Đang tải... (xem toàn văn)
bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích- luận văn cao học
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN NGỌC LIÊN BÀI TỐN KHƠI PHỤC TRONG LÝ THUYẾT HÀM GIẢI TÍCH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS Đặng Đức Trọng Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, số liệu, kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Trần Ngọc Liên LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, số liệu, kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát tốn khơi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng Trong q trình giải tốn khơi phục, kết thu có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống gần nhận dạng tình xấu Bài tốn khơi phục mà chúng tơi quan tâm phát biểu sau: Cho U đĩa đơn vị mở mặt phẳng phức, nghĩa U z C : | z | 1 (1) K tập U Cho hàm số xác định K Hãy khơi phục hàm f giải tích U biết trước giá trị f K Trong luận án giới hạn trường hợp K z n dãy vô hạn đếm điểm U Khi hàm số f thuộc không gian Hardy H p ( U ) , khơng gian hàm giải tích U ( p ) , đại số đĩa A( U ) (nghĩa hàm f liên tục đĩa đơn vị đóng U z C : | z | 1 giải tích U ) tốn khơi phục tốn moment Luận án chúng tơi nghiêng mặt ứng dụng nên tốn khơi phục hàm giải tích rút từ ứng dụng vật lý (chương 3: toán nhiệt ngược chương 5: tốn Cauchy khơng gian cho phương trình Parabolic), giải tích thực (chương 4: tốn biến đổi Laplace ngược) Đây tốn ngược khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa tốn vơ nghiệm; tốn có nghiệm nghiệm khơng nhất; nghiệm tốn tồn khơng ổn định Bài tốn nội suy hàm giải tích có thư mục lớn (xem [20, 63]) Tuy vậy, thật đáng ngạc nhiên báo lại khơng khảo sát tính khơng chỉnh tốn tính ổn định thuật tốn có sai số liệu Thực vậy, xét tốn: xác định hàm giải tích f không gian H ( U ) cho f ( zn ) n n ,2 ,3 , (2) với ( z n )n 1 dãy vô hạn điểm U , ( n ) dãy số phức bị chặn, tức ( n ) l Với ( z n ) ( n ) tốn vơ nghiệm Chẳng hạn dãy ( z n ) xác định z , z n 1 n ( n ) ( ) Khi f ( ) f ( z ) n n Mặt khác ta có f ( ) lim f ( ) lim n (vơ lý) Vậy tốn vơ nghiệm n n n Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier chứng minh tính tốn (2) có ( | zk | ) (điều kiện k 1 Blaschke) Nếu điều kiện không thoả, tốn có nghiệm tổng qt f Bg với f nghiệm đặc biệt (2), B tích Blaschke với khơng điểm ( z k ) g hàm tùy ý H ( U ) Vậy tốn có nghiệm khơng 1 Xét tốn (2) Cho ( z n )n 1 tuỳ ý đường tròn z C : | z | dãy 4 xác định m n m n ( z n )m m Khi ta có | n n ,2 ,3 , với m số tự nhiên m 1 | | ( z n ) | m 2 m Xét hàm fm : U C z ( z )m Ta có f m H f m ( z n ) nm , || f m ||H m Vậy lim || f m ||H x Điều chứng tỏ toán (2) không ổn định: từ sai lệch nhỏ liệu dẫn đến kết cuối có sai lệch lớn Gọi f nghiệm xác tốn (2), ứng với giá trị xác n l , tức f0 ( zn ) n n ,2 ,3 , ( n ) l liệu đo thoả : || || sup n n Tính khơng ổn định nghiệm chỗ: tính tốn với nhiều liệu lượng cần thiết làm cho sai số lớn Do cần xác định số tự nhiên n( ) ( với ), mà ta gọi tham số chỉnh hóa để số lượng liệu n cần thiết phải sử dụng giới hạn việc tính tốn máy tính Nói cách khác xác định tham số chỉnh hóa n( ) cho từ n( ) liệu , , , n( ) ta xác định hàm f mà xấp xỉ ổn định nghiệm xác f tốn Một số kết cụ thể: Như biết, tốn nội suy hàm giải tích đĩa đơn vị nhà toán học thường sử dụng đa thức (đặc biệt đa thức Lagrange) hay hàm phân thức để xây dựng hàm xấp xỉ (xem [20, 63]) Tính chất dãy điểm nội suy tính chất hàm cần xấp xỉ có ảnh hưởng nhiều đến hội tụ hàm số xấp xỉ Phép nội suy Lagrange thuận lợi cho việc sử dụng, khơng ổn định Các hệ số bậc cao đa thức Lagrange tăng nhanh số điểm nội suy tăng dãy đa thức Lagrange không hội tụ H Một cách giải vấn đề loại bỏ hay chặt cụt số hạng bậc cao Đa thức Lagrange Đó phương pháp chỉnh hóa Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, nhóm nghiên cứu G.s T.s Đặng Đình Áng trình bày kết với số đánh giá sai số Trong luận án chúng tơi tiếp tục sử dụng ý tưởng để chỉnh hoá toán nội suy hàm giải tích Cách chỉnh hóa hàm phân thức khơng địi hỏi điều kiện chặt chẽ dùng đa thức Lagrange, chẳng hạn bao đóng dãy điểm nội suy không cần nằm hẳn đĩa đơn vị Trong “Recovery of H p -functions”, Totik dùng hàm phân thức để xấp xỉ hàm cần tìm, khơng đưa cơng thức cụ thể Và tác giả khơng trình bày cách đánh giá sai số phép xấp xỉ Vấn đề chúng tơi quan tâm tính sai số phép xấp xỉ tính thứ ngun chỉnh hóa phương pháp chặt cụt đa thức Lagrange Một số kết số thực để minh họa cho phương pháp Nội dung luận án gồm có phần mở đầu, chương kiến thức chuẩn bị (chương 1), phần luận án trình bày bốn chương (chương 2-5) tương ứng với bốn tốn mà chúng tơi giới thiệu đây, phần kết luận, danh mục cơng trình tác giả luận án tài liệu tham khảo Phần mở đầu giới thiệu tổng quan toán trình bày luận án, kết trước tóm tắt nội dung chương luận án Chương giới thiệu nhắc lại số kiến thức, ký hiệu, không gian hàm sử dụng luận án Chương (Bài tốn thứ nhất) giới thiệu tốn Khơi phục hàm giải tích đa thức Lagrange bị chặt cụt Kết chương lấy từ báo [60] Nội dung chương gồm hai phần chính: thiết lập điều kiện cần đủ cho hội tụ đa thức Lagrange bị chặt cụt đưa kết chỉnh hóa Cho U đĩa đơn vị mặt phẳng phức Chúng khôi phục hàm f không gian Hardy H (U ) từ giá trị f znm , với z ( m N ; n m ) hệ thống điểm U Như phân tích, m n tốn khơng chỉnh Hàm f xấp xỉ đa thức Lagrange bị chặt cụt Cụ thể, ta xét tốn khơi phục hàm f không gian H (U ) cho m m f ( zn ) n với n (m) ( m N ;1 n m ) , (2.1) tập số phức bị chặn Bài toán (2.1) đề cập nhiều cơng trình mà bạn đọc tham khảo tài liệu [20, 22, 39, 63] Hàm f chưa biết xấp xỉ đa thức (đặc biệt đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ) Như phân tích, tính ổn định thuật toán xấp xỉ khơng đề cập cơng trình Một cách vắn tắt, chúng tơi trình bày cách chỉnh hóa tốn (2.1) dựa việc xấp xỉ (trong H (U ) ) hàm f đa thức Lm ( v )( z ) k ( m 1 ) lk ( m ) z k ( 1; v ( 1( m ) , 2( m ) , , m( m ) )) (2.2) với l k ( m ) hệ số z k khai triển đa thức Lagrange Lm ( v ) có bậc m , thỏa: Lm ( v )( z k ( m ) ) k ( m ) ( k m ) Đa thức Lm ( v ) gọi đa thức Lagrange bị chặt cụt Ta ý Lm ( v ) đa thức Lagrange Theo hiểu biết chúng tơi cách tiếp cận chương Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt Lm / ( v ) dùng để xấp xỉ hàm f Ở đây, nghiên cứu hội tụ Lm ( v ) với nằm khoảng mở Cụ thể chúng tơi chứng tỏ có 0 ,1 cho Lm ( v ) f H ( U ) với 0 , kết không 0 Chương (Bài tốn thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa tốn nhiệt ngược rời rạc hệ số đa thức Lagrange bị chặt cụt Chương mở rộng báo [41] Cho u u x ,t biểu diễn phân phối nhiệt độ thỏa phương trình sau x ,t R 0 ,1 ut u (3.1) Bài toán nhiệt ngược tìm nhiệt độ ban đầu u x ,0 từ nhiệt độ cuối u x ,T Để cho đơn giản ta giả sử T Đây tốn khơng chỉnh (xem [10]) nghiên cứu từ lâu Bài toán xem xét nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận khác Bài toán xem xét kỹ lưỡng phương pháp nửa nhóm kết hợp với phương pháp quasi – reversibility phương pháp