Kì dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức thực và bất đẳng thức lojasiewicz suy rộng

116 579 3
Kì dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức thực và bất đẳng thức lojasiewicz suy rộng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Nguyễn Thị Thảo Kì dị vô hạn ánh xạ đa thức thực bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mà số: 62.46.10.01 dự thảo luận án tiến sĩ toán học Ng-ời h-ớng dÉn khoa häc: PGS TSKH Hµ Huy Vui GS TSKH Pierrette Cassou - Nogs Hµ Néi - 2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, d-ới đồng h-ớng dẫn khoa häc cđa PGS TSKH Hµ Huy Vui vµ GS TSKH Pierrette Cassou - Noguès Các kết đ-ợc phát biểu luận án mới, trung thực ch-a đ-ợc công bố công trình tác giả khác Các kết viết chung với tác giả khác đà đ-ợc đồng ý tác giả đ-a vào luận án Tác giả Nguyễn Thị Thảo Lời cảm ơn Luận án đ-ợc hoµn thµnh d-íi sù h-íng dÉn khoa häc cđa PGS TSKH Hà Huy Vui Thầy ng-ời tận tâm, tận tình, dành nhiều công sức dẫn dắt tác giả thực b-ớc vào nghiên cứu khoa học, động viên, khích lệ tác giả v-ợt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin đ-ợc bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy thứ hai GS TSKH Pierrette Cassou - Nogs v× sù tËn tình cảm thông khó khăn tác giả Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án, tác giả nhận đ-ợc quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy cô bạn đồng nghiệp môn Hình học, thầy cô bạn đồng nghiệp Khoa Toán - Tin, Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, thành viên Phòng Hình học - Tôpô, Viện Toán học Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tr-ớc quan tâm Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, Phòng Khoa học Công nghệ, Phòng Sau đại học Tr-ờng đà tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, công tác hoàn thành luận án Cuối cùng, luận án hoàn thành thiếu cảm thông, giúp đỡ ng-ời thân gia đình Tác giả xin đ-ợc gửi tới toàn thể ng-ời thân gia đình lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mét sè quy -íc vµ kÝ hiƯu Më đầu I Lý chọn đề tài II Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu III Ph-ơng pháp nghiên cứu IV Những đóng góp cđa ln ¸n V ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án 11 11 12 VI Bè cơc cđa ln ¸n 13 Ch-ơng Tính riêng ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn 1.1 Hàm đa thức riêng Rn 1.2 Vi phôi đa thức toàn cục Rn 15 16 22 Ch-ơng Các giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm đa thức hàm hữu tỉ mặt đại số Rn 2.1 2.2 Bài toán đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn Các giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm đa thức hàm hữu tỉ mặt đại số Rn 2.2.1 Phát biểu kết 30 30 36 37 2.2.2 Chứng minh Định lí 2.2.12 2.2.3 Chứng minh Định lí 2.2.13 45 50 2.2.4 Chó ý 2.2.5 VÝ dô 52 54 Ch-ơng Nguyên lí biến phân Ekeland, bất đẳng thức Lojasiewicz, t-ợng kì dị vô hạn hàm đa thức 57 3.1 60 60 62 69 3.2 3.3 Nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm đa thức 3.1.1 §-êng cong tiÕp xóc 3.1.2 Nguyên lí Ekeland cho hàm đa thức Rn 3.1.3 Nguyên lí Ekeland cho hàm đa thức R2 Bất đẳng thức Lojasiewicz hàm đa thức miền không compact 3.2.1 Hình học nửa đại số 3.2.2 Các điều kiện tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ bất đẳng thøc Lojasiewicz toµn cơc 3.2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục Mèi quan hƯ gi÷a sù tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ với t-ợng kì dị vô hạn 3.3.1 Phát biểu kết 3.3.2 Chứng minh kết 3.3.3 Câu hỏi 73 73 77 85 92 92 93 107 Kết luận 108 Các công trình liên quan đến luận án 110 Tài liệu tham khảo 111 Một sè quy -íc vµ kÝ hiƯu Trong toµn bé ln ¸n, ta thèng nhÊt mét sè kÝ hiÖu nh- sau (1) N: tập số tự nhiên (2) R: tập c¸c sè thùc (3) R∗ : tËp c¸c thùc kh¸c không (4) C: tập số phức (5) max: giá trị lớn (6) min: giá trị nhỏ (7) inf : cận d-ới (8) sup: cận (9) lim: giíi h¹n (10) deg: bËc (11) dim: chiỊu (12) rank: hạng (13) det: định thức (14) grad: gradient (15) ]: lực l-ợng tập hợp (16) : đặc tr-ng Euler-Poincaré (17) |.