CHƯƠNG 12 ỔN ÐỊNH I. KHÁI NIỆM II. XÁC ÐỊNH LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ÐÚNG TÂM III. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC Ơ LE IV. TÍNH ỔN ÐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN NGOÀI MIỀN ÐÀN HỒI V. ÐIỀU KIỆN ỔN ÐỊNH VÀ BỀN - PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH ÐỂ TÍNH THANH CHỊU NÉN VI. CHỌN HÌNH DÁNG MẶT CẮT HỢP LÝ VÀ VẬT LIỆU 1. Xét về vật liệu 2. Xét về hình dạng mặt cắt ngang I. KHÁI NIỆM TOP Trong các chương trên, ta đã tính toán về độ bền và độ cứng cho các thanh có các loại biến dạng khác nhau. Nhưng trong thực tế có nhiều trường hợp nếu chỉ tính về độ bền và độ cứng thì chưa đủ đảm bảo an toàn cho công trình hoặc chi tiết máy. Công trình hoặc chi tiết máy còn có thể bị phá hoại vì một nguyên nhân khác, đó là một sự mất ổn định. Giả sử có một thanh dài và mảnh, đầu dưới bị ngàm, đầu trên chịu một lực nén đúng tâm P, khi lực P nhỏ hơn một giới hạn nhất định thì thanh thẳng, khi đó thanh chịu nén thuần tuý ( hình 12-1a). d) e) P>P th P<P th Nếu tác dụng một lực R rất nhỏ vuông góc với trục thanh, thanh sẽ bị uốn cong, nhưng sau khi bỏ lực R đi, thanh trở lại dạng thẳng ban đầu (hình 12- 1b), thanh vẫn chịu nén thuần tuý. Khi đó thanh ở trạng thái cân bằng ổn định. Nếu ta tăng dần giá trị của lực P đến một giá trị nhất định nào đó, thanh vẫn ở dạng thẳng, nhưng nếu tác dụng một lực ngang R có trị số nhỏ và khi bỏ lực ngang đi thanh sẽ cong về một phía mà không trở về dạng thẳng ban đầu. Trạng thái nà được gọi là trạng thái cân bằng không ổn định của tha y nh (hình 12-1c). Trạng thái chuyển biến từ dạng cân bằng ổn định sang dạng cân bằng không ổn định được gọi là trạng thái tới hạn. Trị số của lực P ứng với trạng thái tới hạn được gọi là lực tới hạn ký hiệu Pth f) Hình 12-1 Hiện tượng không ổn định của dạng cân bằng của một thanh bị nén đúng tâm được gọi là hiện tượng uốn dọc. Một số trường hợp mất ổn định của hệ đàn hồi như sau: Một dầm công son có mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp chịu uốn phẳng, khi P > Pth dầm bị mất ổn định, lúc đó dầm chịu uốn và xoắn (hình 12-1d). Một ống tròn chịu áp lực đều theo phương hướng tâm từ ngoài vào, ống sẽ bị mất ổn định khi q > qth lúc đó ống sẽ bị méo, ngoài biến dạng nén ống còn chịu uốn. (Hình 12-1e) Như vậy một hệ đàn hồi cũng có những trạng thái cân bằng khác nhau tương tự như một vật rắn. Ðể có hình tượng so sánh, ta hãy nhắc lại sự cân bằng của một vật rắn hình cầu: (Hình 12-1f) Khi vật được đăt ở vị trí thấp nhất của mặt lõm (ứng với vị trí thế năng nhỏ nhất) vật ở trạng thái cân bằng ổn định, vì nếu ta đẩy nó rời vị trí cân bằng này nó sẽ trở lại vị trí cân bằng ban đầu ngay khi ta bỏ lực đẩy ra. Ngược lại, nếu ta đặt vật ở đỉnh cao nhất của mặt lồi thì vật ở trạng thái cân bằng không ổn định. f l P>P th Hçnh 12-2 Khi mất ổn định tải trọng lớn hơn tải trọng tới hạn, biến dạng của hệ tăng rất nhanh. Ví dụ: thanh chịu nén như hình vẽ 12-2 ta tính được : Khi P = 1,010 Pth thì f = 9%l Khi P = 1,015 Pth thì f = 22%l Vì vậy, khi thiết kê,ú ngoài việc đảm bảo an toàn về mặt độ bền và độ cứng, còn phải đảm bảo điều kiện ổn định: tải trọng tác động nhỏ hơn tải trọng tới hạn. kôđ : hệ số an toàn về mặt ổn định Vì vậy để giải bài toán ổn định, việc cơ bản là xác định tải trọng tới hạn Pth II. l/2 P z z y l y f XÁC ÐỊNH LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ÐÚNG TÂM( bài toán Ơ le) TOP Hình 12-3 Xét một thanh thẳng liên kết khớp tại hai đầu. Thanh chịu một lực nén đúng tâm P đặt tại gối tựa di động. Khi P đạt tới giá trị lực tới hạn Pth , thanh có một dạng cong nào đó. Nếu gối tựa ở hai đầu thanh là loại khớp cầu thì trục thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất EJmin ( hình 12-3) Ta giả thuyết rằng khi mất ổn định, vật liệu của thanh còn làm việc trong giới hạn đàn hồi. Jmin: momen quán tính chính trung tâm nhỏ nhất của mặt cắt ngang. Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh, tại mặt cách gối tựa trái một đoạn z, dầm có độ võng y, momen uốn tại mặt cắt này là: M(z) = Pth.y(z) Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi của dầm chịu uốn : Ðặt :Ġ (XII-2) Thì phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng : (XII-3) Nghiệm tổng quát của phương trình này là : (XII-4) Khi mất ổn định, thanh bị uốn cong nên y(z) phải là một hàm khác không. Dựa vào điều kiện này, ta sẽ xác định được lực tới hạn theo điều kiện biên. Khi z = 0 => y = 0 => C 1 .0 + C 2 .1 = 0 => C 2 = 0 Phương trình y có dạng : y = C1 Sin (z Khi z = l thì y = 0 => C1Sin(l + C2Cos(l = 0 Vậy : y = C1Sin(l = 0 Nấu C1 = 0 thì phương trình đường đàn hồi luôn luôn bằng 0, tức là thanh vẫn thẳng. Ðiều đó trái với giả thuyết là thanh bị uốn cong. Do đo phải có : sinαl = 0 αl = nπ (n = 1, 2, 3 .) (XII-5) Thay (XII-5)vào (XII-4) ta được phương trình đường đàn hồi (XII-6) và lực tới hạnĠ Với những giá trị khác nhau của n, lực tới hạn có những giá trị khác nhau tương ứng với các dạng đường đàn hồi khác nhau. Ta thấy n bằng số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi n Hình dáng thanh khi mất ổn định Số nửa bước sóng Lực tới hạn 1 1 2 2 3 3 Hình 12-4 Trong thực tế lực P bao giờ cũng phải tăng dần từ không đến những giá trị xác định , do đó chỉ cần P đạt tới giá trị nhỏ nhất ứng với n =1 là thanh bị mất ổn định. Như vậy trường hợp thanh có hai đầu liên kết khớp thì lực tới hạn bằng (XII-8) Người ta còn gọi Pth là lực tới hạn ơ le. Khi P > Pth ứng với n = 1 biến dạng của dầm lớn nên không thể dùng phương trình gần đúng của đường đàn hồi, nghĩa là các nghiệm ứng với n = 2, 3 .là không có nghĩa. Cũng vì lý do đó, hằng số C1 trong biểu thức của đường đàn hồi là không xác định được. Biểu thức của y(z) chỉ được xác định nếu dùng phương trình chính xác của đường đàn hồi. Tuy nhiên, xét về mặt lý thuyết, khi thanh mất ổn định nếu đường đàn hồi có dạng n nửa bước sóng hình sin thì lực tới hạn tăng n2 lần so với giá trị nhỏ nhất ứng với n = 1. Do đó trong thực tế, người ta thường làm tăng tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm tức tăng giá trị của lực tới hạn bằng cách đặt thêm các gối tựa tại các điểm uốn của đường đàn hồi. Ví dụ: nếu đặt thêm một gối tựa tại giữa nhịp thì lực tới hạn tăng lên 4 lần ; nếu đặt thêm hai gối tựa tại phần 3 nhịp thì Pth tăng lên 9 lần. P l/2 l/2 P l/3 l/3 l/3 Hçnh 12-5 a) b) Phần trên ta đã tính được lực tới hạn của thanh hai đầu liên kết khớp. Với những thanh có dạng liên kết khác, bằng cách tính toán tương tự, kết quả tìm được cho ta thấy: công thức tính lực tới hạn ơ le của các loại dầm có liên kết khác nhau có thể viết dưới dạng một công thức chung sau đây: (công thức Ơ le) (XII-9) Khi P = Pth thanh vẫn có dạng thẳng ban đầu nên nó vẫn còn chịu nén thuần túy. Ðồng thời vật liệu vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là vẫn tuân theo định luật Hooke m=1 m=2 m=0,7 m=0,5 m=2 m=1 m=0,5 m=1 m=2 Hçnh 12-6 Do đó ứng suất tới hạn bằng: ÐặtĠ imin: bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang Ta có :Ġ Ta ký hiệuĠ (XII-10) ThìĠ (công thức Ơ le) (XII-11) Nếu (th của thanh càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao, nếu (th càng bé thanh càng dễ bị mất ổn định. (th phụ thuộc vào mođun đàn hồi E của vật liệu và phụ thuộc vào (. Hệ số ( phụ thuộc vào kích thước hình học và sự liên kết của thanh. Trị số ( càng lớn, thanh càng dễ mất ổn định, đó là những thanh mảnh. Vì thế người ta gọi ( là độ mảnh của thanh. III. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC Ơ LE TOP Các công thức Ơ le để tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn được thành lập trên cơ sở giả thiết vật liệu tuân theo định luật Hooke. Vì vậy, chúng chỉ đúng khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỉ lệ (tl, tức là vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi. Như vậy, muốn sử dụng công thức Ơ le thì ta cần có điều kiện:  σ th σ tl Tức là Ġ Hay (XII-12) ÐặtĠ (XII-13) Vậy điều kiện để áp dụng công thức Ơ le là Chú ý rằng độ mảnh (0 hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào vật liệu Ví dụ: đối với thép CT3 E = 2,1.10 7 N/cm 2 ; σ tl = 21.000 N/cm 2 Ðối với thép CT5 : (0 = 81 ; E = 2.107N/cm2 ; (tl =30.000N/cm2 Ðối với gang : (0 ( 80 Ðối với gỗ : (0 ( 100 ; E = 1,1.106 N/cm2 ; (tl = 1100N/cm2 Ðối với gỗ thông : (0 ( 75 ; E = 9.105 N/cm2 ; (tl = 1600N/cm2 Những thanh có ( > (0 được gọi là thanh có độ mảnh lớn. σ th σ tl o λ 0 λ âæåìng Hypecbol Hçnh 12-7 Những thanh có ( <(0 được gọi là thanh có độ mảnh trung bình và bé. Tất nhiên đối với các thanh có ( trung bình và bé thì không dùng các công thức Ơ le để tính về ổn định được. Ðể hiểu rõ quy luật biến thiên của (th theo ( ta vẽ đường biểu diễn quan hệ giữa (th theo (. Ta được một đường hypecbol Ơ le . Khi ( < (0 vì công thức Ơ le không còn đúng nữa nên đường biểu diễn được vẽ bằng nét đứt (Hình 12-7) IV. TÍNH ỔN ÐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN NGOÀI MIỀN ÐÀN HỒI TOP Ðối với những thanh có độ mảnh trung bình và bé, tức là những thanh có: σ th σ tl o λ 0 λ Âæåìng Hypecbol Å le Âæåìng Iasinski λ 1 σ ch Hçnh 12-8 λ < λ 0 Thì khi thanh bị mất ổn định, vật liệu làm việc ngoài giới hạn đàn hồi. Trong trường hợp này có nhiều công thức được thành lập hoặc dựa trên thực nghiệm để tính (th . Trong đó công thức thực nghiệm do Iasinski đưa ra để tính (th đối với những thanh có độ mảnh trung bình tức là (ıĨ (0 (1 : là trị số giới hạn ứng với (th=(ch của độ mảnh trung bình, được dùng tương đối phổ biến: (XII-15a) Trong đó a, b, c là các hằng số phụ thuộc vào vật liệu của thanh và được xác định bằng thực nghiệm. Giá trị a, b, c được cho trong sổ tay kỹ thuật. Vật liệu a(N/cm 2 ) b(N/cm 2 ) c(N/cm 2 ) Thép CT3 31000 114 0 Thép CT5 Gang xám Gỗ 34500 77600 2930 124 1200 19,4 0 5,3 0 Thông thường c = 0 nên người ta thường coi (th = a - b.( (XII-15b) Ðối với thanh có độ mảnh bé İĨ (1 Người ta coi : σ th = σ 0 (XII-16) Trong đó : (o = (ch nếu là vật liệu dẻo (0 = (b : nếu là vật liệu giòn Nếu biết a, b, c và (0 thay chúng vào (XII-15a) ta sẽ tính được (1 Như vậy, tùy theo thanh có độ mảnh lớn, trung bình hay bé mà ta dùng đường Hypeccbol Ơ le, đường Iasinski hay đường thẳng (th = (0 để tính ứng suất tới hạn (th Ví dụ : tính Pth và (th của thanh làm bằng thép CT3, mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. thanh có liên kết khớp tại hai đầu (Hình 12-9). Xét trường hợp a) Thanh cao 3m b) Thanh cao 2,5m. biết E = 2,1.107N/cm2 ; (ch = 24.000N/cm2 ; (0 = 100 Giải : P Hçnh 12-9 Mặt cắt chữ I số 22a có : F = 32,4cm2 ; iy = imin = 2,5 cm Theo liên kết của thanh thì m = 1 Xác định (1: thép CT3 có (tra bảng) a = 31000N/cm2 ; b = 114N/cm2 ; c = 0 Vậy (th = a - b.(1 = (ch a) Khi thanh cao 3m : Vì ( = 120 > (0 = 100 nên ta dùng công thức Ơ le . kiện ổn định: tải trọng tác động nhỏ hơn tải trọng tới hạn. kôđ : hệ số an toàn về mặt ổn định Vì vậy để giải bài toán ổn định, việc cơ bản là xác định. thái cân bằng không ổn định của tha y nh (hình 12-1c). Trạng thái chuyển biến từ dạng cân bằng ổn định sang dạng cân bằng không ổn định được gọi là trạng