Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10 Người soạn Vũ Văn Bắc Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC 1.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Phân tích mẫu thức thành nhân tử đạt điều kiện cho mẫu thức và căn thức nếu có  Một số câu hỏi thường gặp trong bài toán về căn thức  Rút gọn biểu thức  Giải bất phương trình : chú ý điều kiện ban đầu  Giải phương trình : chú ý điều kiện ban đầu để loại nghiệm nếu có  Chia nhỏ các biểu thức để tính nếu như biểu thức cần tính là phức tạp hay dài dòng  Lưu tâm rằng đây là câu hỏi đơn giản các em cần cẩn thận trong việc làm toán.  Tổng quan: Cho biểu thức 3 x 1 1 1 B : x 1 x 1 x x               với x 0 ; x 1  a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để 2P x 3  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011) Lời giải a) Với điều kiện x 0 ; x 1  ta có   3 x 1 x 1 B x x ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)                  3 x 1 x 1 x( x 1). ( x 1)( x 1)        x(2 x 2) 2 x( x 1) 2 x x 1 x 1        Vậy với x 0 ; x 1  thì P 2 x b) Với điều kiện x 0 ; x 1  và P 2 x ta có 2P x 3 4 x x 3        x 4 x 3 0 x 1 x 3 0        x 1 0 x 1 x 1 x 9 x 3 0 x 3                       Kết hợp với điều kiện thì chỉ có x 9 là thỏa mãn Vậy x 9 là giá trị thỏa mãn bài toán đã cho Nhận xét: cách giải chung trong bài toán trên như sau  Đặt điều kiện thích hợp (nếu đề bài trước như trên thì ta vẫn phải nêu lại sau đó biến đổ rút gọn biểu thức.  Kết luận: nêu lại điều kiện và kết quả tìm được.  Khi gặp dạng như câu hỏi 2 thì cách làm trên là điển hình. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc 1.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng Bài toán 1.1. Cho biểu thức       6 5 3 2 aaa a P a2 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho 1P  c) Tìn a sao cho 2012P  Bài toán 1.2. Cho biểu thức P =                           65 2 3 2 2 3 : 1 1 xx x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x sao cho 0P  Bài toán 1.3. Cho biểu thức P =                          13 23 1: 19 8 13 1 13 1 x x x x xx x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để 6 5 P  Bài toán 1.4. Cho biểu thức P =                      1 2 1 1 : 1 1 aaaa a a a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho 1P  c) Tìm giá trị của P sao cho 3819 a Bài toán 1.5. Cho biểu thức P =                                 a a a a a a a aa 1 1 . 1 1 : 1 )1( 332 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức 1 2 M a P         Bài toán 1.6. Cho biểu thức P =                             12 2 12 1 1:1 12 2 12 1 x xx x x x xx x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 3 2 2 x   Bài toán 1.7. Cho biểu thức P =                      1 1: 1 1 1 2 x x xxxxx x a) Rút gọn P b) Tìm x để 0P  Bài toán 1.8. Cho biểu thức P =                       a a a aa a a a 1 1 . 1 12 3 3 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức 1P a www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 1.9. Cho biểu thức 1 1 2 1 2 : 1 1 1 x x x x x x P x x x x x                         a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 7 4 3x   c) Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho P a Bài toán 1.10. Cho biểu thức P =                       a a aa a a aa 1 1 . 1 1 a) Rút gọn P b) Tìm a sao cho 7 4 3P   Bài toán 1.11. Cho biểu thức P =                          1 3 22 : 9 33 33 2 x x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm x để 1 2 P  c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài toán 1.12. Cho biểu thức P                             3 2 2 3 6 9 :1 9 3 x x x x xx x x xx a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để 1P  Bài toán 1.13. Cho biểu thức P  3 32 1 23 32 1115         x x x x xx x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để 1 2 P  c) Chứng minh rằng : 2 3 P  Bài toán 1.14. Cho biểu thức P  2 2 44 2 mx m mx x mx x      trong đó 0m  a) Rút gọn P b) Tính x theo m sao cho 0P  c) Xác định các giá trị của m sao cho x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện 1x  Bài toán 1.15. Cho biểu thức P  1 2 1 2      a aa aa aa a) Rút gọn P b) Biết 1a  Hãy so sánh P với | |P c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài toán 1.16. Cho biểu thức P                              1 11 1 :1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 2 3a   và 3 1 1 3 b    c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 4 ba www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 1.17. Cho biểu thức P                           1 1 1 1111 a a a a a a aa aa aa aa