|: giá trị tuyệt đối số thực (18) h, i: tÝch v« h-íng th«ng th-êng Rn (19) k.k: chuẩn Euclid thông th-ờng Rn (20) d(, ): khoảng cách Euclid thông th-ờng Rn (21) : bao đóng tập hợp víi t«p« th«ng th-êng Rn (22) Bnr = {(x1 , , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n ≤ r } = {(x1, , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = r } (23) Sn−1 r (24) Sn−1 = {(x1, , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = 1} Mở đầu I Lý chọn đề tài Các tập đại số đối t-ợng nghiên cứu Toán học Lớp tập đại số đ-ợc nghiên cứu nhiều tập phức tập thực Chúng đ-ợc chia thành bốn loại: ã Các tập đại số xạ ảnh phức; ã Các tập đại số xạ ảnh thực; ã Các tập đại số affine phức; ã Các tập đại số affine thực Các kết mang tính tảng Lefschetz S., Zariski O., Milnor J., nhiều ng-ời khác đà đem đến hiểu biết sâu sắc tính chất tôpô, cấu trúc đại số, tập đại số xạ ảnh phức ([46], [43], [13], [9], ) So với tập đại số xạ ảnh phức, tập đại số xạ ảnh thực đối t-ợng khó nghiên cứu Chỉ khoảng 50 năm trở lại đây, với công trình Petrowsky, Arnold, Rokhlin, xếp oval đ-ờng cong phẳng xạ ảnh thực không kì dị, việc nghiên cứu tập xạ ảnh thực bắt đầu hòa vào dòng phát triển chung trở thành lĩnh vực sôi động với nhiều kết đặc sắc ([15], [33], [16], ) Các tập đại số affine, phức lẫn thực, đối t-ợng đặc biệt khó nghiên cứu Ng-ời ta vÉn hiĨu rÊt Ýt vỊ c¸c tËp affine phøc, tập thu hút đ-ợc ý nhiều chuyên gia Hình học đại số Hình học tôpô nh- Dimca [10], Fary [44], Némethi [50], Malgrange [49], Phạm F [51], Lê Dũng Tráng [54], Những hiểu biết tập đại số affine thực lại đây, nhiều toán tự nhiên, với đ-ờng cong affine thực, ch-a có câu trả lời Trong luận án, muốn tìm hiểu tính chất tôpô số lớp tập đại số affine thực II Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu Mỗi tập đại số affine thực (t-ơng ứng, phức) V tập không điểm hệ ph-ơng trình đa thức, tức có dạng V = f (0), f ánh xạ đa thức từ Rn đến Rk (t-ơng ứng, từ Cn đến Ck ) Từ kết tổng quát Thom R [53], ánh xạ đa thức f từ tập đại số không kì dị V1 sang tập đại số không kì dị V2 xác định phân thớ tầm th-ờng địa ph-ơng lớp C tập đại số B(f ) V2 Đó phân thớ Milnor toàn cục Tập B(f ) đ-ợc gọi tập giá trị rẽ nhánh f Có thể thấy tập B(f ) chứa tập giá trị tới hạn (f ) f Nếu V1 không compact, xuất t-ợng mới, mà ta không gặp nghiên cứu tr-ờng hợp xạ ảnh, t-ợng kì dị vô hạn Nói chung, B(f ) 6= (f ), điểm thuộc B (f ) := B(f )\(f ) đ-ợc gọi giá trị tới hạn kì dị vô hạn Nói cách vắn tắt, có hai nguyên nhân để f không xác định phân thớ tầm th-ờng quanh thí f −1 (t), t ∈ B(f ): • Hoặc phân thớ không tầm th-ờng lân cận điểm kì dị, tức t (f ); ã Hoặc phân thớ không tầm th-ờng lân cận điểm vô hạn, tức với lân cận D t, r > 0, ánh xạ f : f (D)\Bnr D phân thớ tầm th-ờng Tổng kết lại, để hiểu tôpô tập đại số affine f (t), ta cần hiểu phân thớ Milnor toàn cục f : V1 \f −1 (B(f )) → V2 \B(f ) 10 §Ĩ hiểu phân thớ Milnor toàn cục, ta phải hiểu tập B(f ) Đến đây, xuất toán tự nhiên quan trọng: Đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn f , tức giá trị t V2 cho tr-íc thc vµo tËp B∞ (f ) = B(f )\(f )? Bài toán đối t-ợng khảo sát luận án Mặc dù toán đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn đ-ợc nghiên cứu tích cực 20-30 năm nay, toán mở Ng-ời ta biết câu trả lời cho số tr-ờng hợp riêng: ã f : C2 C (Suzuki [52], Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng [58], Hà Huy Vui - Nguyễn Lê Anh [57], Hà Huy Vui [56]) • f : R2 → R (Coste - de la Puente [8]) ã f : V R hạn chế hàm đa thức mặt đại số trơn không compact V Rn (Tibar - Zaharia [31]) • f : Cn → C, víi ®iỊu kiƯn f có kì dị cô lập vô hạn (Parusinski [23]) ã f : V C, V Cn mặt đại số không kì dị f ánh xạ thỏa mÃn điều kiện tồn "phép chiếu tốt" (Hà Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [39]) ã f : Cn Cn1 , với điều kiện tồn "phép chiếu tốt" f (Hà Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [40]) Mục đích nghiên cứu luận án đặc tr-ng tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn, tìm hiểu sâu cho tình hình học sau Các ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn : Chúng tìm điều kiện để tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn ánh xạ đa thức F : Rn → Rn lµ tËp trèng (cịng cã nghÜa lµ, F ánh xạ riêng) Chú ý rằng, vấn đề liên quan đến toán Jacobi tiếng Hạn chế hàm hữu tỉ thực lên mặt đại số không kì dị Rn : Chúng đ-a bất biến cho phép đặc tr-ng trän vĐn c¸c ... Các điều kiện tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ bất đẳng thøc Lojasiewicz toµn cơc 3.2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục ... tr-ng tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn, tìm hiểu sâu cho tình hình học sau Các ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn : Chúng tìm điều kiện để tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn ánh xạ đa thức F : Rn Rn lµ... hạn kì dị vô hạn lớp hàm Các ánh xạ đa thức từ Rn vào R: Chúng khảo sát bất đẳng thức Lojasiewicz "cạnh thớ", bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đa thức nhiều biến thực, chØ quan hƯ cđa chóng

Ngày đăng: 27/12/2013, 14:40

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan