1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN TÌNH MƠ HÌNH HĨA ĐỐI TƯỢNG 3D BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN BIÊN B-REP Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Đà Nẵng - Năm 2011 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN TẤN KHÔI Phản biện 1: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Phản biện 1: TS NGUYỄN MẬU HÂN Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật, họp Đà Nẵng vào ngày 10 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin Học liệu, Đại học Đà nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm Đại học Đà nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Trong năm gần ñây phát triển đồ họa máy tính làm thay đổi hồn tồn việc tương tác người máy Nhờ mà loạt ứng dụng máy tính ñời, ñáp ứng ñược nhiều nhu cầu khác xã hội Cụ thể lĩnh vực giải trí ñời hàng loạt game 3D, phim 3D phim hoạt hình khác Trong lĩnh vực kỹ thuật phát triển nhiều phần mềm thiết kế CAD/CAM tiếng AutoCAD, Pro-Engineer, Esprit, Cimatron, MasterCam Khơng thế, đồ họa máy tính đóng vai trị chủ yếu việc cung cấp kiến thức cho ngành thiết kế kỹ thuật, phát huy khả tư người thiết kế, giúp cho người ñột phá vào lĩnh vực mới.Các phần mềm hỗ trợ từ việc thiết kế mơ hình đối tượng 3D, đến việc lắp ráp chi tiết, mơ chuyển ñộng cụm chi tiết, cuối việc gia công sản phẩm Tuy nhiên, Các phần mềm cho phép người sử dụng thiết kế mơ hình, lập trình gia cơng, đo đạc, kết xuất tập tin liệu theo ñịnh dạng phần mềm, việc tái tạo mơ hình vật thể chưa ñược hỗ trợ hoàn chỉnh Do vậy, việc nghiên cứu xây dựng mơ hình hóa đối tượng 3D linh hoạt, phục vụ trình nghiên cứu, tiến tới tái tạo vật thể từ máy ño chiều CMM hay từ máy quét yêu cầu cấp thiết Một vấn đề quan trọng việc xây dựng cơng cụ mơ hình hóa biểu diễn bề mặt đối tượng 3D Trong biểu diễn bề mặt ñối tượng 3D, ngồi vấn đề biểu diễn bề mặt đảm bảo chất lượng cịn phải đáp ứng u cầu tính đơn giản nhằm giảm thiểu khơng gian lưu trữ, rút ngắn thời gian biểu diễn bề mặt phục vụ cho bước mơ sau này.Vì ta cần nghiên cứu xây dựng cấu trúc liệu để mơ hình hóa đối tượng 3D dựa phương pháp biểu diễn biên B-Rep (Boundary Reprernsentation) Đề tài tập trung nghiên cứu kỹ thuật biểu diễn ñồ họa 3D; biểu ñường mặt cong tham số B-Spline, NURBS ñể mơ hình hóa đối tượng 3D theo phương pháp biểu diễn biên B-Rep Ý nghĩa khoa học - Xây dựng ñối tượng 3D dựa ñường cong mặt cong tham số NURBS - Cung cấp chức mơ hình hóa đối tượng 3D, thao tác đối tượng 3D hiển thị thơng số hình học đối tượng, kết xuất tập tin mơ tả thơng tin đối tượng - Là sở để tiến tới tái tạo vật thể thực ño ñược từ máy ño chiều CMM hay từ máy quét hình lazer Ý nghĩa thực tiễn Hỗ trợ cho Game3D, phim hoạt hình 3D… Mơ ảo, phục vụ ứng dụng ngành khoa học kỹ thuật y học, xây dựng … Phục vụ cho công tác giảng dạy thực hành thiết kế mơ hình đối tượng tham số 3D cho sinh viên ngành kỹ thuật Mục đích đề tài - Xây dựng cấu trúc liệu theo mơ hình B-Rep lưu trữ đối tượng 3D - Mơ hình hóa