quasi – boundary value (xem [6, 3, 14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]) Dùng hàm Green ta chuyển phương trình nhiệt tới phương trình sau u x ,t t u ,0 e x 2 4t d x R , t > Do u 2 ,0 e x d u 2 x ,1 Với dạng ta xem xét tốn nhiệt ngược tốn tích chập Gauss ngược ( phép biến đổi Weierstrass) để tìm u 2 x ,0 từ ảnh u 2 x ,1 Nhiều công thức biến đổi ngược phép biến đổi Gauss cho [36, 48, 49] Trong [49] , dùng lý thuyết reproducing kernel tác giả đưa cơng thức giải tích ngược tối ưu trường hợp cụ thể Trong tài liệu sau tác giả nghiên cứu trường hợp liệu L2 khơng xác đưa số ước lượng sai số cụ thể Gần nhất, [36] tác giả sử dụng không gian Paley – Wiener xấp xỉ sinc để thiết lập cơng thức giải tích ngược cho phép biến đổi Gauss mà hiệu thực máy tính Với [17,67] phép biến đổi ngược Weierstrass cho hàm tổng quát nghiên cứu Trong thực hành, ta lấy nhiệt độ đo tập điểm rời rạc Nghĩa u x j ,1 j (3.2) Do tốn tìm nhiệt độ thời điểm ban đầu từ giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc cần thiết Bài toán trường hợp khơng chỉnh Vì ta cần chỉnh hố tốn Theo hiểu biết chúng tơi tài liệu hướng Trong [41], dùng đa thức Legendre dịch chuyển (shifted Legendre) để chỉnh hoá dạng rời rạc toán nhiệt ngược mặt phẳng Tuy nhiên giả thiết nhiệt độ u x , y có bậc e x , y x2 y ( lim x , y ) nghiêm ngặt Ở x , y chương này, điều kiện loại bỏ hoàn toàn Trong phần cuối chương, số kết tính số trình bày Chương (Bài tốn thứ ba) chúng tơi xét tốn khơi phục hàm f : 0 , R thỏa phương trình L f p j e p x f x dx j j với p j 0 , , j 1, , , Bài tốn trình bày báo [34] Trong chương chuyển tốn tới tốn nội suy hàm giải tích không gian Hardy đĩa đơn vị đưa kết tính Sau dùng đa thức Laguerre hệ số đa thức Lagrange để xấp xỉ hàm f Chúng với z k k v j f , h , 0 j f , h , L v z m tj Cho , ký hiệu lkm v z k k m 1 Đa thức L v gọi đa thức Lagrange bị chặt cụt (xem Chương 2) Với m g V , đặt Tn g LTg , , LTg n Ở ta nhắc lại n t n Ta xấp xỉ hàm f Wm T 1 1 L Tm w m lkm Tm wT 1 Lk k m 1 Chúng chứng minh Wm xấp xỉ f Chính xác ta có 1 3 Định lý 5.2 Cho , , w V t j , j 1,2 , thỏa lim t j j 1t j Đặt 1 ln 0 ln Khi với 0 , ta có w Wm V m Nếu giả thiết thêm x 1 w, w' V w Wm V 1 m w V 2 1 1 2m 1 x w V w' m V Chứng minh: Giả sử Tw am Lm Theo Bổ đề 5.2 ta có m 0 V w Wm k m 1 ak km k m 1 (5.4) với k m a k l km Tm w Chúng đưa ước lượng cho km Ta có w Lm Tm w m H U m k k 0 k m 1 ak Mặt khác biểu diễn Hermite (xem [Chương I, mục 1.2.3]) cho ta Twz Lm Tm wz 2i m z Tw d m z U với m z z z m Bây ký hiệu m m 0m j rm 1 j1 jr m sm 2i 1 r m , . jm Tw d s1m U ta viết theo biểu diễn Hermite T z Lm Tm w z k 1mr mm r k mr z k k 0 r 0 Từ biểu diễn ta km k 1mr mmr kmr , r 0 Tính trực tiếp ta thu k m 1 sm T w H U 1 m k mm r mk C m mk m , k với C m m! Do đó, từ tính đẳng cự T dẫn đến k ! m k ! m k 1 1 m w V 2 1 m Từ bất đẳng thức (5.4) ta w Wm V 1 m w V 2 1 1 2m k m Với 0 , , ta có 2 1 2 1 0 1 1 Từ ta có điều phải chứng minh lim w Wm m V 0 Bây x 1 w, w V ak k m m k ak k 0 e Tw' m 1 ' x w w m L1 0 , V ak Ta chứng minh xong Định lý 5.2 Bây xét trường hợp liệu bị nhiễu Đặt m z Dm max max 1 n m z R z ' z n m Cho : 0 , R hàm tăng thỏa m m 1 Dm , m 1,2 , m 1 / với x số nguyên lớn không vượt x Định lý 5.3 Cho x 1 w, w V Cho , f L (R 0 , ), j h L 0 , liệu biết 0 , f L (R 0 , ), h L 0 , thỏa sup 0 j f f j j L ( R 0 ,2 ) h h L 0 ,2 Khi tồn số C độc lập với cho wT 1 L m 1 v f , h , V C 1 m C x 1 w w' V m V w V 2 1 1 2m Trong v f , h , j f , h , tj Chứng minh: Chúng ta ý Lm Tm w z Lm v f , h , z m j f ,h,0 j f ,h , z mj 'm z , j 0 với v j f , h , j f , h , tj Do ta tìm số C độc lập với cho Lm Tm w Lm v f , h , C m 1 Dm Do L Tm w L v f , h , m m H U w Wm V Lm Tm w Lm v C m 1 Dm Do tính chất đẳng cự suy w T 1 1 L v f , h , m 2 L 2 1 L Tm w 1 L v f , h , m m 1 m w V 2 1 1 e Tw' m L1 0 , 2m L2 C m 1 Dm Chọn m m ta có kết cần tìm Chúng ta chứng minh xong Định lý 5.3 Tài liệu tham khảo [1] [BP] Borwein, P Erdelyi, T., Polynomials and polynomial Inequalities, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1995 [2] [GD] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston-BaselStuttgart, 1987 [3] Đinh Nho Hào, A mollification method for ill-posed problems, Numer Math 68 1994, 469-506 [4] Đinh Nho Hào and Reinhart, H-J., On a sideways parabolic equation, Inverse problems 13 (1997), 297-309 [5] [HE] Holmgren, E., Sur l’ e xtension de la method d’int e gration de Riemann, Arkiv for Math 1904, 315-26 [6] [LL] Latte`s-Lions, M e thod de quasi-r e versibilit e et application, Dunod, Paris, 1967 [7] [RA] Rabenstein, A L., Introduction to Ordinary Differential Equations, New York et al Acad Press, 1972 [8] [Ru] Real and Complex analysis, New York et al., McGraw-Hill, 1987 [9] [TL] Trong, D D Lien, T N., Reconstructing an analytic function using truncated Lagrange polynomials Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen dungen, Vol 22, 2003, No.4, 925-938 [10] [X] Xiong, Xiang-Tuan, Fu, Chu-Li Li, Hong-Fang, Fourier regularization method of a sideways heat equation for determining surface heat flux, J Math Anal 317 (2006) No.1, 331-348 KẾT LUẬN Luận án chúng tơi xem xét tốn khơi phục lý thuyết hàm giải tích Cụ thể Khơi phục hàm giải tích đĩa đơn vị U (trong khơng gian Hardy) từ giá trị hàm dãy điểm U Bài tốn khơng chỉnh Trong luận án này, chúng tơi chỉnh hố tốn khảo sát số tốn khơng chỉnh khác ứng dụng vật lý giải tích thực Những đóng góp luận án là: Như ta biết giá trị hàm f cho dãy điểm tùy ý khôi phục hàm f không gian Hardy H U định lý Kalmár- Walsh khơng cịn Do đa thức Lagrange dùng làm xấp xỉ tốt cho hàm giải tích Tuy nhiên qua khảo sát cho thấy số hạng có số mũ bậc cao đa thức làm cho xấp xỉ khơng ổn định Vì dùng đa thức Lagrange bị chặt cụt để chỉnh hoá toán Mặc dù toán nội suy hàm giải tích đĩa đơn vị nhà tốn học nghiên cứu từ lâu trình bày nhiều báo, phân tích tính ổn định thuật tốn khơng đề cập cơng trình Do chỉnh hóa tốn chúng tơi sai số phép xấp xỉ tồn tham số chỉnh hóa phương pháp chặt cụt đa thức Lagrange Bằng phương pháp trình bày tốn khơi phục hàm giải tích nói trên, chúng tơi chỉnh hóa tốn ứng dụng trường hợp liệu rời rạc, hầu hết tài liệu trước nghiên cứu tốn với liệu liên tục Kết chỉnh hóa toán thu hai trường hợp: liệu xác liệu bị nhiễu Phương pháp sử dụng công cụ hàm phân thức chưa khảo sát luận án vấn đề đề tài nghiên cứu tương lai DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [1] Đặng Đức Trọng Trần Ngọc Liên, Reconstructing an analytic function using truncated Lagrange polynomials Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen dungen, Vol 22, 2003, No.4, 925-938 [2] Phạm Hoàng Quân, Trần Ngọc Liên Đặng Đức Trọng, A discrete form of the backward heat problem on the plane, International Journal of Evolution Equations Vol.1, N0 3, 2005, pp 265-279 [3] Đặng Đức Trọng Trần Ngọc Liên , Regularization a discretely backward problem by coefficients of truncated Lagrange polynomials, Electron J Diff Eqns , Vol 2007 (2007), No 51, pp.1-14 [4] Trần Ngọc Liên, Đặng Đức Trọng Alain Phạm Ngọc Định, Laguerre polynomials and the inverse Laplace transform using discrete data, J Math Anal Appl 337(2008) 1302-1314 [5] Đặng Đức Trọng, Trần Ngọc Liên, Trịnh Anh Ngọc Nguyễn Công Tâm, Regularization of a spatial Cauchy problem for a parabolic equation, báo cáo International Conference on Nonlinear Analysis & Engineering Mechanics Today December 11-14, 2006, Ho Chi Minh City, VN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abramowitz, M Stegun, I A, Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover, 1972 [2] Ahn, J., Kang, S., Kwon, Y., A flexible inverse Laplace transform algorithm and its applications Computing 71, 2003, No.2, 115-131 [3] Alekseeva, S M Yurchuk, N I., The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an intergral boundary condition, Differential Equations 34, No 4, 1998, 493-500 [4] Al-Shuaibi, A., A regularization method for approximating the inverse Laplace transform, Approx Theory Appl (N.S.) 13 (1997), No.1, 58-65 [5] Amano, K., Saitoh, S and Yamamoto, M., Error estimates of the real inversion formulas of the Laplace transform, Integral Transforms and Special Functions 10, 2000, pp 165-178 [6] Ames, K A Hughes, R J., Structural stability for ill-posed problems in Banach spaces, Semigroup Forum, 70, 2005, 127-145 [7] Đặng Đình Áng, Lund, J., and Stenger, F., Complex variables and regularization method of inversion of the Laplace transform, Math Computation 54, No.188, 1989, pp 589-608 [8] Đặng Đình Áng, Gorenflo, R.and Đặng Đức Trọng, A multidimentional Hausdorff moment Problems: regularization by finite moments, Zeitschrift fur Anal Und ihre Anwendungen 18, No.1, 1999, pp 13-25 [9] Đặng Đình Áng, Gorenflo, R., Lê Khơi Vỹ and Đặng Đức Trọng, Moment Theory and Some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Lect Notes Math 1792 (2002) [10] Beck,J.V., Blackwell, B., St Clair, C R., Inverse heat conduction, ill-posed problems, Wiley, New York-Chichester, 1985 [11] Borwein, P., Erdelyi, T., Polynomials and polynomial inequalities, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York Inc., 1995 [12] Boumenir, A and Al-Shuaibi, A., The inverse Laplace transform and analytic pseudo-differential operators, J Math Anal Appl 228,1998, No.1,16-36 [13] Byun, D W and Saitoh, S., A real inversion formula for the Laplace transform, Z Anal Anw 12, 1993, pp 597-603 [14] Clark,G Oppenheimer, C., Quasireversibility Methods for Non-Well-Posed Problems, Electronic Journal of Differential Equations, Vol.1994, No 08, 1-9 [15] Daya Reddy, B., Introductory Functional Analysis, Texts in Appl Math 27, Springer –Verlag New York, Inc., 1998 [16] Denche, M and Bessila, K., A modified quasi-boundary value method for illposed problems, J Math Anal Appl., Vol 301, 2005, 419-426 [17] Ditzian, Z., Inversion of Weierstrass transformation for generalized functions, J Math Anal Appl 32, 1970, 644-650 [18] Nguyễn Dũng, Nguyễn Vũ Huy, Phạm Hoàng Quân Đặng Đức Trọng, A Hausdorff-like Moment Problem and the inversion of the Laplace transform, Math Narch., Vol 279, Issue 11, 2006, pp 1147-1158 [19] Duren Peter L., Theory of H p spaces, Michigan, Academic Press, 1970 [20] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston-BaselStuttgart, 1987 [21] Gajewski, H Zacharias, K., Zur Regularizierung einer Klasse nichkorrecter probleme bei Evolutionsgleichungen, J Math Anal Appl 38, 1972, 784789 [22] Guelfond, A