b) Tìm m sao cho A đạt GTNN và tính giá trị ấy với 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + + ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 6 Bài toán 45: Cho phơng trình 2 0x px q+ + = . Tìm p, q biết rằng phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 1 2 3 3 1 2 5 35 x x x x = = Bài toán 46: Cho phơng trình 2 0ax bx c+ + = . có hai nghiệm số dơng 1 2 ;x x . CMR: phơng trình 2 0cx bx a+ + = cũng có hai nghiệm số dơng. Gọi các nghiệm đó là 3 4 ;x x . Chứng minh rằng 1 2 3 4 ( )( ) 4x x x x+ + Bài toán 47: Gọi ; là các nghiệm của phơng trình 2 3 7 4 0x x+ + = . Không giảI phơng trình hãylập một phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 1 và 1 Bài toán 48: Cho phơng trình 2 2 2 ( 1) ( 8 3) 1 0m m x m m x+ + + + = Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm GTLN và GTNN của tổng S= 1 2 x x+ Bài toán 49: Cho phơng trình 2 0x x m+ + = . với m là tham số. Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình. a) Tìm m sao cho 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x x+ = + b) Tìm GTLN của biểu thức 3 3 2 2 1 2 1 2 A x x x x= + + + Bài toán 50: Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình 2 (2 3) 1 0x m x m + = Tìm m để 2 2 1 2 1 2 1 2 3 ( )x x x x x x+ + + đạt giá trị lớn nhất. Bài toán 51: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR phơng trình 2 ( ) 0x a b c x ab bc ca+ + + + + + = vô nghiệm. Bài toán 52: Cho phơng trình 2 (2 1) 2 0mx m x m+ + + = Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 2 2 1 2 2003x x+ = Bài toán 53: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình 2 1 0x px+ + = ; c, d là hai nghiệm của phơng trình 2 1 0y qy+ + = . Chứng minh hệ thức 2 ( )( )( )( ) ( )a c a d b c b d p q = Bài toán 54: Cho phơng trình 2 2 2 3 4 2 0x mx m m + = (ẩn x) a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 ;x x với mọi m b) Tìm m sao cho 1 2 x x đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán 55: Cho phơng trình 2 ( 2) (2 1) 3 0m x m x m+ + = (ẩn x) a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x . Khi đó hãy tìm m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài toán 56: Cho phơng trình 2 2 ( 1) 1 0mx m m x m + + + + = Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt khác -1 Bài toán 57: Cho 2 ( ) 2( 2) 6 1f x x m x m= + + + a) CMR: phơng trình f(x)=0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x=t+2 . Tính f(x) theo t từ đó tìm điều kiện của m để phơng trình f(x)=0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài toán 58: Biết rằng 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = . Viết ph- ơng trình bậc hai nhận hai số 3 3 1 2 ;x x là nghiệm. ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 7 Bài toán 59: a) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình 2 1 0x ax + = Tính A= 3 3 1 2 x x+ theo a. b) Cho 4 3 2 ( ) 2 (5 4 ) (2 20) (45 26) 32 2f x mx m x m x m x m= + + + + + . Tìm m để f(x) có một nghiệm là 2. Chứng minh lúc ấy f(x) chia hết cho 2 7 10x x + . Tìm các nghiệm còn lại của f(x) Bài toán 60: Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình 2 7 3 0x x + = a) Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 1 2 2x x và 2 1 2x x b) Hãy tính giá trị của biểu thức 1 2 2 1 2 2A x x x x= + Bài toán 61: Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình 2 2 0x mx + = Tính 2 2 1 2 A x x= + theo m Bài toán 62: Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) 8( ) 0a a c c c a d b + + > thì hai phơng trình 2 0x ax b+ + = và 2 0x cx d + + = có ít nhất một phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài toán 63: Cho phơng trình 2 ( 4) 2( 2) 1 0m x m x m + = . Xác định m để phơng trình a) có hai nghiệm cùng dấu. b) Có hai nghiệm tráidấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn. c) Có một nghiệm dơng Bài toán 64: Cho phơng trình 2 (2 1) 5 0x m x m + = a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm kia. b) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 ;x x với mọi m c) Với giá trị nào của m thì 2 2 1 2 A x x= + đạt GTNN. tìm GTNN ấy. Bài toán 65: Cho phơng trình 2 (2 1) 3 0x m x m = a)CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 2 2 1 2 10x x+ Bài toán 66: Cho phơng trình 2 2 (2 3) 3 0x m x m m + + = a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm khi m thay đổi. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 1 2 1 6x x< < < Bài toán 67: Cho phơng trình 2 2 (2 1) 6 0x m x m m + + + = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 3 3 1 2 50x x = Bài toán 68: Cho phơng trình 2 2 (2 1) 4 5 0x m x m m + + + = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng. Bài toán 69: Cho phơng trình 2 ( 1) 2( 2) 3 0m x m x m+ + + = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 (4 1)(4 1) 18x x+ + = Bài toán 70: Cho hai phơng trình 2 1 1 0x p x q+ + = và 2 2 2 0x p x q+ + = . Biết rằng 1 2 1 2 2( )p p q q= + . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm. ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 8 Bài toán 71: Cho phơng trình 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 0m m x m m x + + + = . a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm 1 2 ;x x b) Tìm GTNN của P= 1 2 .x x c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S= 1 2 x x+ Bài toán 72: Cho phơng trình 2 2 2 ( 1) ( 2 2) 1 0m m x m m x+ + + + = . a) CMR: phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m. b) Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phơng trình trên. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S= 1 2 x x+ Bài toán 73: Cho phơng trình 2 2 2 2( 2) 4 3 0x m x m m+ + + + + = a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm. b) CMR: khi phơng trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thoả mãn 2 1 2 1 2 2 3 1 2 x x x x + + + ữ ữ Bài toán 74: Tìm Tất cả các sô nguyên k để phơng trình : kx 2 (1-2k)x + k 2 = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ. Bài toán 75: Cho 2 phơng trình : x 2 + a 1 x +b 1 =0 (1) x 2 + a 2 x + b 2 = 0 (2) Cho biết a 1 a 2 2(b 1 +b 2 ) . Chứng minh một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm . Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc ********* Bài toán 1: Tìm m để phơng trình 2 0x mx m + = có nghiệm thoả mãn điều kiện 1 2 2x x p Bài toán 2: Tìm m để phơng trình 2 2 0mx x m + = có nghiệm thoả mãn 1 2 1 2 x x< Bài toán 3: Cho phơng trình 2 2( 1) ( 1) 0x m x m+ + = a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là những số dơng thì phơng trình 1 1 1 0 x x a x b + + = ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 9 Có hai nghiệm 1 2 ;x x 1 2 (x >x ) sao cho 1 2 3 3 a a x< < và 2 2 3 3 b b x < < Bài toán 5: Cho hai phơng trình 2 2 0x px n + = (1) và 2 2 0x mx n + = (2) Tìm điều kiện cần và đủ để mỗi phơng trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của phơng trình kia. Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1: 2 ( 1) 0x m x m = Bài toán 7: Tìm m để phơng trình 2 3 4 2( 1) 0x x m + có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 Bài toán 8: Xác định m để phơng trình 2 2( 2) 1 0mx m x + = có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1. Bài toán 9: Cho phơng trình 2 2( 3) 4 0mx m x m + = . Xác định m để phơng trình: a) Có đúng một nghiệm dơng. b) Có đúng một nghiệm không dơng. Bài toán 10: Cho phơng trình 2 ( 4) 2( 2) 1 0m x m x m + = . Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn: a) 1 2 0x x< < và 1 2 x x> b) 2 2 1 2 1 2 2( )x x x x+ = + Bài toán 11: Cho phơng trình 2 ( 1) 2 5 0m x mx m+ + + = . Xác định m để phơng trình : a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2. b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2 Bài toán 12: Cho phơng trình 2 0;( 0)ax bx c a+ + = có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn điều kiện 2 1 2 x x= . Chứng minh rằng: 3 2 2 3 .b a c ac abc+ + = Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp) ---------------------------------------------------------------------- Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 10