hiển thị đối tượng 3D theo cấu trúc B-Rep ñược xây dựng - Quan sát hiệu chỉnh ñối tượng 3D,kết xuất mơ hình B-Rep mẫu file định dạng nhằm phục vụ cho bước trình sản xuất gia cơng nhờ trợ giúp máy tính (CAM) 5 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết cách biểu diễn đối tượng 3D - Tìm hiểu, nghiên cứu cơng cụ phần mềm cho phép mơ hình hóa 3D - Xây dựng cấu trúc liệu ñể lưu trữ biểu diễn đối tượng 3D dựa mơ hình B-Rep - Nghiên cứu đặc điểm, tính chất đường cong, mặt cong B-Spline NURBS - Tìm hiểu thư viện openNURBS - Đề tài tập trung vào nghiên cứu xây dựng cấu trúc liệu cho phép mô hình hóa đối tượng 3D phương pháp B-Rep Đồng thời xây dựng chương trình minh họa dùng để mơ hình hóa biểu diễn đối tượng 3D theo mơ hình B-Rep Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, phân tích tài liệu có liên quan đến đề tài - Nghiên cứu lựa chọn phương hướng giải đề tài - Nghiên cứu phương pháp mơ hình hóa đối tượng 3D theo phương pháp biểu diễn biên B-Rep - Phân tích u cầu đặt ra, tổ chức cấu trúc liệu cho mơ hình B-Rep, từ xây dựng chương trình minh họa cho đề tài - Kiểm tra, thử nghiệm ñánh giá kết Bố cục luận văn Nội dung luận văn ñược chia thành chương: Chương 1: Tổng quan mô hình hóa đối tượng 3D Chương 2: Đường mặt cong tham số Chương 3: Xây dựng ñối tượng 3D theo phương pháp B-Rep Chương TỔNG QUAN VỀ MƠ HÌNH HĨA ĐỐI TƯỢNG 3D 1.1 Tổng quan mơ hình hóa Trong kỹ thuật biểu diễn, người ta phân thành hai nhóm: mơ hình hóa vật thể mơ hình hóa hình học Kỹ thuật mơ hình hóa hình học phát triển ngành cơng nghiệp tự động hóa chủ yếu sử dụng để thiết kế hình dạng xe Hiện nay, mơ hình cịn ứng dụng ngành công nghiệp hàng không, hải quân… số lĩnh vực khác.Mơ hình hỗ trợ cho việc điều khiển mặt hình dạng Kỹ thuật mơ hình hóa vật thể xây dựng dựa thơng tin biểu diễn đầy đủ, xác, rõ ràng đối tượng khơng gian chúng tạo mơ hình máy tính với khả phân loại điểm khơng gian ba chiều: phía trong, phía ngồi, bề mặt đối tượng 1.2 Mơ hình hóa đối tượng 3D Hai mơ hình ứng dụng đồ họa dựa mẫu số hóa dựa đặc trưng hình học Trong ứng dụng đồ họa dựa mẫu số hóa đối tượng đồ họa tạo lưới ñiểm ảnh rời rạc Các ñiểm ảnh ñuợc tạo chương trình vẽ, máy qt Các điểm ảnh mơ tả tọa độ xác định vị trí giá trị mẫu Thuận lợi ứng dụng dể dàng thay ñổi ảnh cách thay ñổi màu sắc hay vị trí điểm ảnh, di chuyển vùng ảnh từ nơi sang nơi khác Tuy nhiên, ñiều bất lợi xem xét ñối tượng từ góc nhìn khác Ứng dụng đồ họa dựa đặc trưng hình học bao gồm đối tượng ñồ họa sở ñoạn thẳng, ña giác Chúng lưu trữ mơ hình thuộc tính Ví dụ: đoạn thẳng mơ hình hai điểm đầu cuối, có thuộc tính màu sắc, độ dày Người sử dụng khơng thao tác trực tiếp ñiểm ảnh mà thao tác thành phần hình học đối tượng 1.2.1 Hệ tọa độ khơng gian 1.2.1.1 Hệ tọa độ Descartes 1.2.1.2 Hệ tọa độ cực 1.2.2 Q trình xử lý hiển thị đồ họa 3D Hình 1.4 Q trình xử lý hiển thị 3D 1.3 Biểu diễn ñối tượng 3D Có nhiều phương pháp khác ñể mơ tả đối tượng 3D Tùy thuộc vào ñối tượng cụ thể, ta dùng phương pháp cho phù