O., Calcul des Différences Finis, Paris, Dunod 1963 [23] Đinh Nho Hào, A mollification method for ill-posed problems, Numer Math 68 1994, 469-506 [24] Đinh Nho Hào and Reinhart, H-J, On a sideways parabolic equation, Inverse problems 13 (1997), 297-309 [25] Hoffman, K., Banach Spaces of Analytic Functions, Englewood Cliffs (N.J., USA), Prentice – Hall Inc 1962 [26] Holmgren, E., Sur l’ e xtension de la method d’int e gration de Riemann, Arkiv for Math 1904, 315-26 [27] Hrushikesh, N Mhaskar and Devidas V Pai, Fundamentals of Approximation Theory, Boca-London-New York-Washington, D.C.-New Detli, 2000 [28] Nguyễn Vũ Huy, Nguyễn Văn Nhân and Đặng Đức Trọng, Reconstruction of Analytic Function on the Unit Disc from a Sequence of Moments: Regularization and Error Estimates, Acta Math Vietnamica 27 (2002), 307320 [29] Nguyễn Vũ Huy and Đặng Đức Trọng, A Hausdorff Moment Problem and the Inversion of the Laplace transform, Vietnam Journal of Mathematics 32:4, 2004, pp 371-377 [30] Isakov, V., Inverse problems for partial differential equations, SpringerVerlag, New York Inc., 1998 [31] Lattes, R Lions, J L., M e thode de Quasi-Reversibilit e et Applications, Dunod, Paris, 1967 [32] Lebedev, N N., Special Function and Their Applications, New York, Dover Publications Inc 1972 [33] Levin, Ya B., Lectures on entire functions, AMS, Providence Island, 1996 [34] Trần Ngọc Liên, Đặng Đức Trọng Alain Phạm Ngọc Định, Laguerre polynomials and the inverse Laplace transform using discrete data, J Math Anal Appl 337(2008) 1302-1314 [35] Matsuura, T., Saitoh, S Đặng Đức Trọng, Approximate and analytical inversion formulas in heat conduction on multidimentional spaces, J of Inverse and Ill-posed Problems, 13, 2005, 479-493 [36] Matsuura, T., Saitoh, S., Analytical and numerical inversion formulas in the Gaussian convolution by using the Paley-Wiener spaces, Applicable Analysis, Vol 85, N0 8, 2006, 901-915 [37] Miller, K., Stabilized quasi-reversesibility and other nearly-best-possible methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-posed Problems and Logarithmic Convexity, in: Lecture Notes in Math Vol 316, SpringerVerlag, Berlin, 1973, 161-176 [38] de Mottoni, P and Talenti, G., Stabilization and error bounds for the inverse Laplace transform, Numer Funct Anal Optim (1981), no.3, 265-283 [39] Partington, J R., Interpolation, Identification, and Sampling, Oxford, Clarendon Press 1997 [40] Payne, L E., Some general remarks on improperly posed problems for partial differential equations, Symposium on Non-Well-posed Problems and Logarithmic Convesity, in: Lecture Notes in Math Vol 316, Springer-Verlag, Berlin, 1973, 1-30 [41] Phạm Hoàng Quân, Trần Ngọc Liên Đặng Đức Trọng, A discrete form of the backward heat problem on the plane, International Journal of Evolution Equations Vol.1, N0 3, 2005, pp 265-279 [42] Rabenstein, A L., Introduction to Ordinary Differential Equations, New York et al Acad Press, 1972 [43] Rizzardi, M., A modification of Talbot’s method for the simultaneous approximation of several values of the inverse transform, ACM Trans Math Sofware 21, 1995, no.4, 347-371 [44] Rooney, P G., On the inversion of the Gaussian transform, Cand Math Bull.9, 1957, 459-464 [45] Rooney, P G., On the inversion of the Gaussian transform.II, Cand Math Bull.10, 1958, 613-616 [46] Rooney, P G., A generalization of an inversion formula for the Gauss transformation, Cand Math Bull.6, 1963, 45-53 [47] Rudin, W., Real