2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Phan Anh 3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 5 1.1. Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Toán học với đời sống thực tiễn của con người 12 12 1.2. Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế 16 1.3 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông 21 1.4 Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông 31 1.5 Tiềm năng của đại số và giải tích trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông 49 1.6 Kết luận Chương 1 50 Chƣơng 2. CÁC BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 2.1 Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm 51 2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh 54 2.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích 54 2.2.2. Biện pháp 2. Chú trọng rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học trong dạy học Toán theo tinh thần chuẩn bị cho việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác 60 2.2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn 76 2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tiễn 93 2.2.5 Biện pháp 5. Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học 114 4 2.2.6. Biện pháp 6. Làm rõ quá trình vận dụng các phương pháp xác suất và thống kê vào thực tiễn đời sống trong dạy học Toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 133 2.2.7. Biện pháp 7. Cung cấp cho giáo viên thông tin về PISA và bổ sung các bài toán có nội dung thực tiễn trong các chủ đề Đại số - Giải tích theo tư tưởng của PISA làm tư liệu trong dạy học nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học 141 2.3. Kết luận Chương 2 151 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm 152 3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 152 3.3 Đánh giá thực nghiệm 172 3.4 Kết luận thực nghiệm 183 KẾT LUẬN 184 CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 185 TÀI LIỆU THAM KHẢO 186 PHỤ LỤC 196 5 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Chúng ta biết rằng, toán học có vai trò to lớn đối với các ngành khoa học khác và thực tiễn đời sống. Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm nghiệm tính chân lý của mọi khoa học nói chung và toán học nói riêng. Toán học phát triển được là nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn, thông qua đó để bộc lộ sức mạnh lý thuyết vốn có của nó. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có tính chất phổ dụng, toàn bộ và nhiều tầng. Do đó, nhiều tình huống trong đời sống, ta không thể vận dụng trực tiếp các tri thức toán học, mà phải qua một bước trung gian quan trọng là toán học hóa. Chẳng hạn, các bài toán giải quyết vấn đề về kinh tế, xã hội,… có sử dụng tri thức toán thường diễn ra qua bốn bước. Bước thứ nhất là xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế; vấn đề mấu chốt của bước này là phải xác định cho được các yếu tố có ý nghĩa nhất. Bước thứ hai là xây dựng mô hình toán học cho mô hình định tính, tức là diễn tả mô hình định tính bằng ngôn ngữ toán học; công việc quan trọng nhất là xây dựng hàm mục tiêu và diễn tả các điều kiện kinh tế, kỹ thuật bằng các phương trình, bất phương trình,… Bước thứ ba là giải bài toán trong bước thứ hai, đồng thời chọn phương pháp giải tối ưu, viết chương trình cho thuật toán và chạy trên máy tính in ra kết quả. Bước thứ tư là kiểm tra kết quả, đối chiếu với thực tế để điều chỉnh cả quy trình [103, tr.7]. Do đó, trong dạy học Toán ở bậc phổ thông, để “ Làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn”, việc bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh là một vấn đề cần thiết. 1.2. Học sinh Trung học phổ thông là những người đang trưởng thành, chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội, tương lai các em phải đối mặt với cuộc sống hiện đại đa chiều, đầy biến động. Do đó, việc trang bị cho học sinh những năng lực thích ứng với thực tiễn khi còn ngồi trên ghế nhà trường là hết sức cần thiết. Do đó, phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học thông qua dạy học Toán là một vấn đề cần được đặc biệt quan tâm. 6 1.3. Hầu hết các nước trên thế giới, trong giảng dạy Toán đều chủ trương giản lược lý thuyết hàn lâm, tăng cường thực hành và không ngừng vận dụng toán học. Nhiều nước đã dùng bài toán có nội dung thực tiễn vào trong các kì thi ở bậc phổ thông, điển hình là Pháp, Nga, Đức,… Đặc biệt, trong những năm đầu của thế kỷ XXI, các nước trong tổ chức OECD (Organization for Economic Cooperation and Development) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA (Programme for International Student Accessment) cho học sinh phổ thông ở lứa tuổi 15. PISA không kiểm tra nội dung cụ thể chương trình học trong nhà trường phổ thông, mà tập trung đánh giá năng lực vận dụng tri thức vào việc giải quyết các tình huống đặt ra trong thực tiễn. Theo PISA, một quá trình cơ bản mà học sinh vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa”. Việt Nam đang trên con đường hội nhập với các quốc gia khác