hợp với thuộc tính loại đối tượng ñó Chẳng hạn ñể biểu diễn ñối tượng Euclid ñơn giản khối ellipse, khối ña diện ta sử dụng mặt ña giác mặt bậc hai Để biểu diễn mặt tròn xoay, đối tượng dùng để thiết kế mơ hình máy bay, bánh cấu trúc công nghệ khác thường biểu diễn thơng qua mặt cong (curves) Các phương pháp tiếp cận thủ tục (procedural method) Fractal cho phép biểu biễn cách xác ñối tượng mây, thảm cỏ ñối tượng tự nhiên khác 1.3.1 Biểu diễn mặt lưới 3D Việc sử dụng mơ hình khung lưới cho phép ta hình dung kết cấu bên mơ hình 3D cách xoay chuyển đối tượng chọn lựa xóa đường ẩn (những đường mà thường người ta trông thấy-thông qua mặt phẳng cắt ngang) Khi thể mơ hình này, đối tượng khơng giống thực tế Vì người ta dùng kỹ thuật tạo bóng loại bỏ đường mặt khuất Mơ hình thường nhanh nên người ta thường dùng việc xem phác thảo (preview) ñối tượng, ñặc biệt hệ CAD Một dạng thông thường lưới ña giác dãy tam giác (triale strip) Khi ña giác ñược mô tả nhiều ba ñỉnh, đỉnh khơng đồng phẳng Điều dẫn đến lỗi tính tốn Một phương pháp ñơn giản phân ña giác thành tam giác Hình 1.7 Lưới tam giác lưới tứ giác 1.3.2 Biểu diễn bề mặt trơn tham số Trong trường hợp ñối tượng thực phức tạp, người ta thường dùng hay nhiều mặt cong trơn ghép nối lại với Mỗi thành phần dùng ñể ghép nối ñược gọi mặt vá (patch) 1.3.3 Mặt cong dạng ẩn 1.3.3.1 Mặt tròn xoay 1.3.3.2 Mặt cầu 1.3.3.3 MặtEllipsoid 1.4 Kết luận chương Trong chương nêu phương pháp biểu diễn ñối tượng 3D, quy trình xử lý hiển thị đối tượng khơng gian 3D Đồng thời nêu cách xây dựng ñối tượng ñường cong, mặt cong ñược xây dựng phương trình khơng tham số Tuy nhiên ứng dụng đồ họa máy tính, hầu hết đối tượng biểu diễn dạng phương trình khơng tham số chưa thể ý tưởng người thiết kế Với bề có độ lồi lõm địi hỏi thay đổi vị trí điểm điều khiển u cầu phải có thay đổi cục khơng phải tồn cục bề mặt Để đáp ứng yêu cầu ta sử dụng kiểu vectơ nút (vector knot) khơng mặt cong NURBS cho việc biểu diễn ñối tượng hức hợp 3D.Do chương ñưa phương pháp tổng thể mơ hình tốn học để biểu diễn xây dựng loại ñường mặt cong phức hợp khơng gian 3D máy tính mà ta gọi ñường cong mặt cong tham số 10 Chương BIỂU DIỄN ĐƯỜNG VÀ MẶT CONG THAM SỐ 2.1 Giới thiệu Khác với phương pháp biểu diễn ñường mặt cơng thức tốn học chuẩn tắc, tường minh Ở ñây quan tâm ñến cơng cụ cho phép dạng đường mặt khác dựa liệu Điều có nghĩa với đường cong cho trước mà ta chưa xác định cơng thức tốn học làm để nắm bắt ñược dạng ñường cong ñó cách tương ñối xác qua việc sử dụng tập điểm P0, P1 … với phương pháp nội suy từ tập điểm để tạo đường cong mong muốn với độ xác cho phép 2.2 Đường cong Bezier 2.2.1 Giới thiệu 2.2.2 Phương trình biểu diễn 2.2.3 Thuật tốn vẽ đường congbezier qua ñiểm 2.2.4 Tính chất ñường cong Bezier 2.3 Đường cong tham số B-Spline 2.3.1 Giới thiệu 2.3.2 Phương trình biểu diễn 2.3.3 Các tính chất đường cong B-Spline 2.4 Mặt cong tham số B-Spline 2.4.1 Giới thiệu 2.4.2 Phương trình biểu diễn 2.4.3 Các tính chất mặt cong tham số