Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi giáo viên dạy giỏi cấp huyện Đức Thọ năm 2013-2014 Môn: Toán - Có đáp án
PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC ---------o0o-------- HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán Thời gian: 120 phút Bài 1: a) Tìm các chữ số x, y sao cho 2013xy 72M b) Đa thức bậc bốn f(x) thỏa mãn f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 và f(x) = f(-x). Tính f(3) c) Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó tỷ lệ với 3 số nào ? Giải: a) Ta có 72 = 9. 8 và (9; 8) = 1. Do đó 2013xy 72M ⇒ 2013xy chia hết cho 8, cho 9 ( ) ( ) 2013xy 8 3xy 8 300 xy 8 4 xy 8⇒ ⇒ + ⇒ +M M M M ⇒ { } xy 04;12;20;28;36;44;52;60;68;76;84;92∈ (1) ( ) 2013xy 9 6 x y 9⇒ + +M M (2). Từ (1) và (2) ta tìm được ( ) ( ) ( ) { } x; y 1;2 ; 8;4∈ b) Đa thức bậc bốn có dạng ( ) 4 3 2 f x ax bx cx dx e= + + + + , theo bài ra f(x) = f(-x) do đó 4 3 2 4 3 2 3 ax bx cx dx e ax bx cx dx e bx dx 0+ + + + = − + − + ⇔ + = Vậy ( ) 4 2 f x ax cx e= + + với f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 a c e 2035 a c 22 a 10 16a 4c e 2221 4a c 52 c 12 e 2013 e 2013 e 2013 + + = + = = + + = ⇔ + = ⇔ = = = = ⇒ ( ) 4 2 f x 10x 12x 2013= + + ( ) 4 2 f 3 10.3 12.3 2013 2931= + + = c) Gọi độ dài 3 cạnh của một tam giác là a, b, c. Diện tích là S và 3 chiều cao tương ứng là x, y, z ta có: 2S 2S 2S a ;b ;c x y z = = = . Vì 3 cạnh tỷ lệ với 2, 3, 4 nên a b c 2S 2S 2S 2 3 4 2x 3y 4z = = ⇒ = = x y y z x y z 2x 3y 4z ; 3 2 4 3 6 4 3 ⇔ = = ⇒ = = ⇒ = = . Vậy ba chiều cao tỷ lệ với 6, 4, 3 Bài 2: a) Giải hệ phương trình 5x 4y 2 xy 60y 80x 1 xy + = − = − b) Giải phương trình 4 3 2 9x 15x 3x 3x 2 0− − + + = Giải: a) ĐKXĐ: x, y ≠ 0. Hệ phương trình tương đương 4 5 64 80 124 2 32 31 x 4 x y x y x 80 60 60 80 60 80 y 5 1 1 1 y x x y x y + = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ = = + − = − − = − (TMĐK) Vậy nghiệm của hệ phương trình x 4 y 5 = = b) Phương trình tương đương ( ) ( ) 4 3 3 2 2 3 2 9x 6x 9x 6x 9x 6x 3x 2 0 3x 2 3x 3x 3x 1 0− − + − + − + = ⇔ − − − − = 3x – 2 = 0 ⇔ x = 2 3 ( ) 3 3 2 3 3 2 3 3 3 1 3x 3x 3x 1 0 4x x 3x 3x 1 4x x 1 x 4 x 1 x 4 1 − − − = ⇔ = + + + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 3 2 1 ; 3 4 1 − Bài 3: Cho biểu thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3 C x 2 x 3 1 x x 3 − − + = + − + − − + a) Rút gọn biểu thức b) So sánh giá trị của C với 2 3 Giải: ĐKXĐ: x 0 x 0 x 2 x 3 0 x 1 1 x 0 ≥ ≥ + − ≠ ⇔ ≠ − ≠ a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 x 11 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1 15 x 11 3 x 2 2 x 3 C x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 − − − + − + − − − + = − − = − + + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 2 5 x 5x 7 x 2 2 5 x x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 − − − + − − = = + + − + − b) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 x 2 x 3 2 2 5 x 2 17 x 2 C 0 C 3 3 3 x 3 3 x 3 3 x 3 − − + − − − = − = = ≤ ⇒ ≤ + + + Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D a) Chứng minh rằng · · AMD ABC= b) Chứng minh rằng ∆BMD cân c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên đường nào ? Có nhận xét gì về độ lớn · BDC khi vị trí điểm M thay đổi Giải: a) Từ giác ABCM nội tiếp nên · · 0 ABC AMC 180+ = · · 0 AMD AMC 180+ = (kề bù) · · AMD ABC⇒ = b) Ta có · · AMB ACB= (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) · · · AMB ABC AMD⇒ = = ; MH ⊥ BD (gt) Do đó MH vừa là đường cao, vừa là phân giác của ∆BMD nên ∆BMD cân tại M c) Ta có µ · · µ 0 0 180 2AMD 180 2ABC A D 2 2 2 − − = = = không đổi D chạy trên cung tròn chứa góc µ A 2 dựng trên đoạn BC Bài 5: Cho các số thực a, b thỏa mãn 0 b a 4< ≤ ≤ và a b 7+ ≤ . Chứng minh rằng 2 2 a b 25+ ≤ Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b 4 a b 7b 4a 3b+ = − + + ≤ − + = + . Áp dụng BĐT Bunhia ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a 3b 4 3 a b a b 25 a b a b 25+ ≤ + + ⇒ + ≤ + ⇒ + ≤ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 4; b = 3 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn A B C O M D H . PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC -- -- - -- - -o0o -- - -- - -- HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 201 3-2 014 Môn: Toán Thời gian: 120. = f(-x). Tính f(3) c) Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó tỷ lệ với 3 số nào ? Giải: a) Ta có 72