trên thế giới, giáo dục nước nhà cũng nằm trong xu hướng sẽ tham dự PISA vào năm 2012. Do đó, quan tâm đến việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh phổ thông là một vấn đề cấp thiết, có tính thời sự. 1.4. Chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán ở trường Trung học phổ thông hiện hành, kế thừa và phát huy truyền thống dạy học Toán ở Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới. Nội dung được biên soạn theo tinh thần lựa chọn những kiến thức toán học cơ bản, thiết thực, có hệ thống, trình bày tinh giản; thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung dạy học; thể hiện vai trò công cụ của môn Toán đồng thời tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn. Đặc biệt, Đại số và Giải tích tạo điều kiện rất lớn trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh, điều đó được được thể hiện qua các khía cạnh sau: - Khái niệm hàm số là sợi chỉ đỏ xuyên suốt cấp học trong chương trình Đại số và Giải tích, là công cụ để mô tả tình huống một cách sinh động và đa dạng. Tính sinh động ở chỗ, hàm số có thể mô tả sự vật hiện tượng trong trạng thái động; tính đa dạng của nó thể hiện qua việc biểu diễn dưới nhiều hình thức khác nhau: biểu 7 thức giải tích, bảng hoặc biểu đồ, đồ thị, . Chính hình thức thể hiện đa dạng phong phú của khái niệm hàm số, giúp cho người học có nhiều cách thức mô tả tình huống thực tiễn, hình thành khả năng ứng phó với các tình huống khác nhau. Trong giáo trình Đại số và Giải tích, có không ít các tình huống, sách giáo khoa dùng hàm số để mô tả. Chẳng hạn, sách giáo khoa Đại số 10 dùng hàm bậc nhất hai biến mô tả bài toán quy hoạch sản xuất (bài đọc thêm); Đại số và Giải tích 11 dùng hàm số tuần hoàn, mô tả các hiện tượng có chu trình hoạt động lặp đi lặp lại như chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, chuyển động của guồng nước quay, chuyển động của quả lắc đồng hồ, sự biến thiên của cường độ dòng điện, ; Giải tích lớp 12 dùng hàm số mũ để mô tả sự tăng trưởng của một số hiện tượng trong tự nhiên, xã hội. Không những thế tương quan hàm còn cho phép chúng ta xây dựng phương pháp tọa độ, là cơ sở của toán học hiện đại và là công cụ để đại số hóa hình học. - Lĩnh vực phương trình, bất phương trình được trình bày một cách có hệ thống, không những có tác dụng bồi dưỡng tư duy logic mà còn phát triển cả ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học cho học sinh; tạo điều kiện cho người học biểu diễn các tình huống thực tiễn dưới dạng biểu thức chứa biến. Chủ đề phương trình còn là cơ hội tốt để học sinh giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Các tác giả trong [58] cho rằng: việc biểu diễn tình huống bằng biểu thức chứa biến là một vấn đề vô cùng quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học. - Chương trình Đại số và Giải tích còn vận dụng phương pháp mô hình hóa để xây dựng một số khái niệm có tính khái quát cao. Chẳng hạn, khái niệm đạo hàm được xây dựng bằng cách khái quát hóa các biểu thức toán học của các đại lượng vật lý có liên quan như: cường độ dòng điện tức thời, vận tốc tức thời của chuyển động, . Khái niệm tích phân được xây dựng bằng cách khái quát hóa các biểu thức toán học về diện tích hình thang cong, công của dòng điện, . Thông qua dạy học, những đơn vị kiến thức này, có thể hình thành cho học sinh phương pháp mô hình hóa, một yếu tố quan trọng cho việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn . 8 - Toán ứng dụng, nhất là các lĩnh vực xác suất và thống kê có tầm quan trọng đối với thực tiễn cuộc sống của con người, được đưa vào trong chương trình dạy học. Cho đến thời điểm hiện nay, các tri thức này được trình bày trong chương trình Trung học phổ thông một cách có hệ thống. Cụ thể là thống kê toán học được trình bày hẳn trong Chương V- Đại số 10; xác suất được trình bày trong Chương 2 của Đại số và Giải tích lớp 11. Điều đặc biệt ở đây là: "quá trình vận dụng các phương pháp của thống kê toán vào thực tiễn cũng bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán của thực tiễn" [58, tr.242]. Vấn đề cực trị xuất hiện ở lớp 12, chiếm vị trí trung tâm, liên quan đến nhiều lĩnh vực trong đời sống của con người. Sự sắp xếp như trên đã làm cho hệ thống các tri thức toán học này lập thành mạch toán ứng dụng, tạo điều kiện cho giáo viên có cơ hội rèn luyện khả năng vận dụng toán học vào đời sống, cũng như phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh. - Các tác giả của sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông cho rằng: “Trước đây, có xu hướng chỉ coi trọng rèn luyện tư duy (tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng,…) và trí tưởng tượng không gian. Tuy nhiên, nhiều công trình nghiên cứu đã chứng tỏ rằng phát triển tư duy cho học sinh không thể tách rời việc rèn luyện các kỹ năng của khoa học thực nghiệm” [38, tr.15], nên sách giáo khoa Đại số và Giải tích rất chú ý đến các hoạt động kiểm nghiệm và dự đoán. Bởi vậy, thông qua giảng dạy toán, có thể lồng ghép các hoạt động thực