a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì 7P  c) Với giá trị nào của a thì 6P  Bài toán 1.18. Cho biểu thức P                        1 1 1 1 2 1 2 2 a a a a a a a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a sao cho 0P  c) Tìm các giá trị của a sao cho 2P   Bài toán 1.19. Cho biểu thức 2 ( ) 4 . a b ab a b b a P a b ab      a) Tìm điều kiện sao cho P có nghĩa. b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi 2 3a  và 3b  Bài toán 1.20. Cho biểu thức P  2 1 : 1 1 11 2                x xxx x xx x a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng : 0P  với mọi 1x  Bài toán 1.21. Cho biểu thức P                         1 2 1: 1 1 1 2 xx x xxx xx a) Rút gọn P b) Tính P khi 5 2 3x   Bài toán 1.22. Cho biểu thức P    yx xyyx xy yx yx yx                2 33 : a) Rút gọn P b) Chứng minh 0P  Bài toán 1.23. Cho P                                  baba ba bbaa ab babbaa ab ba : 31 . 31 a) Rút gọn P b) Tính P khi 16a  và 4b  Bài toán 1.24. Cho biểu thức P  12 . 1 2 1 12 1                 a aa aa aaaa a aa a) Rút gọn P b) Cho 6 1 6 P   tìm giá trị của a Bài toán 1.25. Cho biểu thức P                             3 5 5 3 152 25 :1 25 5 x x x x xx x x xx a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì 1P  www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 1.26. Cho biểu thức P      baba baa babbaa a baba a 222 .1 : 133                a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a sao cho P có giá trị nguyên Bài toán 1.27. Cho biểu thức P                       1 2 2 1 : 1 1 1 a a a a aa a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho 1 6 P  Bài toán 1.28. Cho biểu thức P  33 33 : 112 . 11 xyyx yyxxyx yx yxyx                      a) Rút gọn P b) Cho 16xy  xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất Bài toán 1.29. Cho biểu thức P  x x yxyxx x yxy x      1 1 . 22 2 2 3 a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho 625y  và 0,2P  VẤN ĐỀ 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Một số câu hỏi mang tính tương đối  Tìm biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm : dùng Viet để giải  Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức nào đó : dùng Viet để giải nhưng chú ý về điều kiện  để phân tích biểu thức thành dạng tích cộng với một hằng số nào đó hay là phân tích thành dạng bình phương cộng với một hằng số nào đó. Ví dụ như điều kiện để phương trình có nghiệm là 1x thì ta phân tích về dạng .( 1)b x trong đó 1 b x . Nếu như 1 b x thì phân tích thành dạng bình phương cộng hằng số và đánh giá.  Phương trình trùng phương và số nghiệm  Có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt Lưu ý ở đây phương trình (*) là phương trình ẩn t sau khi đặt 2 t x  Có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại là dương.  Có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu.  Có một nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất bằng 0.  Tổng quan: Xét phương trình 2 ( 1) 4 4 1 0m x mx m     a) Hãy giải phương trình trên khi 2m  b) Tìm m để phương trình có một nghiệm. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x chứng minh rằng    2 1 2 1 5m x x m m     h) Tìm m khi ta có hệ thức sau 1 2 2 7x x  trong đó 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình. i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. j) Chứng minh rằng khi 1m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x . Khi đó hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 2 1 2 1 4 4 4 5 x x x x      Lời giải a) Khi 2m  thay vào phương trình đã cho ta được 2 8 9 0x x   Phương trình này có ' 16 9 7 0     khi đó thì phương trình có 2 nghiệm 1 2 4 7 ; 4 7x x    Vậy với 2m  thì phương trình đã cho có tập nghiệm là   4 7 ; 4 7S    b) Để giải quyết được câu hỏi này thì ta chia làm hai trường hợp như sau Trường hợp 1. 1m  thì ta có 5 5 4 0 4 x x    1m  thỏa mãn. Trường hợp 2. 1m  khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai Xét biệt thức 2 ' 4 ( 1)(4 1) 3 1m m m m       Để phương trình có nghiệm thì 1 ' 0 3 1 0 3 m m        Vậy với 1 3 m   thì phương trình đã cho là có nghiệm. c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 1 ' 0 3 1 0 3 m m m               Khi đó theo hệ thức Viet thì ta có 1 2 1 2 4 4 1 ; 1 1 m m x x x x m m       Mặt khác ta lại có : 4 4( 1) 4 4 4 1 1 1 m m m m m         4 1 4( 1) 5 5 4 1 1 1 m m m m m          www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Do đó ta ngay hệ thức cần tìm như sau   1 2 1 2 5 4 20 16 4x x x x     Vậy hệ thức cần tìm là   1 2 1 2 5 4 20 16 4x x x x     d) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi 1 1 1 2 ' 0 0 0 x x x x            1 ' 0 3 m      1 2 1 4 1 0 0 1 1 4 m m x x m m                1 2 1 4 0 0 0 1 m m x x m m             Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 1 1 0 3 m or m    e) Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt khi 1 1 1 2 ' 0 0 0 x x x x            1 ' 0 3 m      1 2 1 4 1 0 0 1 1 4 m m x x m m                1 2 4 0 0 0 1 1 m x x m m         Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. f) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi 1 1 ' 0 0x x          1 ' 0 3 m      1 2 4 1 1 0 0 1 1 4 m x x m m          Vậy phương trình có hai nghiệm âm phân biệt trái dấu khi 1 1 3 m   g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta có     2 2 1 2 1 2 1 2 4x x x x x x    www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Áp dụng hệ thức Viet ta được   2 2 1 2 2 2 3 1 5 ( 1) ( 1) m m m x x m m             2 2 2 1 2 1 5m x x m m          2 2 2 1 2 1 5m x x m m      Mặt khác        2 2 1 2 1 2 1 1m x x m x x     Vậy    2 1 2 1 5m x x m m     dấu bằng có khi 2.m  h) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm 1 2 ,x x là 1 3 m   và 1m  Xét     2 2 1 2 1 2 1 2 4x x x x x x    Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta được 2 2 16 4(4 1) 28 1 ( 1) m m m m      2 2 16 4( 1)(4 1) 28( 1)m m m m      2 2 2 16 4(4 3 1) 28( 2 1)m m m m m       2 28 56 28 12 4 0m m m      2 28 68 24 0m m    2 7 17 6 0m m    Ta dễ dàng tìm được 3 2 ; 7 m m  thỏa mãn bài toán. i) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  1m và   1 3 m Từ giả thiết bài toán ta có :  1 2 2x x hoặc  2 1 2x x        1 2 2 1 2 2 0x x x x             2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 0 9 2 0x x x x x x x x Từ đây áp dụng hệ thức Viet ta được           2 2 2 9(4 1) 2.16 0 9( 1)(4 1) 32 0 1 ( 1) m m m m m m m          2 2 2 36 27 9 32 0 4 27 9 0m m m m m Khi đó các em làm tiếp chú ý điều điện phương trình có hai nghiệm phân biệt j) Đễ dàng chứng minhđược ý đầu tiên của bài toán ta có           1 2 4 4( 1) 4 4 4 1 1 1 m m x x m m m               1 2 1 2 4 1 4( 1) 5 5 5 4 4 1 1 1 1 m m x x x x m m m m www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Khi đó ta có :         1 2 1 2 1 1 4 4 4 5 1 m x x x x m Với    1 1 0m m từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchuy cho hai số dương ta có bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dấu bằng có khi và chỉ khi  1 2 5m 2.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng Bài toán 2.1. Cho phương trình 2 2 2 ( 2 1) 2m x x m     a) Giải phương trình khi 12 m b) Tìm m để phương trình có nghiệm 23 x c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất Bài toán 2.2. Cho phương trình   0224 2  mmxxm (x là ẩn số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài toán 2.3. Cho phương trình   0412 2  mxmx (x là ẩn số ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M      1221 11 xxxx  không phụ thuộc vào m Bài toán 2.4. Tìm m để phương trình : a)   012 2  mxx có hai nghiệm dương phân biệt b) 0124 2  mxx có hai nghiệm âm phân biệt c) 2 2 ( 1) 2( 1) 2 1 0m x m x m      có hai nghiệm trái dấu Bài toán 2.5. Cho phương trình   021 22  aaxax a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm tráI dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phương trình là 1 x và 2 x tìm giá trị của a để 2 2 2 1 xx  đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán 2.6. Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức 2 111  cb Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 2 2 0 0 x bx c x cx b            Bài toán 2.7. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung 2 2 2 (3 2) 12 0 4 (9 2) 36 0 x m x m x              Bài toán 2.8. Cho phương trình 0222 22  mmxx a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình Bài toán 2.9. Cho phương trình bậc hai tham số m : 014 2  mxx a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm 1 x và 2 x thoả mãn điều kiện 10 2 2 2 1  xx Bài toán 2.10. Cho phương trình   05212 2  mxmx a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu khi đó hai nghiệm mang dấu gì. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com . toán ôn thi vào lớp 10 Người soạn Vũ Văn Bắc Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012 www .MATHVN. com - Toán Học Việt Nam www .MATHVN. com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào. www .MATHVN. com - Toán Học Việt Nam www .MATHVN. com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 2.11. Cho phương trình   0102 12