and Complex Analysis, New York et al., McGraw – Hill Co 1987 [48] Saitoh, S., The Weierstrass transform and an isometry in the heat equation, Applicable Analysis, Vol 16 ,1983, 1-6 [49] Saitoh, S., Integral transform, Reproducing kernels and their Aplications, Pitman, Res Notes in math Series 369, Addison Wesley Longman Ltd., U.K., 1997 [50] Saitoh, S., Vũ Kim Tuấn and Yamamoto, M., Conditional stability of a real inverse formula for the Laplace transform, Z Anal Anw 20, 2001, 193-202 [51] Sansone, G., Orthogonal Functions, Interscience Publ., Inc., New York, Vol IX, 1959 [52] Showalter, R E., Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974), 76-84 Res Notes in Math., N0.1, Pitman, London, 1975 [53] Showalter, R E., The final value problem for evolution equations, J Math Anal Appl., Vol 47, 1974, 563-572 [54] Soni, R.C and Singh, D., A unified inverse Laplace transform formula involving product of a general class of polynomials and the Fox H-function, Tamkang J Math 36, 2005, no.2, 87-92 [55] Talenti, G., Recovering a function from a finite number of moments, Inverse Problems 3, 1987, 501-517 [56] Taylor, A., Advanced Calculus, New York et al, Blaisdell Publ Comp 1965 [57] Totik, V., Recovery of H p - Functions, Amer Math Soc 90 (1984) [58] Đặng Đức Trọng and Đặng Đình Áng: Reconstruction of Analytic Functions: Regularization and Optimal Recovery Preprint 1997 [59] Đặng Đức Trọng, Lê Quang Nẫm, Nguyễn Lê Lực, and Trương Trung Tuyến, Reconstruction of H p Functions: Best Approximation, Regularization and Optimal Error Estimates, Compl Var Theory Appl 49 (2004), No.4, 285-301 [60] Đặng Đức Trọng Trần Ngọc Liên, Reconstructing an analytic function using truncated Lagrange polynomials Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen dungen, Vol 22, 2003, No.4, 925-938 [61] Đặng Đức Trọng, Trần Ngọc Liên, Trịnh Anh Ngọc Nguyễn Công Tâm, Regularization of a spatial Cauchy problem for a parabolic equation, báo cáo International Conference on Nonlinear Analysis & Engineering Mechanics Today December 11-14, 2006, Ho Chi Minh City, VN [62] Đặng Đức Trọng Trần Ngọc Liên , Regularization a discretely backward problem by coefficients of truncated Lagrange polynomials, Electron J Diff Eqns , Vol 2007 (2007), No 51, pp.1-14 [63] Walsh, J L.: Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain Providence (R.I., USA): Amer Math Soc 1960 [64] Widder, D.V., The Laplace transform, Princeton University Press, 1946 [65] Xiong, Xiang-Tuan, Fu, Chu-Li Li, Hong-Fang, Fourier regularization method of a sideways heat equation for determining surface heat flux, J Math Anal 317 (2006) No.1, 331-348 [66] YongZhong Huang and Quanzheng, Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems, Proc Amer Math Soc., Vol 133, 2005, 3005-3012 [67] Zemanian, A.H., A generalized Weierstrass transformation, SIAM J Appl Math 10, 1967, 1088-1105 ... trình khác Tác giả luận án PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát tốn khơi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng Trong q trình giải tốn khơi phục, kết thu có nhiều... giả luận án tài liệu tham khảo Phần mở đầu giới thiệu tổng quan toán trình bày luận án, kết trước tóm tắt nội dung chương luận án Chương giới thiệu nhắc lại số kiến thức, ký hiệu, không gian hàm. .. khơi phục hàm f khơng gian H (U ) cho m m f ( zn ) n với n (m) ( m N ;1 n m ) , (2.1) tập số phức bị chặn Bài toán (2.1) đề cập nhiều cơng trình mà bạn đọc tham khảo tài