nghiệm vào dự đoán quy luật của tình huống thực tiễn. - Sự thay đổi, cơ cấu lại các đơn vị kiến thức trong sách giáo khoa nói chung, đại số và giải tích ở bậc Trung học phổ thông nói riêng, theo hướng tích hợp liên môn, tạo điều kiện cho toán học xâm nhập vào các khoa học tự nhiên và đi sâu vào thực tiễn cuộc sống. - Sách giáo khoa đã có sự thay đổi rất lớn về cách trình bày, tăng cường các hoạt động của người học thông qua các tình huống, cho học sinh dự đoán ước tính để phát hiện ra vấn đề. Điều đó, được thể hiện qua việc thiết kế các tình huống, đưa người học vào trong cuộc và ủy thác nhiệm vụ cho họ, dưới dạng mở. Mặt khác, 9 ngôn ngữ diễn đạt của sách giáo khoa đang hướng tới chuẩn mực quốc tế hiện hành, tạo điều kiện cho sự giao lưu hội nhập. Kênh hình trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích cũng được chú ý hơn và đó là: " . một phương tiện truyền tải trực quan nội dung kiến thức và là cầu nối giữa sách giáo khoa và thực tiễn đời sống" [88, tr.12]. 1.5. Đã có một vài công trình nghiên cứu về mạch ứng dụng toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông. Điển hình là công trình “Ứng dụng phép tính vi phân (phần đạo hàm) để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán lớp 12 Trung học phổ thông” của tác giả Nguyễn Ngọc Anh hay “Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở” của tác giả Bùi Huy Ngọc. Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông. Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phồ thông qua dạy học Đại số và Giải tích”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích của luận án là nghiên cứu xác định những thành tố đặc trưng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn với đối tượng là học sinh Trung học phổ thông; trên cơ sở đó, đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực này ở người học qua dạy học Đại số và Giải tích. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Phân tích và tổng hợp một số quan điểm của các nhà khoa học về việc vận dụng toán học vào trong đời sống thực tiễn, đặc biệt là vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán. - Đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh; đề xuất những căn cứ làm cơ sở cho việc xác định các thành tố của năng lực này. - Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích. 10 4. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU - Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông. - Đối tượng nghiên cứu: Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh và các vấn đề liên quan cùng cách thức rèn luyện năng lực này trong dạy học môn Toán. 5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể xác định được một số thành tố chủ yếu của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông. Trên cơ sở đó, nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học Đại số và Giải tích thì có thể phát triển năng lực này cho học sinh, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học Toán. 6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông và việc rèn luyện năng lực này trong dạy học Toán. - Phương pháp điều tra: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học tập của học sinh bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học. - Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về phạm vi nghiên cứu của đề tài. - Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất. 7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ - Quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông; các thành tố của năng lực này của học sinh Trung học phổ thông. 11 - Các biện pháp đã đề xuất trong luận án nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông. - Có thể làm sáng tỏ quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số byaxyxf ),( trên một miền đa giác lồi nhằm hoàn thiện công cụ giải quyết một lớp các bài toán thường gặp trong cuộc sống, đảm bảo tính logic, tính chặt chẽ, tính sư phạm. 8. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN 8.1. Về mặt lí luận - Đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống của học sinh phổ thông, trên cơ sở phân tích hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn. Luận án cũng đã mô tả hoạt động này đối với học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Toán đồng thời xác định các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn làm cơ sở cho việc hình thành và phát triển năng lực này ở người học. - Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích. 8.2. Về mặt thực tiễn - Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức và hành động trong thực tiễn giảng dạy, theo hướng tăng cường vận dụng toán học vào trong thực tiễn. - Hệ thống các bài tập, ví dụ trong luận án là tư liệu tốt cho giáo viên phổ thông tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học. . nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích. 10 4. KHÁCH THỂ VÀ. cho luận án là: Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phồ thông qua dạy học Đại số và Giải tích . 2. MỤC