B-Spline 2.5 Đường cong tham số NURBS 2.5.1 Giới thiệu 2.5.2 Phương trình biểu diễn đường cong tham số NURBS 12 Trong đó: Pi,j: điểm điều khiển W: ñộ rộng vector nút Ni,k-u(u), Nj,k-v(v): hàm n,m : số ñiểm ñiều khiển K-u, k-v: bậc hàm theo hướng u v Ni,k-u(u), Nj,k-v(v) ñược biểu diễn hàm ñệ quy Coxde Boor Hàm ñệ quy Cox-de Boor biểu diễn sau:[2] (2.19) 2.9 Tính liên tục đường cong tham số Tính liên tục đường cong điểm dừng mơ tả làm ñường cong gặp ñiểm dừng[16] 2.10 Xây dựng mặt cong tham số 2.10.1 Các mảnh Bezier (Bezier surface patches) Xét ñường cong Bezier hàm theo tham số v có điểm kiểm sốt thay đổi theo u Ta có cơng thức: (2.20) Lúc này, u thay đổi ta có điểm kiểm sốt thay đổi kéo theo ñường cong Bezier thay ñổi theo Sự biến thiên đường cong Bezier khơng gian tạo mặt cong 13 2.10.2 Nối mảnh Bezier lại với Mục đích để tạo dạng mặt cong phức tạp gồm nhiều mảnh Bezier kết hợp lại với cho trơn tru biên chung Khi nối hai mảnh Bezier lại với (mỗi mảnh có khối đa diện kiểm sốt riêng sử dụng cơng thức với u,v biến thiên ñoạn [0, 1]), vấn ñề để chúng nối vào cách trơn tru? Hai mảnh gắn vào tất ñiểm dọc biên chung ña diện kiểm soát chúng trùng khớp với biên Điều có dạng ñường cong Bezier biên phụ thuộc vào ña giác kiểm sốt nằm biên khối đa diện kiểm sốt Do đó, để dán ta cần chọn đa giác kiểm sốt biên cho hai mặt trùng Hình 2.12 Minh họa hai mảnh Bezier dán lại với Về tính liên tục tiếp tuyến, ñiều kiện ñủ cặp cạnh khối ña diện biên phải cộng tuyến 2.10.3 Các mảnh B-Spline (B-Spline patches) Các hàm B-Spline dùng dạng tích tensor thay cho dạng đa thức Bernstein để đạt tính kiểm sốt cao thiết kế mặt cong 14 (2.23) Khối đa diện kiểm sốt có (M+1)x(n+1) đỉnh u, v biến thiên từ tới giá trị lớn nút vector nút tương ứng chúng 2.11 Biểu diễn ñối tượng 3D theo phương pháp B-Rep 2.11.1 Giới thiệu Một vấn ñề quan trọng việc biểu diễn bề mặt ñối tượng 3D ñảm bảo chất lượng phải ñáp ứng yêu cầu tính ñơn giản nhằm giảm thiểu không gian lưu trữ, rút ngắn thời gian biểu diễn bề mặt phục vụ cho bước mô sau Trong thực tế biểu diễn bề mặt 3D, bề mặt trơn hay cong ñều Có bề mặt trơn lại có ñộ lồi lõm Với bề mặt có độ cong vậy, địi hỏi thay đổi vị trí điểm điều khiển u cầu phải có thay đổi cục khơng phải tồn cục bề mặt Để đáp ứng u cầu ta sử dụng kiểu vectơ nút (vector knot) không ñều mặt cong NURBS cho việc biểu diễn ñối tượng hức hợp 3D Phương pháp biểu diễn bề mặt (biểu diễn biên) mơ tả đối tượng ba chiều tập hợp bề mặt giớn hạn phần bên phần bên ngoài[5] 2.11.2 Khái niệm B-Rep (hay phương pháp biểu diễn biên) phương pháp biểu diễn vật thể dựa giới hạn bề mặt chúng Phương pháp này dựa khái niệm cấu trúc hình học mà đối tượng vật thể ñược giới hạn tập hợp mặt Những mặt vùng mặt bề mặt đóng định hướng Một bề 15 mặt đóng bề mặt mà liên tục không bị phân mảnh, chia nhỏ Bề mặt ñịnh hướng ñược phân biệt thành hai phần rõ rệt cách sử dụng vectơ pháp tuyến nhằm phần bên phần bên mơ hình vật thể xây dựng (hay nói cách khác mặt mặt ngoài) Mỗi mặt ñược bao quanh cạnh cạnh ñược giới hạn đỉnh Do đó, theo cấu trúc hình học, mơ hình biểu diễn biên ñối tượng bao gồm mặt, cạnh, ñỉnh ñối tượng liên kết với ñể ñảm bảo thống mơ hình[8] 2.11.3 Các thành phần B-Rep Phương pháp B-Rep có thành phần bản: Cấu trúc hình học (topology): Bao gồm thông tin mối liên hệ đỉnh, cạnh, mặt để tạo hình dạng vật thể Đồng thời bao gồm cách định hướng cạnh mặt Hình học (geometry): Xác ñịnh ñối tượng cấu trúc hình học khơng gian, ví dụ tọa độ đỉnh, phương trình đường cong mặt cong [10] Thơng tin hai thành phần phương pháp BRep có quan hệ chặt chẽ với khơng thể tách rời Nếu điều xảy tạo nên đối tượng khơng xác định khơng gian Thêm vào đó, cách định hướng mặt quan trọng Thơng thường, mặt bao quanh tập ñỉnh Sử dụng quy tắc bàn tay phải, thứ tự đỉnh để mơ tả mặt cụ thể phải ñảm bảo vectơ pháp tuyến mặt hướng ngồi vật thể Thơng thường thứ tự theo ngược chiều kim ñồng hồ Vì vậy, cách kiểm tra vectơ pháp tuyến xác định phần bên phần bên vật thể theo 16 phương pháp B-Rep Sự ñịnh hướng ñược thực cho tất mặt Như vậy, yếu tố mơ hình B-Rep mặt, cạnh đỉnh 2.11.4 Cơng thức Euler-Poincaré Công thức Euler-Poincaré miêu tả mối quan hệ số ñỉnh, số cạnh số mặt vật thể Nói cách khác dùng để kiểm tra tính hợp lệ vật thể [8] V – E + F – (L - F) – 2(S - G) = Trong - V: số đỉnh (vertices) - E: số cạnh (edges) - F: số mặt (faces) - G: số lỗ xuyên qua vật thể (penetrated holes) - S: số shell.Shell tập hợp mặt kết nối vật thể Chú ý số shell lớn - L: số vòng lặp vịng lặp ngồi 2.11.5 Biểu diễn vật thể theo phương pháp B-Rep Phương pháp B-Rep bắt nguồn từ mô hình đa diện sử dùng để biểu diễn ñối tượng cảnh (scenes) có ñường khuất mặt khơng nhìn thấy Phương pháp gồm ba thực thể, mặt, đỉnh, cạnh thơng tin hình học kèm theo để tạo nên thành phần phương pháp B-Rep Ngoài thơng tin hình học phương trình mặt tọa độ điểm, phương pháp cịn mặt, cạnh, ñỉnh liên kết với thành phần khác nào, chúng ñược gọi cấu trúc hình học (topology) Có thể nói cấu trúc hình học chất kết dính yếu tố hình học lại với 17 Với mục tiêu làm ñơn giản hóa giải thuật, phần lớn để xác định chu trình cạnh bao quanh mặt, ta sử dụng cấu trúc half-edge Cấu trúc half-edge miêu tả cách kết nối mặt, cạnh, ñỉnh (gọi tắt thành phần cấu trúc) Nó sử dụng để mơ tả hình dạng khối đa giác Tuy nhiên, cấu trúc liệu dùng ñể mô tả gắn kết Nhiều cách biểu diễn khác ñược xác ñịnh cách gắn kết thơng tin hình học với thành phần cấu trúc 2.12 Thư viện OpenNURBS Chương trình xây dựng dựa thư viện openNURBS Đây thư viện dựa ngơn ngữ C++ phát triển Robert McNeel hãng Rhinoceros Nó hỗ trợ phần mềm đồ họa, quy trình CAD/CAM phát triển cơng cụ dùng để chuyển đổi xác mơ hình hình học 3D ứng dụng Đặc biệt, openNURBS dùng để đọc, xuất mơ hình định dạng file 3dm, hỗ trợ tất hệ ñiều hành Window, Mac, Linux 3dm ñịnh dạng file dùng để xây dựng mơ hình vật thể 3D dựa bề mặt NURBS Do tính uyển chuyển linh hoạt, NURBS ñược sử dụng tất lĩnh vực liên quan ñến thiết kế biểu diễn mơ hình 3D [6],[9] 2.13 Kết luận chương Chương trình bày tính chất, phương trình biểu diễn thuật tốn xây dựng đường cong, mặt cong tham số Ngoài nêu khái niệm B-Rep giới thiệu qua thư viện mã nguồn mở OpenNURBS, cơng thức Euler-Poincaré Mục đích chương sở lý thuyết xây dựng dựng chương trình mơ hình hóa đối tượng 3D theo phương pháp biểu diễn biên (B-Rep) 18 Chương XÂY DỰNG ĐỐI TƯỢNG 3D THEO PHƯƠNG PHÁP B-REP Một ñối tượng ñược biểu diễn theo phương pháp B-Rep mơ tả hai thành phần hình học (Geometric) cấu trúc hình học (Topological) Mỗi thành phần ñều chứa phần tử mang số thông tin kết nối Để mô tả thơng tin kết nối đỉnh, cạnh mặt cần sử dụng cấu trúc nửa giao tuyến (halfedge) 3.1 Cấu trúc half-edge theo phương pháp B-Rep Cấu trúc half-edge cho biết ñược cạnh ñược liên kết với ñỉnh nào; mặt ñược liên kết với ñỉnh Half-edge nguồn thông tin kết nối Các thành phần khác ñơn giản gắn kết với half-edge với Để miêu tả half-edge, khơng gian hai chiều đoạn thẳng có hướng bắt nguồn từ ñỉnh Một half-edge ñều gắn liền với cạnh trước cạnh tiếp theo, mà chúng half-edge Một cặp half-edge có chung hai điểm đầu cuối ngược chiều Hình 3.1Cấu trúc liệu half-edge 3.2 Thành phần hình học B-Rep Trong ñối tượng cong, biểu diễn hình dạng đường cong mặt cong thuộc tính cạnh mặt Cấu trúc liệu sử dụng phương pháp ñược xây dựng dựa 19 cấu trúc liệu half-edge Những ñối tượng sau ñược sử dụng cấu trúc mơ hình vật thể là: khối đặc (solid), khu vực (region), vỏ (shell), bề mặt (face), vòng lặp (loop), cạnh (edge), nửa giao tuyến (half-edge), ñỉnh (vertex) Một region ñịnh nghĩa thể tích khơng gian Như vậy, cạnh trỏ trỏ ñến ghi định rõ cách biểu diễn xác đường cong sở Nó mơ hình vật thể duyệt qua danh sách cạnh, ñồng thời thu thơng tin mặt liền kề Hình 3.3 Thành phần hình học (Geometric) B-Rep 20 3.3 Thành phần cấu trúc hình học B-Rep Chúng ta đưa cấu trúc liệu có hai mức để biểu diễn mơ hình hình học mặt với số lượng cạnh không làm ảnh hưởng đến mặt xung quanh Một mặt có trỏ trỏ ñến ghi liên kết với tập mặt có bốn cạnh Sau đó, mặt khơng chia nhỏ cấu trúc liệu B-Rep ban ñầu Một mặt trước hết phải ñược chép sang cấu trúc liệu ñược chia nhỏ ñể ñịnh nghĩa mặt bốn cạnh Bằng cách việc phân chia khơng ảnh hưởng đến mặt xung quanh cấu trúc B-Rep ban ñầu Tất mặt bốn cạnh cấu trúc ñều có trỏ trỏ ñến ghi khác mặt bốn cạnh biểu diễn xấp xỉ đa diện[5],[8] Hình 3.4 Liên kết bề mặt cấu trúc B-Rep ... cứu kỹ thuật biểu diễn ñồ họa 3D; biểu ñường mặt cong tham số B- Spline, NURBS để mơ hình hóa đối tượng 3D theo phương pháp biểu diễn biên B- Rep Ý nghĩa khoa học - Xây dựng ñối tượng 3D dựa ñường... ngắn thời gian biểu diễn b? ?? mặt phục vụ cho b? ?ớc mơ sau này.Vì ta cần nghiên cứu xây dựng cấu trúc liệu để mơ hình hóa đối tượng 3D dựa phương pháp biểu diễn biên B- Rep (Boundary Reprernsentation)... 2.11.5 Biểu diễn vật thể theo phương pháp B- Rep Phương pháp B- Rep b? ??t nguồn từ mơ hình đa diện sử dùng để biểu diễn đối tượng cảnh (scenes) có đường khuất mặt khơng nhìn thấy Phương pháp gồm ba thực